CC BY
12
УДК 621.317
В. В. Петров
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ФАЗОВЫХ СООТНОШЕНИЙ В ТЯГОВЫХ СЕТЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Аннотация. В работе выполнены моделирование и анализ помехоустойчивости предложенного способа измерения фазовых сдвигов между гармоническими составляющими тока и напряжения в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта и дана оценка предельно допустимого уровня помех, при котором гарантируется работоспособность цифровых устройств, используемых для исследования сдвигов фаз в указанных условиях. Результаты моделирования показали, что функция плотности вероятности на выходе нелинейного преобразователя «фазовый сдвиг - код» остается унимодальной при любом соотношении диапазона преобразователя и среднего квадратичного отклонения фазы входного сигнала. Реализация исследуемого способа на основе микропроцессорного цифрового устройства гарантирует устойчивость и точность результатов измерения сдвига фаз в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта при наличии высокого уровня электромагнитных помех, нелинейного резко переменного характера тяговой нагрузки, искрения токоприемников электровозов в контактной сети и использовании систем рекуперации на основе импульсных преобразователей.
Ключевые слова: измерение, фаза, электроснабжение, нелинейность, стохастическое моделирование, помехоустойчивость, вероятность.
Vladimir V. Petrov
Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation
EVALUATION OF NOISE IMMUNITY MEASUREMENT DEVICES IN THE STUDY OF PHASE CORRELATIONS IN TRACTION NETWORKS
AC RAILWAY TRANSPORT
Abstract. In work done modeling and analysis of noise immunity of the proposed measurement method of phase shifts between harmonic components of voltage and current in traction power supply rail transport networks and estimation of maximum permissible noise level, where workability digital devices used to study phase shifts in these conditions. The simulation results have shown that the probability density function on the output of the nonlinear converter «phase shift - code» remains a unimode at any ratio range converter and standard deviation of the phase of the input signal. Implementation of researched ways of microprocessor-based digital device guarantees the stability and accuracy of measurement results in traction phase shifting networks of power supply of railway transport in the presence of high levels of industrial noise, nonlinear fast variable nature of the traction load, sparking the pantographs for electric locomotives in contact network and use recovery systems based on pulse converters.
Keywords: measurement, phase, power supply, nonlinearity, stochastic simulation, noise immunity, probability.
Важную роль в практических исследованиях электродинамики тяговых сетей железнодорожного транспорта играют помехоустойчивые способы фазовых измерений, возможные варианты реализации которых и методы повышения их точности описаны в статье [1]. Предложенный микропроцессорный цифровой фазометр сохраняет работоспособность и установленную точность определения сдвигов фаз различных гармонических составляющих на тяговых подстанциях переменного тока в условиях несинусоидальности и несимметрии питающих напряжений, использования систем рекуперации на основе импульсных преобразователей, нелинейного резко переменного характера тяговой нагрузки, искрения токоприемников электровозов в контактной сети.
■ИИ ИЗВЕСТИЯ Трансси6а 113
Принцип работы описанного микропроцессорного цифрового фазометра основан на нахождении шо^х(ф) - моды плотности вероятности мгновенных сдвигов фаз при условии нормального закона распределения значений разностей фаз, измеряемых за период входных сигналов. Предложенный способ измерения фазы учитывает нелинейный периодический характер преобразования «фазовый сдвиг - код» (ФСК) в цифровом фазометре с ограниченным диапазоном измерения ±180 фактически реализующий алгоритм сложения по модулю 2п [2]. Теоретически описанный способ [1] позволяет получить довольно высокую точность измерения сдвигов фаз, но остается неизвестным уровень предельных значений помех, при которых он теряет работоспособность, т. е. не может гарантировать заявленную точность.
Для оценки предельных значений допустимого уровня помех, при котором сохраняется работоспособность описанного способа измерения сдвига фаз, необходимо оценить влияние нелинейности статической характеристики цифрового фазометра на параметры .Рх(ф) - функции плотности вероятности сдвига фаз на входе преобразователя «фазовый сдвиг - код» (ПФСК) и, в частности, на значение ее моды. Для этого необходимо ответить на вопрос, остается ли функция плотности вероятности нормального закона распределения (Гаусса) унимодальной после нелинейного преобразования типа «центрально-симметричная косозу-бая пила (ЦСКП). Общий вид такого нелинейного функционального преобразования представлен на рисунке 1.
