Методические аспекты изложения темы "Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу" Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.

ART 196001 УДК 378.147

Пелевина Ирина Николаевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Ласковая Татьяна Алексеевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «(Московский государственный технический

университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва

[email protected]

Ахметова Фаина Харисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва [email protected]

Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу»

Аннотация. В статье предлагается вариант изложения материала по теме «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» в сжатой форме. Рассмотрены основные теоремы, с помощью которых находят изображения по оригиналам и наоборот. Примеры подобраны таким образом, чтобы наглядно проиллюстрировать каждую теорему и основные понятия темы. Содержание статьи послужит материалом для подготовки к занятиям второго курса при изучении раздела «(Операционное исчисление» и будет полезным как преподавателям, так и студентам.

Ключевые слова: преобразование Лапласа, оригинал, изображение, формула Эйлера. Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Методы операционного исчисления представляют собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь связанных с решением дифференциальных уравнений. В данной статье мы рассмотрим, какой именно теоретический аппарат, какие методы необходимо применить для решения дифференциальных уравнений и каким образом связаны между собой такие понятия, как оригиналы и изображения. Дадим основные определения и теоремы [1, 2], необходимые для изложения материала.

Определение 1. Преобразованием Лапласа функции действительной переменной f (t) называется функция комплексной переменной F (p), определяемая формулой

F (Р ) = { f (t)e~ptdt. 0

Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа, t - действительной переменной, p - комплексной переменной.

Для того чтобы интеграл Лапласа был сходящимся, функция f (t) должна удовлетворять нескольким условиям.

Определение 2. Оригиналом (или прообразом) называется комплекснозначная

функция действительного аргументаf (t), удовлетворяющая условиям: 1) f (t)_ 0

HLiem

1бб1\1 2эо4-12ох Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.

научно-методический электронный журнал

при t < 0; 2) f (t) - кусочно-непрерывная функция; 3) при возрастании аргумента f (t)| может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции, т. е. f (t)| <MeSot , где M, s0 - постоянные и M > 0, s0 > 0.

Условию 3 в определении 2 удовлетворяют все ограниченные (sin cot; cos cot) и все степенные tk (k > 0) функции, которые встречаются при изучении физических процессов.

Замечание. В дальнейшем при рассмотрении функций-оригиналов будем подразумевать, что f (t) = 0 при t < 0.

Определение 3. Изображением (или образом) называется функция F (p), определяемая преобразованием Лапласа.

Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде

f (t) п F (p) или F (p) п f (t).

Получение изображения уместно сравнить с процессом фотографирования. Подобно тому как фотокамера позволяет получить из оригинала изображение, так и преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал f (t) в функцию-изображение

F (Р).

Рассмотрим теоремы, по которым мы будем находить изображения по оригиналам, и наоборот.

Теорема 1 (о свойстве изображения). Для любого оригинала f (t) изображение F(p) определено в полуплоскости Rep > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

Подчеркнем, что функция F(p) аналитическая. Это значит, что ее можно дифференцировать и применять к ней известные методы теории комплексного переменного в области Re p > s0.

Рассмотрим примеры нахождения изображений функций по их оригиналам с помощью определения 3.

Пример 1. Найти F (p) для функции f (t ) = t.

Решение. Очевидно, что данная функция удовлетворяет условиям определения 2, поскольку t < Me 0 для Vs0 > 0 и M > 1. Следовательно, она может являться оригиналом. Вычислим изображение:

u = t t 1 ^ t

F (p)= |Vptdt = = - ^e-pt + - \e-ptdt = - -t

v' J dv = e~ptdt „J

e pt 1

0 p 0

2

Ответ: t п \.

p

-at.

Пример 2. Найти ^ (р) для функции / (г ) = < Решение. Запишем нашу функцию в виде / (г ) = е1п а, используя основное логарифмическое тождество. Поскольку |а'| = |ела| <МеПпа для УМ > 1 и= 1па, следовательно, все условия определения 2 выполнены и она может являться оригиналом. Функция-изображение ^ (р) будет определена и аналитична в полуплоскости Яер > 1па . Найдем ее.

Hueñi

15бы 2304-120Х Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № VI. - 0,2 п. л. - иН1: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.

научно-методический электронный журнал

F (p)= f e'lnVptdt = f et(lna—p)dt =-t-e~t(p—lna)

l Í ln a" P

1

p - ln a

Ответ: a- a 1

p — ln a

Весь процесс преобразования Лапласа можно представить себе как перевод с одного языка на другой. При таком переводе каждому слову одного языка соответствует определенное слово другого. Точно так же при преобразовании Лапласа каждой функции пространства оригиналов соответствует определенная функция в пространстве изображений. Роль словаря играет таблица соответствий между оригиналами и изображениями.

