Применение модели Гестона для описания российского рынка ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2005. № 2. С. 18-20. лттто" ю ччп 11 te

© Г.Л. Бухбиндер, K.M. Чистилин, 2005 УД óál.lj; ááU.110

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ГЕСТОНА ДЛЯ ОПИСАНИЯ РОССИЙСКОГО РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ

Г.Л. Бухбиндер, К.М. Чистилин

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а1

Получена 10 марта 2005 г.

It is shown, that the Heston model with stochastic volatility may be applied for the description of dynamics of the Russian share market.

В последнее десятилетие отмечается значительный рост числа исследований, посвященных применению моделей и методов, развитых для изучения сложных физических систем, к анализу финансовых процессов [1]. В определенной мере этому способствовали наличие большого количества высокочастотных финансовых данных и существование универсальных закономерностей в динамике различных финансовых рынков, таких, как степенные законы в асимптотике распределений ценовых приращений, чередование периодов высокой и низкой волатильности (volatility clustering), эффект «рычага» (leverage effect), устанавливающий своеобразную зависимость между уменьшением стоимости актива и увеличением его волатильности, и некоторых других [2].

Термин «волатильность» означает общую меру неопределенности в динамике стоимости актива и характеризует величину рыночных флукту-аций его цены. Формально волатильность а является одним из параметров модели геометрического броуновского движения, широко применяемого как универсальная модель для спекулятивных рынков. Согласно этой модели (см., напр., [3]), стоимость актива S как функция времени t подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению Ито вида

dS = nSdt + aSdW1{t), (1)

где постоянная fj, - коэффициент дрейфа и Wi(t) - стандартный винеровский процесс. При постоянном а уравнение (1) предсказывает лог-нормальное распределение стоимости актива, а сама а может быть оценена как среднеквадратичное отклонение приращений логарифма сто-

1 e-mail: buhb@univer.omsk.su, chistilin_k@mail.ru

имости, измеряемых в течение некоторого промежутка времени. Многочисленные наблюдения, однако, показывают, что эмпирические распределения затухают значительно медленнее, чем предсказывает лог-нормальное распределение (эффект плоских хвостов) [2]. Это означает, что лог-нормальное распределение недооценивает вероятности больших ценовых скачков, что, в свою очередь, приводит к недооценке рисков финансовых активов.

Уравнение (1) с постоянной волатильностью а описывает независимые случайные блуждания логарифма стоимости. Эмпирические данные показывают, что корреляционная функция логарифмических приращений затухает на временах порядка нескольких минут [2], что поддерживает предположение о независимых случайных блужданиях. Однако корреляции нелинейных функций приращений затухают на значительно больших интервалах (порядка месяца и выше), что является аргументом против этой гипотезы. Оценка волатильности как среднеквадратичного отклонения показывает, что существуют периоды низкой и высокой волатильности, следствием чего и являются долгоживущие корреляции, например абсолютных логарифмических приращений стоимости актива.

Накопленные в настоящее время эмпирические данные [2] (в основном западные) позволяют сделать вывод, что предположение о постоянстве волатильности не учитывает многие важные особенности рынка. Более адекватно рассматривать волатильность как случайную переменную и в общем случае как функцию а = а(У(1)) некоторого стохастического процесса .

В настоящее время в литературе обсуждаются различные математические модели со стоха-

Применение модели Гестона

19

Рис. 1. Временная эволюция котировок акций РАО ЕЭС в логарифмической шкале (прямая линия отражает средний экспоненциальный рост)

стической волатильностью. Одна из таких моделей - модель Гестона, первоначально предложенная в теории оценки опционов [4]. В этой модели а = д/и, У = V (так, что при постоянном а, V = а2 имеет смысл дисперсии) и и удовлетворяет стохастическому дифференциальному урав-

dv = -7(и - в)dt + k^vd\V2(t) ,

(2)

где в - среднее значение волатильности при t —>■ оо, 7 — скорость релаксации к среднему значению в и к характеризует величину флуктуаций v, W-2(t) есть стандартный винеровский процесс, который может быть коррелирован с Wi(t). Уравнение (2) описывает процесс, в котором v в среднем стремится к значению в.

Для практического применения моделей со стохастической волатильностью необходимы оценки входящих в модель параметров. Недавно в работе [5] на основе модели Гестона было получено замкнутое аналитическое выражение для плотности вероятности логарифмических приращений стоимости актива. Параметры модели были найдены в результате предложенной процедуры подгонки теоретических кривых к эмпирическим распределениям для индекса Dow-Jones. Авторы нашли очень хорошее совпадение аналитических результатов с эмпирическими данными. В дальнейшем этот подход был применен к другим индексам (Nasdaq. S&F500). а также к ряду акций [6; 7].

Упомянутые выше исследования показали, что динамика западных фондовых рынков достаточно хорошо описывается в рамках модели Гестона. В данной работе исследована возмож-

ность применения модели Гестона к российскому фондовому рынку. Анализ основан на использовании дневных цен закрытия акций ГАО ЕЭС ММВБ 1 за период с 29 мая 1997 г. по 9 марта 2004 г. (рис. 1).

Для упрощения вычислений удобно в уравнении (1) перейти от стоимости актива Б к логарифмическим приращениям г = 1п(6'/6'о), где б'о - начальная стоимость, и исключить дрейф введением новой переменной х = г — . В результате, используя лемму Ито [8], получим

dx =--dt

2

■y/vdW^t).

