CC BY
86
pISSN 2071-4688 Страхование
eISSN 2311-8709
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ТАРИФОВ СТРАХОВАНИЯ КОМПАНЬОНОВ
Наталья Александровна ЧИСТЯКОВА3, Ирина Владимировна СУХОРУКОВА^
а кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики,
Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, Москва, Российская Федерация
chistna@mail.ru
ь доктор экономических наук, профессор кафедры высшей математики, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, Москва, Российская Федерация suhorukovaira@yandex.ru
• Ответственный автор
История статьи:
Получена 18.05.2017 Получена в доработанном виде 09.06.2017 Получена в доработанном виде 07.07.2017 Одобрена 25.07.2017 Доступна онлайн 29.08.2017
УДК 336.6 JEL: С02
Ключевые слова: тарифы страхования, нетто-ставка, пожизненное страхование, процентная ставка, плотность распределения, функция распределения, функция дожития, среднее значение
© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2017
Аннотация
Предмет. Актуарная система контроля и управления в области страхования рисков. Цели. Методическое обоснование и разработка экономико-математической модели расчета тарифной нетто-ставки выплаты страхового обеспечения компаньону (живому супругу) в случае смерти другого компаньона (супруга) до наступления его пенсионного возраста, зависящее от величины процентной ставки, возрастов супругов, их остаточных времен до пенсий, интенсивностей смертности и предельно допустимых возрастов.
Методология. Используется актуарная методика вычисления страховых тарифов методами математического и имитационного моделирования. Построена экономико-математическая модель расчета страховых тарифов личного страхования жизни, причем предполагается, что застрахованными являются супруги, а выгодоприобретателем является один из них. При выполнении расчетов предполагается использование методов теории вероятностей, актуарной математики, а также при необходимости - численных методов и методов имитационного моделирования.
Результаты. Получено аналитическое выражение тарифа выплаты страхового обеспечения живому компаньону в случае смерти другого до наступления его пенсионного возраста, зависящее от процентной ставки, возрастов компаньонов, их остаточных времен до пенсий, интенсивностей смертности и предельно допустимых возрастов. Рассчитаны вероятности получения страхового обеспечения каждым из компаньонов и стоимость договора (математическое ожидание затрат страховщика), рассчитанных на момент заключения договора.
Выводы. Результаты исследований позволяют получить аналитические выражения для вероятностей разрыва совместного проекта из-за действий компаньона, а также выражения для вычисления страховых тарифов в виде единовременной выплаты.
Для цитирования: Чистякова Н.А., Сухорукова И.В. Экономико-математическая модель расчета тарифов страхования компаньонов // Финансы и кредит. - 2017. - Т. 23, № 32. - С. 1944 - 1954. https://doi.org/10.24891/fc.23.32.1944
С каждым годом возрастает роль математических методов оценки в различных отраслях экономики. Так, свои исследования авторы посвящают математическим основам теории страхования жизни и пенсионных схем [1], применению процедуры экологического аудита в системе экологического страхования
сельскохозяйственных предприятий на загрязненных территориях1, методологическим основам страхования жилого фонда от
1 Сухорукова И.В., Швед Е.В. Применение процедуры экологического аудита в системе экологического страхования сельскохозяйственных предприятий на загрязненных территориях // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2014. № 7. С. 9-13.
1944
природно-экологических и техногенных
2 " рисков2, экономическом модели оптимизации
при централизованном управлении закупками
дочерних компаний государственной
корпорации3. Одним из важных разделов
математической теории страхования являются
актуарные расчеты, которые используются для
расчета тарифных ставок4, а также для
вычисления страховых резервов компании,
размеров франшизы, лимитов ответственности,
оценки финансовой устойчивости страхового
портфеля и решения ряда других задач [2, 3].
