CC BY
19
УДК 621.317
В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин
ПРИМЕНЕНИЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО СПОСОБА ИЗМЕРЕНИЯ СДВИГА ФАЗ В ТЯГОВЫХ СЕТЯХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Выполнен анализ допустимого диапазона флюктуации фазы сигнала на входе цифрового измерительного устройства при исследовании фазовых соотношений в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта, характеризующихся высоким уровнем помех.
Исследование фазовых соотношений гармонических составляющих тока и напряжения в тяговых сетях переменного тока на железнодорожном транспорте имеет важное значение для оценки эффективности применения фильтросимметрирующих устройств и компенсаторов реактивной мощности. Результаты моделирования мощных инверторных преобразователей [1] подтверждают необходимость фазовых измерений для оценки адекватности полученных моделей с учетом высших гармоник. При этом необходимо учитывать, что тяговые сети железнодорожного транспорта характеризуются высоким уровнем случайных помех [2], особенно в процессе искрения между токоприемником электровоза и контактным проводом.
В источнике [3] предложен способ измерения сдвига фаз, позволяющий существенно повысить точность измерения в указанных условиях. В статье [4] выполнен анализ работоспособности этого способа измерения в условиях, когда преобразование «фазовый сдвиг - код» в цифровом фазометре ограничено пределами ±180 а флюктуации фазы сигнала - не более ±360 Такое соотношение сигнала и помехи обычно выражается в неоднозначности показаний цифрового фазометра с усреднением за время измерения и невозможности зафиксировать окончательный результат измерения в условиях помех, возникающих в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта. В этих работах доказывается, что при нормальном законе распределения мода функции плотности вероятности фазы сигнала является наиболее информативным параметром в указанных условиях и дает наибольшую точность оценки.
В основе предложенного способа лежит алгоритм идентификации моды сигнала на выходе преобразователя «фазовый сдвиг - код». При наличии высокого уровня помех разность между максимальным и минимальным значениями функции плотности вероятности на выходе преобразователя «фазовый сдвиг - код» уменьшается, что усложняет условия идентификации моды. Поэтому необходимы дополнительные исследования эффективности этого способа в условиях тяговых сетей переменного тока железнодорожного транспорта.
Основная задача данной работы состоит в том, чтобы на основе численного метода решения уравнений и математического моделирования процесса преобразования «фазовый сдвиг - код» в среде Matlab/Simulink найти максимально допустимый диапазон флюктуации фаз гармоник тока и напряжения для предложенного способа измерения сдвига фаз и оценить полученные результаты.
Структурная схема устройства, реализующего способ, описанный в работе [3], на основе микропроцессорного контроллера, представлена на рисунке 1. Цифровой фазометр содержит преобразователь «фазовый сдвиг - код» (ПФС-К), формирователь функции плотности вероятности (ФФПВ) и идентификатор моды функции (ИМФ) плотности вероятности Ру(ф).
дф (т,„ Оц)
(тобА% = тЙ)
ПФС-К ФФПВ ИМФ
Ш
Р?(. ф)»
(то;1дФ,,= тй)
Рисунок 1 - Структурная схема помехоустойчивого микропроцессорного цифрового фазометра
За каждый период входных сигналов осуществляется преобразование «фазовый сдвиг -код» в диапазоне ±180 что искажает функцию плотности вероятности реального процесса
при значениях флюктуации фазы сигнала, больших, чем ±180 Пример такого искажения функции Рх(ф) с нулевым математическим ожиданием приведен на рисунке 2.
Для оценки предельно допустимого значения среднеквадратичного отклонения (СКО) флюктуации фазы отах рассмотрим частный случай, когда на вход фазометра с диапазоном измерения ±п поступает сигнал, фаза которого изменяется в пределах ±2п, и найдем максимальное значение СКО, при котором описанный способ еще сохраняет работоспособность.
Нелинейность статической характеристики ПФС-К фазометра аналогична переполнению разрядной сетки микропроцессора, когда от максимального (по модулю) отрицательного числа происходит скачок к максимальному положительному значению, и наоборот. Предложенный способ сохраняет работоспособность, если разность между значениями максимума и минимума функции плотности вероятности Ру(ф) на выходе ПФС-К будет больше нуля, упрощенную математическую модель которого можно представить в виде:
Рх (0) + 2РХ (2к) - 2РХ (к) > 0, где Рх(ф) - функция плотности вероятности Гаусса на входе ПФС-К при тх = 0:
(1)
Рх (ф) =
1
а42к
2а2
(2)
Рисунок 2 - Влияние нелинейности цифрового фазометра на функцию Рх(ф)
Если неравенство (1) справедливо, то функция Ру(ф) остается одномодальной (в данной статье используется терминология, принятая в статье [5]), т. е. теоретически возможно будет идентифицировать моду этой функции, а предложенный способ будет оставаться работоспособным в указанных условиях при любых значениях а.
