ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.
ART 196001 УДК 378.147
Пелевина Ирина Николаевна,
старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва pdv62@mail.ru
Ласковая Татьяна Алексеевна,
старший преподаватель ФГБОУ ВО «(Московский государственный технический
университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва
talaskovy@mail.ru
Ахметова Фаина Харисовна,
кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва dobrich2@mail.ru
Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу»
Аннотация. В статье предлагается вариант изложения материала по теме «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» в сжатой форме. Рассмотрены основные теоремы, с помощью которых находят изображения по оригиналам и наоборот. Примеры подобраны таким образом, чтобы наглядно проиллюстрировать каждую теорему и основные понятия темы. Содержание статьи послужит материалом для подготовки к занятиям второго курса при изучении раздела «(Операционное исчисление» и будет полезным как преподавателям, так и студентам.
Ключевые слова: преобразование Лапласа, оригинал, изображение, формула Эйлера. Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.
Методы операционного исчисления представляют собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь связанных с решением дифференциальных уравнений. В данной статье мы рассмотрим, какой именно теоретический аппарат, какие методы необходимо применить для решения дифференциальных уравнений и каким образом связаны между собой такие понятия, как оригиналы и изображения. Дадим основные определения и теоремы [1, 2], необходимые для изложения материала.
Определение 1. Преобразованием Лапласа функции действительной переменной f (t) называется функция комплексной переменной F (p), определяемая формулой
F (Р ) = { f (t)e~ptdt. 0
Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа, t - действительной переменной, p - комплексной переменной.
Для того чтобы интеграл Лапласа был сходящимся, функция f (t) должна удовлетворять нескольким условиям.
Определение 2. Оригиналом (или прообразом) называется комплекснозначная
функция действительного аргументаf (t), удовлетворяющая условиям: 1) f (t)_ 0
HLiem
1бб1\1 2эо4-12ох Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.
научно-методический электронный журнал
при t < 0; 2) f (t) - кусочно-непрерывная функция; 3) при возрастании аргумента f (t)| может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции, т. е. f (t)| <MeSot , где M, s0 - постоянные и M > 0, s0 > 0.
Условию 3 в определении 2 удовлетворяют все ограниченные (sin cot; cos cot) и все степенные tk (k > 0) функции, которые встречаются при изучении физических процессов.
Замечание. В дальнейшем при рассмотрении функций-оригиналов будем подразумевать, что f (t) = 0 при t < 0.
Определение 3. Изображением (или образом) называется функция F (p), определяемая преобразованием Лапласа.
Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде
f (t) п F (p) или F (p) п f (t).
Получение изображения уместно сравнить с процессом фотографирования. Подобно тому как фотокамера позволяет получить из оригинала изображение, так и преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал f (t) в функцию-изображение
F (Р).
Рассмотрим теоремы, по которым мы будем находить изображения по оригиналам, и наоборот.
Теорема 1 (о свойстве изображения). Для любого оригинала f (t) изображение F(p) определено в полуплоскости Rep > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Подчеркнем, что функция F(p) аналитическая. Это значит, что ее можно дифференцировать и применять к ней известные методы теории комплексного переменного в области Re p > s0.
Рассмотрим примеры нахождения изображений функций по их оригиналам с помощью определения 3.
Пример 1. Найти F (p) для функции f (t ) = t.
Решение. Очевидно, что данная функция удовлетворяет условиям определения 2, поскольку t < Me 0 для Vs0 > 0 и M > 1. Следовательно, она может являться оригиналом. Вычислим изображение:
u = t t 1 ^ t
F (p)= |Vptdt = = - ^e-pt + - \e-ptdt = - -t
v' J dv = e~ptdt „J
e pt 1
0 p 0
2
Ответ: t п \.
p
-at.
Пример 2. Найти ^ (р) для функции / (г ) = < Решение. Запишем нашу функцию в виде / (г ) = е1п а, используя основное логарифмическое тождество. Поскольку |а'| = |ела| <МеПпа для УМ > 1 и= 1па, следовательно, все условия определения 2 выполнены и она может являться оригиналом. Функция-изображение ^ (р) будет определена и аналитична в полуплоскости Яер > 1па . Найдем ее.
Hueñi
15бы 2304-120Х Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № VI. - 0,2 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.
научно-методический электронный журнал
F (p)= f e'lnVptdt = f et(lna—p)dt =-t-e~t(p—lna)
l Í ln a" P
1
p - ln a
Ответ: a- a 1
p — ln a
Весь процесс преобразования Лапласа можно представить себе как перевод с одного языка на другой. При таком переводе каждому слову одного языка соответствует определенное слово другого. Точно так же при преобразовании Лапласа каждой функции пространства оригиналов соответствует определенная функция в пространстве изображений. Роль словаря играет таблица соответствий между оригиналами и изображениями.
