Методы теории катастроф в анализе нелинейных задач стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 23, 2011 4.

-\-

УДК 539,3:624,04

Г.М. Муртазалиев, С.В. Гусейнова. МЕТОДЫ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В АНАЛИЗЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

G.M.Murtazaliev, S.V.Gusejnova. METHODS OF THE CATASTROPHE THEORY IN THE ANALYSIS OF NONLINEAR PROBLEMS OF ROD SYSTEMS

Одной из перспективных теорий, интенсивно развивающейся и широко популярной не только в самой математике, но и в самых различных областях науки, ставшей в последние годы эффективным и полезным средством анализа многочисленных разрывных явлений природы является прикладная математическая теория - теория катастроф. В статье рассматривается алгоритм приложения методов этой теории для анализа поведения стержневых систем.

Ключевые слова: нелинейные задачи, теория катастроф, ферма Мизеса, критическая нагрузка, потенциальная энергия, особые точки, «сборка».

One of the perspective theories intensively developing and widely popular not only in the mathematics, but also in the most various fields of the science which have become last years by effective and useful means of the analysis of numerous explosive natural phenomena the applied mathematical theory - catastrophe theory. In article the algorithm of the appendix of methods of this theory for the analysis of behavior of rod systems is considered.

Keywords: nonlinear problems, catastrophe theory, a truss of Mizesa, critical loading, potential energy, special points, "assemblage".

Появление новых высокопрочных материалов приводит к созданию тонкостенных систем в различных областях современной техники, особенностью поведения под нагрузкой которых является склонность к большим перемещениям и связанная с их учетом в расчетах многозначность решений соответствующих нелинейных уравнений. Естественно в каждой конкретной ситуации, практически реализуется одна из них.

Трудности решения нелинейных задач заключаются в том, что они связаны с необходимостью анализа разрывных явлений, происходящих при плавном и непрерывном изменении значений параметров самих конструкций и внешних воздействий. Механически эти разрывные явления проявляются в виде скачкообразных и внезапных переходов рассматриваемой системы из одного возможного равновесного состояния в другие состояния, соответствующие значения нагрузок называются критическими.

Точных аналитических методов, дающих в замкнутом виде полное множество решений нелинейных краевых задач с параметрам, нет, все имеющиеся результаты получены на основе тех или иных приближенных методов. С помощью этих методов и разработанных на их основе программ удается определить расчетным путем напряженно-деформированные состояния сложных конструкций с требуемой в инженерной практике точностью.

В тоже время будет нельзя преувеличивать роль приближенных и численных методов. Вопреки распространенному мнению, вычислительная машина не может заменить инженерной интуиции и опыта исследователя. Очень часто за трудоемкостью численных процедур, не обладающих общностью и не позволяющими охватить работу конструкции в "целом", утрачивается физический смысл решаемой задачи и слепая вера в результаты машинного счета при проектировании различных конструкций становится причиной их последующих аварий.

Поэтому наличие широкого комплекса численных методов, позволяющих

преодолеть известные вычислительные трудности, не исключает насущной необходимости дальнейших поисков и разработки эффективных аналитических методов решения нелинейных краевых задач, связанных с разрывными явлениями, которые хуже поддаются анализу традиционными методами. Одной из теорий является теория катастроф [1-4].

Методы этой теории полезны в задачах с разрывными явлениями, заключающимися в том, что при непрерывном изменении параметров, описывающих рассматриваемый процесс или явление устойчивый вначале процесс становится при определенных значениях этих параметров неустойчивым, гладкие изменения параметров вызывают скачкообразные и внезапные качественные переходы, природа которых может быть самой различной. Эти внезапные изменения называются "катастрофами", подчеркивая тем самым, что имеется резкая и драматическая перемена в поведении рассматриваемой системы.

