ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ТАБЛИЦ СМЕРТНОСТИ ДЛЯ ДРОБНЫХ ВОЗРАСТОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ТАБЛИЦ СМЕРТНОСТИ ДЛЯ ДРОБНЫХ ВОЗРАСТОВ

Ф.Т. Назарбаев, старший преподаватель А.У. Доолбекова, магистрант

Кыргызский национальный университет имени Ж. Баласагына (Кыргызстан, г. Бишкек)

DOI:10.24412/2500-1000-2022-6-3-103-106

Аннотация. В статье исследуется новый метод нелинейной интерполяции таблиц смертности для дробных возрастов. Так как большинство методов интерполяции таблиц смертности имеют выпуклость функции вниз или не имеют их, мы рассмотрим интерполяцию имеющую выпуклость вверх. Будут выведены формулы для определения интенсивности смертности для дробных возрастов. Также мы рассмотрим несколько примеров с применением данного метода интерполяции для решения задач таблиц смертности и его применения в задачах страхования.

Ключевые слова: актуарная математика, таблицы смертности, интерполяция таблиц смертности, таблицы смертности для дробных возрастов, страхование жизни.

Как мы знаем, использование таблиц смертности, предоставляемые национальным статистическим комитетом Кыргызской Республики (КР) [3] сложно применять в реальных задачах страхования, из-за отсутствия данных для дробных возрастов. Для их применения необходимо составить более подробные таблицы смертности для случая дробных возрастов, что существенно затрудняло работы до появления современных технологий. Естественно, что на сегодняшний день существует множество программ, которые с легкостью помогут в построении таблиц смертности для дробных возрастов, с учетом данных таб-

лиц смертности для целых возрастов. Таблицы смертности применяются в задачах связанных с страхованием жизни, статистикой и многими другими направления математики и экономики в целом. Много примеров приведены в книгах Бауэрса Н., Гербера Х., Джонса Д., Несбитта С., Хик-мана Дж. [1], Фалина Г. И., Фалина А. И. [2], [4] и [5].

Для определения значений таблиц смертности дробных возрастов существует множество формул интерполяции. Например, самая простоя из них, это линейная интерполяция, где формула имеет следующий вид [1]:

s(x + t) = (1 - t) ■ s(x) + t-s(x + 1)

здесь б(х + I) - число доживших до возраста х + t - лет, х - целое число лет, а t - это дробная часть возраста, т.е. 0 < t < 1. Данная интерполяционная формула является наиболее простым. Более сложный формулы интерполяции, это показательная интерполяция [1] 1п5(х + 0 =

(1 — 0 1п ^(х) + t • 1п б(х + 1), и гармони-

ческая интерполяция (гипотеза Бальдуччи)

1 1-t с [1] . ^ = 77": + „г______ Но данные методы

5(х+0 Б(х)

интерполяции имеют выпуклость вниз в искомой области определения. Для определения нового метода интерполяции сначала давайте построим саму таблицу смертности Кыргызстана.

Рис 1. График функции дожития для КР 2016-2020 гг.

Если исследовать график функции дожития, то можно заметить, что данный график, имеет выпуклость вверх в области от 5 лет до 80 лет. Но все формулы интерполяции приведенные выше имеют выпуклость вниз. И данный график имеет пара-

болический вид. Учитывая данные факты введем новое определение.

Определение 1. Интерполяционная формула для определения функции дожития для дробных возрастов определяемая по формуле

s2(x + t) = (1-t)- s2(x) + t ■ s2(x + 1)

(1)

где 0 < t < 1, х Е 2+ назовем параболической интерполяцией.

Важно помнить, что з(х) - является известным из таблицы смертности КР, для целых значений х. Параболическая интерполяция, является убывающей функцией.

Притом данная функция имеет выпуклость вверх.

Чтобы показать, что функция (1) убывает, преобразуем функцию к следующему виду

s2(x + t) = s2(x) - t ■ (s2(x) - s2(x + 1))

(2)

Как видно выражение 52(х) — 52(х + 1) в формуле (2) всегда положительна т.к. я(х) > я(х + 1). Тогда соответственно с ростом t значение функции 52(х + ^ бу-

дет убывать. Приведем доказательства убывания функции, для этого выразим формулу (2) функции дожития, в следующем виде

s(x + t) = ls2(x) - t ■ (s2(x) - s2(x + 1))

(3)

Найдем производную функции (3)

s't(x + t) = ( =

(s2(x) - t ■ (s2(x) - s2(x + 1)))' -(s2(x) - s2(x + 1))

2 Is2(x) - t ■ (s2(x) - s2(x + 1)) 2 Is2(x) - t ■ (s2(x) - s2(x + 1))

я2(х + 1) — я2(х)

2 ^^(х)—Т^^х)—^(хТ!))

Здесь знаменатель всегда положительна, а числитель я2(х + 1) — я2(х) < 0, т.к. 5(х) > 5(х + 1), соответственно т.к. производная отрицательна в области опреде-

ления функция дожития всюду убывает, что и требовалось доказать.

Вычислим вероятности дожития человека в возрасте х до возраста х + ^ с учетом параболической интерполяции (3)

s(x + t) ^52(x)-t-(s2(x)-s2(x + 1}) tPx = s(x) = ¡(0

s2(x) - t ■ (s2(x) - s2(x + 1))

tP*= I-72

s2(x)

= Vi-t(i-p2) = Vi-t + t^p2

гРх

Теперь вычислим вероятности смерти человека в возрасте х в течении дробного времени t

s(x) — s(x + t)

t?* = 5(X) = 1 — tPx

&x = i — Vi —f +f ■ p!

Полученные формулы для определения его можно использовать в обучении дис-вероятности дожития до возраста х + t, и циплине теории вероятностей в страхова-вероятности смерти человека в возрасте х нии, актуарной математике и пенсионном в течении времени t. страховании. В дальнейшем мы будем ис-

Новая формула интерполяции может следовать свойства данного метода интер-применяться для решения задач страхова- поляции и его применение в страховании и ния жизни, и страховых аннуитетов. Также экономике.

Библиографический список

1. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. Пе-рев. С англ. / Под ред. В.К. Малиновского. - М.: Янус-К, 2001. - 656 с.

2. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. -Издание 2-е, переработанное и дополненное. - М.: Анкил, 2002. - 262 с. ISBN 5-86476194-Х

3. Демографический ежегодник Кыргызской Республики: 2016-2020. - Б.: Нацстатком Кырг. Респ., 2021. - 312 с. ISBN 978-9967-26-837-1

4. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 192 с. - ISBN 5-9221-0451-9.

5. Фалин А.Г., Фалин Г.И. Введение в математику финансов и инвестиций для актуариев: Учебное пособие. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.:МАКС Пресс, 2019. - 359 с., ил. (эл. изд.)

ABOUT ONE METHOD OF INTERPOLATION OF MORTALITY TABLES FOR

FRACTIONAL AGES

F.T. Nazarbaev, Senior Lecturer A.U. Doolbekova, Graduate Student Kyrgyz National University named after J. Balasagyn (Kyrgyzstan, Bishkek)

Abstract. The article investigates a new method of nonlinear interpolation of mortality tables for fractional ages. Since most methods of interpolation of mortality tables have a convexity of the function down or do not have them, we will consider an interpolation having a convexity up. Formulas will be derived to determine the intensity of mortality for fractional ages. We will also consider several examples using this interpolation method to solve the problems of mortality tables and its application in insurance problems.

Keywords: actuarial mathematics, mortality table, interpolation of mortality tables, mortality tables for fractional ages, insurance.