CC BY
28
УДК 519.866
А. В. Медведев
О ПРИМЕНЕНИИ Z-ПPEOБPAЗOBAHИЯ К АНАЛИЗУ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
Предлагается обобщение подхода к анализу линейных многошаговых задач оптимального управления, связанного с использованием z-преобразования, для доказательства существования их решения и получения достаточных условий неэффективности инвестиционных проектов на примере двухкритериальной модели развития региональной экономики.
Процесс оптимизации реальных инвестиций производственных отраслей в регионе можно представить в виде следующей многокритериальной многошаговой задачи линейного программирования (ММЗЛП) [1]:
хк (г + !) = хк (г) + ик (г)
( = 1,..., п; г = 0,..., Т -1),
хп+1(г +1) = хп+1(г) +
+ Ё ик(г)( = о,...,Т2-1) к=1
хп+1(г +1) =
=-Ё хк (г)/Тк +х„+1(г) + Ё% (г) х
к =1 к=1
х(г=т 2,...,т-1),
хп+2(г +1) = -а2 хп+1(г) + хп+2(г) -
п
-Ё ик (г) + и2п+1(г) + и2п+2 (г) (г = 0), к=1
хп+2 (г +1) = -а 2 хп+1(г) + хп+2 (г) -
п
-Ё ик(г) + и2п+1(г) (г = 1,..., Т2 -1)
к=1
п+2 (г +1) = аэ Ё - 0хп+1(г) + хп+2 (г) -
к=1 Тк
п
-Ё ик(г) +
к=1
+Г Ё ип+к(г) + и2п+1(г) (г = Т2,..., Т1 -1)
к=1
хп+2 (г +1) = а3 Ё - 0хп+1(г) + хп+2 (г) -
к=1 Тк
-Ё ик(г) + г Ё ип+к(г) (г = Т1,..., Т -1); к=1 к=1
хп+3(г +1) = хп+Э(г) + и2п+1(г) (г = 0,...,Т1 -1) ,
хп+э(г +1) = хп+э(г) (г = т1,..., Т -1);
хк (0) = 0 (к = 1,..., п + 3);
хп+2(г) > 0 (г = 1,..., Т), хк(г)
-Ё ^------------а2 хп+1(г) +
к=1 Тк
+(1 -в)Ёип+к(г) >0 (г = Т2,...,Т-1); к=1
0 < ип+к (г) < П (г +1)=
ип+к (г) <5кхк (г) х
х(к = 1,..., п; г = Т2,..., Т -1); хп+Э (т1 )< 70, и2п+2(0) < К0: ик(г)>0 (к = 1,...,п; г = 0,...,Т-1), и2п+1(г) > 0 (г = 0,..., Т1 -1) и2п+2(0) > 0; 3 = {^1,^2) ^ шах.
г Тс-1 и2п+ 1(г) /п.