У 1 а 0 И * /
-2а -а У г ~а а X 2а X
Рисунок 1 - Функция нелинейного преобразования ФСК в цифровом фазометре типа «центрально-симметричная косозубая пила»
Изображенная на рисунке 1 нелинейность может быть описана системой неравенств
х + 2na при - (2n + 1)a < х <-(2n - 1)a;
х + 4a при - 5a < х < -3a, (n = -2); х + 2a при - 3a < х <-a, (n = -1); y = <j х при - a < х < a,(n = 0); х - 2a при a < х < 3a, (n = 1); х - 4a при 3a < х < 5a, (n = 2);
(1)
х - 2na при (2n - 1)a < х < (2n + 1)a,
где n = int(х / a), int - целая часть после операции деления, ±a - параметр, определяющий область линейного диапазона работы ПФСК, который обычно составляет ±180° и не должен быть равным нулю. Тогда в общем виде нелинейное преобразование (1) для моделирования алгоритма работы цифрового фазометра может быть описано выражением:
у = х - 2ап.
(2)
Рассмотрим случай, когда функция плотности вероятности флюктуации фазы на входе ПФСК (с линейным диапазоном ±а) соответствует нормальной форме представления с нулевым математическим ожиданием
Рх (Ф)
1
2а х
а
.>/2П
(3)
Тогда нелинейное преобразование (2) на выходе ПФСК приводит к наложению «хвостов» нормального закона распределения Рх(ф) на центральную часть функции плотности вероятности в пределах фа = ±а. Частный случай результата искажения этой функции нелинейностью типа ЦСКП при флюктуации фазы входного сигнала в пределах ±2а представлен на рисунке 2 для среднего квадратичного отклонения (СКОх) фазы этого сигнала ох = |а|.
На рисунке 2 приняты следующие обозначения: Рх(ф) - функция плотности вероятности на входе ПФСК; Рх(0) - максимальное значение плотности вероятности на входе фазоизме-рительного устройства; Ру(ф) - функция плотности вероятности на выходе ПФСК; Ру(0) -максимальное значение плотности вероятности на выходе ПФСК; Ру(а) = Ру(-а) - минимальные значения плотности вероятности на выходе ПФСК; ДРу(ф) - разность, которая необходима для идентификации моды фазы сигнала на выходе ПФСК; -2Рх(2а) ~ Ру(0) - Рх(0) -разность между максимальными значениями вероятности; 2Рх(3а) ~ Ру(а) - 2Рх(а) - остаточное значение плотности вероятности при больших флюктуациях фазы сигнала.
Рисунок 2 - Влияние нелинейности типа ЦСКП на функцию плотности вероятности Рх(фа) фазы входного сигнала, распределенного по нормальному закону
Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить диапазон допустимых значений среднего квадратичного отклонения ох Ф 0 относительно параметра а Ф 0, при которых искаженная ПФСК функция плотности вероятности Ру(ф) останется унимодальной, а описанные в статье [1] способ и реализующее его устройство измерения сдвига фаз будут сохранять работоспособность. Для этого введем параметр
н = ±а /ох
(4)
определяющий относительное значение линейной части диапазона измерения цифрового фазометра, приведенное к СКОх фазы входного сигнала ох, и найдем плотность вероятности в
ф
2
центре распределения Ру(0) и в крайних точках распределения Ру(±а) (см. рисунок 2) после нелинейного преобразования (2):
Ру (0) = Рх (0) + 2£ Рх (2па);
(5)
Ру (±а) = 2 X Рх ((2п - 1)а).
(6)
п=1
Найдем разность между центральным Ру(0) (максимальным) значением (5) и крайним Ру(а) значением (6) плотности вероятности и сравним ее с нулем:
АР (ф)
(7)
а = Рх(0) + 2 X Рх (2па) - 2 X Рх ((2п - 1)а) > 0.
