Анализ двухкритериальной модели оптимального управления реальными инвестициями с неопределенным спросом Текст научной статьи по специальности «Математика»

первой по порядку конъюнкции в подмножестве Gs, для которого выполняется условие

I'Л,\к= I.....л,— 1.

Исходя из этого настроечный этап представляет собой итерационную процедуру изменения параметров ФП термов

W=G(Ly.,W*{f)\ / = 5 = 2,..., (7)

продолжающуюся до тех пор, пока не будет получена модель с минимальным значением критерия J{e).

На каждой итерации процедуры (7) решаются задачи многомерной оптимизации (4), (5). Количество итераций метода случайного поиска определяет количество итераций / процедуры

а...).

Сходимость процедуры (7) к | min J(e) обеспечивается: 1) ограниченностью шума и] < зо; 2) подстройкой функций принадлежно-

сти процедурой (г(...), направленной на безусловную минимизацию функции У(е); 3) выбором оптимального значения 5, а также параметров градиентного метода / ие, обеспечивающих его сходимость.

В результате формируется лингвистическая модель, которая в максимальной степени адекватна моделируемой системе при требуемом уровне селективности.

Рассмотренный метод автоматизации процесса приближенного моделирования в отличие от известных методов обладает достаточной гибкостью и устойчивостью к субъективным факторам за счет автоматического определения наилучших параметров модели в соответствии с начальными условиями.

Лингвистические модели достаточно хорошо себя зарекомендовали [4, 5] и нашли широкое применение во многих сферах человеческой деятельности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Токарев В Л. Основы теории обеспечения рациональности решений: Монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. 120 с.

2. Загоруйко Н.Г., Ёлкина В.Н., Лбов Г.С. Алгоритмы обнаружения эмпирических закономерностей. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987. 120 с.

4. Токарев В.Л. Логико-лингвистические модели в задачах управления сложными объектами // Автоматизация и современные технологии. 1999. № 3. С. 35-39.

5. Орлов C.B. Об одном механизме постановки диагноза в экспертной системе медицинской диагностики // Нечеткие системы и мягкие вычисления. 2007. Т. 2, № 2. С. 41-48.

УДК 519.866

П.Н. Победаш

АНАЛИЗ ДВУХКРИТЕРИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕАЛЬНЫМИ ИНВЕСТИЦИЯМИ С НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ СПРОСОМ

Анализируя инвестиционные проекты (ИП), лица, принимающие решение (Л П Р), всегда осуществляет два этапа их оценки — предварительной и детальной проработки проектов. При этом часто важнее оценить и научно обосновать решение, принятое на предварительном этапе, так как именно на этой стадии ошибка в оценке про-

екта может привести к выбору неэффективного (отказу от эффективного) ИП, что влечет за собой неоправданно высокие затраты. На фоне многочисленных работ по инвестиционному анализу с учетом целей нескольких экономических агентов особенно заметно, что мало публикаций, в которых принимают во внимание неопре-

деленность денежных потоков, инициируемых рассматриваемым проектом, и спроса на производимую продукцию, а также максимальную фондоотдачу используемых основных производственных фондов (ОПФ) и т. п. В предлагаемой статье для управления процессом реального инвестирования (т. е. инвестирования в ОПФ — оборудование, станки и т. п.) на этапе предварительного анализа ИП используется многокритериальный оптимизационный подход, позволяющий оценить наибольшую привлекательность проекта с учетом интересов каждого его участника.

Рассмотрим задачу, обобщающую постановку, принятую в [1], на случай двух критериев, когда учитываются интересы двух лиц — предприятия и государственного органа (налогового центра). Сформулируем ее следующим образом. Предприятие располагает собственным начальным капиталом и предполагает производить продукцию нескольких видов, спрос на которую неизвестен в силу инновационности проекта, отсутствия соответствующей статистики и других причин. При этом известны технико-экономические характеристики ОПФ, участвующих в производстве: стоимость, срок службы, а также производительность единицы ОПФ и стоимость единицы производимой продукции каждого вида. Требуется определить суммы инвестиций, выделяемые инвестором (налоговым центром) и предприятием на реализацию ИП в целом и по каждому виду ОПФ в отдельности, при которых их суммарные дисконтированные денежные потоки, порождаемые данным ИП за определенный период, максимальны. Будем понимать оптимальность инвестирования в смысле Парето.