Задумаемся: как перевести с одного языка на другой целое предложение? Для этого недостаточно знать перевод отдельных слов, нужно еще знать, как грамматические конструкции одного языка передаются на другом. В нашем случае необходимо знать, что происходит с изображениями, если над функцией в пространстве оригиналов производится какая-либо математическая операция: сложение, умножение, интегрирование, дифференцирование. Таким образом, необходимо знать не только изображения отдельных функций, но и правила получения изображений в этих случаях. Ответы на эти вопросы дают основные теоремы операционного исчисления.

Теорема 2 (свойство линейности). Если f (t) a F(p) и g(t) a G(p), то при любых постоянных А и В (действительных или комплексных) справедливо соотношение Af (t) + Bg(t) a AF(p) + BG(p) .

Иными словами, линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

Пример 3. Найти изображение функции f (t) = cos cot и f (t) = sin cot.

еш + e~im

Решение. По формуле Эйлера имеем: cosmt =---. Применим к функциям

ec и e-c преобразование Лапласа, найденное в примере 2:

e'ш a —1—• ea —1—.

p — ¡ю p + ic

Тогда по теореме 2 имеем: cosmt = 1(em + e—c) a 1

( 1 1 ^

p

2 , 2 ' p +Ю

\p — ia p + ia J

Аналогичным образом получим изображение для функции f (t) = sin at . По формуле Эйлера

e ¡rn — -ш- 1 1

sin cot =-= — (e — e ) a —

27 27 27

_ p m

Ответ: cos cot a —-, sin cot a

í

1 1

1 2Ш ю

^ p — ¡m p + ¡m J

0 • 2 , 2 2 , 2 ' 2i p p

1 1 1 о о ■

p p +ю

Этим же способом можно найти изображения для функций

Р с СП СС п -- и 8П сг п

2 2 --- 2 2 '

p —ю p —ю

Теорема 3 (теорема подобия). Если f (t) a F (p) и a > 0 , то f (at) a 1F | -p|.

a I a 1

ниегп

issn 2304-120X Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.

научно-методический электронный журнал

Из этой теоремы следует, что умножение аргумента оригинала на положительное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

г 1 а( 111

Например, зная, что е п -, имеем е п--=-.

р -1 а Р р - а

а

Теорема 4 (о дифференцировании оригинала). Если функции /(г),/'(г),/"(г),.../(и)(г) являются оригиналами и /(г)п Г(р), то

Г (г) прГ ( р )-/( 0 );

/"(г ) = ( Г (г))" пр |>Г (р)-/(о)]-/' (о ) = р2 Г (р)-р/ (о)-/(о);

f(n} (t) np nF ( p )-pn-1f( 0)-pn-2f ( 0 )-... - pf(n-2) ( 0 )-f(n-1) ( 0 ).

Таким образом, дифференцирование, которое в пространстве оригиналов представляет собой трансцендентный процесс, в пространстве изображений заменяется умножением изображения на степень аргумента p с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются начальные значения оригинала.

Во многих задачах точка t = 0 является точкой разрыва оригинала, поэтому принято считать, что f (0) = lim f (t) (т. е. f (0) - правый предел функции-оригинала),

f' (0 ) = lim f' (t) и т. д.

Пример 4. Найти изображение функции f (t) = cos21, f (0) = 1.

Решение. Найдем производную f(t) = 2cos t(- sin t) = -sin2t. Ранее в примере 3

2 2 было доказано, что sin 2t п —--. Следовательно f'(t) п —--. С другой стороны,

p + 22 w p2 + 4

согласно теореме 4, имеем f'(t)п pF(p)-f (0) = pF(p)-1. Таким образом, для одной и той же функции мы получили два изображения, записанные по-разному. Приравняем их и из полученного алгебраического уравнения найдем F (p).

2 1 -2— = pF (p)-1 ^ F (p) = -

p2 + 4 v y p

2

1-

p2

y p2 + 4 ) p(p2 + 4)

2 p2 + 2 Ответ: cos21 п y

p( p + 4)

Аналогично можно получить sin21 п 2

р(р2 + 4)'

Теорема 5 (о дифференцировании изображения). Если /(г) п F(р), то

-/ (г) п F' (р).

Мы видим, что дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на -I.

Последовательное применение этой теоремы дает следующие формулы:

г/(0п Г(р); -е/(0п ^(р); ... (-1)Т/(г)п Г«(р).

ниегп

issn 2304-120X Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.

