Анализ кинематических параметров и энергетических свойств колёсного движителя перекатывающегося Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Марченко А.П., Минак А.Ф., Семенов В.Г., Линьков О.Ю., Шпаковский В.В.,Обозный С.В. Расчетно-экспериментальные исследования по оценке влияния подогрева альтернативных топлив на показатели работы дизеля // Вестник Национального технического университета «ХПИ», Двигатели внутреннего сгорания. - Харьков: 2005. - № 1. - с. 8-17.

3. Bannikov M. G., Tyrlovoy S. I., Vasilev I. P., Chattha A. J. Investigation of characteristics of a fuel injection pump of a diesel engine fuelled with viscous vegetable oil diesel oil blends // Proc. Instn. Mech. Engrs. Part D. Journal of Automobile Engineering,2006. - vol. 270.- № 6. - pp. 787-792.

4. Werner Korbitz. Status and Development of Biodiesel Production and Projects in Europe // SAE Techn. Pap. Ser. - 1995. - № 952768. - pp. 249-254.

5. Craig L. Chase, Charles L. Peterson, Gary Lowe, Paul Mann, Jeffrey A. Smith, Norman Y. Kado. A 322,000 kilometer (200,000 mile) Over the Road Test with HySEE Biodiesel in a Heavy Duty Truck // SAE Techn. Pap. Ser. - 2000. - № 2000-01-2647.- pp. 1-22.

Анализ кинематических параметров и энергетических свойств колёсного

движителя перекатывающегося типа

к.т.н. доц. Сергеев А.И., к.т.н. Есаков А.Е., Круглов С.М., к.ф.-м. н. Чёрный И.В.

Университет машиностроения, Брянский институт управления бизнесом (БИУБ)

(495)223 05 23 доб.1527, 1так ус @татг.ги

Аннотация. Рассматривается связь кинематических параметров и энергетических свойств колёсного движителя перекатывающегося типа. Решается задача о существовании решения для трёхмерной системы «колесо перекатывающегося типа - опорная поверхность» при формировании опорной поверхности. Также устанавливается связь между скоростью движения системы и характером возникающих колебаний, влияющих на плавность хода транспортного средства.

Ключевые слова: колёсный движитель перекатывающегося типа, энергетические свойства, кинематические параметры, обобщённые силы, кинетическая энергия, потенциальная энергия, трансформация связи Основными характеристиками движителя перекатывающегося типа [1], формирующего опорную поверхность движения [2], являются кинематические, динамические и энергетические соотношения, определяющие законы движения каждого звена, а также их амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

Поскольку плоское движение колеса перекатывающегося типа (КПТ) [3] определяется

действием активных сил, являющихся потенциальными Р11 =-—и, где и = и(¿¿2,...ц,5)

йтг

полная потенциальная энергия системы. В этом случае обобщенные силы можно представить в виде (1):

" ¿=1 Щ дЧа дЧа (1)

Так как потенциальная энергия есть функция положения, то имеет место равенство:

ди

— = 0, (а = 1,2,..., 5).

^¿¿а

Исходя из вышеизложенного, уравнение Лагранжа можно записать в виде (2):

— — (Т - и) —— (Т - и) = 0 (2)

— дЧа дЧа

— дЬ дь п ,

или----= 0, (а = 1,2,...,.

— дЧа

Функции обобщенных координат q, обобщенных скоростей ¿1 и времени ? представ-

ляют лагранжиан системы, определяющий её состояние. При этом система находится под действием активных потенциальных сил:

L(q, q, t) = T(q, q, t) - U(q, t). Обобщенные силы для рассматриваемой системы можно представить в виде:

„ dv d dv .

Qa =--+--, (а = 1,2,..., s),

dqa dt dqa

где: V = v(q, q,t) - обобщенный потенциал, зависящий от скорости движения системы.

Тогда функция Лагранжа для рассматриваемой системы определяется как разность кинетической энергии и обобщенного потенциала:

L(q, q, t ) = T (q, q, t ) - v(q, q, t ) . Составим дифференциальные уравнения движения для рассматриваемой системы (рисунок 1), принимая за обобщенные координаты ф1 = q1, ф2 = q2, ф3 = q3

Рисунок 1. Схема формирования опорной поверхности движения колесом

перекатывающегося типа

Определим координаты звеньев колеса перекатывающегося типа

X = /1 cos Ф1з x2 = / cos ф1 +12 cos Ф2, x3 = / cos ф1 +/2 cos Ф2 +/3 cos Фз,

Z1 = /1 sin Ф1з z2 = /1 sin ф1 + /2 sin Ф2, z3 = ^ sin ф1 + /2 sin Ф2 + /3 sin Ф3, где: lj = 2rkj\ /2 = 2rk2; I3 = hk

В этом случае скорости первого, второго и третьего звеньев будут равны:

— Xj ^ ZTj , ^2 = ^ Z2 , = X3 ^ .Z3 .

