Математическая модель для расчета нестационарных волновых процессов в контактных сетях системы тягового электроснабжения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.372.21: 681.3.068

Н. В. Пашкова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В КОНТАКТНЫХ СЕТЯХ СИСТЕМЫ ТЯГОВОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

В статье рассмотрены особенности расчета нестационарных волновых процессов в системе тягового электроснабжения. Математическая модель для расчета волновых процессов в контактных сетях построена на основе модификации преобразования Лапласа в сочетании с использованием рядов Фурье. Осуществлено моделирование системы электроснабжения для выявления особенностей волновых процессов в тяговых сетях.

Волновые процессы в тяговых сетях переменного тока оказывают отрицательное влияние на линии электропередачи, проложенные вблизи железной дороги: линии телефонной и телеграфной связи, рельсовые цепи автоблокировки, силовые и осветительные сети, а также отрицательно сказываются на потерях энергии в системе тягового электроснабжения. Возможность эффективного анализа этих процессов с целью выработки технических решений, улучшающих условия функционирования электрооборудования систем тягового электроснабжения, является важной задачей, которая может решаться с привлечением математических методов, подтвержденных экспериментом.

Для оценки воздействия волн на изоляцию электрооборудования необходимы данные об амплитудных значениях напряжения и тока [1], а также о форме нестационарных процессов. Для этого расчет нужно проводить по мгновенным значениям напряжения и тока. Такое описание необходимо и для определения помех в сетях, влияющих на качество электроэнергии.

Натурные испытания и физическое моделирование не обеспечивают полноты информации по возможным волновым режимам и особенностям их влияния на изменения тока и напряжения по причине многообразия возникающих ситуаций, поэтому необходимо использовать имитационное моделирование, которое позволяет дополнить эксперимент и дает возможность исследовать волновые процессы в системе электроснабжения. Актуальность работы подтверждается «Энергетической стратегией ОАО «РЖД» на период до 2010 года и на перспективу до 2030 года», в соответствии с которой приоритетным направлением деятельности является снижение потерь электроэнергии [2].

Система электроснабжения может рассматриваться как соединение сосредоточенных и распределенных звеньев, каждое из которых представлено соответствующим активным или пассивным четырехполюсником. В расчетном отношении положительное свойство схемы состоит в том, что результирующая математическая модель формируется по математическим моделям ее звеньев-четырехполюсников.

Структурная схема участка переменного тока Зубково - Световская ЗападноСибирской железной дороги приведена на рисунке 1. Источниками ЭДС е1 и е2 моделируется питание от районных подстанций и линий продольного электроснабжения. В качестве примера рассматривается наиболее простой случай - межподстанционный участок при консольном питании (рисунок 2). Схема включает в себя источник синусоидального напряжения, участки линий электропередачи (ЛЭП) и контактной сети, тяговую подстанцию и электроподвижной состав (ЭПС). Тяговая сеть - это цепь с распределенными параметрами. Преобразователи электровозов являются источниками возмущений, которые приводят к появлению волн напряжения и тока в тяговой сети. Эти волны порождают гармоники тока, которые усиливаются или ослабляются в зависимости от длины межподстанционного участка, параметров электровозов, тяговых трансформаторов и т. д.

Нагрузка от ЭПС имитируется двухполюсником, подключенным через трансформатор к контактной сети. Данные рассуждения относятся к электровозам без рекуперации.

С учетом специфики метода были построены математические модели для основных элементов системы электроснабжения.

Наибольшую трудность представляет составление математических моделей для контактной сети и линии электропередачи [3].

е1 е2

Рисунок 1 - Структурная схема участка переменного тока Зубково - Световская

ЛЭП ТП КС ' г ЭПС ) О

е©

Рисунок 2 - Структурная схема участка электроснабжения при консольном питании

На рисунках 1, 2 обозначено: ЛЭП - линии электропередачи; ТП - тяговая подстанция; КС - контактная сеть; ЭПС - электроподвижной состав.

