CC BY
17
рог на основе оптимизации режимов работы электротехнических комплексов: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2008. - С. 58 - 61.
4. Пашкова, Н. В. Разработка метода оценки влияния параметров системы электроснабжения на волновые процессы в тяговых сетях: Дис... канд. техн. наук / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2004. - 164 с.
5. Пашкова, Н. В. Применение имитационного моделирования для определения влияния параметров системы электроснабжения на волновые процессы в тяговых сетях/ Н. В. Пашкова // Разработка и исследование автоматизированных средств контроля и управления для предприятий железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2005. - С. 36 - 39.
6. Зажирко, В. Н. Влияние волновых процессов на гармонический состав напряжений и токов в контактной сети переменного тока / В. Н. Зажирко, В. В. Черемисин // Разработка и исследование автоматизированных средств контроля и управления для предприятий железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омская гос. акад. путей сообщения. -Омск, 1999. - С. 6 - 13.
УДК 621.317
В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин
ИЗМЕРЕНИЕ СДВИГОВ ФАЗ В ТЯГОВЫХ СЕТЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
В работе выполнен анализ причин возникновения погрешностей измерения сдвигов фаз гармонических составляющих в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта и описан способ повышения точности измерения.
Важную роль в исследовании качества электроэнергии в тяговых сетях железнодорожного транспорта играют фазовые измерения, что теоретически обосновано в работах [1, 2] на основе гармонического анализа и математического моделирования в среде MathСad различных режимов работы сетей электроснабжения в условиях рекуперации, несинусоидальности и несимметрии питающих напряжений. На реальных подстанциях электроснабжения тяговых сетей, имеющих нелинейный резкопеременный характер нагрузки, присутствует широкий спектральный состав токов и напряжений, а между гармониками возникают значительные флюктуации сдвигов фаз, превышающих ± 180 °.
Особенность фазовых измерений в таких условиях заключается в том, что широкий диапазон флюктуаций фаз и резкопеременные колебания амплитуды тока нагрузки, а также искаженная форма тока и напряжения увеличивают погрешность обычных цифровых способов измерения сдвига фаз до десятков градусов, что делает их практически непригодными в таких условиях. Например, применение операции усреднения последовательных измерений сдвигов фаз за несколько периодов основной частоты сети и получение результата измерения в качестве математического ожидания может привести к существенным погрешностям и неверным выводам. Причем величина такой погрешности зависит как от среднеквадратичного отклонения (СКО), так и от математического ожидания (МО) разности фаз.
Рассмотрим причину возникновения подобной погрешности в обычном фазометре, измеряющем среднее значение сдвига фаз. За каждый период входных сигналов осуществляется измерение сдвига фаз в диапазоне ± 180 °, что после усреднения полученных значений искажает функцию плотности вероятности реального процесса Р(х) при больших значениях флюктуации фаз входных сигналов. Оценим погрешность МО, определенного как среднее
значение сдвигов фаз, измеренных фазометром в диапазоне ± 180 ° при нормальном законе распределения сдвигов фаз входного сигнала. Функция плотности вероятности на выходе фазометра с периодической нелинейной передаточной характеристикой может быть описана выражением:
ад
Р(у) = Е Р* (X),
г=-ад
где х. = у + 2т - уравнение 1-й ветви зависимости у(х) фазометра; г - целая часть частного
х / 2л; Рх(х) - плотность вероятности флюктуации фазы входного сигнала при наложении на него случайной помехи, распределенной по нормальному закону:
(х-тх )2
Рх (х) = -т— в ** , (2)
л/2ла х
где стх - среднеквадратичное отклонение процесса флюктуации разности фаз. Учитывая характер нелинейного преобразования (1) при больших флюктуациях фаз сигналов, математическое ожидание результата измерения сдвига фаз можно определить как
Л ад
ту = |У Е рх (У + 2тУУ. (3)
-л '=-ад
Графическая интерпретация искажения функции плотности вероятности нелинейной периодической передаточной характеристикой фазометра приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Результат искажения нормального закона распределения сдвига фаз после нелинейного преобразования в цифровом фазометре с ограниченным диапазоном измерения ±180 °
70 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013
= = _
На рисунке 1 приняты следующие обозначения: х - мгновенные значения разности фаз между входными сигналами, у(х) - нелинейная характеристика фазометра после преобразования «фазовый сдвиг - код» (ПФС - К) в диапазоне измерения ±180 ° с периодом 2%; mx - математическое ожидание (среднее значение) сдвига фаз между входными сигналами, которое необходимо измерить; mod x - наиболее вероятное значение сдвига фаз между сигналами, которое при нормальном (симметричном одномодальном) законе распределения совпадает с тх; P(x) - плотность вероятности фазы входного сигнала, описываемого нормальным законом распределения; mod y - наиболее вероятное значение сдвига фаз после ПФС - К на выходе цифрового фазометра; P(y) - плотность вероятности фазы сигнала на выходе цифрового фазометра после ПФС - К; my - математическое ожидание фазы сигнала на выходе цифрового фазометра.
