Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ия2(6) 2007

О. Л. Крицкий, Е. С. Лисок

Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности

В статье рассматривается метод оценивания коэффициентов модели стохастической волатильности без ограничения временного диапазона. Найденные зависимости позволяют свести задачу нахождения решения системы стохастических дифференциальных уравнений к отысканию аналитического решения асимптотического уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Разработанный алгоритм применяется к анализу средневзвешенных дневных котировок акций Газпрома на ММВБ и индексного опциона ЗРХ.

В последнее десятилетие отмечается значительный рост числа исследований, связанных c изучением поведения сложных экономических систем и флуктуаций финансовых рынков [Hull (2003)], [Benth (2002)]. Одним из способов такого изучения является непосредственный анализ высокочастотных эмпирических данных с использованием теории случайных процессов, примененной к ценовым приращениям:

где x(t) — исходный стохастический процесс, At — временной лаг.

Определение статистических свойств приращений в (1) и имитационное моделирование их будущего поведения является центральной задачей в динамике финансовых рынков. Для ее решения предложена теоретическая модель стохастической волатильности (SV) [Ser-Huang Poon (2005)], включая частные случаи: модель Хестона [Heston (1993)], Хала-Уайта [Hull, White (1987)], диффузии со скачками [Merton (1976)], а также их вариации. В общем виде модель стохастической волатильности можно представить следующим образом:

где х = х(Г) — исходный стохастический процесс, ц — коэффициент дрейфа, а — коэффициент диффузии, или волатильность, д, ц — некоторые непрерывные функции,

— приращения винеровских процессов (нормальные случайные величины с нулевым средним, дисперсией [^ ]2 = Л)1, / = 1,2, с корреляцией рЛ - ^ Г е [Г0,Т].

Тем не менее, детерминация и нахождение функциональной зависимости коэффициентов, формирующих каждый из вышеперечисленных методов, является задачей актуальной,

1 Здесь и далее чертой сверху будем обозначать математическое ожидание.

1. Введение

Ax(t) = x(t + At) - x(t),

(1)

dx = ц(x,t) xdt + ст (x,a,t)xdW1, da = g(x,a,t)dt + q(x,a,t)dW2

(2)

3

No2(6) 2007

так как ни одна из известных моделей не описывает действительного поведения рынка, а учитывает только конечный набор его характеристик.

Среди немногочисленных исследований в области оценивания параметровэконометри-ческих моделей выделим работуТомети и Вортмана [Tomety, Worthmann (2004)], в которой коэффициенты модели стохастической волатильности определяются эвристически.

Стоит отметить, что определенные перебором коэффициенты модели, во-первых, могут привести к быстрому возрастанию погрешности модели [Холопова, Крицкий (2006)] при дальнейшем использовании, например, при численной реализации, во-вторых, они постоянны, что является допущением математической модели и не соответствует действительности.

Наряду с эвристическими развивались и алгоритмы статистического оценивания параметров, с помощью метода максимального правдоподобия и его модификаций (квазимаксимальное правдоподобие [Shepherd, Harvey (1996)], псевдо-максимальное правдоподобие [Fiorentini et al. (2002)]). Основной идеей такого подхода является фиксирование функции распределения цен S и волатильностей а в S^-модели с дальнейшей максимизацией функции правдоподобия и решением нелинейной системы относительно искомых параметров. В то же время выбор такой функции распределения является сложной задачей, не § имеющей единственного решения. Кроме того, при использовании метода максимального | правдоподобия, предположение о независимости котировок цен акций является сущест-| венным, что не справедливо для финансовых рынков [McNeil et al. (2005)]. Поэтому совмест-§ ную многомерную функцию распределения следует рассматривать относительно всех выбо-® рочных данных, что, очевидно, является препятствием для применения алгоритма в случае § обработки тиковых данных, эффективная размерность массивов которых превосходит де-¥ сятки и сотни тысяч значений.

и Следующим шагом в исследованиях, помимо оценки параметров модели SV, стала попыт-§ ка нахождения аналитического решения для плотности вероятностей приращений цен финансовых активов.Так, в работе Драгулеску и Яковенко [Dragulescu, Yakovenko (2002)], наос-§ нове эвристически детерминированной модели Хестона было получено замкнутое аналити-| ческое выражение для плотности вероятности логарифмических приращений стоимости § активов. Алгоритм был применен к индексам Dow-Jones, Nasdaq, S&P 500 и нескольким ак-■g циям. На основе этого метода в работе Бухбиндера и Чистилина [Бухбиндер, Чистилин (2005,