В общем случае для рассматриваемой системы кинетическая энергия будет равна:

1

(

т = 1Z

2

m,,

к=1

дп

дп

дп

Y

q1 +... + +-

dq dqs dt

После элементарных преобразований и введения обозначений запишем:

Т = Т(2) + Г(1) + Т(0)

1

T (2) =

m,,

к=1

А У

q21 +... +

A j

q2 s + 2

, где:

ôrL dq_ Ôq1 Sq2

.(1) _ ^ ( dru crt

Tw = ^

m

к=1

дп dr . 1

dq1 dt ^ dqs dt

1

qq+...+2

dr.

fy ¿К

8qs_1 8s

qs-a

(3)

■ T 4 = 2 S m [lj.

2

сТ сТ .у .у

С учётом обозначений: а= ^ шк—- ——, Ь =^ дак—-----., функции Т2 и мож-

m я я ¿ oq¿ dq

fy дгк

dq. dt

но записать в форме (4):

1

г(2) = 7ZZ W j' T(1) = Z ЬДг

2 1 j i

(4)

где: а^ и Ъ. - коэффициенты инерции, зависящие от обобщённых координат и времени.

Таким образом, рассматриваемую систему можно представить суммой квадратичной Т(2), линейной Т(1) и нулевой форм относительно обобщённых скоростей:

Т = 2 (т^2 + ^ + ^2), (5)

где: т1 т2, т3 и $2, \)3 - массы и скорости взаимодействующих звеньев колеса перекатывающегося типа.

Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы (рисунок 1) будут иметь вид:

— ВТ ВТ _ , 1 0 . ----= 0<*, (а = 1,2,...я),

— дЧа дЧа

где: да ^) - функции, однозначно определяющие положение системы:

— дТ дТ _ —- п ——- — - п

dt 3ф1 5ф1 В нашем случае:

dt 5ф2 5ф2

dt 5ф3 5ф3

Q1 = - (m1 + m2 + m3) gl1 sin ф1, Q2 = -(m2 + m3)gl2 sin ф2, Q3 = -(m3)gl3 sin ф3 где: Q1, Q2, Q3 - определены, из условий (6):

dT 1

дф 1 дТ дф 2 дТ

аф 3

3v, Зф, dv2 Зф, „ dv3 Зф, 2m1—+ 2m—2—— + 2m 3ф1 dt

3v, Зф2 _ 2m1—1—— + 2m

2m,

Зф 2 dt

3v, Зф3 _ 1 Y3- + 2m

' dq>1 dt

3v 2 Зф 2

2 Зф 2 dt

С^2 Зф 3

+ 2m,

1 Зф 3 dt 2 Зф 3 dt

+ 2m,

дф 1 dt

3v3 ЗФ 2

^Ф 2 dt

3v3 дФ 3

Зф3 dt

(6)

Отсюда имеем определитель системы (7):

(m1 + m2)(g - l1k 2)(g -12k 2)" m2l1l2k 3 =

dT ...0.... ... 0

5ф1'

..0.... dT ... 0

'Зф 2

..0.... ....0... dT

дф 3

dT dT dT 3ф1 Зф2 Зф3

> 0.

(7)

Из (7) следует, что решение, определяющее характеристику движения системы «колесо перекатывающегося типа - опорная поверхность» по схеме рисунок 1 существует.

Главные колебания КПТ складываются из колебаний вращающегося ротора электродвигателя - привода опорно-приводного устройства [1] , его корпуса и обода колеса.

Запишем выражения кинетической энергии и силовой функции для расчётной схемы (рисунок 1).

T = 1 m1 + m2)/12ер;2 + 2m2l1l2 cos (ф1 - ф1 )ф 1ср2 + m2/22ф2 J U = - (m1 + m2 ) gl1 cos ф1 - m2gl2 cos ф2.

(8)

Серия 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели.