п=1 п=1
Если неравенство (7) будет выполняться при любых значениях ох относительно параметра а (диапазона ПФСК), то функция Ру(ф) в пределах ±а останется унимодальной. Так как функция Рх(ф) монотонно убывающая, то естественно предположить, что в интервалах от 0 до ±а значение суммы экспонент в точках фа = ±а не может быть больше их начальных значений, т. е. в точке фа = 0. Поэтому достаточно сравнить между собой только эти крайние точки функции Ру(ф). Кроме того, здесь и далее будем рассматривать только положительные значения параметров а и w, так как функция Ру(ф) в данном случае четная (Ру(а) = Ру(-а) при математическом ожидании, равном нулю, а параметр ох Ф 0 и всегда положительный).
Для проверки справедливости неравенства (7) объединим все его члены под знаком суммы в пределах —ю < п < при значениях аргумента фа = ^ с учетом четности функции Рх(ф) и нечетности функциональных преобразований (2) и (4):
АРу (ф)
X (-1)пР (nw) > 0.
(8)
Подставим выражение (3) в (8)
АРу( ф )
ф=nw
о
. 42к п=-
X (-1)"е 2 > 0
(9)
и выделим только сумму членов бесконечного ряда, которая действительно влияет на знак
левой части неравенства (9), а коэффициент пропорциональности (
1
.42П
о
Ф 0 ) не имеет в
данном случае принципиального значения, так как с нулем сравнивается разность величин плотности вероятности, а не их абсолютные значения:
2 2 п w
АРу (п, w) = X (-1)"е 2 > 0.
(10)
Для упрощения выражения (10) произведем замену переменной
q = е
w
"Т"
(11)
и в результате получим сумму членов бесконечного знакопеременного степенного ряда, знак которой необходимо определить:
АРу (ч) = X (-l)nqn > 0.
(12)
п=1
п=-те
2 2 п w
1
п=-те
п=—те
Отметим, что полученное выражение (12) является частным случаем хорошо известной в математике тэта-функции Якоби четвертого типа 04 (V | д) [3]. Она состоит из бесконечного степенного ряда с аргументом V и сходится только при значениях параметра 0 < д < 1:
©4^ I д)= X (-\)пдп\егп )2п. (13)
Если подставить значение аргумента V = 0, то тэта-функция 04 (0 | д) полностью совпадает с выражением (12), описывающим разность плотности вероятности АРу (д) между центральным и крайним значениями гистограммы на выходе ПФСК с нелинейностью типа ЦСКП. В частном случае тэта-функцию при фиксированном значении д обозначают просто как ©4. Основные свойства тэта-функции 04(у | д) представлены в источниках [4, 5] и подробно описаны в [6]:
1) все значения функции 04 находятся в положительной полуплоскости, что подтверждает справедливость неравенств (12) и (7);
2) функция 04 быстро сходится при 0 < д < 1, поэтому для численного моделирования Ру(ф) вполне достаточно небольшого числа членов степенного ряда п;
3) для п = го функция 04 монотонно убывает при возрастании величины д от минимальных значений д > 0 до максимальных д < 1;
4) так как 04 приближается к нулю в области значений д ^ 1 при п ^ го, то в реальных условиях (например, для четного п = 4) уравнение вида ©4 (0 | д) = 0 не имеет вещественных корней (отсутствует решение в действительной области);
5) при нечетном числе п уравнение ©4 (0 | д) = 0 имеет один вещественный корень, но график 04 пересекает ось абсцисс только при величине д ^ 1, что также свидетельствует об отсутствии конкретного решения в диапазоне 0 < д < 1 (при п ^ го), для которого нарушалось бы выполнение условия неравенств (12) или (7).
На основании перечисленных свойств тэта-функции 04 (01 д) в указанных условиях можно сделать вывод о том, что неравенства (12) и (7) справедливы при любом значении параметра д в пределах 0 < д < 1. Это означает, что после нелинейного преобразования (2) функция плотности вероятности на выходе ПФСК фазометра Ру(ф) остается унимодальной во всем указанном диапазоне значений параметра д. Таким образом, при нормальном законе распределения фазы входного сигнала исследуемый способ измерения сдвига фаз [1] теоретически сохраняет работоспособность при любых значениях 0 < н < го (т. е. при любом соотношении параметров ох Ф 0 и а Ф 0), что и требовалось доказать для ответа на поставленный вопрос.