Подставляя в уравнение (3) выражение P(x) (2) и изменив порядок интегрирования и суммирования, выражение (3) можно представить в виде:
т.. = ^=--¿j ye 2a2 dy. (4)
y 42ка
x
Для определения т произведем замену переменных:
't = (y - mx + 2 ш)/ a x;
y = tax + mx - 2%i;
dy = a xdt;
a н = (2% mx)/a x;
a B = (2%i + %- mx)/a x.
Тогда
(5)
,2
1 ' ~
my = I—— j (ta + m - 2%i)e 2 axdt. (6)
y V2^ari=-»aH x x x
Если учесть, что для нормального закона распределения нормированная функция плотности распределения вероятности
1 —^
/) = -= е 2 (7)
V 2ж
и нормированная функция распределения вероятности
-.а г2
ф(а) = Г е тЖ, (8)
л12к 0
то окончательное выражение (6) можно записать в виде:
ту = £{ Ох - 2-кГ)-[ф(ав) Ф(ан) ]—^х '[/(ав) - /(ан) ] }• (9)
;=—ад
Из выражения (9) видно, что при больших значениях ох среднее значение сдвига фаз
входного сигнала (тх), которое необходимо измерить, и среднее значение, измеряемое цифровым фазометром с усреднением в диапазоне ±180 ° (ту), существенно отличаются друг от друга. Такая нелинейность характеристики фазометра приводит к значительной погрешности известных способов измерения сдвига фаз ( Аш^ = шу—шх ) в условиях больших флюкту-
аций входных сигналов, общий вид которой представлен на рисунке 2.
%
Для уменьшения указанной погрешности предлагается измерение сдвига фаз производить в следующей последовательности. На первом этапе необходимо построить гистограмму разности фаз в диапазоне ±180 затем найти максимальное значение плотности вероятности и принять соответствующий ему сдвиг фаз за результат измерения, который будет совпадать с МО фазы входного сигнала.
Повышение точности измерения можно обосновать следующим образом. На основе выражений (1) и (2) плотность вероятности процесса после ПФС - К с усреднением можно опрделить по формуле:
-SO
град.
-40
-20
аг=80 /
/ / / °*=60 /
/ /^=40 j
yS а,=20
30
60
90
град.
150
Рисунок 2 - Зависимость погрешности измерения сдвига фаз обычным цифровым фазометром от МО и СКО фазы входного сигнала
P( У) = "
■Z -
(У- mx+) 2а-2
(10)
Для определения сдвига фаз на выходе фазометра, соответствующего максимальной вероятности, находим производную этой функции:
(У-mx+2ni)
dP(У) 1 0 ..
= - S( у - m+2жг)е
dy >]2жах Представим выражение (11) в виде суммы составляющих:
dPpT)- = - /-1 3 [«с (У) + «1 (У) + « (У)], dy л]2жа
где
«с( У) =(У — mx)е
ад
'i( У) = i'е
i=1
—ад
2 (У) = i ' е
( У—тх ) 2а2
( У—тх+2ni)
2а2х
( У—mx +2то)2
2а2
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
Максимум P(y) соответствует моде (mod y) процесса и определяется при равенстве нулю выражения (12). Так как решение уравнения (12) в аналитическом виде затруднено, покажем, что
dP( У).
dy
■ = С при y = mx .