Предполагаем, что выполнены следующие предпосылки: 1) учитываются налоги, составляющие большую часть затрат предприятия, — на добавленную стоимость (НДС), на прибыль (НП), на имущество (НИ), единый социальный (ЕСН) и отчисления в фонд оплаты труда (ФОТ); 2) на предприятии имеются достаточные запасы сырья;

3)срок ^действия ИП меньше сроков Тк службы единицы ОПФ каждого типа: Т< Тк(к=\,...,п)\

4) на ОПФ каждого вида производится лишь один тип продукции. С учетом приведенных предпосылок сформулированная задача имеет вид двухкритериальной многошаговой задачи линейного программирования (МЗЛП), которую согласно [2] назовем моделью В1:

хк(1 + 1) = **(/) + ик(» (к = 1,..., л; Г=0,..., Т— 1),

С + 0 = -£ ** (О / Тк + (/) + £ ик о к=1 *=1 (/ = 0, ...,Г-1),

(1)

хп+2 (' + !) = ~<*2хп+1 (0 + хп+г (О -

-£«*(') + «2*+1 (0 + и2п+2(О 0 = °)> к=1

*л+2 С + О = «3 £ ~ 6*Л+1 (0 + хп+2 (0 "

*=1 1к

*=| *=1

х*(0) = 0(*=1,...,л + 2); хя+2(/)>0(г=1.....7);

к=1 1к А=1

(/ = 1,...,Г —1); ип + к{1)<&кхк(г)(к = 1,„.,л;/= 1,..., Т— 1); и2л+1(0)</0, и2п + 2(0)<Ко,

ик(0>0(к= 1,л; /= 0.....Т— 1);

ыл + ,(/)>0(Л=1,...,л;/= 1,..., Т— 1); и2л+1(0)>0, «2л + 2(0)>0;

/={/,,/2}->тах, (2)

где

т-\ + 1 /=1

У1 = -«2п+|(0)-«2л + 2(0) +

а31^-ехп+1(0 + у£"я+*(0

к=I 'к *=1

8х,

л+1

(1+Г)'

(1 + г

Г-1

Л= £

Л V- (¡\

-аз I 4М + вхя+1(0 + Р I

к=1

Тк

л

I к=1

/=Г

(1 + г/

— соответственно дисконтированные суммы собственных средств предприятия и налогового центра; ик(0(1=0,..., Т- 1 ),и„ + к0)(к= 1,..., л; г= 1, ..., Т- 1), м2л + ,(0) и м2л + 2(0) —стоимостьприобретаемых ОПФ, выручка от реализации продукции А-готипа, внешние и внутренние инвестиции соответственно; хк(г) (к = 1,п), х„ + ,(/). х„ + 2(0 (Г = 0, ..., 7) — накопленная стоимость

всех ОПФ /с-го типа, остаточная стоимость всех ОПФ, текущие денежные средства предприятия в момент г, Ук, Тк, ск и Рк — производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ и стоимость единицы продукции к-го типа; /0, А^ — суммы внешних и внутренних инвестиций, выделяемых на весь срок действия ИП; а,, а2, а3, а4 - ставки НДС, НИ, НП и ЕСН (НДС включается в цену продукции, поэтому можно считать, что а[ = 0); р—доля выручки от реализации, выделяемая на ФОТ; 0 = (1 — а3)а2, = Рк Ук/ск (к= 1,..., л), у=(1 - а3)( 1 - Р), р = (1 - Р)а3 + а4Р; г - ставка доходности ИП; 5 (0 < 8 < 1) — доля остаточной стоимости всех ОПФ на момент /= Т от ее балансовой стоимости, определяемая в общем случае экспертно.