где 31 =-Ё -------------,---и2п + 2(0) +
г=0 (1 + г)г
(2)
Т -1
+Ё
г=Т2
аэ Ё
хк(г)
к=1 Тк
- 0хп+1(г) + г Ё ип+к (г) к=1
ДОп+1(Т )
(1 + г+
32 -
Т-1
Ё
г=Т 2
п хт, (г) п
-а3 Ё + 0хп+1(г) + с Ё ип+к (0
к=1 Тк к=1
- соот-
(1)
ветственно дисконтированная сумма собственных средств производственного сектора и регионального центра (налоговых поступлений в регион); ик (г) (г = 0,..., Т -1), ип+к (г) (к = 1,..., п; г = Т2,..., Т -1), и2п+1(0 (г = 0,..., Т1 -1) и и2п+2(0) - стоимость приобретаемых основных производственных фондов (ОПФ), выручка от реализации продукции к-го типа, внешние и внутренние инвестиции соответственно; хк (г), х„+1(г), хи+2(г), хп+эИСк = 1,-, п;г = 0,...,т ) - соответственно накопленная стоимость всех ОПФ к - го типа, остаточная стоимость всех ОПФ, текущие денежные средства предприятия и накопленные суммы внешних инвестиций в момент г; Цк(г +1) (г = Т2,..., Т -1),, Гк, Тк, ск и Рк - соответственно прогнозный спрос в стоимостном выражении для момента г + 1, производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ и стоимость единицы продукции к-го типа; 70 , К0 - суммы внешних и внутренних инвестиций, выделяемых на весь срок действия инвестиционных проектов (ИП); а1, а2, аэ, а4 - ставки налогов на добавленную стоимость (НДС), на имущество (НИ), на прибыль (НП) и единый социальный налог (ЕСН) соответственно (НДС включается в цену продукции, поэтому можно считать, что а1 = 0 ); в - доля выручки от реализации, выделяемая на фонд оплаты труда (ФОТ); Т1,Т2,Т (1 < Т2 < Т1 < Т ) - соответственно моменты завершения внешнего инвестирования, начала производства и срок действия ИП; 0 = (1 - аэ )а2, Як = РкГк /ск (к = 1, ■■■, п), г = (1 - аэ)(1 - в), с = (1 - в)аэ + 04В, г - ставка доходности ИП; д (0 < 5 < 1) - доля остаточной стоимости всех ОПФ на момент г = Т от ее балансовой стоимости, определяемая в общем случае экспертно.
В работе [2] рассмотрен пример применения z-преобразования для анализа однокритериальной МЗЛП. Обобщим указанный прием на случай ММЗЛП. Согласно источникам [3; 4], ММЗЛП (1), (2) равносильна однокритериальной МЗЛП, в которой векторный целевой критерий (2) заменен на скалярный: J(м) = mJ + м2J2 , где ме M = {(mi;m2)е E | мг- > 0;mj + м2 = 1} - вектор параметров, E2 - двумерное евклидово пространство. Таким об-
1 def
разом, учитывая, что м2 = 1 - mj и полагая м = ^ можно свести исследование ММЗЛП (1), (2) к исследованию однопараметрической МЗЛП (1) при условии
J(м) = mJj + (1 - м)J2 ^ max (3)
где 0< Ц <1.
Рассмотрим задачу оценки стоимости ИП, описанного моделью (1), (2), когда 8 = 0, т. е. продажа ОПФ регионом не предполагается. Для упрощения дальнейшего анализа доопределим управления un+k(t) ( = 1,..., n; t = 0,T2 -1), u2n+l(t) (t = T1, ...,T -l) u2n+2(t) (t = 1,..., T -1), полагая их равными нулю и сопоставив им в исходных данных нулевые элементы. Дополнив задачи (1), (3) неравенствами
xn+3(t)</о (t = 1,...,T); un+k (t) < 0 >
Un+k(t) > 0 (k = 1,..., n; t = 0,..., T2 -1), u2n+1(t) < 0, u2n+i(t) >0(t=т1,..., T - J);
U2n+2(t) < 0 , U2n+2(t) > 0(t = 1,..., T -1) , (4)
перейдем к однокритериальной задаче с условием
J(m) = mJ 1 + (1 - m)J2 ^ max , (5)
T-1
где Ji = X
/=0
T -1
J 2 = X t=0
-«3 X Tk (t)xk(t) + e0 (O^B+lW + г X un+k (0 - u2n+1(t) - u2n+2 (t) k=1 k=1
(1 + r) ‘
B _ _ n
«3 X Tk (t)xk (t) - e0 (t)xn+1(t) + c X un+k (t)
k=1 k=1
(1 + r)t
|0, t = 0.
