CC BY
13
АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
ГОЛЬДШТЕИН Ю. Б., к-т техн. наук, профессор Петрозаводский государственный университет, 185910, Петрозаводск, пр. Ленина,33, кафедра механики
Решается задача устойчивости упругой конструкции с односторонними связями, находящейся под воздействием консервативных и активных сил, или имеющей начальные несовершенства. На примере системы с двумя степенями свободы показано, что анализ равновесных состояний таких конструкций требует в общем случае обращения к решению нелинеаризованной задачи устойчивости.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: рабочая система, нелинеаризованная задача, параметр на-гружения, перескок.
Рассматривается задача устойчивости упругой конструкции с односторонними связями, к которой приложена консервативная параметрическая нагрузка. Кроме того, конструкция подвержена действию активных сил и/или имеет начальные несовершенства. Во многих случаях анализ равновесных состояний таких систем требует обращения к решению нелинеаризованной задачи устойчивости, что демонстрируется ниже на примере системы с двумя степенями свободы.
На рис. 1, а изображена конструкция с двумя жесткими односторонними связями, воспринимающими только сжатие. Нагрузки Р и Q пропорциональны параметрам X и ц соответственно. Первую из них принято называть параметрической, а вторую - активной [1]; история приложения этих нагрузок весьма важна. Сказанное далее относится к случаю, когда сила Q прикладывается до потери устойчивости конструкции. Через г на рисунке обозначена жесткость линейно уп-
ругих пружин, равная реактивному моменту, который возникает при взаимном повороте на единицу соединяемых пружиной элементов. На рис. 1, Ь приведены возможные рабочие системы рассматриваемой конструкции.
р=х'г
а)
Ь)
0=2^
н
2
т 1/2
1/2
\р © р
¡A R
/ А
Q /
R
<Хв
Рис. 1. Исследуемая конструкция и ее рабочие системы
При ц = 0 решение линеаризованной задачи устойчивости для данной конструкции было дано в статье [2]. Оказалось, что отклоненные состояния равновесия поддерживаются первой (Я > 1) и второй (Я > 2,5) рабочими системами, тогда как рабочая система 3 не имеет нетривиальных равновесных форм, согласованных с характером односторонних связей. Конструкция теряет устойчивость при X = 1 тогда, когда теряет устойчивость ее первая рабочая система.
Чтобы решить задачу при наличии активной нагрузки, придется от допущения о малости перемещений ф и ф2 отказаться. Поскольку рабочие системы 1 и 2 отличаются от рабочей системы 3 только наличием дополнительных связей, имеет смысл записать необходимые условия экстремума полной потенциальной энергии П именно для рабочей системы 3 с тем, чтобы несложной корректировкой полученных для нее соотношений переходить к уравнениям состояния рабочих систем 1 и 2. Из рис. 2 видно, что
П = 0,5r [(ф1 + ф2)2 + ф2] -Я r (2 - cosф1 - cos ф2) -ц r (2sin ф2 - sin ф1).
Тогда
-^П = r(ф1 +ф2 -Я8Шф1 +ЦС08ф1), 5ф1
ап
= r(ф1 + 2ф2 - Яsinф2 - 2цс08ф2),
а2п
= r (1 - Яcosф1 - ^sin ф1),
а2п аф2
аф2
= r (2 - Яcosф2 + 2^sin ф2),
а 2П
- = r.
(1)
5ф2 5ф2 5ф15ф2
Необходимые условия экстремума функционала П таковы: ф1 -Я sin ф1 + +ф2 = 0, 1 ф1 -Я sin ф2 - 2цcosф2 +2ф2 = 0. J
Уравнения, определяющие состояние рабочей системы 1, получаются при отбрасывании второго из уравнений (2), исключением двух последних соотношений из формул (1) и с учетом того, что ф2 = 0:
(2)
а2п
Я sinф-ф= цcosф, —— = r (1 -Яcosф-ц sinф).
аф2
(3)
При ц = 0 и сколь угодно малом значении перемещения ф следует упомянутый выше результат: Хкр = 1. Но если активная нагрузка присутствует, то при малом наклоне верхнего стержня равенство (3)1 примет вид:
(Я, - 1)Ф = ц.
Следовательно, первая рабочая система не может находиться в состоянии равновесия до тех пор, пока параметр нагружения X меньше единицы. Возникает вопрос: об устойчивости какого положения равновесия следует вести речь? Хотя бы по этой причине целесообразно об, ращение к постановке задачи, учитывающей большие (конечные) перемещения системы.