Поскольку только один коэффициент инерции a12 = m2l1l2 cos (ф2 -ф1) зависит от обобщенных координат ф1, ф2, то для устойчивого положения равновесия, когда ф1 = ф2, с достаточной для практических расчетов степенью точности можно записать, что m2l1l2 cos(ф2 -ф1) « m2l1l2. В этом случае кинетическая энергия системы будет иметь вид (9):

T = 2 [(mi + m2 ) 112Ф2 + 2m2/1/2^> 1Ф2 + m2l2 Ф2 ] • (9)

Потенциальную энергию разложим в ряд по степеням ф1 и ф2 и, ограничиваясь членами не старше второго порядка малости, запишем:

2 2 2

1 Ф1 1 Ф2 1 Фз

cos ф1 = 1 cos ф2 = 1 cos ф3 = 1 ——,

тогда для малых колебаний силовая функция будет иметь вид (10):

U = 2 (m1 + m2 ) g/1^2 + 2 m2g/2^22. (10)

Полученные выражения кинетической энергии и силовой функции, позволяют составить уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы. Для первой обобщенной координаты ф1 будем иметь:

dL d dL дЬ

— = ( m1 + m2 ) ^Ф1 + т2/1/2Ф 2 , ~Т "Г" = ( m1 + m2 ) /12^Р1 + m2/1/2^P2 , ^ = m1 + m2 ) gh% • оф 1 dt op 1 5ф1

Для второй обобщенной координаты ф2 уравнения Лагранжа будут иметь следующий

вид:

ЙЬ ,, . п. d dL .. 2.. SL

— = m2/1/2ф 1 + m2/2 ф2^ — ^ТТУ = m2/1/2(?1 + Щк^ Т" = ~Щ2gh^ ¿xp2 dt ¿xp оф2

Для третьей ф3 обобщенной координаты запишем уравнение Лагранжа в виде:

— = т3/1/2/3ф 3 + т3/32ф 3,

Ф 3

где: /1 = 2rk{; l2 = 2rk2; /3 = hk •

После выполнения элементарных преобразований уравнения малых колебаний для схемы (рисунок 1) будут иметь следующий вид:

(m1 + m2 + m3) /1ср1 + (m2 + m3 )/2/3cp2 + (m1 + m2 + m3) = 0,

/1^>1 + /2^P 2 + gФ2 = 0, (11)

/1^>1 + /3^>3 + g Ф3 =

Найдём общее и частное решение полученных дифференциальных уравнений в виде:

Ф1 = A sin (kt + s), ф2 = B sin (kt + s), ф3 = C sin(kt + s). Следовательно:

Ф1 = -Ak2 sin (kt + s), (p2 = -Bk2 sin (kt + s), cp3 = -Ck2 sin(kt + s). Подставим значения ф1, ф2, ф3 и (р1, (р2, ф3 в (11) и, приравняв к нулю коэффициенты при sin (kt + s) и после элементарных преобразований, получим алгебраические линейные однородные уравнения (12):

(m1 + m2) (g - /1k2) A - m2/2k2B = 0,

2 / 2\ (12) -/1k2 A + ( g - /2 k2) B = 0.

Эти уравнения относительно коэффициентов A, B должны иметь решение отличное от нуля, поскольку в противном случае ф1 = ф2, что соответствует устойчивому положению равновесия (состоянию покоя), и поэтому определитель этой системы будет равен нулю.

Серия 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели. Определим главные колебания исходя из условия положительно определенной системы

(т1 + т2 )(8 - кк2 ) - т212к2

-l1k2

g - hk k

> 0.

Раскроем определитель и приведем частное к виду (13):

т1/1/2к4 - (т1 + т2) (/1 +12) 2 + (т1 + т2) 82 = 0.

Так как для нашей системы /1 = 2гк1; /2 = 2гк2; то частное решение будет иметь вид (14):

(13)

(rk2 + hk )k4 - (т1 - m2 ) (rki + (rk2 + hk )) gk2 + (mi + m2 ) g2 = 0. Из (14) находим круговые частоты собственных колебаний системы:

ki = (2 -V2) g / rki, k2 = 2+42) g / (^ + hk ).

(14)

(15)

Для получения общего решения дифференциальных уравнений движения системы из (16) определим соотношения амплитуд, которое в общем случае будет равно:

в=

A

rK k2

g-(r^2 + h)k2'

(16)

С учетом (16) получим:

JL = B- =

(2 -42) g

,(2 + V2) g /(r, + hk )

[ g - (r2 + hk )](2 -V2) g / rk1

k = B =__

2 A2 [g - (r, + hk )](2 + 42) g /(r. + hk )■

Выразим B1 и B2:

B = A,

(2 -V2) g

[ g - (r2 + hk )](2 -V2) g / rk1

B =-A2

,(2 -V2) g /(r, + hk )

[g - (r, + hk )](2 + V2)g /(r, + hk ) '

Исходя из вышеизложенного, можно записать общее решение дифференциальных уравнений движения рассматриваемой системы: д = А ип^+в1)+А2 +в2),

(2-42)8 , ГД2 /(г-2 + ^)

Ч2 = А

[g - (r,2 + hk )](2 ~42)g / r,!

sin(k,t+s1) - A2

[g - r + hk )](2 +V2)g /(n + hk )

sin(k2t+s2).

(17)

Произвольные постоянные A1, A2 и s1, s2 определяются из начальных условий.

