CC BY
0
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НЬЮТОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРАХОВАНИЯ
ЖИЗНИ И АННУИТЕТОВ
Ф.Т. Назарбаев, старший преподаватель А.Ж. Жакышова, магистрант Нурлан кызы Айжамал, магистрант Б.Б. Турганбаев, магистрант
Кыргызский национальный университет имени Ж. Баласагына (Кыргызстан, г. Бишкек)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-5-5-130-136
Аннотация. В статье исследуется применение метода Ньютона для решения задач страхования жизни и страховых аннуитетов. Конкретно показаны способы определения процентных ставок в задачах страхования жизни и страховых аннуитетов. Показаны случаи применимости данного метода и построены алгоритмы для вычисления показателей и листинг кода на языке программирования Python.
Ключевые слова: актуарная математика, страхование жизни, страховые аннуитеты, метод Ньютона.
В современном мире, где финансовая стабильность играет ключевую роль в планировании будущего, вопросы страхования жизни и аннуитетов становятся все более важными для индивидуальных лиц и компаний, в особенности это будет проявляется при развитии экономики, как происходит у нас в Кыргызстане. Эти финансовые инструменты не только обеспечивают защиту от неожиданных событий, но и способствуют созданию устойчивого финансового фундамента на долгосрочную перспективу.
В контексте математического анализа и решения финансовых задач, метод Ньютона давно зарекомендовал себя как мощный инструмент. Применение метода Ньютона в области страхования жизни и аннуитетов может дать толчок для более точного определения показателей задач страхования и управления финансовыми рисками.
Покажем применение метода Ньютона для решения задач, связанных со страхованием жизни и аннуитетами в условиях
Кыргызстана. Мы проанализируем применимость данного метода к различным сценариям страхования, а также рассмотрим примеры его использования в практических задачах страхования жизни опираясь на таблицу смертности Кыргызстана [3].
Основные формулы задач страхования жизни описаны в работах [1, 2, 4, 5]. Применение таблиц смертности приведенных в [3], к сожалению, невозможны из-за отсутствия данных для дробных возвратов, поэтому в работах [6, 7] приведены примеры интерполяции дробных возрастов, имеющих выпуклость вверх, которые подходят для данных из Кыргызстана.
Рассмотрим задачу определения процентной ставки при условии определенности остальных параметров. Для начала рассмотрим задачу с финансовыми аннуитетами для определения накопленной величины Бп, при известных параметрах (процентная ставка - /, ежепериодные платежи - р и срок п), которая имеет вид:
S =
р ■ ((1 + i)n -1)
В данной формуле все параметры легко определяются, кроме процентной ставки. Для определения процентной ставки выразим данное выражение в виде:
¿■5п-р-((1 + оп-1) = 0
Рассмотрим данное уравнение как функцию от аргумента /, и выразим его итерационной формулой Ньютона, получим:
Lk+1
ik-Sn-p-((l + ik)n-l) Sn-p-n-( 1 + ikr-1 '
Полученная итерационная формула позволяет определить процентную ставку, если известны другие параметры, в задачах финансовых аннуитетов.
Пример. Родители для своего сына с момента, когда ему исполнился 1 год,
начали откладывали в банк 40 000 в год в течении 18 лет, и накопили 2 229 988,60 рублей. Чему равна процентная ставка.
Решение.
Используя вышеуказанную формулу для данного примера, получим формулу:
lk+1 = lk
ik ■ 2229988,6 - 40000 • ((1 + ik)18 - 1) 2229988,6 - 40000 ■ 18 ■ (1 + ik)17
Для первоначального приближение возьмем /0 = 0,3, что соответствует 30%. Запустив итерационный процесс, получим:
/1 = 0,236902081 /2 = 0,185124714 /3 = 0,14790489 /4 = 0,127227947 /5 = 0,120639302 /6 = 0,120005586 /7 = 0,12
Как видим уже на пятой итерации при округлении до тысячных мы получили уже точное значение.
Теперь, покажем применение метода Ньютона для задач страхования жизни.
Для этого рассмотрим задачу страхования жизни с выплатой в конце года смерти выгода приобретателю. Формула определения страховой премии при этом будет иметь вид:
Р
-Г
fc=0
В данной формуле V - это разовая выплата выгода приобретателю, -
количество людей умерших в возрасте х лет, - количество людей, доживших до возраста х лет и конечно же V - дисконт-
ный множитель, равный
—. Все
i+t
параметры легко вычисляемы в данном примере, конечно как и в прошлом примере сложно определить только процентную ставку. И в общем виде его не
возможно выразить аналитически. Поэтому здесь также как и в первом случае применим методо Ньютона для определения процентной ставки, правда здесь расчеты еще сложнее, так как каждая итерация требует вычисления суммы.