1 № 10)] исследована возможность применения модели Хестона к российскому фондовому рынку. Во всех случаях параметры моделей определялись путем подгонки теоретических

g кривых под эмпирические распределения и задавались постоянными величинами. Анало-<ь гичным образом проведены и иные исследования [Vicente at al. (2004)], где находится аналитический вид плотности вероятности логарифмических доходностей. При этом вопрос Л оценки параметров не рассматривается.

| Усложнению алгоритмов оценивания параметров модели мешает трудоемкость нахож-§ дения численного или аналитического решения системы уравнений в частных производных | второго порядка, к которой сводится исходная система.

| Все это обусловило необходимость развития асимптотических методов оценивания, по-

2 зволяющих не только определить параметры стохастических дифференциальных уравне-! ний SV-модели, но и найти их аналитическое решение. Кроме того, подобные методы позво-

** ляют получить выражение для плотности вероятностей приращений стоимости рисковых

и

активов.

4

№2(6) 2007

В одной из первых публикаций потеме [Бухбиндер, Чистилин (2005, № 2)] ценовые прира-

О

щения (1) для котировок акций РАО ЕЭС рассматриваются как марковский случайный про- ¿5

цесс. Из эмпирических данных определяются коэффициенты дрейфа и диффузии уравнения о Фоккера-Планка, аппроксимированные линейной и квадратичной зависимостью относи- ^ тельно соответствующего вероятностного распределения, которое подчиняется либо сте- § пенному, либо нормальному закону распределения. Ц

В то же время стоит отметить, что найденная аппроксимация параметров модели, во- ^ первых, является всего лишь частным случаем полиномиальной зависимости, и, во-вторых, ^ приводит к первому уравнению в (2), где коэффициенты дрейфа и диффузии, вычисленные относительно логарифмических приращений, являются константами.

В настоящей работе вместо подгонки теоретической модели к эмпирическим данным проводится асимптотическое оценивание и нахождение функциональной зависимости коэффициентов ц, а, р, ц модели стохастической волатильности вида:

Дх) = ц(Ах,Г) Ж + Аа(Ах, Да, Г)Да) = д(Ах, Да,Г)Л + ц(Ах, Да,Г)^2, (3)

где Ах — ценовые приращения, удовлетворяющие (1), ц — коэффициент дрейфа,

Аа = а(Г + АГ)-а(Г)— приращения волатильности,

д, ц — некоторые непрерывные функции, _

— приращения винеровских процессов,, = 1,2, с корреляциейрЛ = Г е [Г0,Т].

Определенные таким образом параметры используются для нахождения асимптотического аналитического решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК).

Разработанный алгоритм применяется к анализу средневзвешенных дневных котировок акций Газпрома на ММВБ и опциона БРХ на американский индекс Б!апСагС&Роог'$ 500.

2. Общие положения

Пусть Ь ,, / = 0,1,...— временной ряд, являющийся дискретной реализацией некоторого непрерывного случайного процесса х(Г), вычисленного в моменты времени Г,:

х (г, ) = Ь.

Кроме того, пусть имеются ценовые приращения Ах(Г,) = Ах,, заданные с лагами АГ, и удовлетворяющие (3).

Как известно [Бухбиндер, Чистилин (2005)], стохастический процессх(Г) полностью определяется бесконечным набором совместных плотностей ры (Ах0, АГ0;...;Дхы, АГм), зависящих от N переменных, N ^ да. В случае марковских процессов или процессов без памяти рн распадается в произведение условных плотностей р(Ах/+1, АГ/+11 Ах,, АГ,) реализации Ах/+1 за время АГ,+1, если Ах, произошло за время АГ,:

N-1

PN(Ах0,АГ0;...;ДxN,ДtN) = р(Ах0,АГ0)-^р(Ах/+1,АГм | Ах,,АГ,). (4)

,= 0

Заметим, что выражение (4) справедливо лишь в случае, когда все Ах, независимы друг от друга. Однако статистический анализ эмпирических данных показывает наличие ненулевой автокорреляции временного ряда Ь, [ВемЬ (2002)], т. е. Ах,-, как правило, зависимы. В то же

Ч 5

НЯ2(6) 2007

время, если Ах(г) — марковский случайный процесс, то безусловная плотность р(Ах,-+1, Аt|+1, Ах,-, Аг,) легко определяется через условную:

р(Ах,+1,АГ,+1, Ах,,Аг,) = р(Ах,, Аг,) р(Ах,+1, АГ,+11 Ах,,Аг,), (5)

где р(Ах,, Аг,) — одномерная функция плотности распределения случайной величины Ах,, , = 1,...,М, определенной (1) при фиксированном лаге Аг,.

