CC BY
12
УДК 681.513.5
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РАВНЫХ ПЛОЩАДЕЙ В АДАПТИВНЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
В.И. Ловчаков, Е.И. Кретов
Анализируется использование известного метода равных площадей для идентификации параметров электротермических объектов управления. Проводится уточнение метода для минимизации влияния шума измерений. Рассмотрены преимущества данного метода перед другими методиками идентификации и возможности его применения в составе энергосберегающих адаптивных систем управления.
Ключевые слова: метод равных площадей, идентификация параметров, энергосберегающее управление, адаптивное управление, электротермический объект.
Проблема реализации адаптивного энергосберегающего управления электротермическими объектами, к которым в основной массе можно отнести промышленные печи сопротивления, в первую очередь, сопряжена с корректным решением задачи идентификации - получения достоверных сведений об изменении внутренних параметров объекта в ходе процесса нагрева. От правильности и своевременности получения этих данных напрямую зависит как качество регулирования, так и результирующая величина получаемой экономии энергии.
Упомянутые объекты можно выделить в определенный класс динамических объектов управления, обладающих большой тепловой инерцией, а значит, характеризующихся длительными, порядка нескольких часов, переходными процессами в системах управления. Это серьезно затрудняет использование многих популярных методик идентификации, например, частотных методов [1]. Кроме того, для обеспечения корректной работы энергосберегающих алгоритмов регулирования нежелательно применение испытательных сигналов, что накладывает еще большие ограничения на выбор методики.
В связи с указанными обстоятельствами для идентификации параметров объектов описанного класса непосредственно в ходе процесса управления ими, предлагается использование метода равных площадей (МРП) [2]. В обобщенной формулировке метод заключается в определении
Т
параметров модели С = (С\, С2,..., Сп) путем решения системы уравнений вида
аг аг
Iфу(I)Нэ(1)Л = |фу№э(1,С)ё1; 0 £ аг < Ъ £ Т, (1)
Ь Ъ
где ф у (?) - принятые весовые функции; Иэ (1) и Иэ (11,С) - соответственно
экспериментальная и модельная функции, описывающие используемую динамическую характеристику объекта управления, например, переходную
199
функцию. Для получения необходимого числа уравнений (1) интервал наблюдения [0,T] разбивается точками ai и b на n участков либо выбираются n линейно независимых весовых функций.
На практике, как правило, экспериментальная динамическая характеристика искажена шумом V (t) (h3 (t) = h(t) + V (t)), обусловленным ошибками измерений, который считается стационарным с нулевым средним и известной корреляционной функцией R(t). При наличии данных случайных измерений проведем анализ выбора весовых функций в МРП.
Наличие шума вызывает случайные невязки (погрешности) уравнений в системе (1)
b
di = J j(t)u(t)dt, (2)
ai
характеризующейся нулевым математическим ожиданием и соответствующей дисперсией [3]:
b,b,
D[di]= J Jед -t2)j(t1)j(t2)dt1dt2. (3)
ai ai
С целью минимизации влияния невязок di на точность определения параметров модели сформулируем следующую вариационную задачу: в классе непрерывных функций определить такую весовую функцию j(t) , которая доставляет минимум функционалу (дисперсии невязки)
TT
I = J J R(t1 - t2)j(t1)j(t2)dt1dt2, (4)
00
при наличии ограничения, вытекающего из уравнений МРП:
T
J j(t )h3 (t) dt =S = const. (5)
0
Так как j(t) - варьируемая функция, то значение интеграла S представляет собой произвольное число. В связи с этим равенство (5) имеет
*/ ч j(t)
смысл пронормировать, введя в рассмотрение функцию j (t) = :
S
T , *
J j (t)h3 (t)dt =1. 0
Таким образом, приходим к необходимости решения следующей изопериметрической вариационной задачи:
TT * *
I = J JR(t1 -t2)j (t1)j (t2)dt1dt2 ® min;
T 00 (6) . *
J j (t)h3(t)dt = 1. 0
Введением множителя Лагранжа 1 = const [4], изопериметрическая задача (6) сводится к задаче на безусловный экстремум функционала:
TT T
J = ЦR(tx -12)j(ti) j(*2)dtidt2 +1Jj(th(t)dt (7)
00 0 (здесь и в дальнейшем для простоты обозначений индекс "*" опускается).
