CC BY
12
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 168
1969
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ К ИССЛЕДОВАНИЮ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИКИ ЯДЕРНЫХ
РЕАКТОРОВ
В. А. ТАРТАКОВСКИЙ, И. Г. ВИНТИЗЕНКО
¿Представлена научным семинаром вычислительной лаборатории ТПИ)
В данной работе рассматривается применение разложения в ряд по собственным функциям для решения на АВМ дифференциальных уравнений в частных производных, отвечающих пространственно-временной динамике ядерного реактора.
Сущность рассматриваемого метода в том, что искомую функцию представляют бесконечным рядом по собственным функциям пространственного оператора исходной задачи. Временную зависимость содержат в себе коэффициенты ряда — моды.
I. Рассмотрим ядерный реактор, представляющий собой цилиндр с экстраполированными высотой Н и радиусом R. В этом цилиндре находятся топливо, замедлитель и управляющие стержни. Охлаждение, достаточное для компенсации радиальных и азимутальных неравностей температурного поля, осуществляется газом, циркулирующим снизу вверх по каналам, параллельным вертикальной оси (оси г) цилиндра. Влияние замедлителя на тепловые процессы в системе предполагается незначительным. Диффузией тепла в топливе и теплоносителе пренебрегаем.
Стационарное состояние подобного реактора в одногрупповом диффузионном приближении описывается уравнениями.
М*ч'Фс (л, О, г) + В'СФС (г, 6, z) = 0; (1)
Г UФс( z) - Тиг^и [ Тц (г) - ТГ (г;] = 0; (2)
CrMrvr 7иЛ [Ти (2) - Тг (г) ] = 0, (3)
dz
где
2s R
^ («) = ] j Фс (Г, Z) rdrd 6,
о о
а граничные условия для Фс имеют вид
ФС(Я, 9, г) = Фс (г, 9, Н) = Фс(г, 0, 0) = 0.
Известно, что уравнение (i) является уравнением на собственные значения. В общем виде оно запишется
V"fltnn + L2lmnflmn — 0.
4. Заказ 2238.
49
Для рассматриваемого цилиндра и при нулевых граничных условиях, представляя /¡тл в виде /¡тп = Z {г) к [г) Б (0), найдем конечные и непрерывные в и решения
4-1)
I (г) = вт ><п г; = -
И
; л = 0,1,2,3
S, (0) = sin т0; S„ (6) = cos тб; от = 0,1,2..
Я (г) = Л
Tim
Я
/ю (V/«) —
2s/m
II//- II2 =
/2
"7 т я
1т
',2
1о
R2
Если
Be = const, то так как Фс (г, 0, г) > 0.
Фс = Psin — z-J0 Н
i 00
(4)
VR2 H2J
P — константа, характеризующая уровень мощности. Далее найдем, что
к p. UHP Т. 1 n =---cos —z; (о)
tl CrMrv,
н
Ти = '- к »-UP
sin — z Н cos — 2
н н
L Тиг^н CrMrvri; J
(6)
Реактор управляется пятью стержнями, расположенными соответственно в точках
(г', 0, г); (>", (Г''У*2)' (0Лг)'
В стационарном состоянии они находятся на половине высоты реактора. Толщина стержней несравнимо меньше поперечного сечения реактора, поэтому уравнение для стержня запишем следующим образом:
Р.-= 8 [0-, п) (МО] х(2-у)- (7)
2. Запишем уравнения для нестационарного реактора (для отклонений от стационарного уровня).
5
MV?(r, 0, ¿)+Яс2<р(гДг, t)
(г, 0 + агтг (z,t) + V р,-/-1
X Фс (Г, z) = V
д® . dt '
СИЛ4„d'-"t] = ^i/? (2, 0 - --„/=•„ [ти (г, i) - тГ (г, *)]; dt
(8) (9)
Сгмг 0 = [х„ (2, /•) - (г, о ] - СГМГ^ (г, *). (10) дЬ дг
о (г, 9, г, представим рядом по собственным функциям
со
? = р V J
г ) sin к Z [<fimn (t) cos т в + '\>Шп (t) sin т 8J.