Конечно легче здесь выразить формулу не для процентной ставки а для ставки дисконта, для начала преобразуем нашу формулу к виду
к
X
у. у Sl+lvk+i-p = 0
I
lx
k=0
Теперь применим метод Ньютона, получим формулу
т/ Vю Чх+k ,.к+1 d v ' Lk=0~-vm - У
Ут+1 =Vm~ Чх+к^.к V ■ (К + 1) ■ Lk=0~l-vm
ю
Где после упрощений получим
v.
ую Чх+к ,,к+1 _ о
Lk=0 1 vm r = v___
m+1 vm qx+k .
или
vm+1 = vm +
P
+
Vn
(к + 1).1Ю=оЦ+*ук k + 1
X
Последняя формула, является самой менее требовательной к системам, хоть и выглядит более громоздко.
Давайте теперь приведем листинг программы, на языке программирования Python, для определения процентной ставки для финансовых аннуитетов: n = int(input('Введите срок: ')) p = float(input(Ъведите ежепериодный платеж: ')) s = float(input('Введите накопленную величину: '))
eps = 10**(-int(input('Введите точность (количество знаков после запятой): '))+1) i = float(input('Введите первоначальное приближение: '))
pr = i-(i*s-p*((1+i)**n-1))/(s-p*n*(1+i)**(n-1))
k = 1
while (abs(pr-i)>eps and k<100): print('i({}) = {}'.format(k,pr)) k += 1 i = pr
pr = i-(i*s-p*((1+i)**n-1))/(s-p*n*(1+i)**(n-1))
Листинг программы как мы с вами видим простой но эффективный. Если запустить в данными приведенными в примере выше мы получим следующий результат: Введите срок: 18
Введите ежепериодный платеж: 40000
Введите накопленную величину: 2229988.6
Введите точность (количество знаков после запятой): 5
Введите первоначальное приближение: 0.3
i(1) = 0.2369020811906567
i(2) = 0.18512471422569377
i(3) = 0.14790488975931998
i(4) = 0.127227946916844
i(5) = 0.12063930180323569
i(6) = 0.12000558621157839
Для решения задачи определения процентной ставки в страховании жизни представим таблицу смертности Кыргызстана из [3]. Представим скриншот таблицы смертности Кыргызстана на 2020 год.
Таблица 2.21: Таблицы смертности и ожидаемой продолжительности
жизни населения Кыргызской Республики в 2020г.
Возраст (лет) Числа доживающих до точного возраста х лет Чпсло умирающих в интервале возраста от х до х+1 лет Вероятность умереть в интервале возраста от х до х+п Вероятность дожить до следующего возраста х+1 лет. Чпсло живущих в возрасте от х и до х+1 лет Чпсло чело веко-лет жлзнп в возрасте х лет п старше Ожидаемая продолжптель ность жлзнп населения, чпсло лет
Ь dx qx Рх Lx Тх ех
Оба пола
0 100 000 1 425 0,0143 0,9857 98 709 7 165 211 71,7
1 98 575 102 0,0010 0,9990 98 480 7 066 502 71,7
2 98 473 57 0,0006 0,9994 98 420 6 968 022 70,8
3 98 416 43 0,0004 0,9996 98 376 6 869 602 69,8
4 98 373 30 0,0003 0,9997 98 345 6 771 226 68,8
95 780 274 0.3514 0,6486 643 1 724 2,2
96 506 183 0,3609 0,6391 415 1 081 2,1
97 323 121 0,3741 0,62 5 9 263 667 2,1
98 202 77 0,3827 0,6173 164 404 2,0
99 125 49 0,3927 0,6073 100 240 1,9
100 76 76 1,0000 0,0000 140 140 1,8
Рис. 1. Скриншот таблицы смертности
Из данного скриншота видно, что нам необходимы данные со столбцов два и три, где указаны число доживщих и умерших в указанных возрастных интервалах. К сожалению, не возможно в ручную произвести расчеты, но тем не менее можно запрограммировать и получить
программу для определения процентной ставки.
Построим блок схему определения дисконтного множителя методом Ньютона. Так как блок схема слишком длинная, мы разделим блок схему нашего алгоритма на 2 части, которые приведены
на рисунках 2 и 3.