Если считать, что изначально система «колесо - опорная поверхность» находится в положении устойчивого равновесия и при этом время t0 = 0 и ф1 = 0, ф2 = ф0, ф 1 = 0, ф2 = 0 .

Из вышеизложенного следует, что в начальный момент система - обод колеса и опорно-приводной вал находятся в крайнем нижнем положении. При подведении вращающего момента к опорно-приводному валу - звено l1, перекатываясь по внутренней поверхности обода - звено l2 в момент времени t1 займет положение, при котором система под действием момента силы начнет совершать плоское поступательное движение при наличии сил трения.

Продифференцируем (17) по времени:

q1 = A1k1 cos (k1t + s1) + A2k2 cos (k2t + s2),

q2 = 4

(2-42)g

-cos(k1t+s1) - A2-

1(2-42)g /r + hk)

[g - (rK + hk )](2-42)g / rK 1 1 [g - (r, + hk )](2+42)g /r + hk )

С учетом начальных условий будут иметь:

0 = A1k1 cos s1 + A2k2 cos s 2,

cos(k2t+s2).

(18)

0 = A

(2 -42) g

'[ g - (r,2 + hk )](2 -42) g / r,i

cos s1 - A2

,1(2 -42) g /(rk2 + hk)

[g - г + hk )](2 +V2)g /r + hk)

cos 8,,

и для (17)

r

k

Серия 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели. 0 = A1 sins1 + A2 sins2,

. (2 -V2)g . . r(2-V2)g /(r + hk) .

ф0 = A--- ,--sin s1 - A2-1-^-sin 8з

1 [g-(rk2 + hk)](2-y[2)g/rki 1 ^ [g-(rk2 + hk)](2 + 42)g/(rk2 + hk) 2

Из первых двух уравнений определим coss1 = coss2 = 0 . Следовательно, s1 = s2 = к/2 . Для второй пары уравнений запишем:

0 = A1 sin s1 + A2 sin s2,

A1- A ^ (2■

[ g - r + h )](2-ft)g / \

следовательно,

4^,, . (2 ■ , A2 = (2

4 [g - (% + К )](2-ft)g / r,/ 2 "4 • [g - (rf2 + h, )](2 S)g / r,/

Частное решение для начальных условий будет иметь вид:

qi = Ф0 ----(2 g ^ , /4 (cos^t - cosk2t), 42 = \ Фо (cos Kt + cos V).

[g - (r,2 + hk )](2 W2)g / r,i 1 2

Главные колебания системы запишем в виде (19): <21(1) = A1 sin (k1t + s1), qf =^2A1 sin (k1t + s1), q(2) = A2 sin (k2t + s2), 2) = ~у/2А2 sin (k2t + s2) . (19)

Из (19) видно, что плоское движение системы «колесо - опорная поверхность» (рисунок 1) осуществляется с амплитудами, зависящими от соотношений радиусов тк^ и r^ , а также от величины hk.

Таким образом, проделанный анализ показывает, что кинематические параметры в значительной мере определяют энергоэффективность колеса перекатывающегося типа.

Плоское движение КПТ совершается в основном за счёт внешнего силового гравитационного поля с применением в конструкции колеса опорно-приводного устройства, создающего момент силы путём смещения мгновенного центра давления по ходу движения транспортного средства. Возникающие при этом колебания могут войти в зону резонансных частот, которые отрицательно скажутся на плавности хода транспортного средства. Следовательно, обод колеса целесообразно выполнять из двух беговых дорожек, опорные башмаки которых должны быть смещены друг относительно друга на полшага их опорной поверхно-

Литература

1. Сергеев А.И., Шарипов В.М., Щетинин Ю.С. Колёсный движитель перекатывающегося типа. Патент РФ №2467890. Опубл. 27.11.12. Бюл.№33.

2. Сергеев А.И., Чёрный И.В. Математическая модель формирования опорной поверхности движения колесом перекатывающегося типа. Известия МГТУ «МАМИ» № 2 (6), 2008. с. 74-78.

3. Сергеев А.И. Теоретический анализ плоского движения колеса перекатывающегося типа при формировании опорной поверхности. Известия МГТУ «МАМИ» научный рецензируемый журнал. - М., МГТУ «МАМИ», № 2 (14), 2012, Т.1, 430 с.

Проектирование и изготовление стенда для имитации движения транспортного средства с приводом от электродвигателя

к.т.н. проф. Серебряков В.В., к.т.н. Баулина Е.Е., Кондрашов В.Н.

Университет машиностроения 8(495)223-05-23 (1013) vvs@mami.ru

Аннотация. В статье описаны этапы проектирования, конструктивные и технологические решения при изготовлении агрегатов стенда для имитации движения