Методы теории катастроф непосредственно применимы к решению задач, в которых минимизируется или максимизируется некоторая функция. Поскольку изучение вопросов равновесия и устойчивости равновесных форм механических систем сводится к анализу локальных свойств потенциальной энергии, то для исследования этих вопросов широко используются методы теории катастроф. Не вдаваясь в подробное описание основ и методов данной теории можно отметить, что в используемом в данной работе варианте - эта теория об изучении качества равновесных состояний нелинейных стержневых систем, описываемых выражением потенциальной энергии, которые могут быть устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от изменения значений параметров самих конструкций и внешних воздействий.

В качестве примера решены две модельные задачи -анализ поведения сжатого стержня и анализ поведения под нагрузкой симметричной двухстержневой системы, представляющей упрощенный вариант фермы Мизеса [3, 5, 7].

Рассмотрим известную задачу Эйлера, об исследовании поведения сплошного шарнирно-опертого по концам стержня длиной L, нагруженного осевой сжимающей силой Р, сохраняющей свою величину и направление при деформации стержня. Выбор связан, прежде всего, с тем, что именно с этой задачей связано возникновение и последующее развитие всей теории устойчивости упругого равновесия и как отмечают авторы книги [2]: ... "все новые продвижения в теории упругости, аналитические и численные, вначале проверялись на этом испытанном фаворите, именно по той причине, что этот пример столь хорошо понят, что может пролить свет на новые методы".

Составим выражение полной потенциальной энергии Э при переходе стержня из основного (исходного) в смежное изгибное состояние равновесия, равное сумме потенциальной энергии деформации изгиба и и потенциала внешней силы П:

Э = и + П, (1)

где

и

1Е1 \х2 (х

2 (

г0,5

Х = ( атсБтК ' = V "-(1 - V '2 )" Х (x V '

Потенциал внешней силы (рис.2.2)

п = - р ■ д = - р -(ь - ь)=- р ■

ь -Д1 - V '2 )0,5 (х

(2)

(3)

(4)

В приближенном решении, когда рассматриваются малые отклонения стержня от прямолинейного положения равновесия целесообразно выражение (3) и (4) разложить в

о

0

ряды по степеням координат V и их производных.

Подстановкой (3) в (4) и последующем разложениям получим для энергии деформации U выражение:

и^Е^ +г*. V +г» • V+> (5)

Получим

П = - Р■

Ь -|(1 - V'2 )0,5 йх

=- Р Ь

с V '2 V '4 V '6

2

+ ■

+ ■ 8 16

+

йх.

(6)

0V ~ у

C учетом (5) и (6) выражение (1) представим в виде

Э=IЕ! } (V- + V- . V'2 + V- . V-4 +>-

0

РI 2 1

7 V V '2 +к

г4

V

4

+ ■

V

г6

\

8

+...

йх.

(7)

Согласно энергетическому подходу в состояниях равновесия полная потенциальная энергия Э консервативной системы имеет стационарное значение, а устойчивым состояниям равновесия соответствуют минимальные значения Э.

Обычно для решения данной задачи пользуются методом Рэлея-Ритца, в котором задается некоторая изгибная форма стержня, удовлетворяющая геометрическим граничным условиям задачи с произвольной амплитудой А. В качестве такой формы изгиба выбирают половину синусоиды

V = А ■ Бт

V Ь у

(8)

Постановка (8) в (7) и последующее интегрирование дает выражение для полной энергии

Э =1Е1 2

Р 2

А^Л4 п

V Ь у

(п)

V Ь у

■Ь ■ А2 + 2

А^Л6 п

Ь У

Ь4

— А +...

8

Ь 2

■ А2 +

(п)

V Ь у

4

3Ь .4

--А +.

32

(9)

В рамках линейной теории ограничиваются рассмотрением квадратичных относительно А членами в выражении (9), т.е. рассмотрением выражения

Э=1 2

ГттЛ2 п

V ь у

Ь

2

Е!

2

п

Ь У

- р

А2.

В равновесных состояниях должно выполняться условие:

йЭ йх

/Л2

п

V Ь у

Ь ' 2 '

Е!

2

п

V Ь у

Р

А = 0.

