Применение операционного подхода к анализу экономических систем Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

-►

Управление в социальных и экономических системах

УДК 519.866

А.В. Медведев, П.Н. Победаш

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ПОДХОДА К АНАЛИЗУ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Развитие современных производственных экономических систем (ЭС) на микро-, мезо-, макро- либо даже на мегаэкономическом уровнях (т. е. на уровне отдельного предприятия, отрасли, региона, страны или планеты в целом) определяется множеством факторов - уровнем инфляции, конъюнктурой спроса и предложения на производимую продукцию, ее стоимостью, производительностью основных производственных фондов (ОПФ) и др. Поэтому лицу, принимающему решение (ЛПР), как правило, сложно оценить последствия того или иного инвестиционного решения без использования математических методов анализа. При этом особенно важен этап предварительной оценки инвестиционных проектов (ИП), необходимый для определения в первом приближении требуемых для его реализации инвестиционных ресурсов и эффективности проекта. Это объясняется тем, что принятие неэффективного проекта влечет за собой убытки или «замораживание» средств, которые можно использовать в более доходных ИП. В этой связи актуальна задача разработки единой методологии предварительной оценки проектов реального инвестирования (инвестирования в ОПФ). При этом в ЭС уменьшение стоимости большинства активов с течением времени в силу физического или морального износа учитывается путем дисконтирования по ставке, учитывающей требования доходности инвестора и различные риски ИП.

В данной статье предлагается операционный подход к анализу инвестиционных проектов развития ЭС, описываемых в классе многокритериальных многошаговых задач линейного программирования (ММЗЛП), основанный на применении к ограничениям этих задач оператора, являющегося аналогом ¿-преобразования на конечном интервале времени, для построения и анализа задач меньшей размерности.

Далее приведены основные принципы и структурные элементы моделей, используемые на стадии предынвестиционной оценки эффективности ЭС:

1) основной критерий эффективности функционирования ЭС - чистая дисконтированная стоимость (NPV) средств ЛПР (производителя, потребителя, управляющего центра и т. п.).

= £ ^^ (I = 1, - где ДЩО - де-

,=0 (1 + г)

нежные потоки 1-го ЛПР в момент ?, г - ставка дисконтирования;

2) общее уравнение баланса текущих денежных средств 1-го ЛПР Ds¡(f) (I = 1, ..., К) в момент ?, участвующих в любом ИП, формально имеет вид Dsl(t + 1) = Dsl(t) + Psl(t + 1) - Р1(? + 1)(? = 0, ..., Т - 1), где Ps¡ (? +1), Р1 ! (? +1) - соответственно поступления и платежи ¡-го ЛПР, Т - срок действия ИП, N - количество ЛПР;

3) текущие денежные средства любого ЛПР неотрицательны в течение всего периода действия ИП: Dsl (?) > 0 (? = 1, ..., Т; ¡ = 1, ..., N), что является обязательным условием реализуемости проекта;

4) выручка от реализации продукции Як(?) к-го вида производственной деятельности ЭС удовлетворяет ограничениям Як (?) < тт(дк (?),Ек (?)) (к = 1,..., п), где дк(Г) и Ек(?) - соответственно спрос на продукцию к-го вида и максимальный объем произведенной продукции к-го вида в стоимостном выражении в момент ?, определяемый уровнем научно-технического прогресса;

5) риски учитываются по формуле г. = г + г, где г., г, г - соответственно ставки дисконтирования с учетом и без учета риска и уровень инфляции;

Научно-технические ведомости СПбГПУ 6-2' 2011 ^ Информатика. Телекоммуникации. Управление

6) из п. 1-5 и линейного алгоритма расчета доходов и расходов ЛПР при абстрагировании от несущественных для предварительного анализа бухгалтерских и финансовых деталей следует линейность модели [1];

7) многокритериальность модели учитывает взаимосвязь интересов всех ЛПР.