Для доказательства справедливости неравенства (1) подставим в него функцию Рх(ф), описываемую выражением (2),
1
а42к
(0)2 2 а2
+
2
а42к
(2к) 2 а2
+ -
2
42К
(к)2 2 а2
> 0
(3)
а
и сократим общий множитель при условии, что а Ф 0. Учитывая, что первое слагаемое в выражении (3) равно единице, получим:
№ 4(20) 2014
2
Ф
4( к)2
(к)2
1 + 2е
+ 2е
> 0.
(4)
Для доказательства справедливости неравенства (4) (с учетом допустимого диапазона изменения 0 < х < 1) произведем замену переменной в этом выражении:
в результате получим неравенство:
х = е 2а
х4 -х + 0,5 >0.
(5)
(6)
Для проверки справедливости неравенства (6) необходимо найти решение уравнения четвертой степени:
х4 - х + 0,5 - с = 0,
(7)
где с - параметр, при увеличении которого неравенство (6) сначала преобразуется в уравнение (7), а затем знак неравенства изменяется на противоположный. Будем увеличивать параметр с до тех пор, пока в уравнении (7) не появится хотя бы один действительный корень.
В теоретическом плане решение уравнения четвертой степени (7) в общем виде представляет сложную задачу, поэтому обратимся к интернет-ресурсу «Математика онлайн» [6] и найдем минимальное значение параметра с, существование положительного значения которого и будет доказывать справедливость неравенства (6). Результаты двух решений, позволяющих найти предельное значение параметра с, представлены на рисунках 3 и 4.
Рисунок 3 - Результат обращения к Интернет-ресурсу «Математика онлайн» -действительных корней уравнение не имеет
Рисунок 4 - Результат обращения к интернет-ресурсу «Математика онлайн» имеются два действительных корня уравнения
2
к
Результаты вычислений на основе численных методов для остальных допустимых значений параметра с представлены в таблице.
Значения действительных корней уравнения в зависимости от параметра с
Значение параметра с в уравнении (7) Действительные корни уравнения х4 - х + 0,5 - с = 0
Х1 Х2
0,02752 (5,504 %) Нет Нет
0,02753 (5,506 %) 0,629554 0,630367
0,05000 (10 %) 0,527322 0,722519
0,10000 (20 %) 0,436204 0,790512
0,20000 (40 %) 0,309132 0,868218
0,30000 (60 %) 0,201654 0,921699
Следует обратить внимание на то, что справедливость неравенства (6) нарушается только при значениях параметра с > 0,02753. Таким образом, наличие положительного значения с > 0 доказывает работоспособность исследуемого способа измерения сдвига фаз в диапазоне флюктуации фазы входного сигнала ±2п при любых значениях СКО в пределах 0 < |о| < п.
При практической реализации предложенного способа измерения сдвига фаз в алгоритме идентификации моды после построения функции плотности вероятности на выходе ПФС-К значение заданного порога, определяемого параметром с, ограничивает область допустимых значений СКО входного сигнала, при которых способ сохраняет свою работоспособность.
Значение omax можно найти путем подстановки в выражение (5) действительных корней х1 и х2 уравнения (7), взятых из таблицы,
X = е
2а;
2
1тах
(8)
х2 = е
(9)
и логарифмирования их правых и левых частей.
После несложных алгебраических преобразований получаем относительное значение нижней границы рабочей области исследуемого способа измерения сдвига фаз
а,
1
к
у/- 21П х
(10)
и верхнюю границу этой же области
а.
к
V—21П
(11)
Зависимость относительного максимально допустимого значения о^^п от параметра с представлена на рисунке 5, где область А соответствует значению порогового параметра с, при котором мода на выходе ПФС-К не является информативным параметром и не может быть использована в качестве результата измерения сдвига фаз в условиях высокого уровня помех. Область В соответствует допустимым значениям параметра с, при которых функция плотности вероятности на выходе ПФС-К остается одномодальной и способ [3] сохраняет работоспособность.
Результаты расчетов подтверждают, что исследуемый способ измерения с 20 %-ным пороговым параметром с (в алгоритме идентификации моды функции плотности вероятности) допускает СКО флюктуации фазы сигнала на входе ПФС-К до 0,79п с сохранением установленной точности, что соответствует СКО фазы входного сигнала 142
№ 4(20) 2014
к
к
-, 2 2а2тах
1
Рисунок 5 - Взаимное расположение областей А и В при изменении параметра с
Моделирование влияния нелинейной характеристики преобразователя «фазовый сдвиг-код» на результат измерения цифрового фазометра реализовано в среде Matlab/Simulink. Структурная схема для моделирования ПФС-К представлена на рисунке 6.
