Аппроксимационный подход к синтезу систем регулирования на основе оптимального программного управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.513.5

АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПОДХОД К СИНТЕЗУ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В.И. Ловчаков

Для электротехнических объектов сформулирована актуальная задача энергосберегающего регулирования, состоящая в определении управления в форме стационарной обратной связи, переводящей объект из начального состояния в желаемый режим с использованием управляющего сигнала, имеющего минимальное значение энергии на заданном интервале времени и обеспечивающего последующую стабилизацию желаемого режима. Предложен оригинальный подход ее решения, в основе которого лежит известное оптимальное программное управление. Подход излагается и демонстрируется на примере объекта второго порядка.

Ключевые слова: позиционное управление, стационарная обратная связь, функционал энергии, оптимальное программное управление, устойчивость.

В работе рассматривается актуальная в настоящее время задача уменьшения потребления энергии электротехническими объектами за счет оптимизации управления ими в переходных режимах функционирования. К этим объектам относятся электроприводы, работающие в составе различных промышленных, транспортных и бытовых агрегатов с потреблением около 70 % всей вырабатываемой энергии [1] и печи сопротивления с суммарным потреблением энергии до 10 % [2]. Указанные многочисленные электротехнические устройства, которые можно объединить в отдельный класс объектов управления, представляется возможным описать с инженерной точностью моделью в форме системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами. Важнейшая особенность объектов данного класса состоит в том, что управляющие сигналы объектов, представляющие собой электрические напряжения исполнительных элементов, ограничены уровнем напряжения питания устройств. Для них является актуальной следующая задача управления: перевести объект из начального состояния в желаемое состояние (режим) с использованием сигнала управления, имеющего минимальное значение энергии на заданном интервале времени, с последующей стабилизацией желаемого режима.

Первая часть задачи (до стабилизации) является классической задачей современной теории оптимального управления, в которой, как правило, исследуются процессы конечной длительности. Эта подзадача в настоящее время решена с применением принципа максимума Л.С. Понтря-гина в форме программного управления и методом динамического про-

граммирования Р. Беллмана в форме линейной нестационарной обратной связи [3]. Вторая часть задачи, связанная с процессами неограниченной продолжительности, также исследуется в теории управления в рамках теории стабилизации и устойчивости [4], в которых получены важные результаты, например, с использованием методов функций Ляпунова [5].

Однако при использовании результатов теории оптимального управления и теории стабилизации для решения сформулированной исходной задачи управления возникают серьезные трудности. Во-первых, трудно задать момент перехода от решения первой подзадачи (оптимального управления) к решению второй подзадачи (стабилизации). Во-вторых, вследствие действия на объекты значительных возмущений, требуется синтезировать позиционный алгоритм управления, причем для обеспечения простоты технической реализации в форме стационарной обратной связи, что, как известно, является сложной математической задачей [5, 6 - 8].

В данной работе предлагается подход к конструированию квазиоптимальных энергосберегающих систем управления, который существенно уменьшает объем вычислений при синтезе систем повышенного порядка в сравнении с работами [6 - 8]. Уменьшение объема вычислений предопределяется следующими его особенностями.

1. Позиционный алгоритм управления определяется не во всем фазовом пространстве объекта, а в некоторой относительно небольшой его области, границы которой формируются при введении нормированных фазовых координат объекта.

2. Данная область дополнительно сужается до некоторой окрестности основной (базовой) фазовой траектории синтезируемой оптимальной системы.

3. В указанной ограниченной области удается аппроксимировать с относительно высокой точностью базовую траекторию системы простыми аналитическими зависимостями, например, полиномами, которые в дальнейшем используются при синтезе квазиоптимальной системы управления.

Ниже данный подход излагается и демонстрируется на примере объекта второго порядка. В последующих работах автора он будет обобщен и распространен на объекты более высокого порядка.