Согласно [3] многокритериальная МЗЛП (ММЗЛП) (1), (2) равносильна однокритериаль-ной задаче с условиями (1) и максимизацией свертки критериев У(р) = р,/, + р7У2, где р € М— = <(р,;р2) е #|й/>0(/ = 1,2); р, + р2 = 1}-вектор параметров, Е2 - двумерное евклидово пространство. Поскольку р2 = 1 — р,, то, обозначая р = Р|, перейдем от ММЗЛП (1), (2) к эквивалентной ей однокритсриальной задаче (1) при условии:

У(р) = рУ, + (1-р)У2->тах(р€(0; 1)). (3)

Для задачи (I), (3) имеет место лемма [2].

Лемма. Для оптимальных значений переменных и* + к0) и х*к(1) (к = 1, ..., л; /= 1, ..., Т— 1) модели (I), (3) справедливы равенства:

*/„ + *(/) = 5*4(0 (* = 1,..., л; /= 1,..., Т- 1). (4)

Здесь и далее звездочкой обозначены оптимальные значения переменных и критериев. Условие (4) означает: в оптимуме выручка от реализации равна стоимости произведенной по каждому виду продукции.

Подставляя (4) в условия задачи (1), (3) и перенумеровывая ы2л + ,(0) и «2л+ 2(0)как ип+1(0) и ил + 2(0), получаем МЗЛП, эквивалентную указанной:

хк(1+ 1) = хк(Г) + ик(0 (£ = 1,л; /=0,..., Т-1), С + 1) ■= -1 ** (0 / Тк + хя+| (0 + £ (О

хя+2(( +1) = *„+2(0-1«, (0+"я+, (О + "п+2(0

*„+2 (/ +1) = I /кхк (/) - 0хп+1 (/) + хп+2 (0-11

*=I *=1

(/ = 1, ...,Г —1);

хл(0) = 0(А=1,...,я + 2); хя+2(0>0(/= 1,..., 7);

1аЛ(0-а2хл + 1(/)>0(Г=1,..., Т-\), (5) «л+1(/)</0;ия+2(/)<^(Г=0); мА(/)>0(Л= 1,л;/=0,Т— 1), и*(/)>0(* = л + 1,л + 2;/=0);

п+2

(0)] +

г_, ¿Р*дг*(0_(2р - 1)Э.у„+|(/)

ъ+ц5хЦГ)^тах(це(0;1)) (1 + г)

где ук = аЪ/Тк + у5*; со* = -а3/Тк + рЬк; =(' - Р)5*~ 1/7* Ра=РУ*+ (1 - (к= 1,...,я). Модель, полученную из задачи (5) исключением второго неравенства —условия неотрицательности прибыли, назовем моделью С. Обозначим для большей содержательной наглядности ИРУ(^) = рА1РУ\ + (1 - р)ЫРУ|,

ИРУ(\х.) = \аИРУ* + (1-р)Л7>К* (р е [0; 1])—оптимальные значения сверток целевых критериев

в ММЗЛП В\ и С, где Д!РУ*, МРУ* (/ = 1, 2) -соответствующие Парето-оптимуму значения целевых функций в указанных задачах. При этом обозначение ИРУ*(\х) (или ИРУ (р)) вполне обосновано с экономической точки зрения, если полагать, что случайная величина АГ/'К(соответ-

ственно МРУ) принимает значение ИРУ\ _*

(ИР У,) с вероятностью р е [0; 1],атакжезначе-_*

ние ИРУ\ (ИРУ,) с вероятностью 1 — р. Тогда

АгЯР(р)(или ИРУ (р)) можно трактовать формально как математическое ожидание, или среднее значение, чистой приведенной стоимости средств всех ЛПР, полученной в результате реализации ИП, формируемого по модели 51 (С). Имеет место теорема 1. представленная ниже.

Теорема 1. В задачах В1 и С существует оптимальное управление, причем Л7>К'(ц)<ЛГ/,К(ц)(Уце[0; 1]).