Актуарные расчеты исходя из принципа равенства обязательств страховщика и страхователя позволяют найти долю участия каждого страхователя в создании страхового фонда, то есть определить размеры тарифных ставок [4], влияние макроэкономических показателей на размер страховой премии [5]. Для определения суммы, которую необходимо внести каждому из страхователей в общий страховой фонд, вначале требуется рассчитать объем финансовых обязательств страховщика, или размер предстоящих выплат по договорам страхования [6-8]. Указанные проблемы широко представлены и в исследованиях зарубежных авторов [9-14].
Страховщику необходимо располагать сведениями о том, сколько объектов пострадает или не пострадает от страхового события, чтобы определить достаточный уровень страхового фонда. На основе статистических данных можно вычислить суммы предстоящих выплат. Например, обладая информацией о смертности населения, можно рассчитать вероятность дожития и смерти для людей разных возрастов. На основе этих данных строятся
2 Сухорукова И.В., Сердюкова Ю.А. Методологические основы страхования жилого фонда от природно-экологических и техногенных рисков // Финансы и кредит. 2015. № 2. С. 47-56.
3 Сухорукова И.В., Лихачев Г.Г. Экономическая модель оптимизации при централизованном управлении закупками дочерних компаний государственной корпорации // Экономический анализ: теория и практика. 2016. № 6.
С. 115-123.
4 Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 2003. 192 с.
таблицы смертности, которые показывают изменение динамики числа людей определенной возрастной категории. С помощью таблиц смертности населения рассчитываются нетто-ставки по личному страхованию жизни и пенсии для определенной возрастной категории лиц. Учитывая долгосрочный характер данных вложений, тарифные ставки изначально уменьшаются на величину дохода, полученного в виде ссудного процента на средства страховщика, используемые в качестве кредитных ресурсов.
Актуарные расчеты используют также для экономического обоснования создания резервного фонда страховой компании по каждому договору личного страхования жизни. Кроме этого, актуарные расчеты позволяют определить размер выкупных редуцированных страховых сумм, что дает возможность осуществлять перерасчет страховых взносов при изменении условий договоров страхования жизни.
В совершенствовании развития методологии проведения актуарных расчетов при осуществлении совместной деятельности в ходе страхования рисков авторами в данной статье рассматривается методика расчета тарифных ставок по страхованию жизни двух компаньонов, которые в данной статье рассматриваются как супружеская пара. Эту постановку можно интерпретировать шире как страхование рисков по совместным обязательствам, возникающим вследствие причинения вреда жизни, здоровью или имуществу других лиц.
В основе разработанных методик лежат принципы расчетов тарифных ставок по рисковым видам страхования, рекомендованные Федеральной службой Российской Федерации по надзору за страховой деятельностью.
Актуарная деятельность в Российской Федерации осуществляется в соответствии с Федеральным законом от 02.11.2013 № 293-ФЗ «Об актуарной деятельности в Российской
1945
Федерации», международными договорами Российской Федерации, а также другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами.
Построение моделей для актуарного обеспечения в России является достаточно сложной проблемой. Необходимы обширные статистические данные, такие как: уровень и структура заработной платы, демографические показатели (число работающих, число пенсионеров различных групп), желательно с учетом региональной дифференциации, доходность инвестиций в будущем и т.п. Однако в оценке этих показателей основной проблемой является недостаточность имеющейся статистической и прогнозной базы.
Актуарные расчеты основаны на изучении финансовых схем с учетом стохастического характера страхуемых событий. Потребность в актуарных расчетах связана с эквивалентной выплатой, рассчитанной точными математическими методами в случае реализации страхового случая. При актуарных расчетах создаются адекватные вероятностно-статистические модели, которые используются в конкретных расчетах по страховым договорам. Помимо случайной составляющей актуарный договор является финансовым инструментом, в котором вложенные денежные средства инвестируются для получения дохода.
