CC BY
10
УДК 624.042
СОПОСТАВЛЕНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТАТИКО-ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СООРУЖЕНИЙ
А. В. Макаров, аспирант
В процессе эксплуатации сооружения испытывают, помимо статических нагрузок, также динамические. Колебания высотных зданий, большепролетных мостов, башен, мачт и другие сооружения вызываются различными нагрузками и воздействиями: движущейся нагрузкой, порывами ветра, мощным промышленным оборудованием, сейсмическим воздействием, взрывной волной и другими. Вызванные колебания способны нарушить нормальные условия эксплуатации сооружения. В других случаях могут служить причиной аварий.
Известны пути решения многих видов колебаний сооружений. Например, методы решения задач теории колебаний изложены в учебниках Пановко Я. Г., Бидермана В. Л., Киселева В. А. и др. Причем, в которых изложены некоторые способы исследования систем с малым числом степеней свободы и нелинейных колебаний, в том числе - расчеты на подвижную нагрузку. Однако на практике необходимо делать расчеты более сложных систем с десятками динамических степеней свободы. Основные отечественные комплексы (Лира, Scad, Selena [1] и др.) не позволяют исследовать нелинейные поведения сооружений во временной области. В этих случаях целесообразно применять иные пути: составлять индивидуальную статико-динамическую модель, записывать дифференциальные уравнения движения и решать их во временной области при помощи, например, одной из компьютерных сред [2].
В данной статье приводится решение задач с применение ПК Selena и системы символьной математики Maple [2]. С их помощью для примера будут исследованы колебания систем с одной и двумя степенями свободы.
1. Система с одной степенью свободы
Исследуем для примера колебания невесомой шарнирно-опертой балки (рис. 1) с сосредоточенной приведенной массой в середине пролета. Примем параметры системы близкие к параметрам основного пролета моста перегружателя: пролет L = 76,35 м, Е = 2,0594e + 011 Н/м2, тб = 145000 кг, I = 1.8119 м4, вязкое трение в = 60000 Нс/м, логарифмический декремент колебаний 0,15, жесткость балки г = 48EI/L3 = 4,02е + 07 Н/м.
Рис. 1. Статико-динамическая модель шарнирно-опертой балки
В среде Maple применим дифференциальное уравнение второго порядка:
Г d2
me
Л
d
d y(t )l) J+)=1(t >
(1)
1.1. Исследуем вначале колебания балки относительно положения ее статического равновесия (как принято в классических учебниках по строительной механики). Для определения частоты свободных колебаний балки в качестве начальных условий зададим перемещение массы по
вертикали вверх у0 = 0,1 м; время начало отсчета X =0 с; начальная скорость массы у0 = 0 м/с; в
правой части уравнения функция 1() = 0, что означает отсутствие силы тяжести и возмущения.
После подстановок этих данных через оператор решения дифференциальных уравнений '^8о1уе" получаем аналитическое решение уравнения (для перемещений массы во времени) в виде:
y(t) =
1
1942700
-л/58281
(
sin
2>/58281i
Л
29
+ -
1
(
100
cos
2л/58281Г
Л
29
Далее через встроенную функцию "plot" выводим графическое решение этого уравнения во временной области (рис. 2).
Рис. 2. График перемещений массы во времени
Из графика таких затухающих колебаний можно вычислить частоту свободных колебаний, которая составляет 2,65 Гц, а также логарифмический декремент колебаний 0,15. Если для контроля задать эти же жесткость и массу, а также коэффициент неупругого сопротивления (g = 5/л) системы в исходные данные ПК Selena, то при помощи метода конечных элементов можно получить такую же частоту 2,65 Гц при 22 конечных элементах. Основной тон изгибных колебаний (см. рис. 3).
Рис. 3. Первая форма собственных колебаний балки
1.2. Далее учтем статический прогиб массы по рисунку 1 от сил тяжести. Найдем аналитическое выражение для перемещения массы от внезапного приложения силы тяжести при
начальных условиях: 1 = 0 с, у0 = 0 м, у0 = 0 м/с, ОД = (где g - ускорение свободного падения
9,81 м/с2). Исходное уравнение отличается от (1) только правой частью, в которой добавляется сила тяжести массы.
y(t) = ■
9483
5206436000
-V58281e ~ sin
2^58281/
29
9483 268000
29
e ' cos
(
2л/58281/1 9483
+ . (2)
29
268000
Далее строим график свободных колебаний балки (рис. 4).
У(0,м
12 t, с
Рис. 4. График перемещения массы во времени при внезапном приложении силы тяжести.
Из графика можно определить логарифмический декремент колебаний (0,15), частоту ее свободных колебаний (2,65 Гц), а также статический прогиб системы (0,036 м).
Для проверки статического прогиба на ПК Selena был задан собственный вес массы 145000-9,81 = 1422000 Н. В результате прогиб составил 0,0353 м (рис. 5).