|0. t = 0..... T 2-1
-(e + z -1) X Uk (z) +
k=1
n
+Ф -1) X Un+k (z) + k=1
+(z - 1)(U2n+1(z) + U2n+2(z)) > 0 ,
n
«2 X Uk (z) n
zJ-1-----+ (1 - в) X Un+k (z) > 0 ,
k=1 z
(6)
k=1
Un+k (z ) ^ Qk (z) AkUk (z)
(k = 1..... n),
z -1
U2n+1(z) ^ h >U2n+2(z) ^ K0 :
Uk(z) > 0 (k = 1..... 2n + 2) ,
[1 - 2м]Є ]TUk (z)
J (м, z) = -
k=1
z-1
n
+[мг + (1 - м)с] X Un+k (z) -k=1
- M[U2n+1(z) - U2n+2 (z)] ^ maX -t
(7)
6 (Г) И ' ' 2 ; Тк (Г) -
[-0, Г = Т 2Т -1 [-1/Тк, Г = Т 2,....,Т -1
а управляющий вектор и(г) имеет постоянную на каждом шаге размерность 2п + 2. Здесь и далее значком (*) обозначены оптимальные значения переменных и целевых функций, чертой сверху - соответствующая целевая функция и параметры задачи с управлениями постоянной размерности.
Применим для исследования задач (1), (4), (5) z-преобразование. С этой целью устремим Т к бесконечности и положим z = 1 + г > 1, Т2 = 1 . Учитывая соотношение 2 (х(Г +1)) = г [X (г) - х(0)] и импликацию Т ^+о«^ Тк ^+°°(к = 1,..., п), а также исключая
<х>
Хк(г) =Х хк(Г)г Г (к = 1,..., п + 3) - z-изображения фазо-?=0
вых переменных указанной задачи, получим двухпараметрическую (по параметрам м и z) статическую задачу линейного программирования (ЗЛП), аналогичную приведенной в [2]:
где Uj (z) = X uj (t)z t; (j = 1, • ••, 2n + 2) - z-изображения t=0
управляющих переменных задач (1), (4), (5),
J(м z) = lim J(m) ,
T
def ™
Qk(z) = X qk(t+1)z-t (k=n). (8)
t=T2
Докажем, что в задачах (1), (2) существует решение, используя для этого, в отличие от работы [1], z- преобразование. Покажем сначала, что в ЗЛП (6), (7) допустимое множество непусто. Так как функциональный ряд (8) при постоянных и одинаковых qk (t +1) есть геометрическая прогрессия, то, очевидно, справедливы неравенства вида
qk
Qk(z) <-----k 2 (k = 1,n), r>0, откуда, в частности,
r (1 + r ) при T2 =1 имеем
Qk(z) ^ —(k =!.....n),
(9)
где qk = max qk(t + 1)(k = 1,...,n) - наибольший прогноз-t=T2,...
ный спрос на продукцию k-го типа за весь период производства.
Будем предполагать, что прогнозный спрос по всем видам продукции конечен в течение всего периода производства, описываемого моделью (1), (2), т. е. справедливы условия qk <+°° (k = 1,..., n), из которых, с учетом условия (9), следует, что
Qk(z) < +~ (k = 1,..., n; z > 1). (10)
Найдем условия, при которых существует решение задач (1), (2) на бесконечном временном интервале. Ограниченность переменных U2n+1(z) и U2n+2(z) следует непосредственно из пятого, шестого и седьмого условий в выражении (6). Из условия (10), третьего и седьмого ограничений в выражении (6) следует ограниченность
переменных ип+к(2) (к = 1,п) при z > 1. Из второго неравенства в (6) следует, что
п (2 — 1)(1 — в) п
X ик(2) <-----------------X ип+к(2). Учитывая седьмое ус-
к=1 а2 к=1
ловие в выражении (6), для k = 1, ..., п получим следующую систему оценок: 0 < и к (2) < ——1(1—— X вк (2), из
а2 к=1
которой следует ограниченность переменных и к (г) при а 2 > 0 . Заметим, что если а2 = 0, то 0 = 0, и первое неравенство в (6) преобразуется к виду п п
X ик (г ) <—г X и п+к ) + и 2п+1( 2 ) + и 2п+2 (2 ) . Следова-к=1 к=1