Постановка задачи управления, задачи исследования. Рассмотрим электротермический объект (сушильный шкаф), динамика которого с приемлемой для инженерной практики точностью описывается дифференциальным уравнением второго порядка

тт у(г) + Т + т2 )у(г) + у(г) = к ■ и(г) (1)

с параметрами Т1= 59,5 мин , Т2=17,7 мин, к=0,768 0С/В, причем сигнал управления ограничен величиной и(г) £ ит = 220 В.

226

Для данного объекта имеет экономический смысл сформулировать следующую задачу энергосберегающего управления: необходимо найти управление, переводящее объект (1) из нулевого начального состояния у(0) = у(0) = 0 в заданное конечное состояние ( у(Т) = у2; у(Т) = 0) с минимальным значением энергии сигнала управления

Т

1 1

W = J-U(t)2 dt ® min, (2)

0 R

где yz = (50+100) 0С - заданное значение (задание) регулируемой переменной (температуры y(t)) объекта; R=59 Ом - сопротивление электронагревателя объекта; Т - длительность интервала энергосберегающего управления.

Необходимо подчеркнуть, что для сформулированной задачи, как показал библиографический поиск, определено программное управление, но неизвестно ее решение в форме стационарной обратной связи [3 - 8], применение которой более целесообразно для исследуемого объекта. В связи с этим возникает задача исследования: для задачи (1), (2) разработать подход к определению позиционного управления в форме стационарной обратной связи на основе известного программного управления.

Определение оптимального программного управления. Для нахождения программного управления, являющегося базой для определения в дальнейшем желаемого позиционного управления, представим выходную переменную объекта y(t) в форме

y(t) = yz + x(t), т.е. x(t) = y(t)-yz, (3)

где x(t) - отклонение выхода объекта от задания. Соответственно сигнал управления представляем в виде

U(t) = uz + u(t), uz = yz/k, (4)

где uz = yz/k - управление, соответствующее заданию регулируемой переменной.

После подстановки (3) в (1) с учетом (4) получаем описание объекта TT x(t) + (T1 + T2 )x(t) + x(t) = ku(t) (5)

в отклонениях от задания. Дифференциальное уравнение (5) будем рассматривать со следующими начальными условиями:

x( 0; = - yz, x( 0) = 0, x(T) = 0, X(T) = 0. (6)

Эти начальные условия следуют из сформулированной целевой задачи энергосберегающего управления (1), (2).

Для определения программного управления подставляем управление u(t) из модели объекта (5) в функционал (2):

T 1 T 1

W = J - [u(t) + uz ]2 dt = J -

0 R 0 R

1 (TT2 x(t) + (T + T2 )x(t) + x(t)) + k

2

dt =

1 1

- J [TT2x(t) + (T+t2)x(t)+x(t) + y2 ] dt. (7)

Rk 0

Экстремаль функционала (7) найдем как решение уравнения Эйлера-Пуассона [4]:

7 2

(8) (9)

Т Т2

Р - "ТУТ= 0, Р(х,х,х) = ТХТ2х + (Тх + Т2 )х + х + у,,

аг х аг х

которое после преобразований принимает вид

(ТХТ2 )2х(4)(г) + [2Т1Т2 - Т + Т2 )2 ] х(2)(г) + х(г) + уг = 0.

Общее решение дифференциального уравнения (9) имеет вид

г г г г

Х(г) = Хчаст. + Хобщ.(г) = -у, + Т1 + ^ + ^ + ^ .

В экстремаль (10) введем относительное время

- г - Т _ т

г = — ; Т < 1 ; т2 = ^ < 1

т 1 т 2 т

и запишем в виде

- - Ч Т1 - Чт2

х(Т ■ г) = - у, + с1е + с2е

+ с3е

+ с4е

ЧТ2

(10) (11)

(12)

Показатели степеней (12) получены следующим образом:

=ь т=т.

Т ~ — т ~ т/

Постоянные интегрирования с1 + с4 экстремали (12) найдем с использованием краевых условий (6) решением системы уравнений

с, + с2 + с3 + с4 = 0, - с1 - = + = + = = 0,

1 2 3 4 т Т2 Т1 Т2

-1/ Т , „ „V—

с1е 11 + с2е

+ с3е1! т_ + сАв1т1 = у,,

(13)

-1 - - С^ -1 — + С^ 1 т + с4

е~ч -^г е~ч — еч— + еч — = 0.

