CC BY
28
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2004. № 2. С. 22-24.
\Т TTV KQ1 1 л, ООП 11СС
(с) Омский государственный университет ^АМ^ ool.iy, oou.iio
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПОВЕДЕНИЯ КОТИРОВОК АКЦИЙ РАО ЕЭС
Г.Л. Бухбиндер, К.М. Чистилин
Омский государственный университет кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а1
Получена 14 февраля 2004 г-
It is shown that price changes of the shares РАО ЕЭС upon different delay times r can be regarded as a stochastic Marcovian process. The evolution of the probability distributions is described by means of the Fokker-Plank equation. It is written in terms of a drift and a diffusion coefficients that are directly estimated from financial data. The drift and diffusion coefficients allow to separate the deterministic and noisy influence on a dynamic of the share quotations.
В последнее время внимание физиков привлекло изучение сложных статистических свойств экономических систем и моделирование флукту-аций финансовых рынков [1]. В частности, одно из направлений так называемой эконофизики (econophysics) касается исследования статистики финансовых временных рядов, таких как стоимости акций, значений фондовых индексов и курсов обмена валют. Развитие компьютерных технологий и доступность высокочастотных финансовых данных предоставили возможность получить информацию о стохастическом процессе, управляющем поведением финансовых рынков непосредственно из анализа эмпирических данных. Один из способов анализа финансовых временных рядов y(t) состоит в исследовании статистических свойств ценовых приращений х(т), определенных на временной шкапе г:
x(T)=y(t + T)-y(t). (1)
Изучение стохастического процесса х(т), лежащего в основе рыночных флуктуаций, является центральной задачей в динамике финансовых рынков. На рис. 1 представлены эмпирические графики плотности вероятности р±(х,т) = = Pi(x(t)) переменной х для различных значений г (точечные линии). Для построения кривых были использованы значения котировок акций РАО ЕЭС ММВБ. На малых временных масштабах вероятностная плотность значительно отклоняется от гауссовой формы (особенно при
1 e-mail: [email protected], [email protected]
больших .г) и характеризуется так называемыми плоскими хвостами, отражающими достаточно высокую вероятность (по сравнению с гауссовым распределением) значительных изменений ценовых приращений. Определение механизмов, формирующих хвосты вероятностных распределений на малых временных масштабах (порядка времени совершения сделки) является чрезвычайно важным для анализа финансовых рисков.
В настоящее время знания о случайном и детерминированном характере процессов, лежащих в основе эволюции финансовых рынков, в значительной мере ограничены. Недавно в работах [2; 3] был предложен подход, позволяющий разделить детерминированную и случайную компоненты, которые определяют статистику обменного курса DEM/USD. При условии, что ценовые приращения х представляют собой марковский процесс на временной шкапе г, было показано, что непосредственно из эмпирических данных может быть получено уравнение Фоккера-Планка для вероятностной плотности. В частности, были получены эмпирические зависимости для коэффициентов дрейфа D\ и диффузии D-2 . Знание этих коэффициентов позволяет разделить детерминированные и случайные воздействия на поведение рынка. Используя соответствующее уравнение Ланжевена, авторы проанализировали, какие члены в коэффициенте диффузии ответственны за появление плоских хвостов.
Подобный анализ был выполнен и для других финансовых активов (NIKKI 125, NASDAQ, JPY/DEM) [4; 5]. Представляет интерес приме-
Моделирование случайного и детерминированного поведения котировок акций РАО ЕЭС
23
нить предложенный подход к моделированию российского фондового рынка. Для анализа были использованы 1 342 833 значения котировок акций РАО ЕЭС ММВБ за период с 3 января по 31 декабря 2002 г.2
Рис. 1. Распределения р(х,т) ценовых приращений х(т). Точечные кривые получены с использованием эмпирических данных, сплошные линии — из ценового ряда, моделированного при помощи уравнения (8). Временные задержки г (сверху вниз) равны 21 600, 3 600, 900 и 360 с. Распределения, соответствующие большим временным масштабам, для удобства сдвинуты в вертикальном направлении вверх
Стохастический процесс х(т) полностью определяется бесконечным набором совместных плотностей рдг(.Г1, т"1; Х2, т-2',...; .гдг, тдг), зависящих от N переменных. Существенное упрощение возникает, если х(т) есть марковский процесс. В этом случае N - точечная плотность рдг распадается на произведение условных плотностей
р(Хг,Тг\х1+1,П+1) =
= р-2 (хг, п; ;Г»+1, Т1+1 )/р\ (х1+1, Т1+1), (2)
где г= 1, 2, ...М- 1 и р(х1,т1\х1+1,т1+1) обозначает плотность условной вероятности реализации значения х^ на временной шкапе г» при заданном значении .Гг+1 на шкапе т^ 1, причем > ъ. Определение условной вероятности (2) означает, что направление процесса выбрано в сторону убывания шкапы г. В случае марковского процесса условные плотности должны удовле-
творять уравнению Чепмена-Колмогорова [6]:
р(х1Т1, |;Г2,Т2) =
= ! р{х1,Т1\х, т)р(х, т\х-2,т-2)с1х (3)
при т"! < г < т-2. Справедливость этого уравнения была проверена для различных г. Условная плотность вычислялась непосредственно из (2) и на основе численного интегрирования уравнения (3). Результаты вычисления для т\ = 3 600с, г = 3 800 с и 1~2 = 4 000с представлены на рис. 2. Как видно, в основной области согласие достаточно хорошее. Основываясь на полученных результа-
Рис. 2. Условные плотности вероятности ¡>(.г \. г . т^). вычисленные из (2) (точечные кривые) и из уравнения Чепмена-Колмогорова (3) (сплошные кривые) для временных масштабов п = 3 600с, г = 3 800с, т2 = 4 000с и х2 = ±10
тах, можно принять, что в рассматриваемой области временных масштабов г ценовые приращения достаточно хорошо аппроксимируются марковским процессом.