Если найти конкретное значение д, соответствующее минимальному значению функции АРу(д), и подставить в выражение (11)
- н!
е 2 = д при 0 < д < 1, (14)
то можно будет вычислить и соответствующее предельное относительное значение СКОх
а
н = ,/- 21п д =— при а ф 0, ох Ф 0 и 0 < д < 1. (15)
а х
Но так как АРу (д) > 0 в указанном диапазоне изменения значений д (14), то полученный
в выражении (15) результат означает, что описываемый способ измерения сдвига фаз остается работоспособным при любых значениях н, т. е. этот параметр может находиться в пределах от Н(д=0) = го до Н(д=1) = 0. Учитывая параметр (4), что ох = а/н, максимальное значение
СКОх (допустимый диапазон флюктуаций) фазы входного сигнала теоретически может в бесконечное число раз превышать линейную часть диапазона ПФСК.
Так как при q ^ 1 значения функции Ру(ф) в центре Ру(0) и крайних точках Ру(ч) становятся почти равными, то функция распределения плотности вероятности Ру(ф) на выходе ПФСК приближается к равномерному закону распределения, что существенно затрудняет нахождение истинного значения моды функции плотности вероятности фазы сигнала. Графики зависимости значений функций 04 и ее модифицированного вида от q, определяющие свойства цифрового фазоизмерительного устройства, представлены на рисунке 3.
Для реализации рассматриваемого способа [1] необходим алгоритм нахождения максимального значения функции плотности вероятности (моды) после преобразования ФСК, который в простейшем случае может быть основан на сравнении разности ДРу(ф) с определенным порогом дискретизации гистограммы Ру по уровню. Если значение функции Ру(0) превышает значение Ру(ч) на величину заранее заданного порога к, то можно считать, что мода флюктуации фазы сигнала идентифицирована.
е.
о.е. 0,3 0,7 0,6 0,5 0,4
\
0,3 0,2 0,1 0
1-1-1 1
V N. га з ,
1
1 ^
1
1
1
1 1 «=0
1
1 1 Т*"—.—<_-1-
0,1
0,2
0.3
0,4
0,5
0,6
0,7
о.е.
0,9
Ч
Рисунок 3 - Области допустимых значений функций 04 и ее модифицированного вида при моделировании ПФСК с учетом нелинейности типа ЦСКП
При практической реализации алгоритма идентификации моды функции Ру порог к будем задавать аддитивным способом - путем уменьшения величины постоянного члена ряда (12), у которого п = 0. Влияние порога наглядно можно представить в графическом виде путем смещения всей функции 04 на величину порога к в область отрицательных значений, что приводит к появлению вещественных корней в уравнении 04 (0 | q) = к при любом приемлемом значении п Ф ю.
Для сравнения с порогом к выделим нулевой член ряда (12) q0 = 1 (при п = 0) и преобразуем его к более удобному виду с учетом симметричности остальных членов ряда при положительных и отрицательных значениях п:
АРу (д) = q0 + 2 X (-1)nqn > к.
п=1
(16)
Нахождение значений q и функционально связанных с ним значений ч (3), (4) требует решения алгебраического уравнения бесконечно высокого порядка при 0 < к < 1:
^ 2
I (-1)пдп + 0,5(1 - И) = 0. (17)
п=1
Нахождение бесконечного числа корней уравнения (17) аналитическим способом представляет неразрешимую задачу, поэтому для практических целей можно воспользоваться пакетом Ма1ЬаЬ, который позволяет найти решение уравнения численным методом с достаточной для дальнейшего исследования точностью.
На первом этапе моделирования следует определить максимальную степень уравнения п (17), обеспечивающую приемлемую точность модели. Для этого решим уравнение (17) с одним и тем же значением порога И = 0,1 при различных показателях степени уравнения п. При увеличении п погрешность между соседними приближенными решениями модели становится меньше требуемой (шесть десятичных знаков после запятой), что и позволит нам обоснованно выбрать необходимое число членов степенного ряда в левой части уравнения (17) для дальнейшего анализа. Результаты таких вычислений представлены в таблице 1.