Пенсионное страхование в России имеет специфические особенности [15-18]. Связаны они в первую очередь с возрастом, достигая которого, человек будет получать гарантированные страховые выплаты. Возраст в Российской Федерации является фиксированным и на данный момент составляет 60 лет для мужчин и 55 лет для женщин. Однако следует подчеркнуть, что нетто-ставка по договору страхования для мужчины будет значительно ниже, чем для женщины того же возраста. Страховой тариф будет отличаться, так как мужчины в среднем после выхода на пенсию живут 7 лет, а
женщины - 20 лет. Также другой важной особенностью пенсионного страхования в России является дифференцированное распределение смертности для каждого отдельного субъекта Российской Федерации5. Расчетные тарифные ставки страхования двух мужчин одинаковой возрастной категории, но проживающих в разных регионах России, будут отличаться. Это связано с тем, что для каждого субъекта РФ строятся свои таблицы смертности, отражающие особенности смертности в данном конкретном регионе. Несмотря на данное существенное обстоятельство, практически все страховые компании, для расчета тарифных ставок по пенсионному страхованию используют в основном таблицы смертности по России в целом. Поэтому для страхователей из других субъектов РФ вычисляются изначально некорректные тарифы, в связи с чем не соблюдается принцип эквивалентности обязательства сторон. Страховщик недополучает страховую премию, что влечет за собой увеличение вероятности разорения компании или страхователь платит завышенную цену за полис, из-за чего несет финансовые издержки.
Еще одним важным аспектом проблемы пенсионного страхования является определение необходимой величины технической процентной ставки, которая используется при вычислении коммутационных функций. Ведущими страховыми компаниями в России эта проблема решается с помощью двух вариантов:
1) в качестве технической процентной ставки используют ставку рефинансирования Банка России;
2) в качестве технической процентной ставки берут ставку, которая применяется Пенсионным Фондом РФ как минимальная ставка наращения пенсионных накоплений граждан Российской Федерации.
В данном исследовании предлагается рассмотреть проблему страхования рисков не
5 Федеральный закон от 17.12.2001 № 173-ФЗ «О трудовых пенсиях в Российской Федерации».
отдельного участника, а всех участников совместного проекта в целях расчета естественной в этом случае компенсации каждому участнику в случае выбытия компаньона, или не выполнения им своих обязательств. Проводится расчет тарифных ставок личного страхования жизни компаньонов, причем вычисления проводятся исходя из условия, что застрахованными являются компаньоны (супруги), а выгодоприобретателем является один из них. В том случае если один из них не доживает до пенсии, оставшемуся (живому) супругу будет выплачиваться указанное в договоре страховое обеспечение (которое условно принимается равным единице). Когда оба компаньона (супруга) доживают до пенсии, то страховая компания освобождается от выплат. То есть мы рассматриваем договор личного пенсионного страхования жизни, но более сложной структуры. В целях решения поставленной задачи используем обозначения:
х, у - вектор возрастов, где х - возраст жены, у - возраст мужа на момент заключения договора;
71, 72 - интервалы времени до их пенсии соответственно. Положим, для определенности, что начальный момент заключения договора страхования равен нулю.
Введенные величины являются определенными характеристиками. Однако продолжительность жизни является случайной величиной, поэтому с этими фиксированными данными введем и случайные величины:
Т1(х) - жены возраста х и Т2(у) и - остаточное время жизни мужа возраста у. Тогда при решении поставленной задачи полагаем известными следующие начальные данные.
Вектор возрастов (х, у); интервал времени (71, 72); максимальный вектор возрастов (ю1, Ю2), для женщины и мужчины соответственно; а также Цх - интенсивность смертности женщины, зависящая от ее текущего возраста и Цу - интенсивность смертности мужчины,
зависящая от его текущего возраста,
соответственно
х е(0, Wi ), y е(0, «2 ).
Величиной интенсивности смертности [1] в теории личного страхования называется функция:
|д,х= lim -¿—P (т( х )<Д t|x( х )> 0 ),0 < х <ш, (1)
Лt^0+ Д t
где т( х) - время дожития человека возраста х.