Поставим это выражение в уравнение (8) и учтем (4), (7). Затем умножим полученное на какую-нибудь собственную функцию и проинтегрируем по области ¿7; так как /шп ортогональны, получим:
l<?lmn = tfmn9lmn + Wflmn- Н~2 { [^и + ¥г] ^о ^ г 4
*(Im
sin и Z- sin t.n Z COS ш
В dv + £ о, г' г') Jm ¡V? r'jcos тЩ[z (í)] j .
(11)
Г)
/ ;Ьтп = '"пп + II flmn Ii-2 S a/ r'J0 r'1 Jm ( r
X Sin mbihn[z(i)],
(12)
где а
*Чтп = ^W2 (¿000 " Limn),
hl
r H
4 *
2ic
Тс + sin — Z (¿)---z (0
Я W H
i И «"ST
3 sin — г (t) — sin — z (t) — 4 H H
3. Из (11) (12) видно, что связь нейтронного потока х температурой осуществляется через интеграл.
г ¡ Jm[ г ) sin К z sin Х0 z cos т В X [аихи -J- аТхГ] dv.
Это выражение отлично от нуля только для 1 = 0 и ш = 0. Учитывая это, получим
н
А/ = —2— \ ^ Ао2'^ [осити агтг| а^. о
Теперь наша задача состоит в том, чтобы исключить переменную 2 из этого выражения. Для этого существует несколько способов. Мы рассмотрим представление ти и тг на интервале О — Н рядом Фурье по косинусам, будем иметь
2 оэ
. Я-7/2 V V
sin (п — v) тс ^ sin (п -f v) тс sin (/г — v — 2) к /г + v я — v + 2
П — v
Подставим выражения
оо
S 7TV
COS- 2;
v = 0
О = ?/on(Osin).flz Г Г
г,л-о ^
Tui?2
гЛ I ^ r\drtti
о о
= 2 &/?*«„ (О sin >.„z
в уравнения (9), умножим их на руем от 0 до /У; получим:
о i iUH
cos— г И
t:v
cos — г /V
для
0
10 п
G (п) __ Тнг^и п+ 1
"0
V,
\
для V == о
у-« и) СТМГ "
сим„
проинтегри
V II Г/'
2\ilJH
оо
2i/r
S
у-0
-о
У
Р (/г + v) G\n --
п + V -f. 1
/г
+1
у.,./
ИГ и
с„жи
^ И Г'
УЬ+j) | У (у- у)
I
J
i ИГ* и
СГУИГ
где
~~ / ' ПРИ л 4^TH0M
(О при я нечётном Г (я) - i
Записанные уравнения решались на АВМ «ЭМУ-10». Естественно, что принимались во внимание лишь первые члены бесконечных рядов/Было взято Двенадцать «мод» для нейтронного потока и четыре — для температуры. Такое приближение обеспечивало необходимую точность.
Следует отметить, что аналоговая схема получилась простой, поэтому возможно дальнейшее уточнение модели. Ядерный реактор в этом смысле представляет .большие возможности. Одним из путей уточнения является учет эффекта отравления ксеноном и йодом. Трудности, возникающие при этом, связаны с вычислением довольно сложных определенных интегралов. Далее следует учесть распределение нейтронов по энергиям (хотя бы двухгрупповое приближение), более полно учесть кинетику с запаздывающими нейтронами. Однако необходимо помнить, что речь идет о малых колебаниях исследуемых параметров около стационарного уровня, к тому же эти уточнения осуществимы лишь при наличии достаточного количества прецизионного оборудования.
Рассмотренный метод позволяет, с учетом всего вышеизложенного, построить глобальную модель ядерного реактора.
ЛИТЕРАТУРА
1. JI. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближенные методы высшего анализа. ГИТТЛ, М., 1949.
2. Д. Джексон. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ГИИЛ, М, 1948.
3. Gian Paolo Caligiuri, Herve d'Hoop Nuovo método sperimentale analogico per la simulazione tridimensionale dei reattori nucleari. Rivista di ingegneria Vol. 12, № 5, 493—507, 1962.