Таблица 1 - Оценка ошибки вычисления вещественных корней уравнения (17) численным методом при значении порога И = 0,1
п Вид алгебраического уравнения (17) Вещественные корни уравнения Ошибка
1 - д + 0,5(1 - И) = 0 д1 = 0,45 д2 - отсутствует Д1д1 = 0, 070754
2 д4 - д + 0,5(1 - И) = 0 д1 = 0,527322, д2 = 0,722519 Д2д1 = 0,006568
3 - д9 + д4 - д + 0,5(1 - И) = 0 д1 = 0,520694, д2 - отсутствует Д3д1 = 0,000060
4 д16 - д9 + д4 - д + 0,5(1 - И) = 0 д1 = 0,520754, д2 = 0,896915 Д4д1 = 0
5 - д25 + д16 - д9 + д4 - д + 0,5(1 - И) = 0 д1 = 0,520754, д2 - отсутствует Дзд1 = 0
6 д36 - д25 + д16 - д9 + д4 - д + 0,5(1 - И) = 0 д1 = 0,520754, д2 = 0,948046 Д6д1 = 0
Ошибка в таблице 1 найдена по формуле Дпд = д1(п = 6) - д1(п < 6), а ошибку первого корня (Д6д0 при п = 6 принимаем равной нулю (основываясь на свойствах функции 04). Данные в таблице 1 подтверждают быструю сходимость ряда в левой части уравнении (17), поэтому для практических целей может быть достаточно решения уравнения четвертой степени [7], т. е. при п = 2 в уравнении (17), но для последующего анализа представляет интерес использовать более точный вариант (п = 4, т. е. уравнение шестнадцатой степени).
Уравнение (17) имеет один или два вещественных корня (в зависимости от нечетности или четности числа п), которые разделяют все значения функции ДРу(д) на три области, изображенных на рисунке 4.
От значений корней д и д2 зависит величина ^ (т. е. соотношение параметров ох и а), определяющая работоспособную область исследуемого способа измерения фазы сигнала. Причем второй вещественный корень не играет существенной роли для данной задачи, так как его значение зависит от точности модели, т. е. от числа членов п в уравнении (17), и в пределе д2 ^ 1 (при п ^ да).
Область «А» соответствует значениям функции ДРу(д) > И, в которой гарантируются реализация алгоритма идентификации моды Ру(ф) и работоспособность исследуемого способа измерения сдвига фаз.
Область «В» соответствует значениям функции ДРу(д) < И, т. е. предложенный алгоритм идентификации моды не гарантирует нахождения максимума Ру(ф), а исследуемый способ измерения фазы и реализованные на его основе устройства теряют работоспособность в таких условиях.
Область «С» соответствует значениям ДРу(д) > И при четных значениях п (в очень узком диапазоне значений параметра д, и только теоретически определяет работоспособность описанного способа), при нечетных значениях п в области «С» ДРу(д) < И и алгоритм идентификации теряет работоспособность. Следовательно, в области «С» алгоритм идентификации
моды может вести себя неоднозначно и зависит от установленных параметров модели. Таким образом, для анализа практической пользы применения областей «В» и «С» в предлагаемой стохастической модели ПФСК необходимо проводить дополнительные исследования, оценивающие влияние параметра п и бесконечно малых значений «хвостов» функции Рх(ф) в этих областях на результат измерения сдвигов фаз в условиях высокого уровня помех.
0,5
о.е.
0,3
0,2
0,1
йг.
-0,1
-0,2
-0,3
-0.4
-0,5
ч ;
/
иоласть«с» ^ / ^
: ; г
к ЧI ■ Четное п !-Г~Ч Ч 2 /
у < ^ \ ! УГ
; чо \ ^^
)6л 1сть «А Нечетное п / ; I ■ ' »
-- » ------
г
V. /1М1 «IV «15» у
г
1 1
0,1
0,2
0,3
04
0,5
0,6
0.7
0,8
о.е.