тельно, и в этом случае переменные и к (2 )(к = 1,..., п) являются ограниченными. Поскольку изображения вида и к (2) = 0 (к = 1,..., 2п + 2; 2 > 1) удовлетворяют ограничениям ЗЛП (6), (7), то допустимое множество В(2) (2 > 1) указанной задачи непусто. В силу нестрогости ограничений (6) указанное множество замкнуто, а значит, компактно. Легко проверить, что управление вида ик(г) = 0 (к = 1,..., п; г = 0,..., Т — 1) ; ип+к(г) = 0(к = 1,..., п; г = Т2,..., Т —1); и2п+1(г) = 0(г = 0,...,Т1 — 1), и2п+2(г) = 0(г = 0) является допустимым в ММЗЛП (1), (2), поэтому допустимое множество Б(г) этой задачи при Т ^+°» является непустым. Кроме того, очевидно, что при переходе в задаче (1) к пределу при Т ^+°о имеет место соотношение
В(2) с ПрВ(г)(2 > 1), (11)
где ПрВ(2) - проекция множества В(2) на оси, соответствующие определенным в модели (1), (2) управлениям и](г)(і =1 ...,2п + 2) при Т ^+оо (4). Непустота множества В(г) следует из (11) и непустоты Б(г). Множество В(г) ограничено, поэтому и Б(г) также является ограниченным в силу формулы (11). По теореме Вейерштрасса, в силу непрерывности J(м, 2) и J(м) по своим аргументам (при фиксированных параметрах z > 1 и 0< ц <1) в задачах (1), (2) и (6), (7) существует решение, т. е. теорема доказана.
Теорема 1. Если выполняются условия
дк <+~(к = 1,..., п);Т ^+~; г >0;Т2 =1, (12)
то задачи (1), (2) и (6), (7) имеют решение, причем справедливы следующие оценки:
0 < и к (2) < (2 —1)(1 — В) X^k (2), а2 к=1
0 < и п+к (2) < вк (2) (к = 1,..., п),
0 < и2п+1(2) < І0 , 0 < и2п+2(2) < К0 . (13)
Заметим, что, зная диапазоны выражения (13), изменения z-изображений и'}(2) (і =1..., 2п + 2), можно получить интервал изменения соответствующих управлений задачи (1), (2). Покажем это, например, для
ик (г) (к = 1,..., п; г = 0,..., Т — 1). Пусть П(г) - множество изображений, удовлетворяющих ограничениям (13). Тогда по теореме 1 В(2) с П(2) (2 > 1), откуда, в силу (11), имеем В(2) С П(2)(2 > 1), (14)
где ПрП(г) - соответствующая проекция множества П^).
Пусть и^(г)(к = 1,...,п; г = 0,...,Т — 1) - допустимое управление в задаче (1), (2). Тогда с учетом формулы (14) и того, что все указанные выше управляющие перемен-
ные определены и в задаче (6), (7), для и^ (г) выполняется первое условие в (13):
0 < X 42 — < к=0
< (2 —1)(1 — в) XX вк (2) (к = 1,..., п). (15)
а2 к=1
С другой стороны,
сіє/
Вт С 1ІШ Пр^Т0 = ПрВ(2) (2 > 1) , (16)
Т 0 и (г) = 0(г = Т,...) и(г) = 0(г = т,...)
где ^ПрВ= у ^- проекция множества управлений Вт°,
определяемого ограничениями выражение (1) для Т0 шагов, на оси ик(г)(к = 1,...,п; г = 0,...,Т — 1), и2п+1(г) = 0(г = 0,...,Т1 — 1), и2п+2(г) = 0(г = 0) при Т0 ^+оо , Вт - множество управлений, заданное условиями (1) для Т шагов. Следовательно, в силу (16), дополнительно к ограничениям (1) можем полагать, что
и0(г) = 0(к = 1,...,п;г = Т,...). (17)
к
Тогда из выражения (15) получим
Т 1 / і ч/і т-, \ п
X и°2~г = X и°2~г < (2 — )( — ) X вк(2) , откуда при к=0 к=0 а2 к=1
, , 0 —г < (2 —1)(1 — в)
k = 1, ..., п имеем ик2 <--------------Xвк(2) и, следова-
а2 к=1
0 < (2 —1)(1 — в)2г XX в ( ) тт
тельно, ик <----------------------X вк(2) . Поскольку
а2 к=1
и® (г) (к = 1,..., п; г = 0,..., Т — 1) произвольно, то последнее ограничение имеет место для любого допустимого в задачах (1), (2) управления ик (г) (г = 0,..., Т — 1). Для остальных управлений оценки сверху получаются аналогично. Таким образом, справедливо следствие теоремы 1.