11—2 =|

Т

Т

Т

Т

Применением метода определителей к (13) получаем с =^=у, • /(ТТ), г = 1,2,3,4,

(14)

где / 1(Т1 ,Т2) - соответствующие функции, значения которых можно рассчитать, например, в системе компьютерной математики МаШсаё.

Теперь на основе (12) и (14) можем записать выражения экстремали

х(г) и ее производной:

V л /

х(г)+у2 Лу, = Л(ТРТ2 )/к + /2(ТРТ2 )в1к + ¿(Зд )еп + т,т2 )в7,\

хщ = ШМ е-!-1 - /Л\Т) е--/_ + ИТ,т2) ¿Тх + /Ат) е-1т2

у,

Т

Т

Т

Т

С использованием функций (15) в системе МаШсаё при значениях параметров Т=70 мин, у2 = 50 0С построены графики рис. 1.

150 100

дКр

х2(Ч)

50

- 50

- 100

—■ — >ч

у" / / ч\ \\

^ _ - - - .........

0.2 0.4 0.6

Рис. 1. Экстремали х\(1) = х(1), х2(1) = х(1) и программное управление

В соответствии с уравнениями (15) представляется целесообразным ввести следующие нормированные фазовые координаты объекта:

= ^ ; О) = *<*±. (16)

У2 Л

Найдем описание объекта управления в данных координатах. С этой целью разделим дифференциальное уравнение объекта (5), записанное в относительном времени, на у2:

Т Т2 ^ + Т +Т2+ ^ = —и(г).

Л Л Л Л

Используя обозначения (16) и —и(г) = —и(1) = и^ = и(1), полу-

у —и и

У 2 2 2

чаем описание объекта в относительных координатах и относительном времени

Т Т_2 &&(г) + (Тх +Т2)% (г) + Х1 (г) = и(1) . (17)

Это уравнение при подстановке в него экстремали (15) однозначно определяет оптимальное программное управление й(Т). При данном управлении, рассчитанном при указанных значениях параметров задачи (см. рис.1), расходуется Ж=211.11 Вт- час электроэнергии. Для сравнения укажем, что при нагреве объекта до температуры уг = 50 0С номинальным напряжением 220 В за время 42 мин потребляется Жном = 574.24 Вт-час. Соответственно при оптимальном программном управлении процентное уменьшение потребления энергии (процентная экономия энергии) составляет

Ж = (ЖноМ - Ж)100%/ШноМ =63.24 %.

Исходя из найденной экстремали (15) функционала энергии перейдем к нахождению алгоритма обратной связи.

Определение управления в форме обратной связи. При синтезе алгоритма обратной связи (ОС) будем непосредственно использовать фазовую траекторию х2 = /(х1) оптимальной системы, которую можно построить на основе функций (15) (см. рис. 2). На рис. 2 функция у2(х1) представляет квадратичную аппроксимацию х2 = а2 х2 + а1 х1 + а0 фазовой траектории. Значения ее коэффициентов а0 = 0, а1 = а2 = -5.6684 найдены по

трем точкам: 1) х1 = 0, х2 = 0; 2) х1 =-0.5, х2 = 1.4171; 3) х1 =-1, х2 = 0 -решением системы уравнений

[0 = 0 + 0 + а0,

<1.4171 = а2(-0.5)2 + а1(-0.5), 0 = а2 - а1.

Соответственно на интервале -1 £ х1 £ 0 аппроксимация фазовой траектории принимает вид

х2 = -5.6684 ■ (х12 + х1). (18)

Аналогичным образом на интервале 0 £ х1 £ 1 получаем приближение

х2 = 5.6684 ■ (х12 -х1). (19)

Объединением выражений (18) и (19) получаем аппроксимацию на

интервале -1 £ х1 £ 1 фазовой траектории оптимальной системы

х2 = у2(х1) @ 5.6684 х1(\х1 -1). (20)

Отметим, что применение функции 1тй1(...) системы МаШсаё [9], осуществляющей линейную аппроксимацию методом наименьших квадратов по заданному числу точек исходной функции (в рассматриваемом случае принималось /=100), практически не улучшило приближение (20). Несколько повысить точность приближения удалось с использованием аппроксимации фазовой траектории полиномом четвертой степени (см. рис. 2)

у4(х1; = КаР(х1), Ка =-(13.038,41.864,55.708,26.686), Р(х1; = (х1,х12,х13,х14)Т.