С учетом представленных принципов и структурных элементов моделей функционирование широкого класса ЭС, исследованных в работах [2-4 и др.], можно описать в виде следующей ММЗЛП:

х,. (t +1) = £ av (t)xj (t) + £ ba (t)u, (t) - 5,. (t),

j=i

x(0) = a(t), x(T) = xf(i =1, n);

n rt

£ Cjj (t) Xj (t) + £ du (t )u, (t) < hk (t )(k = 1, ..., m,),

(1)

j=i

u, (t) > 0(l = r/ +1, ..., rt; t = 0, ..., T -1); J = {J', ..., JN } ^ max,

(2)

(3)

где Jv = ([(^ (t ),x(t)) + (bv (t),u(0)] + ]= ((),

t =0

x(T)) - v-й целевой критерий; u(t) = [ul (t)] e Rr', x(t) = [xt (t)] e Rn - управляющий и фазовый векторы соответственно; а = [а. ] e Rn; s(t) = [s. (t)] e e Rn; h(t) = fo (t)] e Rm ; ' аv (t) = [аv (t)]'e Rn; bv (t) = [bv (t)] e Rr - векторы задачи (1)-(3); t = 0, ..., T; i, j = 1, ..., n; l = 1, ..., r; к = 1, ..., m; v = 1, ..., N - номер критерия; r r/, m Т, N -размерность вектора u(t) и его неограниченной по знаку части, число ограничений и шагов и количество критериев соответственно; (аv (t),x(t));(bv (t),u(t)) - скалярные произведения векторов аv(t) и x(t), а также bv(t) и u(t) соответственно.

Согласно [5], задача (1)-(3) эквивалентна од-нокритериальной задаче (1), (2) с максимизацией целевой функции в виде свертки критериев:

N

J (ц) = (ц Jmax, (4)

V = 1

где вектор параметров ц e М = j(ци ..., цN) e EN :

N

Цv> 0(v = 1, ..., N);= .

V=1 J

Покажем применение операционного подхода на примере, когда

ау (t) = а у = const; ckj (t) = ckj = const;

r/ = 0(t = 0, ..., T -1);

1 -V

av (t) =-a e Rn (t = 0, ..., T -1;

(1 + r)'

v = 1, ..., N -1); av (T) = (0, ..., 0)e Rn,

—V

где вектор a = const e Rn (v = 1, ..., N-1). Последнее из условий (5) выполнено, т. к. слагаемое

n

(av (T), x(T)) = £ aV (T)xT = const в выражении

i= 1

TV

J не меняет оптимума в пространстве переменных. Применяя при z = 1 + r к уравнениям задачи (1), (2), (4) оператор ZT вида:

def T-1

Zt (x(t)) = X(z, T) = £ x(t)z(z * 0), (6)

t =0

являющийся аналогом z-преобразования для конечного T, в силу свойства

ZT (x(t +1)) = z[X (z, T) + x(T)z-T - x(0)], (7)

получим операторные уравнения:

z[X, (z, T) + xfz-T - a,. ] = ajXj (z, T) +

j=' (8)

T-1 f г, Л

+ £ £b, (t)u (t) - s, (t) z(i = 1,..., n).

t=0 у l=1 у

Аналогично применяя оператор (6) к неравенствам (2), получим более простые (агрегированные) ограничения, чем соотношения (2). При этом в силу структуры коэффициентов aV (t) e Rn (t = 0, ..., T -1; v = 1, ..., N -1) (см. (5)), критерии выражаются через линейную комбинацию изображений Xt(z,T)(i = 1, ..., n). Полученную задачу назовем Zj-задачей, соответствующей исходной ММЗЛП (1)—(3). Примеры таких ZT-задач приведены в публикациях [3, 6]. Подход, основанный на применении оператора (6) к линейной задаче (1), (2), (4) для построения и анализа ZT-задачи меньшей размерности, назовем операционным подходом.

При T ^ +<» из формулы (6) имеем

def def ■»

lim ZT(x(t)) = Z(x(t)) = X(z) = £x(t) z-'(z>1), T t=0 причем для сходимости последнего ряда достаточно ограниченности последовательности {x(t)}(? = 0, 1, ...) и условия z >1. Так как указанный ряд сходится, а, значит, по необходимому признаку сходимости lim x(t)z~' = 0 , и, в частности,

lim x(T)z- = 0,

(9)

то (7) примет вид Z (x(t +1)) = z[X(z) - x(0)].

4

Управление в социальных и экономических системах^

При T ^ +<» из 2г-задачи, в силу (9), получим более простую ЗЛП, которую назовем Z-задачей (см. [1]).