Для реализации предложенного метода было принято основное допущение: участки линий контактной сети представляются в виде модели однородной двухпроводной линии. Принципиально математический аппарат для исследования однородных линий известен. Основу его составляют так называемые телеграфные уравнения, которые представляют собой систему из двух дифференциальных уравнений в частных производных для тока и напряжения линии. Решение этих уравнений для установившихся режимов линий (расчет стационарных волновых режимов) не представляет существенных трудностей. Исследование переходных процессов (нестационарных волновых процессов) с учетом необходимых параметров линий встречает значительные затруднения. Предлагаемый метод основывается на модификации преобразования Лапласа, который позволяет получать решение в форме рядов Фурье без применения формул разложения, значительно усложняющих процесс расчета [4].

64 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013

(3)

В качестве расчетной берется модель однородной двухпроводной линии, которая описывается системой уравнений с частными производными (телеграфными уравнениями):

ди дг

--— К0 г + Ь0 —;

дх д^ ^

дг п , п ди

--— Ц, и + Со —,

дх д/

где Я0, Ь0, Go, С0 - первичные параметры линии.

Мгновенные значения напряжения и тока являются функциями двух переменных: времени I и пространственной координаты х. По координате х применяется прямое одностороннее преобразование Лапласа в его традиционной форме. В преобразованиях по координате ^ участвует преобразование Лапласа с конечными пределами:

Рт (рЬГ^1 / (О е*Л = —^7 Р%{р), (2)

1 е о 1 е

где т - интервал периодизации решения.

Преобразование (2) позволяет во временной области решение задачи выразить в форме рядов Фурье, благодаря чему расчет переходного процесса приобретает черты расчета установившихся синусоидальных режимов, что значительно облегчает математическое исследование волновых процессов в разветвленных системах. Прямое преобразование системы (1) по переменной времени I и пространства х приводит к уравнениям:

\и(ч,р) = иг(ч,р)+и2(ч,р)-, \1(<1,р)=1м>р) + 1г(<1>р)>

где их (Я,р) — * и(0Р)-У/) 1 (0Р); и (Я,Р) — ^ 1 (Я,0)-2о (р) Со и(Я,о).

Я - У (р) Я - У (р)

Ч Я 1 (0, Р )-Г (Р) и (о, р) т ( л яСо и (Я, о) -Го (Р) Ь 1 (Я,0)

I (я, р)——-—1——-; 12 (я, р)——-—1—2т\——; р и ч - ком-

Я - У2 (р) Я - У2 (р)

плексные переменные относительно координат I и х; и(х,р), г(х,р) - изображение напряжения и тока по координате и(ч,р), 1(ч,р) - двойное изображение напряжения и тока относительно координат х и и(х,0), /(х,0) - значения напряжения и тока при ^ = 0; и(0,р), /(0,р) - граничные условия по координате х, т. е. в начале линии при х = 0; и(ч,0), /(ч,0) - начальное распределение напряжения и тока в момент времени I = 0; у(р) — ^(р) • Г0 (р) - коэффициент распространения в операторной форме; ^ (р) — Щ + рЬ0, Г0 (р) — + рС0.

Величину напряжения в начале линии и(0, р) можно считать известной. Составляющая тока /(0, р) зависит от процессов в линии, поэтому ее определение возможно только в результате расчета переходного процесса. Начальное распределение напряжения и тока и(д, 0) и /(ч, 0) предварительно определяется в результате расчета установившегося режима линии.

В качестве примера рассмотрена схема участка тяговой сети (рисунок 3), содержащая тяговый трансформатор и тяговую сеть в пределах межподстанционного участка при консольном питании. Двухполюсник ^ — Щ + 'ш^. имитирует нагрузку ЭПС.

Сначала рассчитываются распределение напряжения и тока вдоль линий в момент I = 0 и распределение для момента времени I = т. Определение установившихся распределений сводится к расчету стационарных режимов входящих в состав системы линий (участков контактной сети) и трансформаторов тяговых подстанций.

из

Рисунок 3 - Схема замещения участка электроснабжения при консольном питании Система уравнений в комплексной форме для расчета установившегося режима имеет вид:

и2=А Д-М, /2=-с А+М, 1э=гэи2,

= (4)

й3=А2й2-В2Г2, 13=-СЛ2+А212,

^[зД-2/^],

где А 1 = еЬ у \1; = sh у \1; С = УВ sh у \1; А 2 = ch у 12; В2 = зЬ у 12;

С2 = УА зЬ у 12; У, = ±.

