Модифицированная модель смешанного страхования жизни Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

2008

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

№ 132

УДК 336

МОДИФИЦИРОВАННАЯ МОДЕЛЬ СМЕШАННОГО СТРАХОВАНИЯ ЖИЗНИ

М.С. АЛЬ-НАТОР, И.П. ШЕСТАКОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Рассматривается модификация модели смешанного страхования жизни, и приводятся расчетные формулы, связанные с этим видом страхования.

В настоящее время модификация различных моделей страхования жизни занимает очень важное место в страховом бизнесе, т. к. позволяет продукту страхования быть более гибким, «приспосабливаться» под желания и требования клиента, что в свою очередь позволяет страховой компании извлекать дополнительную прибыль. В данной работе рассматривается модификация договора смешанного страхования жизни, а именно изменение страховой суммы в любую страховую годовщину действия договора. Затем выводится формула для нахождения величины нового взноса. Кроме того, используя предположение о равномерном распределении смертей, мы получаем расчетную формулу для нахождения величины нового взноса.

Рассмотрим модификацию договора смешанного страхования жизни, а именно изменение страховой суммы в любую страховую годовщину действия договора, если на данный момент застрахованный жив. При изменении величины страховой суммы величина ежегодно уплачиваемой премии также меняется, и определить ее новое значение является нашей задачей. Пусть

I = 0,1,..,п - момент изменения страховой суммы, тогда при изменении страховой суммы с £ на £' рассматриваемый договор страхования можно считать заново заключенным, но не для индивида возраста (х), как раньше, а для индивида возраста (х+Х), с той лишь разницей, что к моменту времени X накопился резерв суммой £■у (Ац )(в обозначениях [1]). Этот накопленный резерв мы будем рассматривать, как единовременный взнос, в “начале” срока действия “нового” договора. Тогда принцип эквивалентности [1, стр. 162] примет следующий вид:

где ^ = 0,1,..,п. Здесь Z(х;п)- случайная величина текущей стоимости страховых выплат, для единичной страховой суммы:

V - дисконтный множитель, У(х; п) - случайная величина текущей стоимости ежегодно выплачиваемой ренты:

Введение

1. Постановка задачи

Е[£' • 7 (х + ґ; п - г)] = Е[£' • Р'(А + ^ ) • Дх + ґ; п - г) + + £ • (Е[7(х + ґ; п - г)] - Р(А~,) • Е[7(х + г; п - г)])],

х+г:п-г|

(1)

2. Вывод расчетной формулы для нахождения величины нового взноса

Соотношение (1) приводится к следующему виду:

(S' - S) • E[Z(х + t; n -1)] = (S' • P'(Äx+-]) - S • P()) • E[Y(x +t; n -1)].

Теперь нетрудно заметить, что множитель в левой части равенства (S' - S) представляет собой величину изменения страховой суммы, а в правой части (S' • P'(A+t—^ ) - S • P (Ац ))- изменение величины премии.

После несложных преобразований получим:

S' • P'(Ä —) = (S' - S) • E[Z(х +t; n - t)] + s • P(Ä ),

x+t n *\ E[Y (х +1; n -1) xnl

где t = 0,1,..,n . Таким образом, новая премия равняется сумме старой премии и премии для договора смешанного страхования жизни индивида возраста (x+t), на срок (n-t), со страховой суммой (S' - S) . В результате получим

P(Ä ) = (S - S) E[Z (x +1; n -1)] + SP(Ä )

( x+t:n-tl) S E[Y(x +1; n -1) S x:n

где t = 0,1,..,n . Или переходя к актуарным обозначениям, имеем

P'(A —) = (S -S) • Äx+tn-i + S • p(Ä ), t = 0,1,.., n. (2)

v x+t:n-t| ^ S q S x:n|

x+t:n-t|

Так как на практике страховщику приходится иметь дело с таблицами смертности, показатели которых детализованы с точностью до года, то естественно возникает вопрос, как можно приближенно посчитать величину Ax+t—^, используя лишь данные из таблицы смертности. Для

этого мы должны сделать определенные предположения относительно распределения времени жизни. Обычно в этой ситуации предполагают равномерное распределение момента смерти внутри последнего года жизни. Таким образом, случайная величина продолжительности предстоящей жизни T(x) может быть представлена в следующем виде: T(x) = K(x) + r(x), где t(x ) = {T (x)} - дробная часть T(x), а K(x) = [T(x)] - целая часть T (x). Как известно [1], при принятии такого предположения случайные величины t(x) и K (x) независимы, причем величина t(x) равномерно распределена на промежутке (0,1]. Кроме того, [1] актуарная текущая стоимость для пожизненного страхования равна

Äx=jÄx, (3)

(в обозначениях [1]), а актуарная текущая стоимость для смешанного страхования на n лет А - равна

т і л d-i n

A ~¡ — — A +---------------------u ~„px. (4)

x.n\ d x'-n\ d n±X \ /

Из (4) следует, что

— І л d — i n

-- An d Axñ + dU '"px

P (Ax-,) —-^ — d ,S-----------------------------------------------------------. (5)

1 a a -¡

x.nl x:n|

Подставив (4) и (5) в (2), получим окончательную расчетную формулу:

І л d — І n-t І . d — І n

'n-tPx+t V J + 'nPx

р(А _) = (А - А) 8 х+^1 8 п-‘ х+‘ + А 8 хП 8 .

ж.п-г\ а' а —т А а -.

х+?:п-?| х:п|

Эта формула позволяет производить расчеты для определения величины нового взноса, исходя только лишь из данных, которые содержатся в таблицах смертности, и подразумевает выплату страховой суммы в момент наступления страхового случая.

Заключение

Полисы по модифицированному смешанному страхованию жизни активно продаются страховыми компаниями, так как этот вид страхования является более гибким, чем обыкновенное смешанное страхование жизни. Например, если застрахованный (или страхователь) попадает в сложное финансовое положение, ему и страховой компании не обязательно расторгать договор страхования по причине неуплаты страховой премии, а можно уменьшить размер страховой суммы таким образом, чтобы величина страховой премии оказалась приемлемой для застрахованного (страхователя). Также этот вид страхования позволяет индексировать страховую сумму с учетом инфляции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бауэрс Н., Гербер Х., Джонс Д. , Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика. - М.: Янус-К, 2001.

MODIFIED MODEL OF THE ENDOWMENT LIFE INSURANCE

Al-Nator M.S., Shestakov I.P.

A modified model of the endowment life insurance is considered, and the calculation formula connected to this kind of insurance is presented.

Сведения об авторах

Аль-Натор М.С., 1968 г.р., окончил РУДН (2000), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 25 научных работ, область научных интересов - актуарная математика, теория риска и финансовая математика.

Шестаков Иван Петрович, 1985 г.р., окончил РУДН (2006), магистр РУДН, область научных интересов - актуарная и финансовая математика.