Задумаемся: как перевести с одного языка на другой целое предложение? Для этого недостаточно знать перевод отдельных слов, нужно еще знать, как грамматические конструкции одного языка передаются на другом. В нашем случае необходимо знать, что происходит с изображениями, если над функцией в пространстве оригиналов производится какая-либо математическая операция: сложение, умножение, интегрирование, дифференцирование. Таким образом, необходимо знать не только изображения отдельных функций, но и правила получения изображений в этих случаях. Ответы на эти вопросы дают основные теоремы операционного исчисления.
Теорема 2 (свойство линейности). Если f (t) a F(p) и g(t) a G(p), то при любых постоянных А и В (действительных или комплексных) справедливо соотношение Af (t) + Bg(t) a AF(p) + BG(p) .
Иными словами, линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.
Пример 3. Найти изображение функции f (t) = cos cot и f (t) = sin cot.
еш + e~im
Решение. По формуле Эйлера имеем: cosmt =---. Применим к функциям
ec и e-c преобразование Лапласа, найденное в примере 2:
e'ш a —1—• ea —1—.
p — ¡ю p + ic
Тогда по теореме 2 имеем: cosmt = 1(em + e—c) a 1
( 1 1 ^
p
2 , 2 ' p +Ю
\p — ia p + ia J
Аналогичным образом получим изображение для функции f (t) = sin at . По формуле Эйлера
e ¡rn — -ш- 1 1
sin cot =-= — (e — e ) a —
27 27 27
_ p m
Ответ: cos cot a —-, sin cot a
í
1 1
1 2Ш ю
^ p — ¡m p + ¡m J
0 • 2 , 2 2 , 2 ' 2i p p
1 1 1 о о ■
p p +ю
Этим же способом можно найти изображения для функций
Р с СП СС п -- и 8П сг п
2 2 --- 2 2 '
p —ю p —ю
Теорема 3 (теорема подобия). Если f (t) a F (p) и a > 0 , то f (at) a 1F | -p|.
a I a 1
ниегп
issn 2304-120X Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.
научно-методический электронный журнал
Из этой теоремы следует, что умножение аргумента оригинала на положительное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.
г 1 а( 111
Например, зная, что е п -, имеем е п--=-.
р -1 а Р р - а
а
Теорема 4 (о дифференцировании оригинала). Если функции /(г),/'(г),/"(г),.../(и)(г) являются оригиналами и /(г)п Г(р), то
Г (г) прГ ( р )-/( 0 );
/"(г ) = ( Г (г))" пр |>Г (р)-/(о)]-/' (о ) = р2 Г (р)-р/ (о)-/(о);
f(n} (t) np nF ( p )-pn-1f( 0)-pn-2f ( 0 )-... - pf(n-2) ( 0 )-f(n-1) ( 0 ).
Таким образом, дифференцирование, которое в пространстве оригиналов представляет собой трансцендентный процесс, в пространстве изображений заменяется умножением изображения на степень аргумента p с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются начальные значения оригинала.
Во многих задачах точка t = 0 является точкой разрыва оригинала, поэтому принято считать, что f (0) = lim f (t) (т. е. f (0) - правый предел функции-оригинала),
f' (0 ) = lim f' (t) и т. д.
Пример 4. Найти изображение функции f (t) = cos21, f (0) = 1.
Решение. Найдем производную f(t) = 2cos t(- sin t) = -sin2t. Ранее в примере 3
2 2 было доказано, что sin 2t п —--. Следовательно f'(t) п —--. С другой стороны,
p + 22 w p2 + 4
согласно теореме 4, имеем f'(t)п pF(p)-f (0) = pF(p)-1. Таким образом, для одной и той же функции мы получили два изображения, записанные по-разному. Приравняем их и из полученного алгебраического уравнения найдем F (p).
2 1 -2— = pF (p)-1 ^ F (p) = -
p2 + 4 v y p
2
1-
p2
y p2 + 4 ) p(p2 + 4)
2 p2 + 2 Ответ: cos21 п y
p( p + 4)
Аналогично можно получить sin21 п 2
р(р2 + 4)'
Теорема 5 (о дифференцировании изображения). Если /(г) п F(р), то
-/ (г) п F' (р).
Мы видим, что дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на -I.
Последовательное применение этой теоремы дает следующие формулы:
г/(0п Г(р); -е/(0п ^(р); ... (-1)Т/(г)п Г«(р).