(3)

Система уравнений (2) и (3) задает двумерный стохастический процесс . Соответству-

ющее уравнение Фоккера-Планка для случая, когда процессы И7!^) и некоррелированны, имеет вид [8]

2 Эх2

(vPt,

2 du2

('vPt), (4)

где Pt = Р((.г, и|«о) — условная плотность вероятности (вероятность перехода) реализации пары (.г, и) в момент t при условии, что в начальный момент ^ = 0, .г = 0 и и = «о 5 удовлетворяющая начальному условию: Р(=о(;Г, у|уо) = = 6(х)6(и — Vо).

В работе [5] на основе решения уравнения (4) было получено замкнутое аналитическое выражение для вероятностной плотности переменной х:

Pt(x) = е

=

dp. 2тг

'?LeiPxX + Ft(px)

(5)

где

FtiPx) = ^ - a In [cosh Щ-

fi = vV + ^ipl + 1/4) , «

п2 + 72 m

-sinn — ,

27П 2 j

276>

Выражение (5) было использовано для нахождения параметров модели ((л, в, 7, к) для котировок акций ГАО ЕЭС. Для этого теоретические кривые Р((.г) сравнивались с эмпирическими распределениями, которые определялись следующим образом. Для фиксированного t строился временной ряд логарифмических приращений гТ = 1п 6'(+т/6'т при всех возможных г, определялась эмпирическая плотность Р^а(а(г). Искомая

Данные взяты из www.finam.ru

20

Г.Л. Бухбиндер, K.M. Чистилин

эмпирическая плотность распределения х тогда получается в результате замены г = х + ¡.it, т. е. Pfata(x) ЕЕ Pfata(r - ¡it) .

Параметры модели выбирались таким образом, чтобы минимизировать среднеквадратичное отклонение

]T|lnPfta(.r)-lnPt(.r)|2,

x:t.

где суммирование производилось по всем доступным X и t = 1, 5, 20, 40, 70 дням. Результаты приведены в таблице. Там же для сравнения указаны значения параметров для основных американских фондовых индексов (Nasdaq, S&P500 и Dow-Jones), которые были получены в работе [6]. Значения переведены в единицу 1 /год из расчета, что в одном календарном году 250 рабочих дней.

Параметры модели Гестона для акций РАО ЕЭС и основных американских фондовых индексов

Примечание. В первой колонке таблицы приведен фактически наблюдаемый дрейф Д, который связан с параметром ц соотношением (6).

Полученные значения параметров модели были использованы для построения вероятностных распределений по формуле (5). Как видно из рис. 2, теоретические кривые достаточно хорошо согласуются с эмпирическими распределениями.

Эффективная скорость роста /2 (фактически наблюдаемый дрейф) может быть определена из соотношения (г) = (.г) + ¡it при больших t. Из результатов работы [5] следует, что в случае достаточно больших t переменная х распределена по гауссовому закону со средним (х) = -Ot/^A + к2/72 . Откуда имеем

fi = ¡1-6/^4 + к-2/72 «0,27,

что согласуется со значением ¡2data « 0,288, полученным посредством линейной аппроксимации эмпирических данных (см. рис. 1).

Сопоставление результатов, приведенных в таблице, позволяет сделать вывод о наличии общих закономерностей в динамике российских акций и американских фондовых индексов. В частности, время релаксации I/7 для акция РАО ЕЭС очень близко к соответствующему значению для индекса Nasdaq (3,5 и 2,2 дня). Наблюдаются и отличия. Параметр /2, описывающий

РАО ЕЭС 1997-2004

-I-"-1---1---1---1-'-1---1—

■1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 X

Рис. 2. Распределения Рг(х) ценовых приращений х для различных интервалов времени /: точечные кривые получены с использованием эмпирических данных, сплошные линии — при помощи уравнений (5). Для удобства распределения, соответствующие большим временным масштабам, сдвинуты в вертикальном направлении вверх умножением на 10

средний прирост стоимости актива, и параметр в, характеризующий волатильность, для российской ценной бумаги имеют большие значения. Что касается дрейфа, то для рынка акций, в отличие от фондовых индексов, прирост капитала на 30-40 % в год не является удивительным [7]. Основное отличие заключается в чрезвычайно большом значении для средней волатильности, которая характеризует размер флуктуаций, и составляет а = « 0, 89 (в единицах 1/год).

[1] Mantegna R., Stanley Н.Е. An introduction to Econophysics. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

[2] Cont R. // Quant. Finance, 1, 223, 2001.

[3] Ширяев Ф.Н. // Теория вероятн. и ее примен. 39, 5, 1994.

[4] Heston S.L. // Rev. Financial Studies, 6, 727, 1993.

[5] Dragulescu A., Yakovenko V.M. // Quant. Finance, 2, 443, 2002.

[6] Silva A., Yakovenko V.M. // Physica, A324, 303, 2003.

[7] Silva A., Prange R.E., Yakovenko V.M. // arXiv: cond-mat /0401225vl; Vicento R., at al // arXiv: cond-mat /0402185vl.

[8] Гардинер К. В. // Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 512 с.

Фондовые M в 7 к

индексы 1/год 1/год 1/день 1/год

РАО ЕЭС 0,66 0,8 0,28 18

Nasdaq 0,16 0,036 0,45 5,3

S&P500 0,13 0,018 0,067 0,67

Dow- 0,14 0,02 0,095 0,94

Jones