Проварьируем искомую функцию:
j(t) = j о (t) + gW(t), (8)
где W(t) - некоторая непрерывная функция; g - параметр, значения которого принадлежат диапазону 0 < g < 1. Раскроем условие оптимальности функционала (7):
dJ (g)
J
= 0. (9)
g=0
йу
С этой целью подставим выражение (8) в функционал (7), после чего условие оптимальности (9) принимает вид
ТТ Т
II Д(*1 -12) [фо(*1)«(¿2) + «(Г1)фо(Г2)]й11ё12 +11тк(1)Л = 0. (10) 00 о
Используя в двойном интеграле переобозначения независимых переменных интегрирования (¿2 ® t, 11 ®т и 11 ® ¿2 ® т), а также свойство четности корреляционной функции (Я(т) = Я(-т)), можно провести следующее преобразование интеграла:
ТТ
II-¿2)[ф0(¿1)«(¿2) + 0(?1)ф0(^2)]^11^12 =
00
Т
= 21 щ -т) ) ф0(т)а т (11)
0
С учетом соотношения (11) уравнение (10) принимает вид
T W(t) 0
T
1Иэ (t) + 2 J R(t -1) j0(t)d t
0
dt= 0. (12)
Применяя к соотношению (12) основную лемму вариационного исчисления [4] с учетом того, что «(?) - произвольная непрерывная функция, приходим к следующему интегральному уравнению:
Т
21 щ—т) ф 0(т)а тж + хнэ (г) = 0, (13)
0
определяющему оптимальную весовую функцию Ф0О1) в методе равных площадей. Для случайного процесса помехи, наиболее часто встречающегося на практике, представляющего собой «белый» шум, корреляционная
функция R(т) = Бх 5(т), где Б - дисперсия процесса; 8(т) - дельта-функция Дирака. С использованием фильтрующего свойства дельта-функции получаем решение интегрального уравнения (13)
Фо(1) = 0,5 -1 Нэ (1). (14)
Множитель 0,5 -1 в функции (14) можно опустить, так как при использовании фо(1) в уравнениях (1) этот множитель сокращается.
Теперь с учетом полученного результата (14), определяющего оптимальную весовую функцию ФоОО в методе равных площадей, рассмотрим идентификацию электротермических объектов управления, которые часто на практике с достаточной точностью описываются дифференциальным уравнением первого порядка:
dx(t)
T -
dt
+ x(t) = k - u(t),
(15)
где Г, k - параметры объекта управления, x(t), u ^) - выходная переменная и управляющее воздействие соответственно. В соответствии с МРП можно составить систему уравнений, используя вместо экспериментальной и модельной функций соответственно правую и левую части уравнения (15):
^ dx(t) ^ ^ Г - | ф^) -—- k | ф^) - и(г)dt = |ф1(t) - х(г)dt;
tо Ч tо
^ dX(t) ^ ^
Г - Iф) -—- k |Ф2(t) - и(г)dt = |ф2^) - х(г
tо tо tо
(16)
где [ ¿о, гк ] - временной интервал, на котором проводится идентификация, о £ ¿о < гк £ Г. Принимаем в соответствии с результатом (14) ф^) = х^), а в качестве ф2^) для простоты реализации алгоритма используем единичную функцию. Тогда система (16) после упрощения примет вид
tk tk „
Г - (х2 (^ ) - х2^о) - k - | х^) - и^= | х2
(17)
'о 'о
tk tk Г - (х(гк) - х(^)) - k - | и^^ = | х^)dt.
t0 t0
Система уравнений (17) при известных записях экспериментальных сигналов х^), и (t) однозначно определяет искомые параметры объекта.
Продемонстрируем работу алгоритма для модели электротермического объекта со следующими параметрами: k = 0,7 В/С0, Г=60 мин с постоянным входным воздействием и^) = 220В. На сигнал х^) наложен шум, имеющий нормальное распределение, нулевое математическое ожи-
дание и среднеквадратичное отклонение e = 0,05. Графики зависимости
* *
полученных при идентификации параметров объекта T, k от времени идентификации Ти = tk - to показаны на рис.1 и 2.
