Применение операционного метода к решению дифференциального уравнение малых движений материальной точки вблизи положения равновесия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

УДК 517.44

Н. А. Смирнов, Э. Р. Набеева, А. И. Серко, А. Ю. Степаненко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Получено корректное решение дифференциального уравнения малых движений материальной точки вблизи положения равновесия с применением методов операционного исчисления.

В теории колебаний зачастую приходится сталкиваться с необходимостью решения дифференциальных уравнений. Применяемые при этом методы требуют громоздких выкладок. Между тем многие задачи значительно упрощаются, если при их решении применять операционное исчисление. Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов), взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.

Рассмотрим классическое уравнение малых движений материальной точки вблизи положения равновесия. В дифференциальной форме оно может быть получено в виде

аЧ+1<+ СЧ = 0, где а - коэффициент инерции; % - коэффициент сопротивления; с - коэффициент восстановления (квазиупругий коэффициент).

Достаточно трудоемкое решение данного уравнения было предложено С. П. Тимошенко [1]. Операционный метод позволяет получить его значительно быстрее.

Для получения общего решения рассмотрим задачу Коши с произвольными начальными условиями.

Пусть д(/) —Q(p), тогда ц'ф —®рб(р) - < и <"(0 —Р^(Р) - Р<0 - <1.

Заметим, что <(0) = С1 - начальное положение точки и < <(0) = С2 - ее начальная скорость.

а(РР) - РС1 - С2) + с(РQ(Р) - С1) + cQ(р) = 0,

ap2Q{p)- apCi - аС2) + %pQ{p) - cCi + cQ{p) = 0 , Q(p)(ap2 +cp + c) = apCi + cC + aC2,

Q( p) =

apC1 + cC + aC2

yap1 +cp + c) Воспользуемся элементарным методом нахождения функции оригинала. В силу свойства линейности преобразования Лапласа

af (t) + Pg(t) -®aF(p) + pG(p). Представим изображение Q(p) в виде линейной комбинации изображений простейших функций, каждое из которых может быть сопоставлено соответствующему оригиналу при помощи таблицы стандартных изображений.

apC1 + cC + aC2 _

Q( p) = -

+ cp + c)

pCi + (— Ci + C2) a

p 2 +c p + c +u

a a I 2a

= Ci

p +

2a 2a

C2 +C C1

p +

2a

c

+ — a

= Ci

p +

Ci

2a

(2a j ^p 2a p + -c- 2a )'+a -(

2 21

-1 + c-1 |

2a J a J2a J J

2

c 1 c 1

\ a ( 2a, J

( p + JL1' + 2a J c a { 2a j

г_

2a

C + C2

2a

i c-ixj2 a ( 2a 0 <• •

(p+2a1+ a ( 2a 0

Решетневские чтения

-Ce

• cos

1С-i-X-ï- t '

C

1 2a

la è 2a

С-Ы2 •t '

c _f A

a è 2a

a

c + c2

V

a è 2a

a è 2a 0

lc-Ut •, '

a è 2a 0

Для более компактной записи введем é

С ! у ю= J— -1 — I , тогда la è 2a

с у

Q(t) = С/^ • cos (ю • t)--^e^ >

ю

у С + с С1 + с2 -_X_t

х sin (ю-1) + a-e 2a • sin (ю-t)

ю

Q(t ) = e

С + С

2 ^ 1 1 ^2 C1 • cos (ю-1)+ —--sin (ю-t)

Данное выражение соответствует уравнению (34) в работе [1], но получено быстрее. Таким образом, очевидна целесообразность дальнейшего применения операционного метода к решению задач теории колебаний.

Библиографический список

1. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. М. : Наука, 1967.

N. A. Smirnov, E. R. Nabeeva, A. I. Serko, A. Yu. Stepanenko Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

THE APPLICATION OF OPERATIONAL METHODS TO THE SOLUTION OF THE DIFFERENCE EQUATION OF SMALL PARTICLE MOTION CLOSE TO EQUILIBRIUM

The correct decision of the difference equation of small particle motion close to equilibrium with application of operational calculation methods is received.

© Смирнов Н. А., Набеева Э. Р., Серко А. И., Степаненко А. Ю., 2009

I

УДК 330.4

И. М. Соломенников, В. Ф. Слюсарчук Красноярский институт экономики Санкт-Петербургской академии управления и экономики, Россия, Красноярск

С. В. Павлов

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДИНАМИКИ РЫНКА «ФОРЕКС»: НАБЛЮДЕНИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Представлены результаты многолетних наблюдений творческой научной группы авторов, исследующей динамику международного валютного рынка «Форекс» по наблюдаемым данным в познавательном и прагматическом аспектах.

Успех исследований в теории и практике рынка «Форекс» коррелирован с динамическими проявлениями котировок валют, изучение закономерностей которых стало предпосылкой данного исследования.

Среди всего разнообразия проявлений (детерминированного, случайного или хаотического характера) особый интерес представляют линейные (или более точно - кусочно-линейные) закономерности, которые присущи динамики «Форекс»,