Рисунок 4 - Порог к в алгоритме идентификации моды, определяющий размеры областей «А», «В» и «С» функции АРу(д) при четных и нечетных значениях п
Таким образом, для дальнейшего анализа будем принимать во внимание только один вещественный корень q1 в уравнении (17), определяющий критическое значение, больше которого не гарантируется однозначное определение моды функции Ру(ф) с заданным порогом идентификации к.
На втором этапе моделирования, учитывая данные таблицы 1, найдем допустимые значения параметров ч и ох (15) при заданном диапазоне преобразования ФСК а = п и различных значениях порога к, установленного в алгоритме идентификации моды. Результаты вычислений вещественных корней уравнения шестнадцатой степени
q16 - q9 + q4 - q + 0,5(1 - к) = 0
(18)
и соответствующих параметров ч и ох при различных значениях порога к представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Зависимость параметров ч и сх от различных значений порога к в алгоритме идентификации значения моды функции Ру(ф) при а = п
Значение порога к Вещественные корни уравнения (18) q16 - q9 + q4 - q + 0,5(1 - к) = 0 Значение параметра ч = V -2•lnq1 Максимальное значение сх= а/ч
0,1 (10%) q1 = 0,520754, q2 = 0,896914 1,1423 0,8754п (-157°)
0,2 (20%) q1 = 0,435367, q2 = 0,925609 1,2896 0,7754п (-139°)
0,3 (30%) q1 = 0,368269, q2 = 0,943265 1,4135 0,7075п (-127°)
0,4 (40%) q1 = 0,309103, q2 = 0,956215 1,5324 0,6526п (-117°)
0,5 (50%) q1 = 0,254169, q2 = 0,966514 1,6551 0,6042п (-109°)
0,6 (60%) q1 = 0,201653, q2 = 0,975099 1,7895 0,5588п (-101°)
120 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017
=
Данные таблицы 2 подтверждают работоспособность исследуемого способа измерения фазы входного сигнала с параметром порога идентификации моды И = 0,2 (20 %) при а = п, н = 1,2896 и ох = 0,7754п, что соответствует максимально допустимому среднему квадратичному отклонению флюктуации фазы на входе фазоизмерительного устройства в 139
Для моделирования помехоустойчивости ПФСК нелинейность типа ЦСКП можно представить в Ма1ЬаЬ с помощью функционала у = а1ап(1ап(х)), но эта модель использует уникальный тип данных «бесконечность», а модель, описываемая выражением (2), может быть реализована практически на любом языке программирования. Фрагмент да-файла с комментариями одной из возможных реализаций этой модели:
Ь=2; б=0.7; %коэффициент перекрытия диапазона реального ПФСК и СКОх.
а=р1; ё=Ь*а; %диапазон ПФСК и диапазон сигнала х на входе ПФСК.
х= -ё : р1/360 : ё; %значения входного сигнала на входе ПФСК.
п=ёоиЬ1е(т132(х/(2*а))); %число разрывов нелинейной функции реального ПФСК. т=(ё/(8*8дг1(2*р1))); %масштаб функции плотности вероятности Р(х).
р=ш*ехр(-((х/а).Л2)/(2*вЛ2)); %Р(х)флюктуации фазы на входе ПФСК. у=х-2*а*п; %модель нелинейной характеристики реального ПФСК.
р1о1:(хДх,х,'к--',х,у,х,р) %вывод графиков функций. ах1в([-ё ё -ё ё]) %максимальные значения по осям графика.
Результат выполнения этого фрагмента программы представлен на рисунке 5.
Рисунок 5 - Нелинейная характеристика реального ПФСК, имеющего две точки разрыва, при а = ±п и функция плотности вероятности Рх на входе ПФСК при сх = 0,7п
■ИИ ИЗВЕСТИЯ Трансси6а 121
Вариант результата моделирования алгоритма идентификации моды на выходе реального ПФСК с учетом его нелинейной характеристики и наложения «хвостов» функции плотности вероятности Рх при СКОх = 0,7п в диапазоне ±п представлен на рисунке 6.