Отметим, что обозначение №РУ*(ц) (или -•

ИРУ (ц)) вполне обоснованно, ибо содержательно эту величину можно трактовать как среднее значение чистой приведенной стоимости средств всех Л ПР, полученной в результате реализации ИП в соответствии с моделью ВI (С).

Поскольку по теореме 1 решение МЗЛП С существует, то, применяя дискретный принцип максимума [4] к указанной задаче, запишем двойственные статические задачи линейного программирования (ЗЛП) в следующем виде:

штНп«у,Х1(0>Д«+ !)+/£+1('+ 1)-К+2(/+1)

(к— 1.....п), Х,(г)>0 (г= Т- 1,..., 1). (6)

Здесь #„(/) =

*ю=Хгл(0(0+^2(0 ;

* I

т1пЯ1)(/);1|(/)>^+ 1 ) + р*+1(г + 1)-

-р*я+2«+1) (¿=1,...,*); (7)

-к,(0 + Ь2(г)>р: + 2(г+ 1) — 1; -*,(') + + Х3(1) >р\ + 2<л+ 1) - 1; \р) > 0 (/= 1, 3; V= 0),

где Но(0 = /0л2(/) + А^3(/).

При этом двойственные уравнения движения имеют вид:

\)—р*п+ |(г+ \)/Тк+ук[р*„+2(1+ 1) + + ВД] + рл(1+г)-'] (А-1.....я);

+ (2ц-1)(1+г)"'];

Р*п + 2(» = Р*п + 2«+ 1) + Х?(0(> = Т— 1,..., 1), (8)

где согласно [4] имеет место равенство

ДО = 0(*= 1,...,л + 2,**л+ 1);^+1(Г) = = ц6(1+г)'-г(г= 7). (9)

Заметим, что в с илу теоремы 1 решение ЗЛ П (6) и (7) существует. Найдем значение ЫРУ . Очевидно, в любом случае решением задачи (6) является значение, определяемое по формуле

Х(1) = тах[0; тах {рк(! + I)+/>,'„(/ + 1)-

....." (10)

+1)}] (/е {Г-1,...,1>).

Найдем условия, при которых выполняется равенство

Х.*(/) = 0(/= Т- 1.....1),

т. е. в силу (10)

(11)

P*k(t+ l)+P*„ + i(t+\)-pUi(t+ О^о

(к = 1,..., л; /— Т— 1,..., 1). (12)

Полагая в последнем неравенстве t= Т— 1 и учитывая (9), получаем: ц8(1 + г)1 ~ г<0, откуда следует, что 5 = 0, так как ц > 0. Тогда условия (9) примут вид:

= 0 (*=!,..., „ + 2) (/=7). (13)

Поскольку общее решение следующего линейного разностного уравнения 1-го порядка X, = Xl+l +g(t)(t= Т- 1,...,0) можно записать в виде формулы

x,=xr + YsU) О = Т,...,0), t*i

где Хт— const — заданное конечное значение, то, применяя ее к уравнениям (8) и учитывая (11) и (13), получаем:

.....»)•

rTk(\ + r?

PU0=^^[(1 + гу-г-(1 + г)-'Уп+2«=0; Р*(7) = 0(к = 1,..., л + 2), V(0-0(r-r-l,.„,l). (14)

Подставляя (14) в (12) и учитывая, что (12) при/= Т— 1 истинно в силу (13), найдем:

г2Г4(1 + г)г-'

|[r7tpt4-9(2^-l)(l-r7A.)]^0

r%(\ + r)'

(к = 1, ...,«;/ = T -2.....1).

Полагая fk(t) = AJ(1 + г)'1 - (1 + г)1 " т] -- е*2ц - 1К Т- 1 - г)( 1 + /•)' - ти= Т- 2,..., 1), гдеДА = гТк(рк — 9(2ц - 1)) + 9(2ц- !)(* = I,...,л), перепишем последнее неравенство в виде

fk(t)<0(k = I,= Т- 2,..., I). (15)

Очевидно, что условие (15) осмысленно лишь для Т> 3.