Под плотностью распределения времени дожития человека возраста х понимают:
fт(х)(t)= tPх•^w (2)
Соответственно, вероятность остаточного времени жизни до возраста х + t человеку первоначального возраста х имеет вид:
-P (т( х )>/|т( х )>0 )-
-J \х+udu
Положим:
гРх , гРу - вероятности остаточного времени жизни до возраста х и женщины и мужчины (соответственно). Считаем, что их времена дожития являются независимыми. Тогда вектор плотности совместного распределения (т1(х), Т2(у)) с учетом выражения (2), равен
f
1( х) > Т 2 (У )
(t,s)= tpx-\ix+t-Py-iÇ+s. (3)
Введем гипотезу: пусть событие Н состоит в том, что страховое возмещение будет выплачено мужчине. Рассчитаем вероятность данного события. Чтобы событие произошло необходимо и достаточно выполнения условия Р (Н )=Ртх (х)<Т1Пт2(у )>т1 (х), то есть женщина не должна дожить до пенсии, а мужчина дожил. Зная величину плотности совместного распределения (3), рассчитаем вероятность выплаты страхового возмещения мужчине
P (H )=Pт 1 (х)<TiHx2(y )>Ti ( х):
T1
«2-У
-i tPx\ х+t dt i spy-\vsds.
(4)
e
t г х
1947
Аналогично можно найти вероятность равен среднему значению приведенной события Ж, состоящее в том, что страховое стоимости А (6). Зная математическое возмещение получит женщина: ожидание случайной величины [4] и используя
п/тгЛ т>! ! \ г ! \ ! \\ выражения (3) и (6), получаем результат:
Р (Ж) = Р (т2(у)<Т 1ПХ1 (X)>Т!(X))=
? ~ ~ V (5) МА=Л А ()/т1(х)>Т2(у)( t,s ) =
= 1 ~у'^у+А ) гРх'^х
0 г
Теперь рассмотрим более сложный вариант
постановки задачи: вычислим среднюю ^ с^—*
математической точки зрения нам необходимо найти математическое ожидание затрат
Проиллюстрируем разработанную экономико-
страховщика, пересчитанных на начальный
математическую модель примерами расчетов.
момент. Как и в любом финансовом договоре,
полагаем, что в течение срока договора Пусть вектор возрастов супругов равен страхования действует ставка сложных (х, у) = (52, 56), а вектор предельных процентов I годовых, начисляемая на возрастов: Ю2) = (90, 85).
T(х)>т 2( у)( Т1 «2-У
=J v- tpxcdpt^+tdt J ^-м;Sds+ (7)
0 t
T 2
стоимость договора страхования. Для этого с ;J vs- sP/l^+sds J tpxcdpt+tdt.
0
денежные средства страхователя, внесенные в качестве оплаты договора.
Исходя из пенсионного законодательства России6 имеем: (Т1, Т2) = (3, 4). Тогда в силу Указанное страховое событие имеет место (4) вероятность события, что страховка будет тогда и только тогда, когда осуществляется выплачена мужу, равна одно из двух непересекающихся событий:
29
- женщина не дожила до пенсии, а мужчина ее P (H) = J tp 52 cdpt ^52;t dt J s p~6 sds. (8) пережил (t 1(x)<T 1Пх2(у)>t 1 (x)); 0 t
- либо мужчина не дожил до пенсии, а В качестве индивидуальной характеристики
женщина его пережила, то есть продолжительности жизни рассмотрим модель
(т 2 (у )<Т 2Пт 1 (х )>т 2 (у)). де Муавра [1] для интенсивности смертности (1):
Если женщина не дожила до пенсии, а ^ =1_ хе(0 90)
мужчина ее пережил, выплата наступает в 90—х (9)
момент времени т1 (х), соответственно, если ,~=1_ у 0 85)
У 85 — у
мужчина не дожил до пенсии, а женщина его У
пережила - в момент т 2 (У). Введем Тогда в силу (4) вероятность достижения
следующие обозначения: пусть множитель возраста х + г женщиной возраста х равна дисконтирования V = —-. Рассчитаем
■ . . а ассчи1аем г г 1
1 +/ —х«,^ 90-х-„ А 1п(90 — х-и)|г
приведенную на начальный момент стоимость
страхового договора. Предполагаем, что 1^"90- х' _ 90- х — г
p =е " = е " =е -
90—x-, _ (Ю)
денежные обязательства страховщика в момент e 90 — x '
выплаты страховой суммы равны единице.
