CC BY
13
Строительство и архитектура
УДК 624
ВОЗМОЖНЫЕ ПОСТАНОВКИ БИФУРКАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В РАСЧЕТАХ
КОНСТРУКЦИЙ
Г.М. Муртазалиев Дагестанский государственный технический университет, г. Махачкала
В строительной механике устойчивостью принято называть свойство сооружений или отдельных её элементов сохранять в течении всего срока эксплуатации своё первоначальное положение и соответствующее учитываемым в расчётах внешним воздействиям исходную форму равновесия при любых относительно небольших возмущениях. Это свойство при росте внешних воздействий основного процесса часто не является безграничным и при достижении параметрами нагрузок критических значений происходит потеря устойчивости исходных равновесных форм.
Потеря устойчивости, как явление природы, отличается большим разнообразием, с конкретными типами проявлений в зависимости от вида конструкции и характера внешнего воздействия на нее. Поскольку теория устойчивости конструкций разрабатывается на протяжении такого же времени, что и общая теория упругости, то в ней существуют различные классификации типов явлений неустойчивости, критерии и методы решения задач.
Для получения полной и достоверной информации о поведении под нагрузкой рассчитываемых конструкций следует рассматривать всю историю процесса нагружения и деформирования с анализом всех характерных особенностей, что возможно только при учете различного вида нелинейностей в расчетах.
В настоящее время в нелинейной строительной механике при расчете конструкций учитываются физическая, геометрическая, конструктивная, приобретенная нелинейности и их различные комбинации [5,6,7].
Физическая нелинейность связана с отказом от закона Гука и принятием более сложной нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями. Постановка и решение задач, особенно задач устойчивости, различно и в зависимости от упругой или неупругой работы материала [3,4].
Геометрическая нелинейность обусловлена большими перемещениями системы под нагрузкой и связанной с этим многозначностью решений при одних и тех же значениях нагрузок. Полученные равновесные состояния рассматриваемой механической системы могут быть устойчивыми или неустойчивыми. Конструктивная нелинейность связана с включением или выключением связей в некоторые моменты деформирования конструкции, наличием односторонних связей и т.д. Приобретенная нелинейность может трактоваться как нелинейный процесс изменения физических и геометрических параметров конструкций в результате взаимодействия с внешней средой и функционально зависящей от напряженно-деформированного состояния. К таким процессам относятся коррозия материала, "выгорание" толщины тепловыми и радиационными воздействиями и т.д.
Многообразие постановок, упрощений и методов решения нелинейных краевых задач расчета конструкций, с учетом одного или одновременно нескольких указанных нелинейностей, как бы размазало различные постановки, критерии и методы решения задач устойчивости. Во многих случаях, решение задачи устойчивости завуалировано в решении самой исходной нелинейной задачи, очень часто, без обоснования соответствующего критерия. Все это создает иллюзию того, что при решении нелинейных задач, особенно при решении геометрически нелинейных задач, вопросы устойчивости получаемых равновесных состояний как бы решаются автоматически. Об особенностях одного типа таких расчетов, а
именно об особенностях так называемых "деформационных расчетов" подробно изложено в книге Я.Г. Пановко и И.И. Губановой [8].
Еще более запутаны постановка и критерии упруго-пластических задач устойчивости деформируемых систем [4,5]. При этом, как отмечается в работе [5], к задачам устойчивости и особенно к критериям устойчивости должного внимания почти не уделялось.
В традиционной или классической постановке бифуркационных задач теории упругой устойчивости исходят из допущения, что докритическое напряженное состояние, т. е. состояние до потери устойчивости, определяется уравнениями линейной теории упругости и пренебрегают изменениями, происходящими в самой системе.
В нелинейных задачах, в которых учитываются те существенные изменения, претерпеваемые конструкцией в процессе нагружения, интуитивное определение основного процесса, исходных равновесных форм и их состояний, являющихся первыми элементами логической схемы исследования задач устойчивости затруднительно, что может служить основанием для недоразумений. Поэтому, впредь будем придерживаться определений данных в работе [4], конкретизировав их для рассматриваемых в данной работе задач: условимся называть выделенный определенным образом внутренний процесс основным, равновесные формы этого процесса, устойчивость которых контролируется - исходными, а продолжение, предписываемое этим процессом, - основным продолжением. Другие продолжения и формы будем называть побочными.
С учетом отмеченного, кроме классификации нелинейных краевых задач принятой в нелинейной строительной механике и подробно изложенной в работах [1,2,7], в бифуркационных задачах возможны следующие постановки (рис. 1^5)
- линейный основной процесс и линеаризованная постановка задачи устойчивости исходной равновесной формы основного процесса (классическая постановка), определяющая точку бифуркации (ветвления) исходной равновесной формы основного процесса, соответствующего значения параметра критической нагрузки и, с точностью до масштаба, собственную функцию задачи, описывающую конфигурацию системы в момент потери устойчивости - 1 тип задач;
- линейный основной процесс и нелинейная постановка задачи устойчивости исходной равновесной формы основного процесса, позволяющая дополнительно выявить "природу" критической точки бифуркации, а следовательно, и характер начального этапа послекритического (после ветвления равновесных форм) деформирования конструкции - 2 тип задач;
- нелинейный основной процесс, учитывающая изменения, происходящие в системе в основном процессе и линеаризованная постановка задачи определения критических нагрузок бифуркации путем отыскания точек бифуркаций на кривых или поверхностях равновесных состояний, без выявления "природы" этих точек - 3 тип задач;
- нелинейный основной процесс и нелинейная постановка задачи устойчивости исходных равновесных форм основного процесса, выявляющая "природу" точки бифуркации (ветвления) исходных равновесных форм основного процесс, характеризующей начальный этап послекритического поведения конструкции - 4 тип задач.
I - устойчивые (I' - неустойчивые) равновесные состояния исходной формы основного процесса;
II - устойчивые (II' - неустойчивые) состояния исходной формы линейного основного процесса;
III - устойчивые (III' - неустойчивые) состояния исходной формы нелинейного основного процесса;
IV - равновесные состояния нелинейного деформирования и нелинейных последующих бифуркаций;
а-а - состояния устойчивой послебифуркационной равновесной формы побочного процесса;
б-б, а-б, б-а, -- неустойчивые послебифуркационные ветви; А, С - предельные точки; В - точка бифуркации (ветвления).
Рисунок 2. Топология энергетической поверхности для 1 типа задач
Рисунок 3. Топология энергетической поверхности для 2 типа задач
Рисунок 4. Топология энергетической поверхности для 3 типа задач
Библиографический список:
1. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике //Проблемы устойчивости в строительной механике. - М.: Стройиздат, 1965. -С. 6-27.
2. Броуде Б.М., Бельский Г.И., Беляев Б.И. О потере устойчивости как предельном состоянии стальных конструкций //Строит. механика и расчет сооружений. -1990. -N3. -С.88-91.
3. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. - М.: Наука, 1980.249 с.
4. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. -М.: Изд-во МГУ, 1986. -224 с.
5. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики.- М.: Стройиздат, 1978. -
208 с.
6. Муртазалиев Г. М. Методы теории катастроф в задачах устойчивости оболочек. Махачкала, ДгТУ, 2004. -176 с.
7. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.- Л.,- М.: Гостехтеориздат, 1948. - 333 с.
8. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы.-3-е изд., перераб.-М.: Наука, 1979. -384 с.