Следствие 1. Для управляющих переменных задачи (1), (2) имеют место следующие неравенства:
0 < ик (г) <(2 —1)(1 — в)2г XX вк (2) а2 к=1
(к = 1,..., п; г = 0,..., Т — 1),
0<и2п+1(г)<І02г (г = 0,...,Т —1),
0 < и2п+2(0) < К0 . (18)
Несмотря на то, что некоторые оценки на управления в МЗЛП можно получить и из уравнений движения и ограничений задачи, следует отметить, что предлагаемый подход к определению диапазонов управляющих переменных, основанный на идеях операционного исчисления, является универсальным и может применяться при увеличении количества переменных и неравенств модели и использоваться для быстрой оценки поискового пространства переменных многокритериальных МЗЛП и численной реализации решения указанного класса задач на основе соответствующих алгоритмов. Рассмотрим важные следствия и приложения используемого подхода. Для перенесения получаемых с помощью г-преобра-зования результатов на конечный временной интервал сформулируем теорему 2 и следствие из нее, справедливое при ц = 0, ц = 1.
Теорема 2. Функция 7*(м) является неубывающей функцией переменной Тпри фиксированных ме [0;1].
*
Следствие. Ji (г = 1, 2) есть неубывающие функции от параметра Т.
По построению для целевых критериев J (м) и J (м) соответственно задач (1), (3) и (1), (4), (5) имеет место неравенство: J(м) < J(м). В частности,
J*(м)<J (м), 0<м<1. (19)
При Т ^+°о из теорем 1,2 получим: J*(ц) < у*(ц,г).
В свою очередь, из (19) и последнего неравенства следует выражение вида
J*(м) < J (м, г) (0 < м < 1). (20)
Переходя от задачи (6), (7) к эквивалентной МЗЛП (зависящей от двух параметров м и z), аналогично тому, как это сделано в источнике [2], найдем ее решение в следующем виде:
ик (г) = ггвк (г)/0;иП+к(г) = вк(г).ме (0;1/2);
ик(г) = ''[РкЙс(гУДк + [1-Рк+1](г6к(г)- Чс)/0;иП+к(г) = вк; Рк+1 е [0;1],м = 1/2;
и* (г) = 0; ип+к (г) = 0, 8к < Ш*2 /(1 - в), ме (1/2;1); (21)
и*(г) = скгвк(г)/Дк;иП+к(г) = сквк(г); ск е [0;1], Дк = Ш»2 /(1 - в), Це (1/2;1); и* (г) = гвк(г)/ Дк;иП+к(г) = вк(г). Дк > Ш*2 /(1 - в).ме (1/ 2;1) (к =1,-,п),
и*п+1(г) = 0;и*п+2( г) = 0,
где ш = [2м—. Подставляя (21), например для мг + (1 - м)с
ме (0;1 /2), в выражение J(м,г), с учетом условия (7), получим
—*
J (м,г) = ({[1 - 2м]г + м}г +
п ёв/
+(1 - м)с) Х вк (г) = Г(м, г) (ме (0;1/2)), (22)
к=1
и учитывая (3), (20):
* *
J (м) = м/1 +
+(1 - му* < Г(м, г) (ме (0;1/2)) . (23)
Анализ двухкритериальной модели (1), (2) показал, что значения критериев J*(м) (г = 1,2), соответствующие оптимальному значению функции J*(м) в МЗЛП (1),(3) при фиксированном ме (0;1), неотрицательны:
^(м) > 0 (г = 1,2;ме (0;1)) , (24)
где J* (м) (г = 1,2) - вклад критерия Ji (м) (г = 1,2) в оптимальное значение целевой функции J*(м) из условия (3) при фиксированном ме (0;1). Из выражений (23) и (24) следует, что:
J2(м) <Г(м,г) (г =1,2;ме (0;1/2)), (25)
ёв/ ёв/ где Г1(|1,г) = Г(ц,г)/ц;Г1(ц,г) = Г(|1,г)/(1 -ц)(це (0; 1/2)).