Рисунок 6 - Функция плотности вероятности Ру на выходе реального ПФСК при а = ±п и сх = 0,7п
Предложенная в данной работе математическая модель для оценки возможности идентификации моды на выходе фазоизмерительного устройства (7) позволяет найти и оценить значение максимально допустимого диапазона флюктуации фазы сигнала на входе ПФСК с учетом заданного порога к в алгоритме идентификации моды функции плотности вероятности Ру(ф) на выходе ПФСК.
Результаты моделирования показали, что функция плотности вероятности Ру(ф) на выходе нелинейного преобразователя «фазовый сдвиг - код» (2) остается унимодальной при любом соотношении параметров а и ох, а реализация исследуемого способа на основе микропроцессорного цифрового фазоизмерительного устройства гарантирует устойчивость и точность результатов измерения сдвига фаз в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта при наличии высокого уровня электромагнитных помех.
Список литературы
1. Петров, В. В. Измерение сдвигов фаз в тяговых сетях переменного тока железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2013. - № 4 (16). - С. 69 - 77.
2. Тихонов, В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов [Текст] / В. И. Тихонов. - М.: Радио и связь, 1986. - 296 с.
3. Янке, Е. Специальные функции [Текст] / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1977. - 344 с.
4. Прудников, А. П. Интегралы и ряды [Текст] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука, 1981. - 797 с.
122 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 2(30) 2017
=
5. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. [Текст] / Г. Корн, Т. Корн - М.: Наука, 1973. - 831 с.
6. Киселев, О. М. Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями [Текст] / О. М. Киселев / Башкирский гос. ун-т. - Уфа, 2012. - 101 с.
7. Петров, В. В. Применение помехоустойчивого способа измерения сдвига фаз в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров, А. Т. Ко-гут, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. -2014. - № 4 (20). - С. 105 - 111.
References
1. Petrov V. V., Kogut A. T., Lavrukhin A. A. Measurement of phase shifts in traction networks AC railway trans-goad transport [Izmerenie sdvigov faz v tiagovykh setiakh peremennogo toka zhelezno-dorozhnogo transporta]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies,, 2013, no. 4 (16), pp. 69 - 77.
2. Tikhonov V. I. Nelinejnye preobrazovaniia sluchajnykh processov [Nonlinear transformations of stochastic processes]. Moscow: Radio i sviaz1, 1986, 296 p.
3. Janke E., Emde F., Lesch F. Specialnye funkcii [Special functions]. Moscow: Nauka, 1977, 344 p.
4. Prudnikov A. P., Brychkov Iu. A., Marichev O. I. Integraly i riady [Integrals and series]. Moscow: Nauka, 1981, 797 p.
5. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlia nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical Handbook for Scientists and Engineers]. Moscow: Nauka, 1973, 831 p.
6. Kiselev O. M. Zoopark chudovicsh ili znakomstvo so specialnymi funkciami [Zoo of monsters or familiarity with special functions]. Ufa: BashGU, 2012, 101 p.
7. Petrov V. V., Kogut A. T., Lavrukhin A. A. Application of noise measurement method of phase shift in traction power supply rail transport networks [Primenenie pomekhoustoichivogo cposoba izmerenia sdviga faz v tiagovykh setiakh elektrosnabzhenia zhelezno-dorozhnogo transporta ]. Izvestiia Transsiba - The journal of Transsib Railway Studies, 2014, no. 4 (20), pp. 105 - 111.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Петров Владимир Владимирович
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент кафедры «Автоматика и системы управления», ОмГУПС.
Тел.: +7 (3812) 31-05-89.
E-mail: PetrovVV@omgups.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Petrov Vladimir Vladimirovich
Omsk State Transport University (OSTU). 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Candidate of Technical Sciences, Chief scientific worker, Associate Professor of the department «Automation and control systems», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-05-89. E-mail: PetrovVV@omgups.ru
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
Петров, В. В. Оценка помехоустойчивости измерительных устройств при исследовании фазовых соотношений в тяговых сетях переменного тока железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Петров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. -Омск. - 2017. - № 2 (30). - С. 113 - 123.
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Petrov V. V. Evaluation of noise immunity measurement devices in the study of phase correlations in traction networks AC railway transport. Journal of Transsib Railway Studies, 2017, vol. 30, no. 2, pp. 113 - 123. (In Russian).