(16)
1
i =—ад
i=—l
72 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013
: -
Выражение (12) будет равно нулю тогда, когда сумма трех составляющих (13) - (15) будет равна нулю. Равенство нулю выражения (13) может быть проверено путем прямой подстановки у = тх . Очевидно, что а0(у) = 0 при у = тх. Сумма а(у) и а2(у) равна нулю, так как соответствующие члены рядов (14) и (15) одинаковы по величине и противоположны по знаку:
ai(У) = ~а2(У) при y = тх . Это подтверждает справедливость равенства
max P( y) = mod y = тх.
(17)
(18)
Таким образом, при большой флюктуации фаз сигналов предложенный способ, включающий операции нахождения моды процесса после ПФС - К, а не среднего значения, как в обычных цифровых фазометрах, имеет более высокую точность измерения сдвига фаз.
Для снижения погрешности оценки СКО при изменении сдвига фаз в ограниченном диапазоне ± 180 ° после нахождения максимального значения вероятности необходимо совместить моду процесса на выходе фазометра с нулевым значением сдвига фаз по следующему алгоритму:
y0 = y - mod y, - к < (y - mod y) < к; y0 = y - mod y + 2к, (y - mod y) < -к; y0 = y - mod y - 2к, (y - mod y) > к.
(19)
Подобная операция уменьшает вероятность искажения гистограммы процесса из-за нелинейной характеристики фазометра у(х) и позволяет реализовать помехоустойчивый следящий способ измерения сдвига фаз. Пример смещенных на величину моды значений сдвига фаз представлен на рисунке 3.
а б
Рисунок 3 - Пример смещения моды процесса для нахождения точных значений параметров сигнала в следящем фазометре: до смещения фазы (а) и мода фазы смещена к нулю (б)
Смещение процесса центрирует гистограмму относительно моды и минимизирует СКО. Так как нелинейность характеристики у(х) и диапазон измерения фазометра имеет вполне определенный характер, то при принятии гипотезы, что распределение сдвига фаз имеет нормальный закон, можно ввести поправочный коэффициент, который тоже будет иметь де-
терминированный характер. Поэтому для определения уточненного значения ох полученное на выходе фазометра значение а 0 следует умножить на этот поправочный коэффициент:
г -ах
* а=0Т
(20)
Для нахождения определим дисперсию процесса на выходе фазометра с ограниченным диапазоном измерения:
ж ад
а J = J (У — my )2 £ Px (y + 2ni)dy.
(21)
Учитывая уравнение (2), выражение (21) можно представить в виде:
( y—mx + 2 ж')
а =
У
-Т^- £J (У — my )2 е а dy. Применив обозначения (5), выражение (22) можно переписать в виде:
^У = £
Г aOJ «Б 2 — , 2ax (mx — my — 2™)
I * J t е 2 dt +--р^т-:
'=—ад ^2ж«и у]2ж
х j ^^ 2 dt +
(mx — my — 2™)
42ж
2 t2
«в
J е 2
dt ].
Используя решения [3]
(22)
(23)
12е 2 dt = —е~
' f J е т dt;
(24)
te 2 dt = —е
формулу (23) преобразуем к виду:
2 ад Г 2
а = £ I —а
У L x
42ж
\ а -—
+ а\—¡= «е 2 dt -V2ж «н
— 2а (mx — my — 2жг) ,—■ е 2
л/2ж
1 «В — -. + (m — m — 2ж') • .— j е 2 dt I
У У2ж «н J
(25)
(26)
Применив обозначения (7), выражение для дисперсии (26) окончательно можно записать в виде:
2 2 ад ( а =а £ {
У x ,=-ад I
1 +
(mx — my — 2ж')2
[Ф(«б) — Ф(«ы)] —
1+
2(mx — my — 2жг)
(27)
[f(«б) — /(«и)] }.