Например, для двух ценовых приращений Ах, и Ах2, вычисленных с лагами Агь Аг2, Аг! < Аг2, в одинаковые моменты времени г, выражение (5) будет иметь вид:

р( Ах 2, Аг 2; Ах 1, Аг 1) = р( Ах 1, Аг 1 )р( Ах 2, Аг 21 Ах 1, Аг 1).

Зная р(Ах,+1, Аг,+11 Ах,, Аг,) и р(Ах,, Аг,), , = 1,...,М при Аг,, Аг,+1 ^да, первое уравнение в (3) можно записать в виде уравнения ФПК [Ни!!, White (1987)]:

—р( Ах, т) = dт

д д2

-О1(Ах,т) + —-О2(Ах,т)

д( Ах) д( Ах )2

р( Ах, т), (6)

где т = Т/ А г, г е [г 0, Т ], ОД Ах, т) и О 2( Ах, т)— коэффициенты дрейфа и волатильности приращений цен модели (3), определяемые как моменты условного распределения р(А5,т + Ат | Ах,т):

и

0

1

8 1

Ок(Ах,т) = — Нт М(к), (7)

ч к! а^о

со >5

§ м <« 1

Ат

= А- _[ (А5 - Ах) кр( Аs, т + Ат| Ах, т) d( А5), (8)

где к = 1,2,

О — область изменения Ах(г).

I

| формулой повышенного порядка точности, например, методом Симпсона [Демидович, Ма-

Численное интегрирование в уравнении (8) может проводиться любой квадратурной

рон (1960)]. Кроме того, следует отметить, что с переходом к пределу (7) при Ат ^ 0 умень-а: шается количество исходных данных, выбираемых для анализа, и рассчитываемые коэффи-Ц циенты О] (Ах,т) и О2(Ах,т) флуктуируют. Поэтому требуется выбирать такие Ат, чтобы они были малы относительно времени Т, но, тем не менее, сравнимы с минимальным временем

§

■с и коэффициентами дрейфа О3 (Аст,т) и волатильности О4 (Аст,т) для приращений волатиль-1 ности:

$ 1

§• Ок(Аст,т) = — Нт М(к-2), (

<ь к! Аст^0

между сделками. Например, в данной работе использовались значения Ат = 2,4,8,16 мин. Второе уравнение из (3) аналогичным образом приводится к виду (6) при замене Ах на Аст

с

М(к) = ^ |(Аг-Аст)к-2 Л( Аг, т + Ат | Аст, т)d( АД (8О

Ц где Л(Аг,т + Ат | Аст,т) — соответствующее условное распределение, 3 к = 3,4,

0 — область изменения Аст(т).

6

№2(6) 2007

Полученные массивы значений коэффициентов D1(Ах,х), D2(Ах,х), D3 (Да,х) и D4(Да,х) § при фиксированных Ах,-,х, используются для нахождения аппроксимации и выявления функциональной зависимости относительно Ах и х. При этом может быть осуществлено полино- о миальное приближение по Ах, взятое в форме нелинейной полиномиальной регрессии:

Ок =£а,(Ах)1, к = 1,2,

, = 0

п

Ок = £Ь, (Да)', к = 3,4,

, = 0

где а,, Ь, — коэффициенты регрессионных моделей, оценка которых осуществляется с помощью метода наименьших квадратов [Айвазян, Мхитарян (2001)], для чего должна быть сделана предварительная трансформация нелинейного уравнения в линейное путем замены переменного вида (Ах)п = АХп и (Да)п = Дап.

Пусть найдены оценки D1(Ах,х) и D2(Ах,х), которые в общем случае являются полиномами Р( Ах) и Р2( Ах) степеней т и п соответственно. Подставляем их в уравнение ФПК(6).Тогда, если

т > п, (9)

то решение уравнения ФПК при Г ^ да выходит на стационарное решение обыкновенного дифференциального уравнения:

—|Р(Ах)р(Ах,х) + -1—Р2(Ах)р(Ах,х) | = 0, 5АхI 2 5Ах ^

которое имеет вид:

р( Дх, х) = —ехр 1-Г^^ ёАх к (10)

Р Р2( Ах) 1 Р2( Ах) Г

N_7

>¡5 £

I? £ с; о

где С — константа, определяемая из эталонного условия:

да

С = | р( Ах, х)dАx = 1.

-да

Уравнение (10) описывает асимптотическое поведение плотности распределения случайного процесса Ах, или поведение хвостов плотности распределения.

Следует отметить, что при решении системы уравнений (3) можно оценить только три параметра: D1 (Ах,х), D3 (Да,х) и D4 (Да,х). В качестве D2 (Ах,х) тогда может быть использовано решение второго уравнения из (3) а(D3 (Да,х), D4 (Да,х)).