Необходимым условием равновесия рабочей системы 1 является не только соблюдение равенства (3)ь но и требование замыкания второй односторонней связи, т. е. неотрицательности реакции Я (см. рис 1, Ь). Эта реакция определяется равенством, вытекающим из условия равновесия ТМС = 0:
Я = г[А,зшф- |а,(2 + совф)] / /.
ö= /(2-coscp-cos{p7)
Отсюда с учетом формулы (3)1 следует Дк1=0,5г(8ш<р1-2зтф1) Я = г(ф- 2|0.) //.
Рис. 2. Рабочая система 3 Таким образом, нетривиальное положение равновесия рабочей системы 1 возможно лишь при ф > 2ц .
Остается проверить, когда допустимые положения равновесия рассматриваемой рабочей системы устойчивы. Для этого формулы (3) удобнее представить
в виде:
ф+Ц cosф sin ф
д 2П дф2
r^Шф - ц - фCOSф) sin ф
(3а)
после чего найти на интервале 2ц < ф < % корень ф * уравнения
sin ф-Ц-фС08ф= 0.
(При ф = п система устойчива, ибо стержень AB растянут, а стержень BC неподвижен; состояния равновесия при ф>7г неинтересны.) у
Можно проверить, что первая производная от параметра (3a)i по аргументу ф обращается в нуль в той же точке ф*, в которой становится равной нулю вторая производная от энергии П. Следовательно, на интервале ф е [2ц 7г] параметр нагружения X минимален в min X = А(ф*) = X * . Это означает, что
точке ф = ф*:
указанный интервал изменения перемещения ф может т, . _
* Рис. 3. Смена равновесных
быть разбит на зону [2|0, ф*] неустойчивых состояний состояний при перескоке
равновесия и зону [ф * л] устойчивых состояний равновесия первой рабочей
системы:
1) 2ц < ф< ф*, Ц(2 + c0s2^ 2) ф* <Я<%, А*
sin2ц
(4)
Величины ф * и X *, зависящие только от параметра ц, могут быть найдены численно. Например, при ц = 0,5
1)1 <ф< 1,20249, 1,50944 >Х> 1,48189; 2)1,20249 <Х<л, 1,48189 <Х<<х> (4а)
Таким образом, говорить о потере устойчивости рабочей системы 1 можно лишь в том аспекте, что каким-то образом удалось реализовать неустойчивое равновесное состояние, которому отвечает точка 1 на нисходящей ветви кривой Х(ф), после чего происходит перескок в устойчивое состояние, характеризуемое точкой 2 на восходящей ветви той же кривой (рис. 3).
Аналогично исследуются состояния второй рабочей системы. Теперь ф = ф2 = ф и активна только первая односторонняя связь, реакция R которой не может быть отрицательной (см. рис. 1 и 2). Единственное уравнение состояния рабочей системы 2 получается сложением равенств (2). Другими словами,
а2п
5ф-2Я 8Шф-ц со8ф= 0, —— = r (5 - 2Я со8ф + ц sin ф). (5)
5ф2
Реакция R, определяемая условиями равновесия отсеченного стержня AB, такова:
R = — 21
ф
Г ЗЦ-^-г . (6)
cos9
Видно, что эта реакция положительна лишь тогда, когда
3Ц>-^-. (7)
cos9
При ц = 0 из формулы (5)i немедленно следует решение линеаризованной задачи: Якр = 2,5. Для анализа равновесных состояний в случае ц^ 0 и конечных перемещениях соотношения (5) удобнее записать иначе:
5ф-цcosф а2п 5 sin ф-5ф cosф + ц
Я =-, —— =-. (5а)
2sin ф 5ф2 sin ф
Сила Р направлена вертикально вниз, т. е. Я > 0 . По первой из формул (5а) видно, что это возможно лишь тогда, когда 5ф-цcosф> 0. Знаку равенства в этом условии отвечает загружение конструкции только активной силой Q, а потому корень ф0 уравнения 5ф - ^cos9 = 0 есть не что иное, как наименьший угол наклона жестких стержней второй рабочей системы, находящейся в состоянии равновесия. Верхнюю границу параметра ф определяет корень ф** уравнения ф- 3цcosф = 0, диктуемого условием (7). На интервале фе [ф0 ф**] обе функции (5а) положительны, так что состояния равновесия системы на указанном интервале изменения перемещения ф устойчивы. Другими словами, устойчивые положения равновесия второй рабочей системы возможны при
ф0 <ф<ф**, 0<Я<Я**, (8)
где Я ** = Я(ф * *). В частности, при ц = 0
0,019996 <ф< 0,914856, 0 <Я< 2,693668. (8а)
Из формул (6) и (5,а) видно, что при ф> л /2 величины R, Я и П" положительны при любом неотрицательном значении параметра ц . Если же ф = л / 2, то согласно зависимости (5а)1 Я = 5л /4. Это означает существование устойчивых состояний равновесия рабочей системы 2 на интервале
л /2 <ф<л, 5л /4 <Я<<х>.
