CC BY
46
Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Технические науки
V(t)2р 2
+ P(t) = const,
(5)
т. е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.
Причем сужение сечения, ускорение жидкости и уменьшение давления происходят в сечении с фиксированной координатой, следовательно, целесообразно говорить о разности давлений до и после затвора, т. е. P(t) = AP(t) или AP(t) = const - P(t). Следовательно, уравнения (3) и (5) отличаются только на величины постоянных множителей, учитывающих сжимаемость, вязкость среды и местное сопротивление, зависящее от конкретной конструкции арматуры.
Введем в уравнение (5) соответствующие константы и продифференцируем его во времени:
d(AP(t))
dt
= -8y|pV (t)
dV (t) dt
(6)
Учитывая, что
получим:
dV(t) V(t) dS(t)
dt
S(t) dt
V (t) =
Q_ s (t)
d(AP(t)) =s^p-02 dS(t)
dt
S(t)3 dt
(7)
Теперь, интегрируя (7) в течение времени изменения сечения T , находим перепад давления АР , связанный с законом изменения площади поперечного сечения во времени:
AP = 8^021
1 dS (t) S(t)3 dt
dt.
(8)
Таким образом, при выборе гидравлического привода арматуры полезно воспользоваться соотношением (8), позволяющим контролировать перепад давлений при изменении поперечного сечения в заданных пределах.
Библиографическая ссылка
1. Гуревич Д. Ф. Конструирование и расчет трубопроводной арматуры. М. : Машиностроение, 1968.
© Ефимова А. И., Панченко Е. В., 2010
УДК 539.3
Ю. В. Карсаков, И. О. Прокаев, А. В. Соколов Научный руководитель - Р. А. Сабиров Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ БАЛОК МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Полученное дифференциальное уравнение устойчивости сжатого стержня аппроксимируется сеточными уравнениями; задача сводится к проблеме собственных чисел.
В курсах сопротивления материалов критическую силу для гибких стержней вычисляют по формуле Эйлера, в которой различные виды закрепления учитывают с помощью коэффициента приведения длины. Однако не всегда можно достаточно точно определить или назначить этот коэффициент, для различных форм потери устойчивости, или, например, в многопролетных балках. Кроме того, «в курсах сопротивления материалов решение задачи ведут, исходя из уравнения второго порядка. Следует применять уравнения четвертого порядка, так как это придаст решению общий характер и позволит распространить его на другие граничные условия» [1]. Укажем на учебник [2], в котором используется в расчетах уравнение четвертого порядка.
Получим математическую модель задачи об устойчивости стержня, рассмотрев равновесие бесконечно-малого элемента длиной ds (рис. 1). Уравнение равновесия записывается «по деформированной схеме», то есть для изогнутого стержня, получившего прогиб V и угол поворота 9 поперечного сечения. К сечениям приложены внутренние силы N, Q , изгибающие моменты Мх и их приращения.
С учетом гипотезы Бернулли и линейного деформирования материала, в рамках закона Гука, получим дифференциальное равновесия элемента:
„Т d4v Ard2v - EJx—- + N-
x ds4
ds2
= 0.
(1)
N + dN ,
v+dv
Рис. 1
Подставив в (1) элементарную функцию V = А0 Бт(п т / Ь), где А0, п , Ь - постоянные, соответствующие максимальному прогибу, форме по-
0
Секция «Модели и методы анализа прочности, динамики и надежности конструкций КА»
тери устойчивости и длине стержня, положив N = -P, получим формулу Эйлера Р = EJх (пп /1)2. Следует сказать, что тривиальный случай, то есть случай, когда стержень остается прямолинейным не рассматривается.
Применим метод конечных разностей. Заменив в (1) производные их конечно-разностными аналогами, получим систему линейных алгебраических уравнений, относительно прогибов v¡:
- 4^+1 + Ч - 4^-1 + V--2 = ^¡+1 - + V--1). (2)
уп=0
Здесь принято
5 = N812/
(3)
тельными
уравнениями:
V = V
с1 V
М* = М*,
а2
_ ам* а 3v * б =—- = -EJx—^ = б .
б*=РтЗ М*=0
= Ь/М - шаг сетки; - = 1,2,3, ..., М ; М - количество узлов.
Уравнение (2) нужно составить для каждого узла области. Граничные условия реализуются дополни-
9=9*,
Рис. 2
Приведем три первых собственных числа: 51 = 5,66, 5 2 = 31,8, 53 = 71,8. Критические силы
вычисляются из (3) по формуле NJ = / 2.
Соответствующие формы потери устойчивости приведем на рис. 3 сплошной, штриховой и штрих -пунктирной линиями.
<...........
Здесь (*) обозначены заданные значения.
Причем V- = = - V--1)/ ^ ,
М*)- =-^(V-+, - 2v¡ + V--,) st
и (б)- = -^+2 - 2v¡+1 + 2v¡-1 -^-2) .
2 st
Задача (2) формулируется как обобщенная проблема собственных значений, где 5 собственное число.
В качестве примера приведем расчет стержня, шарнирно опертого с одной стороны, с опорой в пролете и свободным краем, к которому приложена сила (рис. 2).
Рис. 3
Библиографические ссылки
1. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Наука, 1967.
2. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : Наука, 1986.
© Карсаков Ю. В., Прокаев И. О., Соколов А. В., Сабиров Р. А., 2010
УДК 539.3
Д. А. Кононов, Э. Р. Набеева, А. Ю. Степаненко Научный руководитель - А. И. Серко Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск
УВЕЛИЧЕНИЕ ПРОЧНОСТИ ЗАКЛАДНОГО ЭЛЕМЕНТА ПУТЕМ ВНЕСЕНИЯ В КОНСТРУКЦИЮ АРМИРУЮЩИХ СТЕРЖНЕЙ
Рассматривается возможность применения армирующих стержней из материалов с эффектом памяти формы для улучшения прочностных свойств закладных элементов сотовых панелей.
Повышение эффективности современной техники неразрывно связано с поиском и реализацией новых конструктивно-технологических решений.
Одним из наиболее важных направлений в этом поиске является создание и все более широкое применение трехслойных конструкций, элементы которых состоят из двух несущих слоев и расположенного между ними легкого заполнителя.
Перспективность трехслойных конструкций, связанная в первую очередь с их высокой удельной прочностью и жесткостью, определяет необходимость развития новых и совершенствования имеющихся методов их расчета, проектирования и технологии производства.
Описанию методов расчета трехслойных конструкций на прочность и устойчивость посвящено дос-