Рисунок 6 - Структурная схема модели ПФС-К в среде Matlab/Simulink
На входе ПФС-К (Lookup Table) формируется случайный процесс с нормальным законом распределения (Random Number), имеющий нулевое математическое ожидание и различные значения СКО (в относительных единицах, кратных п), гистограммы которых представлены соответственно на рисунках 7, а - 10, а. Гистограммы функций (плотности вероятности сдвигов фаз) на выходе ПФС-К (в относительных значениях от -1 до +1) представлены на рисунках 7, б - 10, б, что соответствует реальному диапазону измерения цифрового фазометра от -п до +п.
а б
Рисунок 7 - Гистограммы входного (а) и выходного (б) сигналов ПФС-К при СКО = 0,2
Результаты моделирования ПФС-К в среде Matlab/Simulink подтверждают, что гистограммы функции плотности вероятности на выходе (см. рисунки 7, б - 10, б) в диапазоне преобразования от -п до +п остаются одномодальными даже при СКО = 0,8п.
Рисунок 9 - Гистограммы входного (а) и выходного (б) сигналов ПФС-К при СКО = 0,6
Рисунок 10 - Гистограммы входного (а) и выходного (б) сигналов ПФС-К при СКО = 0,8
На основании полученных результатов можно сделать выводы:
результаты моделирования помехоустойчивого микропроцессорного цифрового фазометра на основе численных методов подтверждают работоспособность исследуемого способа измерения [3] и предложенной математической модели ПФС-К в указанных условиях;
описываемый способ гарантирует высокую точность измерения фаз гармоник тока и напряжения в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта при среднеквадратичном отклонении флюктуации фазы до 142
Список литературы
1. Комякова, О. О. Гармонический анализ сетевого тока преобразователя, работающего в инверторном режиме, при несимметричном несинусоидальном напряжении питающей сети [Текст] / О. О. Комякова, Т. В. Комякова // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2010. - № 4. - С. 55 - 63.
2. Сырецкая, А. О. Экспериментальные исследования электромагнитных помех на тяговых подстанциях [Текст] / А. О. Сырецкая, Н. К. Слептерева, К. С. Зуб // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2013. - № 1. - С. 63 - 69.
3. Петров, В. В. Измерение сдвигов фаз в тяговых сетях переменного тока железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2013. - № 4. - С. 69 - 77.
4. Петров, В. В. Фазовые измерения в условиях высокого уровня случайных помех [Текст] / В. В. Петров. // Материалы всерос. науч.-техн. интернет-конференции с междунар. участием «Информационные и управляющие системы на транспорте и в промышленности» / Омский гос. ун-т путей сообщений. - Омск, 2014. - С. 116 - 123.
5. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн - М.: Наука, 1973. - 831 с.
References
1. Komiakova O. O., Komiakova T. V. Harmonic analysis of current network transmitter operating in the inverter mode, at asymmetric nonsinusoidal voltage supply [Garmonicheskii analiz setevogo toka preobrazovatelia, rabotaiushchego v invertornom rezhime, pri nesimmetrichnom nesinusoidal'nom napriazhenii pitaiushchei seti]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2010, no. 4, pp. 55 - 63.
2. Syretskaia A. O., Sleptereva N. K., Zub K. S. Experimental study of electromagnetic interference on the traction substations [Eksperimental'nye issledovaniia elektromagnitnykh pomekh na tiago-vykh podstantsiiakh]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2013, no. 1, pp. 63 - 69.
3. Petrov V. V., Kogut A. T., Lavrukhin A. A. Measurement of phase shifts in traction networks AC railway trans-goad transport [Izmerenie sdvigov faz v tiagovykh setiakh peremennogo toka zheleznodo-rozhnogo transporta]. Izvestiia Transsiba - The Trans-Siberian Bulletin, 2013, no. 4, pp. 69 - 77.
4. Petrov V. V. Phase measurement in a high level of random noise [Fazovye izmereniia v usloviiakh vysokogo urovnia sluchainykh pomekh]. Materialy vserossiiskoi nauchno-tekhnicheskoi internet-konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem «Informatsionnye i upravliaiushchie sistemy na transporte i v promyshlennosti» (Proceedings of the All-Russian Scientific and Technical Internetconference with international participation «Information and control systems for transport and industry). Omsk, 2014, рр. 116 - 123.
5. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlia nauchnykh rabotnikov i inzhenerov (Mathematical Handbook for Scientists and Engineers). Moscow: Nauka, 1973, 831 p.