Из выражения (27) видно, что погрешность оценки Gy на выходе фазометра зависит от СКО сдвига фаз входного сигнала фазометра gx. Учитывая выражения (5), (7), (8), (18) и (19), после совмещения mod y с нулевым значением и использования смещения моды в качестве
—ж
ж
2
а
Н
а
и
74 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013
= = _
результата измерения сдвига фаз, дисперсию центрированного процесса на выходе цифрового фазометра можно вычислить по выражению:
/ 0 \ 2 2 ш ( (ау) =ах е {
1 +
(2ж1)2
[ф(«В)-®Ю ]■
1 -
4жг
(28)
[/Ю-/(-0)] }■
-40
-20
Ла"
40
/
( и,= 0°
Зависимость погрешности СКО центрированного процесса на выходе фазометра
Аа° =а0-а
ху у х
(29)
30
60
150
Рисунок 4 - Погрешность СКО после ПФС - К и смещения моды фазы сигнала к нулевому значению
К
1,4
К.
1,2
щ— 0° /
В микропроцессорной системе хранение функциональной зависимости Ка (°0) в
табличном виде требует дополнительных аппаратных затрат, поэтому для приближенной оценки СКО фазы входного сигнала ах по значениям 0
а0, полученным на выходе фазометра, зависимость
Ка (а0) при а0 > 60 ° можно аппроксимировать параболической функцией и хранить в памяти микропроцессора только ее коэффициенты. Так, например, при исследовании эффективности рекуперативного торможения и работы компенсатора реактивной мощности в тяговых сетях железнодорожного транспорта измерение статистических параметров сдвига фаз пятой гармоники тока по обычному алгоритму давало результат т = 55 а 0 = 86 а уточненное значение этих же параметров по предла-
от а х представлена на рисунке 4, по ее виду можно заметить, что погрешность оценки СКО входного сигнала существенно возрастает при а х > 60
Используя выражение (28), можно найти конкретные значения поправочного коэффициента К , изображенного на риС „0
сунке 5 для различных значений а°,
умножением на который уточняется среднее квадратичное отклонение неискаженного фазометром процесса сдвига фаз:
а = К -а ■
х а у
(30)
30
60
90
град.
150
Рисунок 5 - Поправочный коэффициент для определения СКО фазы входного сигнала 6Х по значениям СКО на выходе фазометра 60У
гаемой методике составляет: mx = mody = 84 ° и ох = 96 т. е. Ка = 1,12. Таким образом, в
этом примере МО реального процесса было искажено фазометром, имеющим диапазон измерения ±180 более чем на 30 %, а СКО - на 12 %.
Структурная схема устройства, реализующего предложенный способ, представлена на рисунке 6. Устройство содержит генератор импульсов 1, преобразователь «фазовый сдвиг -код» (ПФС - К) 2, счетчик периодов входного сигнала за время измерения 3, делитель частоты 4, анализатор распределения плотности вероятности 5, множительное устройство 6, генератор управляющих сигналов 7, логический блок 8, индикаторное устройство 9.
Устройство работает следующим образом. Импульсы высокой частоты от генератора импульсов 1 поступают на вход делителя частоты 4. С выхода делителя частоты 4 импульсы, период которых определяет время измерения, поступают на вход генератора управляющих сигналов 7, формирующего на первом выходе сигнал начала измерения, на втором - сигнал, соответствующий концу измерения.
За время измерения в каждом периоде входных сигналов ПФС - К вырабатывает код, пропорциональный мгновенному значению сдвига фаз. Эти значения сдвига фаз поступают на информационный вход анализатора распределения 5, который определяет частоту попадания процесса на выходе ПФС - К в дискретные интервалы (кванты) и за время измерения формирует таблицу плотности вероятности распределения фазы.
Логический блок 8 сравнивает число попаданий сдвига фаз в различные кванты и формирует на выходе номер кванта, в котором зарегистрировано максимальное число попаданий процесса на выходе ПФС - К, что и соответствует результату измерения моды фазы сигнала. Полученное значение сдвига фазы, соответствующее максимальной вероятности, умножается в множительном устройстве 6 на масштабирующий коэффициент и передается на индикаторное устройство 9.