Значения коэффициентов этого полинома найдены с применением указанной функции НпЩ...). Существенно же увеличить точность приближения фазовой траектории получилось с использованием нелинейной аппроксимации (см. рис. 2)

х2 = у3(х1) = 2.223х1 (ЬА - 1) .

(21)

1.5

хЭД

1.25

1

У2(х1(0)

у3(х1(0)а75

у4(хВД) --- 0.5

0.25

-1 - 0.8 - 0.6 - 0.4

х1(0

X ^Г / \

У / / 0 / 0 г \ * ч % \ V

ч • / * 0 . \ \ Д\

// / 1 /// • \ 'V \ 'Л \ \ V

1! : 1 0 Г / \ Ч 1 * 1 \

/ 0 1 0 •л 1 \

- 0.2

Рис. 2. Фазовая траектория системы и ее аппроксимации

После определения аппроксимаций у2(х1) (или у3(х])) перейдем к решению следующей задачи: требуется найти управление объектом (17) в форме стационарной обратной связи, которая обеспечивает его устойчивое движение по фазовой траектории /(х1)~ у2(х1) (или у3(х1)).

Данный объект управления в фазовом пространстве (16) описывается системой уравнений

/ л

х(г) = х2(г), х2(г)

-1—хс1(г) - — + — х2(г) +—1—и(х) . (22)

Т Т2 V Т Т) Т Т2

Делением уравнений системы (22) находим дифференциальное уравнение

$ х2 $ х1

ТТ 12

-х^г)-

г \

1 1

— + —

V Т1 Т2 )

х2 (г) +—х )

ТТ

12

фазовой траектории динамической системы. Из этого уравнения с учетом,

что $х2/$х1 = $/(х1)/'$х1 ° //(х1) является известной функцией, получаемой дифференцированием фазовой траектории (20) или (21)), находим искомое управление

1

2

и(Х ) ° и(х1 ,х2) = — Т2 /(х1) ■ х2 + (Т1+Т2)х2 + х1. (23)

Моделирование системы с управлением (23) при /(х1) = ах1 |Щ -1], а = 5.668 показало, что она является неустойчивой.

Этот факт можно объяснить следующим образом: подставив управление (23) в уравнение объекта (17) получаем, что замкнутая система описывается дифференциальными уравнениями

х1(1) = х2(1), х2(1) = /'(хх)х2(1) °-5,668[1 -2■ \х()\ х1(1), или одним уравнением

х^) = -5,668 [1 - 2 ■ |х1(?) ] х1(_). (24)

Линейная составляющая динамической системы (24) представляет последовательное соединение интегратора и апериодического звена и является неустойчивой по определению.

Таким образом, возникает задача по уточнению подхода синтеза: вместо уравнения (24) необходимо найти такое дифференциальное уравнение

х^) = ф[х(),х() , (25)

которое имело следующие свойства:

1) его фазовая траектория описывается уравнением (20) или близкой к графику рис.1 аппроксимацией, например, (21);

2) главное, чтобы переходные процессы системы (25) с начальными условиями -1 £ х1(0) £ 1, х1(0) = 0 были устойчивыми.

Заметим, что уравнение (24) получается из (25), если предположить

ф(х1 ,х2) = Ф1(х1) ■ х2, (26)

причем ф1(х1) = d /(х1 Функция структуры (26) является довольно

узким (частным) случаем функции ф(х1 ,х2) общего вида.