Анализируя случаи Л* < 0, Л* = 0 и Л* > 0 (к е {1,..., л}) и исследуя функции/^/) на монотонность и экстремум при различных сочетаниях значений параметров г > 0; 0 > 0; р е (0; 1), получаем теорему.

Теорема 2. Если г > 0; 8 = 0 и имеют место условия

\t <0(ц>1/2);

0< eri^-w^(m>1/2)(7W = i.....л (16)

4 (l + r)r"J-l

то оптимальные значения управляющих и фазовых переменных МЗЛП, двойственной к задаче С, определяются формулами (14).

Заметим, что при Т= 2 для выполнения формул (14) достаточно, чтобы г > 0; 8 = 0. Можно обобщить теорему 2, отказавшись от условия 8 = 0 и потребовав выполнения неравенства (12), например, для t = Т— 2,1. При этом, полагая в (6) /= Т- 1 и учитывая (9), получаем ЗЛП вида min v(/)X, (0, *.,(!) > рб( 1 + г)'-г; Я.,(1) >0 (/= Т-1), где

п

v(0 = £т**1(0-в*«|(0 +

*=i

Несложно показать, что X,*( Т— 1) = р5(1 +г) является решением этой задачи.

Пусть выполняются условия теоремы 2. Подставляя исходные данные задачи Си (14) в выражение целевого критерия Jц двойственной к ней МЗЛП и учитывая, что ./о = .//. = ИРУ (р), получаем оптимальное значение целевого критерия в задаче С: ИРу'(ц) = 10Х'Л0) + К0Х'Л0). Принимая во внимание (14) при 1= 1, последнее выражение и решая ЗЛП (7), имеем:

где

NPV (р) = (/0+^0)Л.

Л = max[0;x -1], X = тах[0; ^тах х* ],

(17)

г%

к -

[A,+er(2p-ixr-i)i

0+гГ'

(к = 1,...,«) .(18)

Поскольку для оптимальных значений ИРУ*(\\) и ИРУ (р) целевых критериев в моделях В\ и Спотеореме 1 имеет место неравенство ИРУ\\х) < ИРУ (р), то в силу (17) и теоремы 2 получим теорему.

Теорема 3. Если г > 0; 8 = 0 и Справедливы неравенства (16), то НРУ*(ц) удовлетворяет условию

ИРУ( р)<(/0 + Л^)л,

(19)

где величина п определяется формулами (18).

Заметим, что если 1 -е неравенство (16) справедливо для всех к = 1, ..., л, то с учетом (18) и соотношений

X* =

1

(

г%

Л,

1-

9г(2р-1Х7--

I-г

(1 + г)т~* ] (1 +г)г-'

<0(* = 1, ...,п)

имеем X < 0, откуда следует, что л = 0. Поэтому по условию (19) получим: ИРУ(ц)<0. С другой стороны, поскольку нулевые управления в модели В1 являются допустимыми и им соответствует ИРУ{\1) = 0, то ИРУ(р) > 0, откуда найдем: ИРУ (р.)=0. Таким образом, получено следствие I.

Следствие 1. Если г > 0; 8 = 0 и справедливо лишь 1-е неравенство (16), то оптимальное значение свертки критериев /*(р) = ИРУ(\1) ИП, описываемого моделью В\, равно нулю: ИРУ( р) = 0.

Отметим, что из доказательства следствия 1 следует

Х -тах[0; тахх*]. (20)

*.Л,>0

Рассматривая частный случай, когда г) = 0, т. е. согласно (18) выполнено условие X - К и учитывая (20), из теоремы 3 получаем следствие 2.

Следствие 2. Если г > 0; 8 = 0, выполняется 2-е условие (16) и г

0г(2р-1Х7--1)

Г-1

1 А . _[_

тах \— Л. 1--г,

*Л'*°[ГЛ I (1 + 0Г"Ч (!+/•)

то ИРУ (р) = 0.

В свою очередь из следствия 2 получим еще одно следствие.