(10)

(11)

Такой анализ дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости исходной формы равновесных состояний при определенных значениях нагрузок, определить их

0

0

критические значения, и с точностью до масштаба, соответствующие им собственные функции. Но ни тип самой точки бифуркации, а следовательно и возможности стержня при Р=Рсг, ни характер его послекритического поведения, т. е. при Р несколько большем, чем Рсг, остаются невыясненными. Для ответа на эти вопросы следует решить задачу с учетом слагаемых более высокой степени в разложении (9) или же с самого начала решить нелинейную исходную задачу, что неэлементарно и довольно сложно.

Установление типа неустойчивости исходных равновесных состояний и выяснение характера послекритического (послебифуркационного) поведения упругих систем является сложной и в тоже время важной с практической точки зрения задачей, решение которой позволяет установить соотношение между бифуркационной и предельной нагрузками и расширяет сложившееся представление об устойчивости конструкций.

Установлена определенная связь типа неустойчивости системы с типом критической точки бифуркации и характер послекритического поведения системы может быть предсказан на основе установления типа этой точки, для чего следует изучить качество разновесных форм вблизи точки бифуркации [9].

Для решения этой задачи представим выражение полной потенциальной энергии (9) в виде ряда, в котором удержаны слагаемые до четвертой степени включительно:

Э =--

2 2

1 Ь Л

V Ь у

(Рсг - Р)

+

/л2 л

V Ь у

1 4

3

л

Р --Р

сг 4

■ ^

у

■ ^

(12)

где Р = Е1

/Л2

л

V Ь у

критическое значение параметра нагрузки.

Из условия стационарности (12) определяем равновесные состояния стержня, а исследуя знак второй производной (12) устанавливаем какие из этих состояний устойчивы:

(Э

т /^л ь л

(А 2

( 2 Э

V Ь у

(Рсг - Р)+ 1

2

л

2

ь

Г

Р„

т С ь л

((А'

2

V Ь у

(Р

Р) + -2

1 С 3 (л

у V 2

ь

V ь у

Р.,

V

- РЛ 4 у

- РЛ 4 у

А2

А2

А = 0, (13)

0, (14)

Из уравнения (13) следует, что возможны следующие решения: А=0 тривиальное решение, соответствующее прямолинейной исходной равновесной форме; отличные от нуля решения получим, приравнивая нулю выражение, стоящее в квадратных скобках уравнения (13), откуда

А = ±

2

2

Ул у

(Р - Рсг )

(Рсг - 0,75Р).

(15)

Из (15) следует, что действительные значения А при исходном выражении энергии по (12) возможны при:

4

Р <Р<-Р

сг ,-^ сг

Пока Р<Рсг возможна только исходная равновесная форма с неискривленной осью. Поскольку при этом вторая производная Э по А положительна.

(1Э Ь(лЛ

(А'

2

V Ь у

■ (Рсг - Р) > 0, то это форма устойчива.

При Р>Рсг, исходная равновесная форма (А=0) - неустойчива. Подставляя (15) в (14),

2

2

2

2

после некоторого упрощения получим значение второй производном равное

й 2 Э

2

(Рсг — Р)-, которое при Р>РСТ положительно. Таким образом, при Р<РСТ

Ь

устойчивой равновесной формой является исходная прямолинейная форма стержня; при Р>РСТ устойчивой формой является изгибная форма, определяемая выражением (8) с амплитудой А, вычисляемой по (15).

Остается невыясненным качество равновесного состояния в самой критической точке (при Р=РСТ). В этом случае из (13) получаем

, л

йЭ 1 Ь ........

...... (16)

йА 4 4

V Ь

■ Р ■ А = 0.

Это условие выполняется только для значений А=0, т. е. возможной равновесной формой является прямолинейная исходная форма равновесных состояний.

Выясним качество этой равновесной формы, для чего определим значения последующих производных выражения (12) при Р=Рсг:

й 2 Э _ 3 Ь —

йА2 = 4 4 ^ V Ь )

й 3Э _ 3 Ь —

йА3 = 2 4 ^ V Ь ,

й 4 Э _ 3 Ь —

йА4 = 2 4 ^ V Ь )

Р ■ А = 0;

сг '

Р ■ А

сг

Рсг > 0.