^г

Решая систему уравнений (4), определяем комплексы напряжения и токи на входах и выходах участков. Решение системы может быть осуществлено в символьном виде. Применяя метод последовательного исключения неизвестных, определяем изображения напряжения и тока. Затем записываем оригиналы в форме ряда Фурье с комплексными коэффициентами.

Система изображений для расчета переходных процессов, полученная с помощью преобразования Лапласа с конечными пределами, имеет вид:

и 2 (р ) = ли (р)-ад (р) +м„

12 ( р ) = -ОД ( р ) + ЛХ1Х ( р ) + N1,

13 (р) = Г (р)' и2 (р) + ьэ • ¥э (р)• IЭ (о, т),

12( р ) = -12 ( р ) + 1Э ( р ) ,

и3 (р ) = Л2и 2 ( р )-В212( р)+м 2,

0 = -с2и 2 (р)+Л212 (р)+N2,

и0 (р) = 2Ел (р) + Ев (р)-^ (р)• 1, (р)-2Ц (р) + Ц/„ (о,т),

0 = Ут (р)[3КА (р)- 27г (р) • 1, (р)- 3их (р)- Ц122 (о, т)],

(5)

66 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013

-

где A = ch[y(p) ^]; B = ZB(p) sh[y(p) ^]; Cx = YB(p) sh[y(p) ^];

Mi = u2 (h, p); N = h (h, p);

Л2 = ch[y(p) I2]; B2 = Zb (p) sh[y(p) I2]; C2 = YB (p) sh[y(p) I2];

M2 = u2 (^ p); n2 = h (^ p);

/11 (0, x) = -ic(0, x) + 2iA (0, x) + iB (0, x); i'22 (0, x) = ic( 0, x) -3/a (0, x);

ic(0, x) = iA (0, x) + iв (0, x) + ic (0, x).

Переход к оригиналам начинается с обратного преобразования по координате х. Наиболее просто при этом преобразуются первые составляющие двойного изображения U (q, p) и

h (q, p) , по структуре совпадающие с выражениями для установившегося синусоидального режима линии.

Составляющие u2(l,p) и i2(l,p) преобразуются к интегралам свертки для соответствующих функций-оригиналов. Эти выражения имеют сложную структуру, поэтому они подвергаются математическим преобразованиям для приведения к форме, не содержащей интегралов свертки. Наиболее простой путь интегрирования состоит в представлении интегралов через табличные значения с применением соотношений для гиперболических функций.

Обратное преобразование относительно функции времени t, т. е. переход к функциям действительных переменных u(x,t) и i(x,t), осуществляется на основе модифицированного преобразования Лапласа с конечными пределами, которому соответствует функция-оригинал в форме ряда Фурье:

1

2л

рт (Р) = /я (г) = - Е Ъ (^, = 21 • (6)

X £=_оо х

В результате формируются конечные соотношения для функций действительных переменных:

Um (X *) = 1 Z U1 (X jk —) + U2 (X jk —) g

x k=-<» x x

, 2л

]k—t;

1

iтX *) = " Z

k=-o>

'i(X jk ~) + i2(X jk ~) x x

, 2л

]k—t

(7)

Система уравнений (7) представляет собой ряды Фурье в комплексной форме. При этом величина х выбирается из условия: х > ^, где ^ - длительность переходного процесса.

Разработанный метод позволяет рассчитывать волновые процессы напряжения и тока в разветвленных сетях, содержащих элементы с сосредоточенными и распределенными параметрами.

В результате расчета и имитационного моделирования [5] были получены графики изменения тока от момента окончания интервала коммутации цепей электровоза до начала интервала нормальной работы (рисунки 4 и 5).

Сравнивая временные диаграммы, можно отметить следующее: при повышении значения Я0 увеличивается затухание волн тока; при увеличении длины межподстанционной зоны уменьшаются частота и амплитуда колебаний. Эти результаты соответствуют данным теоретических и экспериментальных исследований [6].

С помощью разработанной математической модели расчета волновых процессов в тяговых сетях переменного тока можно получать временные диаграммы напряжения и тока при различных схемах питания межподстанционных зон и исследовать влияние параметров системы электроснабжения на нестационарные процессы.