Рассмотрим другие возможные структуры этой функции. Для этого описание динамической системы (25) представим в фазовом пространстве:

х/1) = х2(1), х2(1) = ф[хх(1),хх(г)\ . (27)

Фазовая траектория системы (27) описывается дифференциальным уравнением

dx2 _ ф(х1 ,х2)

dXl х2

(28)

По определению решение уравнение (28) должно равняться х2 = /(х1), т.е. должно выполняться равенство

dXl = /(*0 « ф[х1 ,/(х)] = то/11. (29)

/( х ) dXl

232

Данное равенство является основным соотношением для нахождения искомой функции ф(х1 ,х2). Однако уравнение (29) определяет функцию ф(х1 ,х2) неоднозначно. Воспользуемся этой неоднозначностью для определения искомой функции в наиболее простой структуре

ф(х1 ,х2) = ф1(х1) + А ■ х2, (30)

где ф1(х1), А - новые искомые функция и коэффициент. На основе (29), (30) получаем

ф/х ) = /(\) ■ /'(хх) - А/(хх). (31)

Таким образом, на основе соотношений (23), (25) закон энергосберегающего управления принимает вид

и(Х) = Т1 Т2 ф(х1 ,х2) + (Т1 + Т2)х2 + х1, (32) ф(х ,х2; = ф/х;+а ■ х2, ф1(х1;=/(х; ■ /,(х)- А ■ /(х;.

При использовании управления (32) возникает задача выбора значения параметра А. Наиболее простой вариант ее решения - это нахождение параметра из условий устойчивости замкнутой системы и последующее уточнение его значения при моделировании системы из условия минимума энергии сигнала управления.

Найдем условия устойчивости замкнутой системы управления, которая описывается уравнениями

х1(1) = х2(1), х2(1) = ф[х1(1),х1(1) =ф1(х1) + А ■ х2.

Если используется аппроксимация

х2 = / (х1) @ ах^х! -1], а = 5.668,

то

ф1 (х1) = /(х) ■ /'(х) - А/(хх) = а хх(|х^ -1) ■ [а(21^ | -1) - А]

и соответственно система описывается одним дифференциальным уравнением

х1(1) = а2 х1 (Щ -1 Д 2| х^ -1 - А а) + Ах1(1). (33)

Нелинейному уравнению (33) отвечает линеаризованное уравнение

х1(1) = а2 (1 + А а) х1 + Ах1( 1) с характеристическим уравнением

р2 - Ар - а(а + А) = 0. (34)

Так как а=5.6684, то для устойчивости системы (положительности всех коэффициентов уравнения (34)) должно быть А < -а = -5.6684.

На рис. 3, 4 представлены результаты моделирования в пакете МаШсаё замкнутой системы (33) управления объектом (1), имеющей следующий закон управления:

и (X) = —

Т1 Т2 [ф1( х1) + Ax2 ]+ (Т1 + Т2) х2 + х1

у!

к

У2_ к

Т1 Т2

/(х1)/ (х1) + А[х2 - /(х1)]]+ (Т1 + Т2)х2 + х1

(35)

+

У2 к

х1|

и(г, 1)

/ / \ >

/ / / 1 \ \

> л

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.0161

■ 100

250 200 150 100

г, 1)

50

50

1

1 1

и--

1 1 1 АН / \ — -

1 Л \ (

• .У

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.0161

а б

Рис. 3. Переходные процессы квазиоптимальных систем управления

а - х2 = /(х1) @ у2(х1); б - х2 = /(х^ @ у3(х^

0

х11

и(г, 1)

— - ч N

/ "ч\ _ у- { _1_1_ —

1 1 \ 1

1 у

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.0161

а

250 200

х11 150

х2 10010с| и(г, 1)

50 0

- 50

1

N \

1 1 1 1 1 \ \ 1 1 I / •V ч

1 1 || I 1 г

М к

1 1 1*

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0.0161

б

Рис. 4. Отработка квазиоптимальной системой различных заданий:

а - у2 = 50 0С; б - у2 = 80 0С

234

На рис. 3 приведены переходные процессы систем управления, имеющих различные аппроксимации функции /(х1), описывающей фазовую траекторию оптимальной системы, компоненты векторов х1г, х2г, х3г представляют значения фазовых координат х1( , х2(1г), х3( 1г) объекта в дискретные моменты времени 1. Указанные переходные процессы показывают отработку системами с параметром А=1.1а задания у = 50 0С

при начальном состоянии объекта Х 0 = (0, 0.1)Т . Выбор ненулевого вектора Х0 связан с тем, что система с квадратичной аппроксимацией (рис. 3, а) имеет вначале затянутый переходный процесс - на интервале 0 £ 1 < 20

мин выход х^) @ 0. Если задать Х0 =(0, 0.01)т, то указанный интервал расширяется до 0 £ 1 < 40 мин. Данный эффект объясняется тем, что для

системы с квадратичной аппроксимацией точка Х = (1, 0)Т является точкой покоя. Для системы с аппроксимацией / (х1) @ у3( х1) этот эффект отсутствует.

Подчеркнем, что исследуемые системы управления отрабатывают задание со статической ошибкой 2,26 0С, 1,88 0С соответственно. Данную ошибку можно приблизить к нулю за счет увеличения коэффициента А до значения А @ 4а, но при этом практически исчезает эффект энергосбережения - на интервале управления сигнал регулирования близок к предельному значению ит = 220 В.

На рис. 4 представлены переходные процессы отработки различных заданий системой, имеющей алгоритм управления с аппроксимацией /(х1) @ у3(х1), параметром А=0.85а и учетом существующих ограничений на сигнал управления 0 £ и(1) £ 220 В . Принципиальная особенность данной системы состоит в том, что все значения задания она отрабатывает за заданное (расчетное) время Т=70 мин. За данное время система управления для задания у2 = 50 0С потребляет Ж=243,47 Вт-час энергии; это определяет экономию энергии Ж% = 57,60 %, что только на 5,6 % отличается от оптимального программного управления. Дополнительный расход энергии в сравнении с программным управлением идет на обеспечение требуемого запаса устойчивости синтезированной системы.

Список литературы

1. Браславский И.Я., Ишматов Э.Ш., Поляков В.Н. Энергосберегающий асинхронный электропривод: учеб. пособие для вузов. М.: Издательский центр «Академия», 2004. 256 с.

2. Автоматическое управление электротермическими установками: учебник для вузов / А.Д. Свенчанский, А.М. Кручинин, К.М. Махмудов, Ю.М. Миронов. М.: Энергоатомиздат. 1990. 416 с.

235

3. Коробов В.И. Метод функций управляемости. М.: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2007. 576 с.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 3 т. /под ред. К. А. Пупкова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. Т. 3. 744 с.

5. Современная прикладная теория управления: в 3 т. / под ред. А. А. Колесникова. М.: ООО "ИСПО-Сервис", 2000. Т. 3. 400 с.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Оптимизация линейной системы управления в режиме реального времени // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1992. № 4. С. 3-19.

7. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Программно-позиционная оптимизация динамических систем // Кибернетика и системный анализ. 1994. № 1. С. 66-73.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Ружицкая Е.А. Решение классической задачи регулирования методами оптимального управления // АиТ. 2001. № 6. С.18-29.

9. Дьяконов В .П. MATHCAD 2000: учебный курс. СПб.: Питер, 2000. 592 с.

Ловчаков Владимир Иванович, д-р техн. наук, проф., lovvi50@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

APPROXIMATION APPROACH TO SYNTHESIS OF CONTROL SYSTEMS BASED

ON OPTIMAL PROGRAM CONTROL

V.I. Lovchakov

The paper focuses on actual problem of energy saving control, which consists in finding the form of control for the stationary closed-loop feedback control systems. This form must provide object transition from the initial state to the desired mode by using a control signal that having a minimum energy value at a predetermined time interval and providing stabilization of object in the desired mode. This paper proposes an original approach to solve this problem. It's based on well-known optimal program control. The approach is presented and demonstrated on the example of the second-order control object.

Key words: position control, stationary feedback, energy functional, optimal program control, stability.

Lovchakov Vladimir Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, lov-vi50@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University