Соответственно плотность распределения A = A (t 1(x) , T2(у))= времени дожития женщины в силу (2) и (10)
= vт (x) при т 1( x )<T 1Пт 2 (у )>t1 (x), (6) равна
при (т 2 (у )< Т2ПТ1 (x ) >T 2 (у)), 1
л f т( x)(t )= tpx-\i x+t = ™-,o <t < 90— x. (11)
0 в остальных случаях. J т 1(x)W t^x^x;t 90 — x' v '
Согласно принципу равенства обязательства
ст°р°н страховой тариф для такого договора 6 Федеральный закон от 17.12.2001 № 173-Ф3 «О трудовых
пенсиях в Российской Федерации».
Мы имеем равномерное распределение [5] на интервале (0, 90 - х).
Аналогично, с учетом вероятности достижения
возраста у + ~ =85—у-£ *Ру= 85-у в р е м е н и д о ж и т и я
f т2 (х )( s)= s ~y'\\y + s =
1
85-y
, o<s<85-y
3 1 29 1
P (H)= f —1— dt f—1— ds v ; J0 90-52 t 85-56
1 3 1
— I (29-t)dt = —
.on j v ' 1Q.'
38-29 u 87-4,5 " 38-29
38-29
291-— 2
0,07486.
о 29 i 38
= —f (38-s)ds= —
38-29 и
152-8
38-29
38-29
2
38 s- — 2
^0,13067.
3 t 1 29 1 MA = f v—dt f— ds +
■0 38 J 29
4 1 38 1
+ I vs—ds I — dt=
•0 29 s 38
1 3 1 4
— f v (29-1)dtf vs(38-s)ds .iQ J v ; 38-29 J
(13)
38-29
3 1 29 1 1 3
f v — dt f — ds=f v* ( 29-1 ) dt = 38
^ мужчиной возраста у и плотность распределения мужчины
1
29
38- 29
38- 29 1
29
v3
ln v 0 -1 ln v 0 +f
3 t |3
ln v
= (14)
38- 29
3 1 3 3-1
29 v-1 -3v_ + v-1
ln v ln v ln2
можно рассчитать для нашего примера с учетом (4) и (9) - (12) вероятность события, что страховое возмещение будет выплачено мужу:
Тогда из (13) и (14) окончательно получаем единовременную нетто-ставку по договору, соответствующую дисконтному множителю 1
1 + i '
MA-
1
38-29
^ 1 ^ 3 3-1
29 L-1 - iL. +.v-1
ln v ln v ln
2
v
+-
1
38-29
38
v 4-1
4 v4
v4- 1
ln v ln v ln2v
(15)
Аналогично, вероятность выплаты страхового возмещения жене равна
4 1 38 1 Р № И ^ 38 *=
Очевидно, вероятность выплаты страховки по договору приближенно равна 0,2053.
Для нашего примера приведем теперь в качестве иллюстрации вычисление страхового тарифа (7).
Далее для данной экономико-математической модели, предусматривающей компенсационную выплату возмещения живому компаньону в случае смерти другого до наступления его пенсионного возраста, рассчитаны значения разовой выплаты, вычисленной для соответствующих значений годовой процентной ставки.
Ранее мы отмечали, что обязательства страховщика равны единичной выплате. В случае страхового обеспечения, составляющего £ единиц, приведенная на начальный момент стоимость договора равна произведению £ на МА.
Рассмотрим второй пример часто используемой Эрланговской модели дожития. При этом плотность распределения времени жизни новорожденного имеет вид [4]:
f (t)=-ea , t>0. (16)
a
Структура интегралов в формуле (13) одинакова, поэтому достаточно вычислить один из них.