<

ад

№ 4(16) лл<« о ИЗВЕСТИЯ Транссиба 67

=2013 ■

Информационные технологии, автоматика, связь, телекоммуникации

/(О, А

100 0

-100 -200

^ с

Рисунок 4 - Изменение тока в линии (^ = 0,5 Ом/км, I = 40 км)

Рисунок 5 - Изменение тока в линии (^ = 0,7 Ом/км, I = 20 км)

Применение предложенного метода расчета нестационарных волновых процессов в тяговых сетях возможно при проектировании новых и реконструкции имеющихся элементов системы электроснабжения, а также для выявления факторов, ухудшающих качество электроэнергии и приводящих к аварийным режимам работы электрооборудования.

Список литературы

1. Кузнецов, А. А. Разработка технических средств и методики контроля состояния изоляторов контактной сети постоянного тока [Текст] / А. А. Кузнецов, А. Ю Кузьменко, Е. А. Кротенко // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2012. -С. 110 - 116.

2. Черемисин, В. Т. Основные направления реализации Федерального закона № 261-Ф3 от 23.11.2009 «Об энергосбережении...» в холдинге «Российские железные дороги»/ В. Т. Черемисин, М. М. Никифоров // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2010. - С. 119 - 124.

3. Пашкова, Н. В. Особенности расчета волновых процессов в линиях электропередачи / Н. В. Пашкова // Обеспечение экономически целесообразных условий работы железных до-

68 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 4(16) 2013

= = _

Информационные технологии, автоматика, связь, телекоммуникации

рог на основе оптимизации режимов работы электротехнических комплексов: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2008. - С. 58 - 61.

4. Пашкова, Н. В. Разработка метода оценки влияния параметров системы электроснабжения на волновые процессы в тяговых сетях: Дис... канд. техн. наук / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2004. - 164 с.

5. Пашкова, Н. В. Применение имитационного моделирования для определения влияния параметров системы электроснабжения на волновые процессы в тяговых сетях/ Н. В. Пашкова // Разработка и исследование автоматизированных средств контроля и управления для предприятий железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск, 2005. - С. 36 - 39.

6. Зажирко, В. Н. Влияние волновых процессов на гармонический состав напряжений и токов в контактной сети переменного тока / В. Н. Зажирко, В. В. Черемисин // Разработка и исследование автоматизированных средств контроля и управления для предприятий железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Омская гос. акад. путей сообщения. -Омск, 1999. - С. 6 - 13.

УДК 621.317

В. В. Петров, А. Т. Когут, А. А. Лаврухин

ИЗМЕРЕНИЕ СДВИГОВ ФАЗ В ТЯГОВЫХ СЕТЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

В работе выполнен анализ причин возникновения погрешностей измерения сдвигов фаз гармонических составляющих в тяговых сетях электроснабжения железнодорожного транспорта и описан способ повышения точности измерения.

Важную роль в исследовании качества электроэнергии в тяговых сетях железнодорожного транспорта играют фазовые измерения, что теоретически обосновано в работах [1, 2] на основе гармонического анализа и математического моделирования в среде MathСad различных режимов работы сетей электроснабжения в условиях рекуперации, несинусоидальности и несимметрии питающих напряжений. На реальных подстанциях электроснабжения тяговых сетей, имеющих нелинейный резкопеременный характер нагрузки, присутствует широкий спектральный состав токов и напряжений, а между гармониками возникают значительные флюктуации сдвигов фаз, превышающих ± 180 °.

Особенность фазовых измерений в таких условиях заключается в том, что широкий диапазон флюктуаций фаз и резкопеременные колебания амплитуды тока нагрузки, а также искаженная форма тока и напряжения увеличивают погрешность обычных цифровых способов измерения сдвига фаз до десятков градусов, что делает их практически непригодными в таких условиях. Например, применение операции усреднения последовательных измерений сдвигов фаз за несколько периодов основной частоты сети и получение результата измерения в качестве математического ожидания может привести к существенным погрешностям и неверным выводам. Причем величина такой погрешности зависит как от среднеквадратичного отклонения (СКО), так и от математического ожидания (МО) разности фаз.

Рассмотрим причину возникновения подобной погрешности в обычном фазометре, измеряющем среднее значение сдвига фаз. За каждый период входных сигналов осуществляется измерение сдвига фаз в диапазоне ± 180 °, что после усреднения полученных значений искажает функцию плотности вероятности реального процесса Р(х) при больших значениях флюктуации фаз входных сигналов. Оценим погрешность МО, определенного как среднее