Отметим, что теорема 2 позволяет перенести условие (23), а значит и (25) на конечный интервал времени. Условие (25) означает, что множество Парето в пространстве критериев ММЗЛП (1), (2) мажорируется линией, координаты (Г1(м, г); Г2 (м, г)) точек которой зависят от параметров ме (0;1/2) и z > 1. Таким образом, указанная линия может использоваться для оценки этого множества в критериальном пространстве.
Приведем ниже еще одно приложение z-преобразования к оценке эффективности ИП, описываемого моделью (1), (2). Пусть г-е лицо, принимающее решение (ЛПР)
рассчитывает получить в результате реализации некоторого ИП значение своего целевого критерия не ниже величины Ji (г = 1,2), т. е.
^(м) > 7г (г = 1,2). (26)
С учетом (23) и (26) имеем
* *
+ (1 - м)У2 < м/l + (1 - м)У2 < Г(м, г), откуда, учитывая (22) и группируя слагаемые при ц, по-
{= = п 1 п —
Jl - J2 + ([1 -2г]г + с)Хвк(г)[<(гг + с)Хвк(г)- J2 .
к=1к=1 Обозначая выражения при ц и правую часть последнего неравенства соответственно А и В, получим следу-
ющие оценки на параметр ц:
м < B / A, A > 0 м >-B / A, A < 0
Если,
кроме того,
0 < B/A < 1/2 0 <-B/A <1/2
то получим сужение ин-
тервалов изменения параметра ц вида
"мє(0;В/Л)с(0;1/2), В/А > 1/2;
мє (—В / А;1/2)с(0;1/2), — В/А> 0.
(27)
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 3. Если имеют место условия B/A < 1/2 0 A > 0
-B / A > 0 0 A < 0
то в ММЗЛП (1), (3) параметр ц
изменяется соответственно в диапазонах, определяемых условиями (27).
Теорема 3 позволяет исключить из Парето-множества ММЗЛП (1), (2) те точки, для которых условия (26) не выполняются, и сузить его до множества точек в (1), (2), потенциально приемлемых для ЛПР.
Таким образом, основанный на г-преобразовании подход позволяет обосновывать ограниченность множества переменных, а значит доказывать существование решения в многокритериальных линейных моделях экономической динамики; проводить быструю предварительную оценку поискового пространства переменных многокритериальных МЗЛП для дальнейшей численной реализации решения задач указанного класса на основе соответствующих алгоритмов; строить явно задаваемые линии (поверхности) в критериальном пространстве, ограничивающие Парето-множество исходной ММЗЛП путем перехода к эквивалентной однокритериальной МЗЛП со сверткой критериев; исключать из Парето-мно-жества ММЗЛП те точки, для которых значения целевых критериев ЛПР ниже требуемых им значений, сужая его до множества точек, потенциально приемлемых для ЛПР.
За счет простоты, быстроты и комплексности применения предложенного подхода для получения вышеописанного спектра результатов даже не математиками, он может быть рекомендован инвестиционным аналитикам, управляющим органам предприятий, регионов. при многоплановом экономико-математическом анализе линейных моделей экономической динамики. В настоящее время разработано математическое и программное обеспечение для реализации описанного подхода в виде пакета инвестиционного и финансового анализа [5].
шетнева / под ред. проф. Г. П. Белякова ; Сиб. гос. аэро-космич. ун-т. Красноярск, 2006. Вып. № 4(11). С. 32-37.