Следует отметить, что в модели из работы [4], в отличие от остальных указанных моделей, имеются критерии без дисконтирования:

n

J = ^аjXj(T) ^ max , (10)

j=i

которые с учетом предельного соотношения из [7] lim x(t) = lim(z - 1)X(z), при T ^ +<» пред-

t z

ставим в форме

n

J = lim (z - 1)Уа X (z) ^ max. (11)

z ^1+0 j j

j=1

Заметим, что критерий общего вида

не-

J = £[(a(t), x(t)) + (b(t), u(t))] + (a(T), x(T))

t=0

сложно представить в форме (10) с помощью дополнительной фазовой переменной y(t), удовлетворяющей уравнению движения У (t +1) = У (t) + (a(t), x(t)) + (b(t), u (t ))(t = 0,...,T-1), y(0) = 0 . Тогда условие J ^ max равносильно y(T) ^ max .

Наличие критериев вида (11) приводит к ЗЛП, в которой помимо z-изображений

def »

Uk+k(z) = ZuK+k(t)z(k = 1, K^ фигурирует

сходящийся

ael ^

ряд UK+k (1) = Z u K+k

(t )(k = 1, ..., K)

Поэтому назовем ее (zD-моделъю, соответствующей исходной ММЗЛП. Если не до-

казана сходимость этого ряда, то целесообразно заменить его на ряд более общего

def »

вида ик+к(¿0) = £ и к+к(?) г- (к = 1,..., К), где

?=0

г0 ^ 1 + 0, используя для численного анализа эффективности ИП развития ЭС авторский пакет программ [8]. Задачу, полученную такой заменой, назовем (г,г ^-задачей.

Анализ 2Т-задачи (2-задачи или (г,1)-зада-чи), после выражения изображений Х1 (г,Т) (г = 1, ..., п) из уравнений (8), с учетом (4) позволяет для ММЗЛП (1)-(3) на конечном (либо бесконечном) интервале получать широкий спектр результатов: доказывать существование решения; получать аналитические оценки на значения управляющих переменных и критериев; находить достаточные условия неэффективности ИП развития ЭС на этапе их предварительной многокритериальной оценки.

В статье рассмотрены основные этапы операционного подхода для анализа ИП развития ЭС, описываемых ММЗЛП, предложено его расширение при наличии критериев без дисконтирования. Подход позволяет доказывать разрешимость данных задач, получать оценки на управления и критерии, достаточные условия неэффективности этих ИП.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы». НИР 2.1.1/2710.

список литературы

1. Медведев, А.В. Применение z-преобразования к исследованию многокритериальных линейных моделей регионального экономического развития [Текст] / А.В. Медведев. -Красноярск: Изд-во Сиб. гос. аэрокос-мич. ун-та, 2008. -228 с.

2. Победаш, П.Н. Анализ двухкритериальной модели оптимального управления реальными инвестициями с неопределенным спросом [Текст] / П.Н. Победаш // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2009. -№ 5 (86). -С. 114-119.

3. Победаш, П.Н. Анализ модели оптимального управления реальными инвестициями на основе операционного подхода [Текст] / П.Н. Победаш // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2009. - № 6 (91). -С. 75-81.

4. Медведев, А.В. Математическая модель глобального социально-экономического развития [Текст] /

А.В. Медведев, Е.С. Семенкин, П.Н. Победаш // Вестник Сибирского гос. аэрокосмического ун-та. -2010. -Вып. 5 (31). -С. 137-142.

5. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления, приложения / Р. Штойер. -М.: Наука, 1982. - 600 с.

6. Победаш, П.Н. Анализ модели инновационного развития производственного предприятия на основе операционного подхода [Текст] / П.Н. Победаш // Научно-технические ведомости Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2010. - № 5 (108). -С. 71-74.

7. Мартыненко, В.С. Операционное исчисление [Текст] / В.С. Мартыненко. - К.: Выща шк., 1990. -359 с.

8. Медведев, А.В. Конструктор и решатель дискретных задач оптимального управления («Карма») [Текст] / А.В. Медведев, П.Н. Победаш, А.В. Смольяни-нов, М.А. Горбунов // Св-во Роспатента № 2008614387 от 11.09.2008.

t=0