На первом выходе генератора управляющих сигналов 7 формируется импульс начальной установки счетчика периодов 3 и счетчиков в анализаторе распределения 5 в нуль. На втором выходе вырабатывается импульс конца измерения, который останавливает счетчик периодов, разрешает передачу измеренного значения моды с выхода логического блока 8 на вход множительного устройства 6 и переписывает результат измерения сдвига фаз в регистр индикаторного устройства.
Реализация предлагаемого способа расширяет сферу возможного применения фазовых измерений, особенно в условиях высокого уровня импульсных помех. Кроме того, предложенный способ довольно просто реализуется на основе микропроцессорной техники. Микропроцессор выполняет функции ПФС - К, вычисления моды и управления индикатором, хотя аппаратная реализация этих блоков позволяет получить более высокое быстродействие фазометра.
Предложенный способ реализован на основе микроконтроллера в фазоизмерительной системе, которая была использована для измерения сдвига фаз высших гармоник на тяговой подстанции переменного тока Восточно-Сибирской железной дороги, имеющей в составе оборудования компенсатор реактивной мощности и фильтросимметрирующее устройство. Эта фазоизмерительная система в указанных условиях сохраняла работоспособность и точность измерений в пределах 1 °, а обычный селективный цифровой фазометр был уже прак-
Рисунок 6 - Структурная схема цифрового фазометра повышенной точности
76 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013
: -
тически неработоспособным. Так, при ах = 60 ° и шх = 60 ° погрешность такого фазометра составляла 6 а при ах = 80 ° и шх = 60 ° уже превышала 20°. Такая большая величина погрешности отражается в неоднозначности показаний обычного фазометра при последовательных измерениях одного и того же среднего значения сдвига фаз и свидетельствует о его неработоспособности в указанных условиях. Отсутствие подобной погрешности подтверждает эффективность описываемого способа измерения сдвига фаз.
Таким образом, на основе полученных результатов можно сделать выводы:
описываемый способ обеспечивает повышение точности измерения сдвига фаз при больших флюктуациях фаз сигналов относительно среднего значения, в условиях нестабильных сигналов и при большом уровне импульсных помех;
способ предназначен для реализации на основе микропроцессорной техники.
Список литературы
1. Комякова, О. О. Гармонический анализ сетевого тока преобразователя, работающего в инвертерном режиме, при несимметричном несинусоидальном напряжении питающей сети [Текст] / О. О. Комякова, Т. В. Комякова // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2010. - № 4. - С. 55 - 62.
2. Чижма, С. Н. Адаптивный метод контроля симметричных составляющих в трехфазных системах электроснабжения [Текст] / С. Н. Чижма, А. А. Лаврухин // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2013. - № 1. - С. 76 - 82.
3. Прудников, А. П. Интегралы и ряды [Текст] / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука. 1981. - 797 с.
УДК 004.62
К. А. Фирсанов
ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ И ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОТСЧЕТОВ СИГНАЛА ПРИ НЕРАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ В ТРАКТЕ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОММУНИКАЦИОННОГО ОБОРУДОВАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМОГО НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ
В статье рассматриваются устойчивость и точность восстановления сигналов при периодически неравномерной дискретизации с использованием базисных функций sine. Точность и устойчивость рассмотрены для различных порядков системы преобразования, периода между базисными функциями, смещения базисных функций относительно восстанавливаемого отсчета.
Цифровая обработка сигналов находит применение в радиоэлектронных устройствах, используемых на железнодорожном транспорте [1 - 4]. Устройства приема, передачи и обработки информации, измерительные устройства разрабатываются и проектируются на основе обработки сигналов в цифровой форме. Для устройства цифровой обработки сигналов аналого-цифровое преобразование - одна из основных операций. Специфика железнодорожного транспорта проявляется в высоком уровне помех, что обусловливает высокие требования к динамическому диапазону аналого-цифрового преобразования. Как правило, разрядность аналого-цифрового преобразователя (АЦП) определяет динамический диапазон обрабатываемых сигналов. Несмотря на то, что существуют прецизионные 16- и 24-разрядные АЦП, вопрос динамического диапазона до сих пор остается актуальным. В работе [5] был предложен метод расширения динамического диапазона АЦП, в основе этого метода лежит неравномерная дискретизация обрабатываемого сигнала. Основная идея данного метода - это брать