Представленное в дифференциальной форме, уравнение Чепмена-Колмогорова дает уравнение Фоккера-Планка . В данном случае запишем его для р\(хт) в виде3
д'2
0^О2(х,т)р1(х,т), (4)
где коэффициенты дрейфа В\ и диффузии
2Данные взяты из: http://www.finam.ru.
3Для удобства определения /->/,. обе части (4) умножены на т; знак минус слева появляется в результате выбранного направления «времени» г.
24
Г.Л. Бухбиндер, K.M. Чистилин
определяются как
Dk(x,r) =
ОО
: lim —Т— / <х'- х)кР(х,'т - Ат\х,т)с1х'. Ат—>о к\Ат J
(5)
Для вычисления В и непосредственно из эмпирических данных были определены условные плотности р(х', т — Дт|;г, г) и проведено численное интегрирование и предельный переход в (5). Следует отметить, что при уменьшении А г уменьшается и количество данных, что вызывает значительные флуктуации вычисляемых величин. Поэтому при вычислении предела выбирались А г, малые по сравнению с временным масштабом г, но в то же время достаточно большие по сравнению со средним временем между двумя последовательными сделками. Характерное поведение В\{х,т) и В2{х,т) показано на рис. 3.
Рис. 3. Коэффициенты £>1(.т,т) и0-2(х,т) вычислены с помощью совместных распределений из эмпирических данных. Сплошные линии представляют линейную и квадратичную аппроксимации. Временной масштаб г =360 с
Мы нашли следующие приближенные зависимости:
В\{х, г) = —1, 02.г, (6)
D-2(x,t) = 0,11т + 0,22.г2.
(7)
Моделирование ценового ряда х(т) может быть теперь получено с помощью уравнения Ланжеве-на. В данном случае уравнению Фоккера-Планка
соответствует следующее стохастическое дифференциальное уравнение (в смысле Ито):
-тс1х(т) = Вг{х, т)с1т + ^В2(х,т)т <Ж{т), (8)
где \У(т) - винеровский процесс с < с1\У(т) >= = 0 и < с1\У2{т) >= 2с1т. В соответствии с уравнением (8) было проведено моделирование ценовых приращений х(т) для различных т. На рис. 1 сплошными линиями представлены вероятностные распределения для временных рядов, полученных на основе (8). Хорошее согласие между кривыми подтверждает приемлемое определение коэффициентов В\{х,т) и В2(х,т).
Как известно, коэффициент дрейфа В\{х,т) определяет детерминированную часть стохастической переменной х{т), в то время как коэффициент диффузии В2{х,т) определяет ее случайную составляющую. Значит, как детерминированная, так и случайная компоненты в динамике котировок акции РАО ЕЭС количественно могут быть выражены в виде зависимостей (6) и (7).
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение р\{х, т). Как видно из (7), при г —>■ 0 и больших х зависимостью от г в В2 можно пренебречь и уравнение (4) сводится к виду
д д2
Т)] + -g^{l3x2pi(x> Г)]
о
(9)
с 7 = —1,02 и /3 = 0,22. Уравнение (9) показывает, что при больших х и малых т р1(х,т) симметрично относительно х. Легко также проверить, что уравнение (9) обладает решением
Pi(X,T)
С
Г.1 + М
С = const.
(10)
Подстановка (10) в (9) дает ¿t = 1 — 1/ß = 5, 64. Таким образом, асимптотическое поведение (хвосты распределения) pi(x,r) определяются степенным законом.
Наконец отметим, что в области х2/т <С 1 из уравнения (8) и равенств (6) и (7) следует, что х(т) распределена по нормальному закону.
[1] Mantegna R., Stanley Н.Е. An introduction to Econophysics, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
[2] Friedrich R., Peinke J., Renner Ch. // Phys. Rev. Lett., 84, 5224, 2000.
[3] Renner Ch., Peinke J., Friedrich R. // Physica. A 298, 499, 2001.
[4] Ivanova К., Ausloos A'I., Takayasu A. // cond-mat/0301268. V. 1.
[5] Ausloos M., Ivanova К. // Phys. Rev. E68, 046122, 2003.
[6] Гардинер K.B. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 512 с.