Аналогичную процедуру асимптотического оценивания коэффициентов модели и нахождения решения уравнения ФПК для соответствующей плотности вероятностей можно проводить и для самих цен х(Г) = х и их волатильности а, описываемых классической моделью стохастической волатильности (2).

Следует отметить, что предложенный алгоритм оценки параметров модели в виде полиномиальной зависимости, дает единственное решение уравнения ФПК [Тихонов, Самарский (1977)] и не ограничивает выбор вероятностного закона распределения.

№2(6) 2007

¡5

О

0

•Q

1

il

СО §

О (Ь

¡5

0

1

0

1 I

со

IS i <ь

и

ъ

(Ь $

i

то

I

а

о <ь

S

0

(Ь

¡5

е

с

1

О

3. Анализ эмпирических данных

Предложенный метод оценивания параметров был применен для нахождения функциональной зависимости коэффициентов моделей (2) и (3) для следующего набора данных. Были использованы тиковые ежеминутные данные: 4632 значений рублевых цен акций ОАО Газпром на ММВБ за период с 23 января по 13 июня 2006 года (данные предоставлены компанией РБК, http://export.rbc.ru), а также ежедневные котировки — 6368 значений индексного опциона SPX на американский индекс Standard&Poor's 500 с 1 января 1980 года по 31 мая 2004-го (данные предоставлены компанией Chicago Board of Option Exchange, CBOE; http://www.cboe.com). Оценивание осуществлялось как для цен и волатильностей, так и для их приращений при временных лагах Ах = 2,4,8,16 мин. (дней) и лагом при расчете волатильности At = 5. Динамика этих финансовых временных рядов представлена на рис. 1 и 2.

Отметим, что котировки акций Газпрома на ММВБ обладают следующими параметрами: среднее — 254,77 руб., стандартное отклонение — 36,5 руб., коэффициент асимметрии — 0,79, куртосис (эксцесс) — 2,44. Соответственно для индексного опциона SPX: среднее — 527,28 долл., стандартное отклонение — 397,06 долл., коэффициент асимметрии — 0,82, куртосис (эксцесс) — (-0,68).

Для того чтобы оценить коэффициенты в моделях стохастической волатильности (2) и (3) по статистическим данным были рассчитаны эмпирические одномерные и двумерные безусловные и условные функции распределения для приращений стоимостей финансовых активов. Затем с помощью формул (7)-(8) и (7')-(8') были получены массивы значений коэффициентов дрейфа и диффузии D1 (Ах,х), D2 (Ах,х), D3 (Аа,х) и D4 (Аа,х). Далее при условии выполнения соотношения (9) для этих оценок были найдены функциональные зависимости в виде полиномиальной регрессии. Степень полинома выбиралась из минимума относительной погрешности, но искусственно ограничивалась, если принимала слишком высокие значения. Полиномиальная регрессия трансформировалась в линейную, причем коэффициенты последней определялись с помощью МНК.

1Е4 1,5Е4 2Е4 2,5Е4 ЗЕ4 3,5Е4 4Е4 Рис. 1. Динамика рублевых цен акций ОАО Газпром на ММВБ

4,5Е4 t, мин.

8

№2(6) 2007

1500

1000

I

500 Ь

*

о

0

6 LÜ

1

£ с; о

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Ьдни

Рис. 2. Динамика индексного опциона SPX на американский индекс Standard&Poor's 500

Проведенные в соответствии с предлагаемым методом вычисления показали, что функциональные зависимости наиболее точно задаются полиномами 6-9 степени. Коэффициенты множественной регрессии для полученных приближений приняли значения в диапазоне 0,85-0,99. Их графический вид представлен на рис. 3-6.

0\,долл.

1200 Ах, долл.

- коэффициент^

— ■ — асимптотическое приближение

Рис. 3. Зависимость коэффициента О1 от Ах для приращений индексного опциона БРХ

9

Ые2(6) 2007

О О £ -С

г

ГС §

со §

о ?

¡5

О

8

0

1 I

со

в £

и ^

■в-■вО §

и

! §

и ^

о и

г

о и :т 5

I

О

1 1 Г 600 800 - коэффициент 02

1000

1200 Ах, долл.

— ■ — асимптотическое приближение

Рис. 4. Зависимость коэффициента О2 от Ах для приращений БРХ

01, руб.

400 -

300

200 -

100 -

-100

И-'-1-'-

0 10 — коэффициент 01 — асимптотическое приближение

20

30

-

40 Ах, руб.