Тогда из (16) следует, что интенсивность смертности и плотность, характеризующая общую продолжительность жизни лица возраста х соответственно равны
a ( х+a )
, х >0, f т( х ) =
х +t
a ( х +a )
t >0.
3
v
0
v
v
+
2
+
х
ta
e
1949
Подставив их в (4), (5) и (7), можно получить вероятности выплаты страховки и нетто-ставку по договору. Вид полученных интегралов усложняется по сравнению с (13). Несмотря на это, интегралы можно рассчитать аналитически. Во втором примере и усложненных моделях дожития целесообразно использовать численные методы интегрирования в основной формуле (7).
В случае затруднений с аналитическим описанием законов смертности супругов можно применить численные алгоритмы, позволяющие при использовании таблицы смертности аппроксимировать мгновенный коэффициент смертности в некоторые моменты времени, а затем подобрать сглаживающую кривую. Также может оказаться полезным имитационное моделирование для практических расчетов полученных теоретических характеристик.
Таблица 1
Величина нетто-ставки по договору в модели совместного страхования супругов
Table 1
Net rate value under the insurance contract in the co-insured spouses model
Процентная ставка Дисконтный множитель Нетто-ставка по договору
0,03 0,970874 0,195075
0,04 0,961538 0,191816
0,05 0,952381 0,188661
0,06 0,943396 0,185607
0,07 0,934579 0,182649
0,08 0,925926 0,179783
0,09 0,917431 0,177005
0,1 0,909091 0,174312
Источник: авторская разработка Source: Authoring
1950
Список литературы
1. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. Изд 2-е, перераб. и доп. М.: Анкил, 2002. 262 с.
2. Чистякова Н.А. Расчет вероятностей в модели страхования жизни супругов // Научные труды вольного экономического общества России. Материалы 4-й Международной научно-практической конференции им. А.И. Китова «Математические методы и информационные технологии в экономике и управлении». М.: РЭУ им. Г.В. Плеханова, 2014. С. 148-151.
3. Чистякова Н.А. Стоимость договора в модели совместного страхования супругов // Известия Российского экономического университета им Г.В. Плеханова. 2015. № 3. С. 250-254. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=25597710
4. Лаптев П.В. Глобальная тенденция социального страхования в европейских странах: повышение пенсионного возраста // Креативная экономика. 2015. Т. 9. № 7. С. 918-926.
5. Ведмедь И.Ю., Воронцов Д.Н. Влияние макроэкономических показателей на размер страховой премии // Страховое дело. 2017. № 3. С. 39-43.
6. Курганов В.В., Цыганов А.А. Российская практика страхования ответственности лиц, осуществляющих строительный контроль // Российское предпринимательство. 2016. Т. 17. № 16. С. 1975-1990.
7. Бурак В.Е. Расчет стоимости измерений факторов производственной среды при проведении специальной оценки условий труда // Экономика труда. 2015. Т. 2. № 3. С. 145-154.
URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=25640123
8. ЗолотареваВ.П. Роль страхования в ускорении инвестиционных процессов пореформенной России // Российское предпринимательство. 2016. Т. 17. № 7. С. 919-930.
9. BowersN.L., Gerber H.U., Hickman J.C., JonesD.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. 2nd Edition. The Society of Actuaries, 1997, 730 p.
10. GantenbeinM., MataM.A. Swiss Annuities and Life Insurance: Secure Returns, Asset Protection, and Privacy. Wiley, 2008. 332 p.
11. Panjer H.H., Pedersen H.W. Financial Economics: with Applications to Investments, Insurance and Pensions. RECJRD, 1997, vol. 23, no. 2, p. 1-6.
12. Kaas R., GoovaertsM., Dhaene J., DenuitM. Modern Actuarial Risk Theory. Kluwer Academic Publishers, 2001, 309 p.
13. Olivieri A., Pitacco E. Introduction to Insurance Mathematics: Technical and Financial Features of Risk Transfers. Springer, 2011, 490 p.