0;

(17)

(18) (19)

Первая, не равная нулю производная - четного порядка, следовательно рассматриваемая равновесная форма (А=0) при Р=Рст устойчива. Имеем критическую точку бифуркации первого типа [9], соответствующую устойчивой вторичной равновесной форме, в которой исходная прямолинейная форма равновесия сменяется другой устойчивой, но уже изгибной, формой равновесия. Переход к изгибной форме равновесия происходит плавно и непрерывно. При достижении нагрузкой критического значения стержень не разрушается, т. е. предельная нагрузка, которая может быть воспринята стержнем, больше критической нагрузки бифуркации, определяемой формулой Эйлера.

В качестве второго примера рассмотрим задачу анализа поведения под нагрузкой двухстержневой системы (рис.1)

Будем считать угол а0<1, поэтому Бта^а, cosа^1-а2/2. Длина стержня в исходном состоянии равна L/cosa0^L■(1-a20/2), после приложения силы Р равна L/cosa^L■(1-a2/2);

абсолютное укорочение ЛЬ«Ь(а02-а2)/2, а относительная деформация в^(а02-а2)/2. Полная потенциальная энергия рассматриваемой двухстержневой системы будет

Э = и + П,

где и - потенциальная энергия деформации системы;

П - потенциал внешней силы. В пределах справедливости закона Гука они определяются из зависимостей:

N ■ЛЬ = Е ■ А ■(ЛЬР/Ь = Е ■ А ■(а02 —а2 ^/4;

2 „.2\

(20)

и-

П = — Р ■ Ь■ (а0 —а).

(21) (22)

Подставляя (21) и (22) в (20) получим выражение полной потенциальной энергии для рассматриваемой системы:

Э = Е ■ А ■ Ь ■ (а02 — а2 ^/4 — Р ■ Ь ■ (а0 — а) =

4

4

4

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 23, 20114.

А-

= Е■ А ■ Ь • (- 2а02 ■а2 + а4)/4 + Р■ Ь ■ а + (23)

+ Е■ А ■ Ь-а04/4-Р ■ Ь -а0.

Выражение (23) соответствует канонической катастрофе сборки из списка элементарных катастроф [2, 6, 8].

Из условия стационарности (23) найдем критические точки этой функции, определяющие поверхность (в координатах Р-а0-а) равновесных состояний рассматриваемой системы

й Э/ йа = -Е ■ А ■ Ь а^а -а2 )+ Р ■ Ь = 0. (24)

Обычно, связь между управляющим параметром внешней нагрузки Р и переменной состояния системы а записывается в виде кубической зависимости

Р = Е ■ А -а2 ) (25)

Для выяснения качества равновесных состояний, получаемых по (25), найдем последующие производные выражения (23):

й2Э/йа2 = -Е ■ А ■ (а2 - 3а2 ) (26)

й 3Э/ йаъ = 6 ■ Е ■ А ■а. (27)

Приравнивая нулю выражения (27) и (26), определим координаты (вместе с условием (24)) начала сборки, являющейся трижды вырожденной критической точкой функции (23)

Р

/ / / / / / ' / /

21

Рис.1. Простейшая схема фермы Мизеса

Из равенства нулю второй производной Э (26) найдем бифуркационное множество функции (23):

а02 - 3а2 = 0, (28)

откуда

аСг =±а0/7э. (29)

Максимальное значение силы Р, при котором происходит "хлопок"

РСГ = 2 ■ Е ■ А ■а^/343. (30)

Дальнейший анализ аналогичен проведенному выше для первого примера.

Заключение

В статье на основе методов и средств теории катастроф решены две модельные нелинейные краевые задачи, связанные с разрывными явлениями. Эти системы иллюстрируют принятую в строительной механике классификацию поведения систем, теряющих устойчивость I рода - потерю устойчивости путем бифуркаций и II рода -потерю несущей способности. Поскольку в существующем нормативном документе а [2],