Рис. 5. Зависимость коэффициента О1 от Ах для приращений акций ОАО Газпром на ММВБ

10

ю

коэффициент 02

N92(6) 2007

40 Ах, руб.

— - — асимптотическое приближение

Рис. 6. Зависимость коэффициента Л от Ах для приращений акций Газпрома

0

1

0

1 £

о

Отметим также, что коэффициенты и дрейфа, и волатильности стремятся к некоторому постоянному значению при Г ^ го, свидетельствуя о том, что волатильность и дрейф со временем стремятся к постоянному уровню, а вероятность экстремально больших скачков их значений стремится к нулю.

Таким образом, данные торгового дня и ежедневных котировок имеют схожее асимптотическое поведение, что свидетельствует о возможности применения метода к различным типам данных и различным рисковым активам как на российском, так и на мировом фондовых рынках. Кроме того, адекватность предложенного метода оценивания параметров моделей (2) и (3) следует из однозначности решения уравнения ФПК.

4. Заключение

Проведено асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности, для чего аналитически решается уравнение ФПК (6) с численно определенными коэффициентами (7)-(8) относительно приращений цен и волатильностей, а в дальнейшем и самих цен. Для нахождения функциональной зависимости параметров модели к ним применяется нелинейная полиномиальная регрессия, и находится их полиномиальная аппроксимация.

Как известно, наибольшим ценовым колебаниям на финансовом рынке подвержены внутридневные (¡п1гаСау) котировки рисковых активов, что связано с постоянно меняющимся информационным полем и большим числом участвующих в торгах покупателей и продавцов, действующих согласно разработанным ими стратегиям. Построенный алгоритм позво-

No2(6) 2007

ляет описать поведение ценовых приращении и их волатильностеи для тиковых данных, зафиксированных в течение торговых сессии.

Предложенный метод оценивания параметров и нахождения функциональной зависимости коэффициентов модели стохастической волатильности для решения асимптотического уравнения ФПК был применен к анализу котировок акциИ Газпрома на ММВБ и опциона SPX на американский индекс Standard&Poor's 500. Показана высокая точность вычислении, позволяющая адекватно прогнозировать поведение рисковых активов при долгосрочном инвестировании.

Список литературы

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. М.: Юнити-Дана. 2001. Т. 2.

БухбиндерГ.Л., Чистилин К. М. Стохастическая динамика котировок акций РАО ЕЭС//Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 2. С. 119-125.

Бухбиндер Г. Л., Чистилин К.М. Описание российского фондового рынка в рамках модели Гестона // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 10. С. 31-38.

Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.- мат. литерату-£ ры, 1960.

§ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

и

<в §

03

>s §

и <ъ

J

к

и

I volatility // Quantitative Finance. 2002. V. 2. P. 443-453.

ХолоповаЕ. С.,КрицкийО.Л. Имитационное моделирование цены индексного опциона методом стохастической волатильности // Труды III Международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». Томск, 2006. 16-19 мая. С. 194-197.

Benth F. E. Option Theory with Stochastic Analysis // An Introduction to Mathematical Finance. Springer Verlag, 2002.

Dragulescu A. A, Yakovenko V.M. Probability distribution of returns in the Heston model with Stochastic

Fiorentini G, Leon A., Rubio G. Estimation and empirical performance of Heston's stochastic volatility model: the case of a thinly traded market// Journal of Empirical Finance. 2002. V. 9. P. 225-255.

I

o Heston S. L. A closed form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and § currency option // Rev. Financial Studies. 1993. V. 6. P. 327-343.

■g Hull J. Options, Futures, and Other Derivatives / Prentice-Hall, Saddle River. New Jersey, 2003. H Hull J., White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatility Models // Journal of Finance. f 1987. V.42. P. 281-300.

McNeil A. J., Frey R., Embrechts P., Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools / Princeton: Princeton University Press, 2005. №6.

Merton R.C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous// Journal of Financial

n §

<u

!

5

5 Economics. 1976. V. 3. P. 125-144.

iE

g- Ser-Huang Poon. A Practical Guide to Forecasting Financial Market Volatility / John Wiley & Sons. § Chichester, England. 2005.

U Shepherd N, Harvey A. An assessing of stochastic volatility model coefficients // Journal of Business and | Econ stat. 1996. V. 14. P. 429-434.

TometyF. E., Worthmann KMonte-Carlo Method und stochastic Differentialgleichungen / Preprint, 2004. 16 Juny.

|

t Vicente R. et al. Common Underlying Dynamics in an Emerging Market: From Minutes to Months.

arXiv:cond-mat/0402185. V. 1. 2004. 6 Feb. P. 11. 12