ниегп
issn 2304-120X Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.
научно-методический электронный журнал
Пример 5. С помощью теоремы о дифференцировании изображения найти изображение функции / (г ) = г", зная, что 1 п 1
Р
1
1
2
n!
Решение: 1 n —; t n —; t n —;... ; tn n
p p p p""
Пример 6. Найти изображение функции f (t) = t(et + cht).
1 p
Решение. Используя результаты примеров 2 и 3, получим et n -; cht n ^
Р -1
Р2 -1
1 Р
Тогда e* + cht n-+ —. По теореме 5 имеем:
p -1 p -1
(
(
t(e' + cht) n -
Ответ: t(e + cht) n -
p-1 p2-1) 2 ( p2 + p +1)
p2 -1 - 2p2
(p -1)2 ( p 2 -1)2
2 ( p2 + p +1) ( p = -1 )2
( p 2 -1)
Теорема 6 (об интегрировании оригинала). Если f (t) n F(p), то
t
J f (т)Т n
F(p) p
Интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.
t
Пример 7. Найти изображение функции J(r +1)cos cozdz.
0
Решение. Запишем изображение для функции
2 2
(т +1) cos ЮТ = TCQS^T + cos СОТ n -- +
p
2 2 , 2 С
(p2 +С2)2 p +С
Применим теорему 6 к полученному изображению:
p2 (1 + p ) + с2( p -1)
1
|(т + 1) cos ютйт n —
2 2 p -с
(p2 +Ю2)2 p2 +С2
p (p2 +Ю2)2
Ответ: |(т + 1) cos ютйт n
p2 (1 + p) + с2 (p -1)
p ( p2 +С2)
Теорема 7 (об интегрировании изображения). Пусть f (t) n F(p). Если
J F (p)dp сходится, то он служит изображением функции
f (tК ö f (t)
. т. е.
а
J F (p ) dp .
г г
р р
Необходимо сделать важное замечание к этой теореме: ее можно применять
только в том случае, когда | Г(р)ёр сходится. Именно поэтому теорему 7 нельзя
р
еа г ёр
применять для нахождения изображения —, так как I —— расходится.
г з р - а
2
0
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.
Пример 8. Найти изображение функции
e' -1
Решение. В предыдущих примерах было найдено e' -1 п---. По теореме 7
Р -1 Р
е' 1 +<ю I имеем: -п J I
t
Ответ:
Р -1 Р
dp = ln
Р -1
= lim ln
Р-1
- ln
Р-1
= - ln
Р-1
e' -1
п - ln
Р -1
г р
В заключение хотелось бы отметить оригинальность методического подхода изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу»: изложив базовые теоремы, описывающие свойства изображений, свойства линейности, подобия, дифференцирования, интегрирования оригинала и изображения, мы тем самым проиллюстрировали тесную взаимосвязь между этими двумя понятиями. Эта связь прослеживается и в формулах нахождения оригинала и изображения, и в разобранных выше примерах, наглядно демонстрирующих работу основных положений теорем. Содержание статьи послужит материалом для подготовки к занятиям второго курса при изучении раздела «Операционное исчисление».
Ссылки на источники
1. Шостак Р. Я. Операционное исчисление. - М.: Высш. шк., 1972.
2. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — М.: Высш. шк., 1975.
t
Р
Р
Irina Pelevina,
Senior Lecturer, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow
pdv62@mail.ru
Tatiana Laskovaya,
Senior Lecturer, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow
talaskovy@mail.ru
Faniya Akhmetova,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University
named after N. E. Bauman, Moscow
dobrich2@mail.ru
Methodological aspects of the presentation of the subject "Laplace transform. Finding the image by the original"
Abstract. This article proposes a version of presenting material on the subject "Laplace transform. Finding the image by the original" in a concise form. The main theorems are examined with the help of which images are found by originals and vice versa. Examples are chosen in such a way as to clearly illustrate each theorem and the basic concepts of the subject. The content of the article will serve as a material for the second year students' classes preparation when they study the section "Operational Calculus" and will be useful to both teachers and students. Key words: Laplace transform, original, image, Euler formula. References
1. Shostak, R. Ya. (1972). Operacionnoe ischislenie, Vyssh. shk., Moscow (in Russian).
2. Ditkin, V. A. & Prudnikov, A. P. (1975). Operacionnoe ischislenie, Vyssh. shk., Moscow (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 29.09.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 20.10.18
Принята к публикации Accepted for publication 20.10.18 Опубликована Published 18.01.19
www.e-koncept.ru
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2019 © Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х., 2019