Рис. 5. Вывод статического прогиба в ПК Selena 2. Система с двумя степенями свободы
Рассмотренную в пункте 1 задачу усложним таким образом, чтобы приближенно смоделировать колебания моста крана-перегружателя вместе с движущейся по нему тележки с грузом. Для этого над осциллятором-мостом с параметрами (m2, b2, r2 см. на рис. 6) принятыми в пункте 1, была установлена еще одну подрессоренную массу (m1, р1, r1) с упруго-диссипативными связями. Иными словами, балку с грузом упрощаем до системы с двумя степенями свободы для решения в Maple (цепочку из двух масс см. на рис. 6).
Рис. 6. Система с двумя степенями свободы
Параметры системы: пролет L = 76,35 м, Е = 2,0594e + 011 Н/м2, m2 = 145000 кг, I = 1,8119 м4, вязкое трение ß1 = 200000 Нс/м, жесткость г2 = 4,02е + 07 Н/м, m1 = 160000 кг, rj = 6,0е+07 Н/м, ßi = 200000 Н-с/м.
Общий вид системы из двух дифференциальных уравнений 2-го порядка в среде Maple при условии, что к системе приложен только собственный вес, приведен в (3).
m.
d^ у2 (t)) + ГУ2 (t) - 1 (У (t) - У2 (О) + b2 (d У2 (t)) - A ^d y1 (t)) - (dt y2 (t)^
d 2 Л (d Л
У1 (t) I+r1 (У1 (t) - у2 (t))+A [dt У1 (t)).
(3)
Решаем систему уравнений (3) с помощью оператора "dsolve" но, в отличие от замкнутой явной формы типа (2) для осциллятора, при двух степенях свободы применяется метод Рунге-Кутта для численного интегрирования. Далее строим при нулевых начальных условиях графики перемещений первой и второймассы во времени (рис. 7). Приведена для данного примера также и часть листинга для Maple.
> F:=dsolve({sys,myIC},funcs,type=numeric);
F:=proc(x_rkf45)...end proc > plots[odeplot] (F, [t,y1(t)],0..20,numpoints = 500 0) ;
Рис. 7. Графики перемещений верхней и нижней масс (рис. 6) во времени при внезапном
приложении сил тяжести
Из этих графиков можно определить логарифмический декремент колебаний, частоту свободных колебаний и статические прогибы от веса первой и второй масс. Сравнение полученных результатов с расчетом при помощи ПК Selena (рис. 8) приведено в форме таблицы 1.
Узел 22
X = 38.4750 m Y = 0.0000 m I = 7.3000 m Слон: A Ux =+9.1656e-006 m Uy =+0.00000 m Uz =-0.074290 m Ф,, =+0.00000 фу =-3.05536-005 tfz =+0.00000
Рис. 8. Вывод статического прогиба в ПК Selena
Таблица 1
Собственные частоты и статические прогибы
Частота, Гц Статический прогиб, м
Maple Selena Maple Selena
1 форма 1,66 1,66 m1 0,1 0,1
2 форма 4.9 4,93 m2 0,074 0,074
3. Задание гармонической динамической нагрузки
К систему описанную в пункта 2 прикладываем к первой массе гармоническую динамическую нагрузку порядка 10% от веса второго груза Po = 157000 Н на резонансной частоте (1,66 Гц) основного тона цепочки по рисунку 6. Общий вид системы двух дифференциальных уравнений 2-го порядка в среде Maple повторяет систему (3), но в правой части 2-го уравнения добавляется одно слагаемое P0sinwt. Зададим начальными условия: перемещение (статический прогиб системы) yi = 0,1 м, y2 = 0,074 м, начальную скорость
y1 = 0 м/с, y2 = 0 м/с.
Решение системы уравнений при этих начальных условиях дает графики (рис. 9) аналогичные примеру из пункта 2.
yi(t),M
У2(0,м
t,с
t,с
Рис. 9. Графики перемещений верхней и нижней масс во времени от гармонической динамической нагрузки на резонансе (1-й формы собственных колебаний)
Сравнение амплитуды вынужденных колебаний масс получены при помощи среды Maple м ПК Selena представлены в таблице 2.
Динамический прогиб масс
Таблица 2
Динамический прогиб, м
Maple Selena
mi 0,120 0,123
m2 0,082 0,088
Результаты полученные при решении в среде Maple и на ПК Selena отличаются на величину, не превышают 6%. Это можно объяснить не точным заданием резонансной частоты и различными округлениями в комплексах.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. www.selenasys.com - Интернет-сайт ПК Selena.
2. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании - М.: СОЛОН-Пресс, 2006. -720 с.
УДК 624.024
Сопоставление компьютерных технологий решения дифференциальных уравнений линейных колебаний статико-динамических моделей сооружений /А. В. Макаров //Вюник ПридншровськоТ державноТ академи будiвництва та архггектури. - Дншропетровськ: ПДАБА, 2008. - № 10. - С. 34-39. - рис. 9. - табл. 2. - Б^блюгр.: (2 назв.).
Приводятся примеры решения задач в системе символьной математики Maple с проверкой их на ПК Selena. Рассматриваются колебания систем с одной и двумя степенями свободы во временной области. Определяются частоты и формы собственных колебаний, логарифмический декремент колебаний и перемещения масс. Исходные параметры приняты близкими к большепролетному (76.3 м) мосту крана-перегружателя с подрессоренной грузовой тележкой.