100 90 so 70 60 50 40 30 20 10
°0 8 16 24 32 '10 48 5(5 64 72 80
t мик
Рис. 1. Зависимость значений параметра T от времени
идентификации
2 1 8 I г5 1.4 1.2 1
08 0.6 0.4 0.2
'и 8 16 24 32 40 43 56 64 72 80
t мин
Рис. 2. Зависимость значений параметра к от времени идентификации
Из графиков видно, что в данном примере при Ти > 30 мин достигается приемлемая точность идентификации. С учетом того, что переходные процессы для объекта с указанными параметрами займут более 3 часов, это является хорошим результатом, который демонстрирует преимущество МРП по скорости определения параметров перед группой методов, основанных на графоаналитическом анализе [5], и методов настройки регуляторов по кривой отклика [6]. Для сравнения укажем, что в случае использования какого-либо из последних методов для проведения идентификации потребовалось бы от 1 до 3 часов.
Т^шы
п
и ГЧГ-
-
я
\ Í
Отсутствие необходимости использования тестовых сигналов позволяет применять алгоритм, основанный на МРП в составе адаптивных энергосберегающих систем управления. На рис. 3 показан результат моделирования адаптивной энергосберегающей системы управления объектом второго порядка с идентификацией, основанной на МРП.
220 В, 3/С° 198
176
154
132
LWtjm
Xnft) ss
66
44
22
°0 15 30 45 60 75t, мш 90
Рис. 3. Моделирование адаптивной системы управления, основанной
на МРП
В качестве объекта управления в данном примере выступает дискретная нелинейная модель, состоящая, в свою очередь, из четырех линейных моделей в виде апериодических звеньев второго порядка с параметрами K, T1, T2:
K = 0,517; 71 = 56,47; T2 = 0,192; 0 < U(t) < 130;
K = 0,6; T1 = 52,082; T2 = 3,976; 130 < U (t ) < 160;
i (18)
K = 0,69; 71 = 47; T2 = 4,543; 160 < U (t ) < 190;
K = 0,755; 71 = 41,168; T2 = 4,237; 160 < U (t ) < 220.
В зависимости от величины управляющего воздействия параметры модели изменяются, как это показано в (18). На графике (рис. 3) хорошо видны моменты перенастройки энергосберегающего регулятора в соответствии с изменяющимися параметрами модели. Адаптация позволяет улучшить качество работы регулятора в случае ярко выраженной нелинейности объекта управления. В приведенном примере адаптивный регулятор обеспечил на 10,2 % большую экономию энергии, чем регулятор с неизменными параметрами.
К недостаткам применения МРП в составе адаптивных систем можно отнести относительно невысокую помехоустойчивость. Данная проблема частично решается с помощью выбора определенных весовых функций, как было показано ранее. Другим вариантом преодоления этой проблемы
204
может быть использование программных или аппаратных средств фильтрации измеряемых сигналов. По сравнению с известными методиками применительно к электротермическим объектам указанного класса метод равных площадей имеет преимущество в скорости определения параметров и позволяет проводить идентификацию параметров прямо во время процесса регулирования. Совокупность этих качеств делает его одним из удачных решений для применения в адаптивных энергосберегающих системах управления электротермическими объектами.
Список литературы
1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк, 1989. 263 с.
2. Мелентьев П.В. Приближенные вычисления. М.: Физматгиз, 1962. 520 с.
3. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 434 с.
4. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969. 512 с.
5. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.
6. O'Dwyer, Aidan: Hanbook of PI and PID controller tuning rules. 3rd ed. London: Imperial College Press, 2009. 545 p.
Ловчаков Владимир Иванович, д-р техн. наук, проф., lovvi50amail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Кретов Егор Игоревич, асп., neitworldaya.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
APPLICA TION OF THE METHOD OF EQ UAL AREAS IN ADAPTIVE ELECTROTHERMIC
OBJECTS CONTROL SYSTEMS
V.I. Lovchakov, E.I. Kretov
Proposes to consider the use of the well-known method of equal areas for identifying the parameters of electrothermal control objects. This method was improved for minimizing the influence of measurement noise. The advantages of this approach over other methods and the possibility of using them in the composition of energy-saving adaptive control systems are considered.
Key words: method of equal areas, identifying of the parameters, energy-saving control, adaptive control, electrothermal control objects.
Lovchakov Vladimir Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, neit-worldaya.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Kretov Egor Igorevich, postgraduate, neitworldaya. ru, Russia, Tula, Tula State University