14. BlackK. Jr., Skipper H.D., BlackK. III. Life Insurance. 14th ed. Lucretian, LLC, 2013, 736 p.
15. Дубовских К.И., Смирнова А.А., Трофимова В.Ш. Применение методов математической статистики в актуарных расчетах // Приложение математики в экономических и технических исследованиях. 2014. № 4. С. 82-86.
16. Бойков А.В. Страхование: актуарные расчеты и математические модели страхования // Актуарий. 2009. № 1. С. 35. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=28847635
17. Рябикин В.И., Тихомиров С.Н., Баскаков В.Н. Страхование и актуарные расчеты // Актуарий. 2007. № 1. С. 26. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=28847570
1951
18. Синявская Т.Г., Трегубова А.А. Региональный риск индивидуального страхования жизни: подходы к оценке и учету в тарифах // Учет и статистика. 2015. № 3. С. 54-61.
Информация о конфликте интересов
Мы, авторы данной статьи, со всей ответственностью заявляем о частичном и полном отсутствии фактического или потенциального конфликта интересов с какой бы то ни было третьей стороной, который может возникнуть вследствие публикации данной статьи. Настоящее заявление относится к проведению научной работы, сбору и обработке данных, написанию и подготовке статьи, принятию решения о публикации рукописи.
1952
pISSN 2071-4688 eISSN 2311-8709
Insurance
AN ECONOMIC AND MATHEMATICAL MODEL TO CALCULATE THE INSURANCE TARIFFS OF PARTNERS
Natal'ya A. CHISTYAKOVA3, Irina V. SUKHORUKOVAM
a Plekhanov Russian University of Economics, Moscow, Russian Federation chistna@mail.ru
b Plekhanov Russian University of Economics, Moscow, Russian Federation suhorukovaira@yandex.ru
• Corresponding author
Article history:
Received 18 May 2017 Received in revised form 9 June 2017 Received in final form 7 July 2017 Accepted 25 July 2017 Available online 29 August 2017
JEL classification: C02
Keywords: insurance tariff, net rate, whole life insurance policy, interest rate, survival function
Abstract
Subject The article addresses actuarial system of control and management in the sphere of risk insurance.
Objectives The purpose of the article is to provide methodological justification and develop an economic and mathematical model to calculate net rate of insurance coverage payment to a partner (living spouse) in the event of death of another partner (spouse) prior to his/her retirement age.
Methods We use the actuarial techniques of calculating insurance tariffs based on mathematical and simulation methods. The paper presents an economic and mathematical model to calculate insurance tariffs for personal life insurance, assuming that the insured are spouses and one of them is a beneficiary. The calculations rest on methods of the theory of probability, actuarial mathematics, numerical methods and methods of simulation modeling, when required.
Results We offer an analytical form of the rate of insurance coverage payment to a living partner in the event of death of another prior to his or her retirement age. It depends on interest rate, age of spouses, remaining time before pension, mortality rate, and maximum permissible age. We also calculated the probability of obtaining insurance coverage by each of the partners and the value of the contract (mathematical expectation of insurer's costs) at the contract date.
Conclusions The findings enable to obtain analytical forms for probability of joint project termination as a result of the other partner's actions, as well as for calculating insurance tariffs in the form of one-off payment.
© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2017
Please cite this article as: Chistyakova N.A., Sukhorukova I.V. An Economic and Mathematical Model to Calculate the Insurance Tariffs of Partners. Finance and Credit, 2017, vol. 23, iss. 32, pp. 1944-1954. https://doi.org/10.24891/fc.23.32.1944
References
1. Falin G.I. Matematicheskie osnovy teorii strakhovaniya zhizni ipensionnykh skhem [Mathematical foundations of the theory of life insurance and pension schemes]. Moscow, Ankil Publ., 2002, 262 p.