Особого интереса эти состояния не вызывают.
Если, вернувшись к рассмотрению линеаризованной задачи, записать форму-ц r
лы (5)1 и (6) в виде ф = —-—, R = — (3 ц - ф), то тут же можно установить, что
5 - 2Я 21
r=ц rríZ-H.
l(5 - 2Я)
Следовательно, при Я> 7/3, но Я< 5/2, реакция R отрицательна, а потому согласно решению линеаризованной задачи равновесные состояния на интервале 2,333333 <Я<2,5 изменения параметра нагружения невозможны. Однако за
пределами указанного интервала рабочая система 2 дееспособна. Такого рода «мертвые зоны» обнаруживаются при решении не только этой, довольно простой задачи, выполненном в предположении о малости перемещений. Сам факт появления таких зон должен рассматриваться как свидетельство в необходимости отказа от линеаризации.
Итак, на верхних границах интервалов (8), т. е. при ф = ф**, X = X**, реакция R обращается в нуль и обе односторонние связи становятся неактивными. Именно такие состояния конструкции поддерживает рабочая система 3. К рассмотрению ее равновесных состояний и следует теперь приступить.
При малых перемещениях ф! и ф2 уравнения состояния (2) становятся линейными (см. рис. 1 и 2):
(1 - Х)ф1 + ф2 = | Ф1 + (2 -Х)ф2 = 2ц. ]
Решение этой системы единственно:
X-4 3 - 2Х
ф2 . (9)
Найденные перемещения неограниченно возрастают при
2(3 + 75), Х1 <х 2,
Х1,2 = 2 (3 +
поэтому Хкр = Хь Такой же результат был получен и в статье [2], в которой рассматривалась та же самая конструкция при отсутствии активной нагрузки и при малых перемещениях. Было также отмечено, что собственные векторы, отвечающие собственным значениям Х^, в рабочей системе 3 реализоваться не могут (противоречат характеру односторонних связей), а потому данное решение отбрасывалось. Однако наличие активной нагрузки меняет дело. При помощи формул (9) можно убедиться, что требования ф2 > 0 и ф1 -ф2 > 0 функционирования рабочей системы 3 выполняются в диапазоне 1,5 <Х< 0,5(3 + л/5) изменения параметра нагружения и любом положительном ц. На верхней границе указанного интервала перемещения ф! и ф2 становятся бесконечно большими, поэтому следует положить, что Хкр = Х2.
Описанные результаты в ходе решения нелинеаризованной задачи подтверждаются только частично. Точнее, подтверждается только тот факт, что при ц = 0 нетривиальные положения равновесия рабочей системы отсутствуют: нелинейные уравнения (2) в этом случае имеют лишь нулевое решение.
Если же ц Ф 0, то простой подстановкой можно проверить, что системе (2) удовлетворяют два следующих решения:
ц(2 + cos2ц)
(а) ф1 = 2ц, ф2 = 0, Ха =
(Ь) ф1 = ф2 = ф = 3цcosф, X ь =
sin2ц
5ф-ц cosф
2sin ф
возвращающих нас к решениям (4), (7), (5а), полученным при анализе равновесных состояний рабочих систем 1 и 2. Кроме этих решений имеется множество решений
2ц > ф1 >ф**, 0 <ф2 <ф**, Ха < X < X **, (10)
которые можно найти численно. Границы интервалов (10) зависят от значения параметра ц. Например, при ц = 0,5:
1 >ф1 > 0,914856, 0<ф2 <0,914856, 1,509441 2,693688. (10а)
Видно, что истолкованное при решении линеаризованной задачи устойчивости значение Я = Я2 = 2,618034 как критическое на самом деле является рядовым. Но более важно, что на всем интервале (10) вторая производная от энергии П по переменной ф! отрицательна (см. формулу (1)1), что говорит о неустойчивости любых равновесных состояний рабочей системы 3.