Следствие 3. Если г > 0; 8 = 0, выполнены 2-е неравенство (16)и

тах

к Л„ >0

АЛ г[г7Ч1 + г)г-Че(2р-1Х7--1)~

ХГ r[(l + r)r-'-l]

где Т = тах Тк, то ЫРУ*(р) = 0.

*:Л,>0

Таким образом, следствия 1—3 задают условия, когда ИП, описываемый МЗЛП (1), (2), невыгоден для инвесторов даже при его оптимальной реализации, а условие (19) — верхнюю

границу для NPV*(]l), и могут использоваться для предварительного анализа проекта. Из теоремы 3 следует, что при г > 0; Й = 0 и условиях (16) имеет место неравенство 0 < NPV*(р) < Г(г), где Г(г) — оценка на NPV(р) сверху в правой части (19). Заметим, что, поскольку lim Г(г) = +0, то из

последнего неравенства имеем: lim NPV\\i) = +0,

Г fX

т.е. оценка эффективности И П становится все более определенной с увеличением ставки дисконтирования. Это вполне согласуется со следующим подходом к анализу инвестиционной привлекательности в условиях неопределенности и риска. В соответствии с работами [5—7 и др.] эффективность ИГТ в условиях риска (инфляции) оценивается при повышении ставки его доходности, т. е. в соответствии с формулой /, где гь г, /— коэффициенты

дисконтирования соответственное учетом инфляции и без нее и индекс инфляции /'. Тогда при неограниченном росте инфляции эффективность проекта даже при наилучшей его реализации в рамках модели В\ будет сколь угодно близка к нулю, т. е. проект находится на границе окупаемости.

Заметим, что полученные результаты подтверждены численно [8] и обобщают результаты, изложенные в работе [ 1 ], на случай, когда количество экономических агентов (и соответственно целевых критериев) равнодвум.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы" (НИР 2.1.1/2710) и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (НИР НК-136П/3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Медведев A.B., Победаш П.Н. Параметрический анализ модели реальных инвестиций без огранимений на спрос с помощью дискретного принципа максимума // Вестник университетского комплекса. Вып. 4(18)/ НИИ СУВПТ. Красноярск, 2005. С. 186-196.

2. Медведев A.B. Применение z-преобразова-ния к исследованию многокритериальных линейных моделей регионального экономического развития: Монография / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2008. 228 с.

3. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оп-тимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

4. Победаш П.Н. Решение оптимизационных задач реального инвестирования с переменным

чис"ом управлений // Реформирование системы управления на современном предприятии: Сб. матер. V Междунар. науч.-практ. конф. / РИО ПГСХА. Пенза, 2005. С. 190-192.

5. Куракина Ю.Г. Оценка фактора риска в инвестиционных расчетах // Бухгалтерский учет. 1995. № 6. С. 22-27.

6. Лукасевич И.Я. Методы анализа рисков инвестиционных проектов // Финансы. 1998. № 9. С. 59—62.

7. Глазунов В.Н. Финансы фирмы. М.: Экономика, 2000. 246 с.

8. Конструктор и решатель дискретных задач оптимального управления (КАРМА): Программа для ЭВМ. Свид. о регистр, в Роспатенте 2008614387 от 11.09.2008 / Медведев A.B., Победаш П.Н., Смольянинов A.B., Горбунов М.А.

УДК 51 9.86; 598.2; 591.47; 681.142; 636.01

H.A. Попцов, Д.Б. Бекурин, М.А. Марценюк

НЕЙРОСЕТЕВОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛОКОМОЦИЯМИ САМООБУЧАЮЩЕЙСЯ МОДЕЛИ БИООБЪЕКТА

В статье рассматривается модель амебы, состоящая издвух эллипсоидов, связанных между собой тонким каналом. Объект может в определенных пределах изменять длину канала, а также объем и форму эллипсоидов. Даже столь уп-

рощенная модель амёбы имеет семь степеней свободы (шесть вращательных и поступательную) и 13 управляемых параметров. Целью является создание компьютерной модели рассмотренного выше биообъекта в приближении Стокса и

I 19