2. Chistyakova N.A. [Calculating the probabilities in the model of life insurance of spouses]. Nauchnye trudy vol'nogo ekonomicheskogo obshchestva Rossii. Materialy 4-i Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii im. A.I. Kitova "Matematicheskie metody i informatsionnye tekhnologii v ekonomike i upravlenii" [Proc. A.I. Kitov 4th Int. Sci. Conf. Mathematical Methods and Information Technologies in Economics and Management]. Moscow, Plekhanov Russian University of Economics Publ., 2014, pp. 148-151.
3. Chistyakova N.A. [The cost of contract in the model of co-insurance of spouses]. Izvestiya Rossiiskogo ekonomicheskogo universiteta im G.V. Plekhanova, 2015, no. 3, pp. 250-254. (In Russ.) URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=25597710
1953
4. Laptev P.V. [The global trend of social security in Europe: Raising the retirement age]. Kreativnaya ekonomika = Journal of Creative Economy, 2015, vol. 9, no. 7, pp. 918-926. (In Russ.)
5. Vedmed' I.Yu., Vorontsov D.N. [Influence macroeconomic indicators for the insurance premium]. Strakhovoe delo = Insurance Business, 2017, no. 3, pp. 39-43. (In Russ.)
6. Kurganov V.V., Tsyganov A.A. [The Russian practice of liability insurance of persons involved in construction oversight]. Rossiiskoepredprinimatel'stvo = Russian Journal of Entrepreneurship, 2016, vol. 17, no. 16, pp. 1975-1990. (In Russ.)
7. Burak V.E. [Calculation of costs of measuring the working environment factors during special assessment of labor conditions]. Ekonomika truda = Russian Journal of Labor Economics, 2015, vol. 2, no. 3, pp. 145-154. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=25640123 (In Russ.)
8. Zolotareva V.P. [The role of insurance in acceleration of investment processes in the post-reform Russia]. Rossiiskoe predprinimatel'stvo = Russian Journal of Entrepreneurship, 2016, vol. 17, no. 7, pp. 919-930. (In Russ.)
9. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. 2nd Edition. The Society of Actuaries, 1997, 730 p.
10. Gantenbein M., Mata M.A. Swiss Annuities and Life Insurance: Secure Returns, Asset Protection, and Privacy. Wiley, 2008, 332 p.
11. Panjer H.H., Pedersen H.W. Financial Economics: With Applications to Investments, Insurance, and Pensions. RECORD, 1997, vol. 23, no. 2, pp. 1-6.
12. Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. Modern Actuarial Risk Theory. Kluwer Academic Publishers, 2001, 309 p.
13. Olivieri A., Pitacco E. Introduction to Insurance Mathematics: Technical and Financial Features of Risk Transfers. Springer, 2011, 490 p.
14. Black K.Jr., Skipper H.D., Black K.III. Life Insurance. 14th ed. Lucretian, LLC, 2013, 736 p.
15. Dubovskikh K.I., Smirnova A.A., Trofimova V.Sh. [Application of mathematical statistics in actuarial calculations]. Prilozhenie matematiki v ekonomicheskikh i tekhnicheskikh issledovaniyakh = The Application of Mathematics in Economic and Technical Studies, 2014, no. 4, pp. 82-86. (In Russ.)
16. Boikov A.V. [Insurance: Actuarial calculations and mathematical models of insurance]. Aktuarii = Actuary, 2009, no. 1, p. 35. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=28847635 (In Russ.)
17. Ryabikin V.I., Tikhomirov S.N., Baskakov V.N. [Insurance and actuarial calculations]. Aktuarii = Actuary, 2007, no. 1, p. 26. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=28847570 (In Russ.)
18. Sinyavskaya T.G., Tregubova A.A. [Regional risk of individual life insurance: Approaches to assessment and management of tariffs]. Uchet i statistika = Accounting and Statistics, 2015, no. 3, pp. 54-61. (In Russ.)
Conflict-of-interest notification
We, the authors of this article, bindingly and explicitly declare of the partial and total lack of actual or
potential conflict of interest with any other third party whatsoever, which may arise as a result of the
publication of this article. This statement relates to the study, data collection and interpretation,
writing and preparation of the article, and the decision to submit the manuscript for publication.
1954