научно-методический электронный журнал

Пример 5. С помощью теоремы о дифференцировании изображения найти изображение функции / (г ) = г", зная, что 1 п 1

Р

1

1

2

n!

Решение: 1 n —; t n —; t n —;... ; tn n

p p p p""

Пример 6. Найти изображение функции f (t) = t(et + cht).

1 p

Решение. Используя результаты примеров 2 и 3, получим et n -; cht n ^

Р -1

Р2 -1

1 Р

Тогда e* + cht n-+ —. По теореме 5 имеем:

p -1 p -1

(

(

t(e' + cht) n -

Ответ: t(e + cht) n -

p-1 p2-1) 2 ( p2 + p +1)

p2 -1 - 2p2

(p -1)2 ( p 2 -1)2

2 ( p2 + p +1) ( p = -1 )2

( p 2 -1)

Теорема 6 (об интегрировании оригинала). Если f (t) n F(p), то

t

J f (т)Т n

F(p) p

Интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.

t

Пример 7. Найти изображение функции J(r +1)cos cozdz.

0

Решение. Запишем изображение для функции

2 2

(т +1) cos ЮТ = TCQS^T + cos СОТ n -- +

p

2 2 , 2 С

(p2 +С2)2 p +С

Применим теорему 6 к полученному изображению:

p2 (1 + p ) + с2( p -1)

1

|(т + 1) cos ютйт n —

2 2 p -с

(p2 +Ю2)2 p2 +С2

p (p2 +Ю2)2

Ответ: |(т + 1) cos ютйт n

p2 (1 + p) + с2 (p -1)

p ( p2 +С2)

Теорема 7 (об интегрировании изображения). Пусть f (t) n F(p). Если

J F (p)dp сходится, то он служит изображением функции

f (tК ö f (t)

. т. е.

а

J F (p ) dp .

г г

р р

Необходимо сделать важное замечание к этой теореме: ее можно применять

только в том случае, когда | Г(р)ёр сходится. Именно поэтому теорему 7 нельзя

р

еа г ёр

применять для нахождения изображения —, так как I —— расходится.

г з р - а

2

0

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х. Методические аспекты изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2019. - № V1. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2019/196001.htm.

Пример 8. Найти изображение функции

e' -1

Решение. В предыдущих примерах было найдено e' -1 п---. По теореме 7

Р -1 Р

е' 1 +<ю I имеем: -п J I

t

Ответ:

Р -1 Р

dp = ln

Р -1

= lim ln

Р-1

- ln

Р-1

= - ln

Р-1

e' -1

п - ln

Р -1

г р

В заключение хотелось бы отметить оригинальность методического подхода изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу»: изложив базовые теоремы, описывающие свойства изображений, свойства линейности, подобия, дифференцирования, интегрирования оригинала и изображения, мы тем самым проиллюстрировали тесную взаимосвязь между этими двумя понятиями. Эта связь прослеживается и в формулах нахождения оригинала и изображения, и в разобранных выше примерах, наглядно демонстрирующих работу основных положений теорем. Содержание статьи послужит материалом для подготовки к занятиям второго курса при изучении раздела «Операционное исчисление».

Ссылки на источники

1. Шостак Р. Я. Операционное исчисление. - М.: Высш. шк., 1972.

2. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. — М.: Высш. шк., 1975.

t

Р

Р

Irina Pelevina,

Senior Lecturer, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow

[email protected]

Tatiana Laskovaya,

Senior Lecturer, Moscow State Technical University named after N. E. Bauman, Moscow

[email protected]

Faniya Akhmetova,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University

named after N. E. Bauman, Moscow

[email protected]

Methodological aspects of the presentation of the subject "Laplace transform. Finding the image by the original"

Abstract. This article proposes a version of presenting material on the subject "Laplace transform. Finding the image by the original" in a concise form. The main theorems are examined with the help of which images are found by originals and vice versa. Examples are chosen in such a way as to clearly illustrate each theorem and the basic concepts of the subject. The content of the article will serve as a material for the second year students' classes preparation when they study the section "Operational Calculus" and will be useful to both teachers and students. Key words: Laplace transform, original, image, Euler formula. References

1. Shostak, R. Ya. (1972). Operacionnoe ischislenie, Vyssh. shk., Moscow (in Russian).

2. Ditkin, V. A. & Prudnikov, A. P. (1975). Operacionnoe ischislenie, Vyssh. shk., Moscow (in Russian).

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 29.09.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 20.10.18

Принята к публикации Accepted for publication 20.10.18 Опубликована Published 18.01.19

www.e-koncept.ru

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2019 © Пелевина И. Н., Ласковая Т. А., Ахметова Ф. Х., 2019