Рис. 2. Первая часть блок схемы метода Ньютона
Рис. 3. Вторая часть блок схемы метода Ньютона
На основе указанных на рисунках 2 и 3 алгоритма, приведем листинг программы на языке программирования Python. Листинг программы:
""" Чтение данных с таблиц смертности для дробных возрастов. Используем библиотеку xlrd для загрузки. """ import xlrd
wbook = xlrd.open workbook('data.xls') wsheet = wbook.sheet by index(0)
l = [] q = []
# Загрузка доживщих и умирающих в целых возрастных интервалах for i in range(1,103):
l.append(wsheet.cell(i,2).value) q.append(wsheet.cell(i,3).value) x = Ш(трШ('Введите возраст (целочисленное): ')) p = АоафпрШ('Введите премию: ')) v = АоафпрШ('Введите величину выплаты: '))
eps = 10**(-Ш(трШ('Введите точность (количество знаков после запятой): )) + 1) nu0 = АоафпрШ('Введите первоначальное приближение: ')) m = 0 si = 0 s2 = 0
for i in range(x,len(l)):
si += q[i]/l[x]*(nu0* *(i-x+1)) s2 += q[i]/l[x]*(nu0**(i-x))
nu1 = nu0 - (v*s1-p)/(v*s2) k = 1
while (abs(nu0-nu1)>eps and k<100):
print('nu({}) = {}'.format(k,nu1)) k += 1 nu0 = nu1 s1 = 0 s2 = 0
for i in range(x,len(l)):
s1 += q[i]/l[x]*(nu0**(i-x+1)) s2 += (i-x+1)*q[i]/l[x]*(nu0**(i-x)) nu1 = nu0 - (v*s1-p)/(v*s2) При запуске программы и вводе контрольных данных мы получим следующий результат:
Введите возраст (целочисленное): 20
Введите премию: 6795.392
Введите величину выплаты: 500000
Введите точность (количество знаков после запятой): 6
Введите первоначальное приближение: 0.89
nu(1) = 1.0663637403130808
nu(2) = 1.0488847474208634
nu(3) = 1.0312860782553877
nu(4) = 1.0134948422346186
nu(5) = 0.995411574023607
nu(6) = 0.9769164189857511
nu(7) = 0.9579271436483767
nu(8) = 0.938630882845695
nu(9) = 0.920152623955502
nu(10) = 0.9055895788018345
nu(n) = 0.8986236946142384
nu(12) = 0.8974613965728628
nu(13) = 0.8974347007717958
Как мы с вами видим, мы можем с помощью метода Ньютона вычислять процентную ставку или ставку дисконта для задач страхования жизни и аннуитетов, данную работу можно использовать на уроках по численным методам или в курсах актуарной математики, с применением ЭВМ.
Библиографический список
1. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. Пе-рев. С англ. / Под ред. В.К. Малиновского. - М.: Янус-К, 2001. - 656 с.
2. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. -Издание 2-е, переработанное и дополненное. - М.: Анкил, 2002. - 262 с. ISBN 5-86476194-Х.
3. Демографический ежегодник Кыргызской Республики: 2016-2020. - Б.: Нацстатком Кырг. Респ., 2021. - 312 с. ISBN 978-9967-26-837-1.
4. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 192 с. - ISBN 5-9221-0451-9.
5. Фалин А.Г., Фалин Г.И. Введение в математику финансов и инвестиций для актуариев: Учебное пособие. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.:МАКС Пресс, 2019. - 359 с., ил. (эл. изд.)
Здесь видно, что при точности £ = 10-6 ответ получим на 13 шаге. И это учитывая факт, что первоначальное приближение было более точным. Но при изменении первоначального приближения на одну сотую, получим ответ только на 26 шаге.
6. Назарбаев Ф.Т. Параболическая интерполяция таблиц смертности для дробных возрастов // Материалы VII Всемирного Конгресса математиков тюркского мира (TWMS Congress-2023) (Часть II), Туркестан, Казахстан 2023г. - С. 94-97.
7. Назарбаев Ф.Т., Доолбекова А.У. Об одном методе интерполяции таблиц смертности для дробных возрастов // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. -2022. - № 6-3 (69). - С. 103-107.
APPLICATION OF NEWTON'S METHOD FOR SOLVING PROBLEMS OF LIFE INSURANCE AND ANNUITIES
F.T. Nazarbaev, Senior Lecturer
A.Zh. Zhakyshova, Graduate Student Nurlan kyzy Aizhamal, Graduate Student
B.B. Turganbaev, Graduate Student
Kyrgyz National University named after Zh. Balasagyna (Kyrgyzstan, Bishkek)
Abstract. The article explores the application of Newton's method for solving problems of life insurance and insurance annuities. The methods for determining interest rates in problems of life insurance and insurance annuities are specifically shown. The cases of applicability of this method are shown and algorithms for calculating indicators and listing code in the python programming language are constructed.
Keywords: actuarial mathematics, life insurance, insurance annuities, Newton's method.