3. Подиновский, В. В. Парето-оптимальныю решения многокритериальных задач / В. В. Подиновский,
В. Д. Ногин. М. : Наука, 1982. 256 с.
4. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления, приложения / P. Штойер. М. : Наука, 1982. 600 с.
5. Линейная динамика: программа для ЭВМ. Свидетельство о регистрации N° 2004611491 от 17.06.2004. Правообладатели А. В. Медведев, П. Н. Победаш.
А. V. Medvedev
TO THE Z-TRANSFORMATION APPLY FOR THE ANALYSIS OF THE MULTYCRITERIAL LINE OPTIMAL CONTROL PROBLEM OF ECONOMIC DYNAMICS
The generalization of the z-transformation approach for the analysis of the multycriterial line optimal control problem is suggested. The z-transformation is applied for the proof of decision existing and receiving of the sufficient conditions of noneffectivity of the regional investment projects on the example of two-criterial model of a regional economics.
Библиографический список
1. Медведев, А. В. Теоретическое и численное исследование двухкритериальной модели оптимизации реальных инвестиций / А. В. Медведев // Вестник Томс. гос. унта. Томск, 2006. С. 315-321.
2. Медведев, А. В. Применение z-преобразования и дискретного принципа максимума к анализу модели реальных инвестиций / А. В. Медведев, П. Н. Победаш // Вестник Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та им. акад. М. Ф. Ре-
УДК 519.68
А. Ю. Ворожейкин, Е. С. Семенкин
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ1
Для решения задач условной многокритериальной оптимизации предложен вероятностный генетический алгоритм. Проведен сравнительный анализ его эффективности на тестовых задачах. Показано, что вероятностный генетический алгоритм не уступает по эффективности стандартному генетическому алгоритму.
Постановка задачи и описание подхода. В общем виде многокритериальная задача оптимизации включает набор N параметров (переменных), множество K целевых функций и множество M ограничений. Целевые функции и ограничения являются функциями переменных.
Таким образом, при решении многокритериальной задачи необходимо найти оптимум по K критериям, а сама задача формально записывается следующим образом:
У = f (x) = (fi(x),f2(x),..., fK(x)) ^ opt, g(x) =(gi( x) g2( -^Х.-Sr(x)) ^ 0, h(x) = (hr+1(x),K ,hM (x)) = 0 ,
где x = (xi,x2,...,xN)e X - вектор решений, удовлетворяющий Mограничениям, У = (yi,У2,...,УК ) e Y - вектор целевых функций. При этом X означает пространство решений, а Y- пространство целей или критериальное пространство.
Последние десятилетия получили развитие и продемонстрировали свою универсальность и применимость в сложных практических задачах так называемые эволюционные алгоритмы, в частности - генетический алгоритм (ГА) [1], которые представляют собой стохастичес-
кую оптимизационную процедуру, основанную на имитации процессов естественной эволюции. Е. С. Семенки-ным и Е. А. Соповым был предложен вероятностный генетический алгоритм (ВГА) безусловной оптимизации [2].
Работу ВГА в общем виде можно представить следующим образом.
1. Инициализировать случайным образом популяцию решений.
2. С помощью оператора селекции выбрать г наиболее пригодных индивидов текущей популяции (родителей). Вычислить распределение
р = {{ЬК ,Рп},
1 Г __
рз =Р Ь=1}=г Хх), 11 п,
=1
где п - длина хромосомы; ху -у-й бит г-го индивида.
1. В соответствии с полученным распределением Р = {{1,К ,рп} сформировать популяцию потомков с помощью датчика псевдослучайных чисел.
2. Новые решения (потомки) подвергнуть мутации.
3. Из популяции родителей и потомков сформировать новую рабочую популяцию.
4. Повторять шаги 2-5 пока не выполнится условие остановки.
1 Работа выполнялась при поддержке ФЦНТП по теме 2006-РИ-19.0/001/377 (государственный контракт № 02.442.11.7337) и Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.