После всего сказанного выше механизм потери устойчивости рассматриваемой конструкции становится ясным. Ниже он комментируется для случая ц = 0,5. Если после приложения силы Q нагрузка Р наращивается плавно, то рабочая система 2, воспринимающая такое воздействие, будет столь же плавно деформироваться вплоть до достижения параметром Я значения 2,693688. По достижению этого значения обе односторонние связи станут пассивными, т. е. конфигурация конструкции станет исходной для рабочей системы 3. Но так как рабочая система 3 устойчивых равновесных состояний не поддерживает, произойдет перескок к конфигурации рабочей системы 1. Перемещение ф2 остается равным нулю, а перемещение ф! скачкообразно меняет свое значение 0,914856 на 2, 317132, ибо именно при таком угле поворота стержня АВ рабочая система 1 находится в состоянии устойчивого равновесия при ц = 0,5 и Я = 2,693688.
Однако перескок из любого устойчивого состояния равновесия рабочей системы 2 в устойчивое состояние равновесия рабочей системы 1 может случиться в любой момент времени, как только параметр нагружения достигнет значения Я * . Это произойдет при условии, что появится приток энергии извне (вследствие случайного импульса, например) или сыграют свою роль начальные несовершенства. Стало быть, силу Р* = Я * г /1 можно квалифицировать как нижнюю критическую силу рассматриваемой конструкции, а силу Р ** = Я**г /1 - как верхнюю критическую силу (при ц = 0,5 будет Я* = 1,481885, Я ** = 2,693688).
Обращает на себя внимание тот факт, что воздействия Р* и Р** не являются критическими силами ни для одной из рабочих систем. Более того, ни одна рабочая система сама по себе устойчивости не теряет вообще, хотя перескок и произошел именно в ту рабочую систему, которая теряет устойчивость при отсутствии активной нагрузки. Следует отметить, что о принципиальной возможности потери устойчивости конструкции с односторонними связями при силе, не являющейся критической для любой из рабочих систем, говорилось еще в работе [3].
Итак, в общем случае решение линеаризованной задачи устойчивости для конструкции с односторонними связями может оказаться неудовлетворительным. Но ясно и то, что даже при довольно невысоком числе степеней свободы решение нелинеаризованной задачи весьма громоздко, строить его приходится численно, как правило, шаговыми методами, сходимость которых в случае конструктивной нелинейности, на которую накладывается геометрическая нелинейность, исследована недостаточно. Поэтому там, где это возможно, решать надо линеаризованную задачу. Если же в ходе ее решения обнаружится отсутствие невозмущенных форм равновесия или наличие зон, названных выше мертвыми, то переход к решению нелинеаризованной задачи неизбежен.
Имеется еще один чисто внешний признак, указывающий на возможность решения задачи устойчивости конструкции с односторонними связями в самой простой постановке. В рассмотренном выше примере активная нагрузка играет стабилизирующую роль: она препятствует отклонению конструкции в допускаемых односторонними связями направлениях (см. рис. 1). Будь эта нагрузка направлена иначе (например, если бы решалась задача при ц < 0), то роль нагрузки изменилась бы на дестабилизирующую. Задача устойчивости конструкции с 44
односторонними связями при дестабилизирующей активной нагрузке может быть решена в линеаризованной постановке.
Л и т е р а т у р а
1. Ржаницын А. Р. Устойчивость равновесия упругих систем / А. Р. Ржаницын. -М.: Гостехиздат, 1955. - 248 с.
2. Шулькин Ю. Б. Об устойчивости систем с односторонними связями / Ю. Б. Шулькин // Исслед. по теорет. основам расчета строит. конструкций: Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ. - Л.: Изд-во ЛИСИ, 1983. - С. 28-31.
3. Ляхович Л. С. Метод отделения критических сил и собственных частот упругих систем / Л. С. Ляхович. - Томск: ТГУ, 1970. - 192 с.
EQUILIBRIUM STATE ANALYSIS OF A SYSTEM WITH UNILATERAL CONSTRAINTS BY FINITE DISPLACEMENTS
Yu. B. Goldshtein
A stability problem for an elastic structure subjected to conservative and active forces is considered. The structure has unilateral constraints and initial imperfections. An example of a system with two degrees of freedom shows that in general case, the analysis of stable states of such structures may be performed only on the basis of a non-linearized problem of stability.
KEYWORDS: Working system, Non-linearized problem of stability, Loading parameter, Bifurcation.
Hh -0- -0-
