CC BY
73
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
УДК 330.101
В.Н. Никишое* ПРЕМИИ И РЕЗЕРВЫ ПО СТРАХОВАНИЮ ЖИЗНИ С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ И ПЕРЕМЕННЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК С РЕАЛИЗАЦИЕЙ В СРЕДЕ VBA EXCEL
В статье предложены математические выражения и программная реализация расчета премий и математических резервов по страхованию на случай смерти и дожития с учетом инфляции и применения переменных процентных ставок и по обобщению расчета премий и резервов в связи с выдачей ссуды.
Ключевые слова: страхование жизни, пенсии, математические резервы, премии, инфляция, переменная норма доходности, программная реализация.
Введение
В связи с долгосрочным характером договоров страхования жизни необходимо применять переменные процентные ставки, учитывать влияние инфляции, изменять условия страхования, например, в результате выдачи ссуды.
Прогнозирование доходности и инфляции представляет самостоятельный интерес и в данной работе не рассматривается.
В России имеется хорошая литература, позволяющая осуществлять расчеты премий и резервов по любым видам страхования жизни. В частности, в монографиях [1; 2] приведены математические выражения для расчета премий и резервов на основе коммутационных функций, что позволяет проводить вычисления даже без применения компьютеров.
Монографии [3; 4] являются в настоящее время базовыми учебными пособиями в зарубежных курсах актуарной математики жизни. Хорошее и сжатое изложение материала этих монографий приведено в работе [5].
В работе [6] рассматриваются вопросы финансовой экономики с необходимыми приложениями к инвестированию, страхованию и пенсионному делу.
В то же время в связи с широким распространением вычислительной техники для практичес-
ких вычислений необходим набор типовых математических выражений и соответствующих программ, позволяющих осуществлять расчет премий, резервов, учитывать изменение условий страхования (чаще всего в связи с выдачей ссуды для нужд ипотеки) в условиях переменных процентных ставок и наличия инфляции.
В данной работе предлагаются выражения для расчета периодических премий и математических резервов по долгосрочным видам страхования жизни, пенсии при наличии инфляции, переменных процентных ставок с возможностью выдачи ссуды — с дальнейшей программной реализацией этих выражений в среде VBA EXCEL [7].
К основным программам страховщиков жизни можно отнести следующие.
Параметры программ: х — возраст застрахованного лица (не обязательно целое); m — периодичность уплаты премий в год; n — срок страхования; h — количество лет уплаты премии; ip — норма доходности; p — размер премии; k — момент времени от нуля до n*m или от нуля до
(w — x, где w — предельный возраст.
Страхование на случай смерти при переменной доходности и наличии инфляции:
h_pr_sm_inf(x.m,n,h) — расчет размера премии, уплачиваемой m раз в год в течение h лет по
* © Никишов В.Н., 2014
Никишое Виктор Николаевич (tsh-sea05@yandex.ru), кафедра математики и бизнес-информатики, Самарский государственный университет, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
lll
договору страхования, заключаемому на п лет. Ежегодная процентная ставка і§(і) и ежегодный темп инфляции ^(і) задаются внутри программы;
Ь_гег_8Ш_рег_іпГ(к,х.т,п,Ь,р) — расчет резерва на момент времени к на основе перспективного метода по договору страхования, заключенному на п лет, с обязательством уплаты премии в размере р, т раз в год в течение Ь лет. Ежегодная процентная ставка і§(і) и ежегодный темп инфляции Ь§(і) задаются внутри программы;
Ь_гег_8Ш_1р_іпГ(к,х.т,п,Ь,р) — расчет резерва на момент времени к на основе метода финансового потока по договору страхования, заключенному на п лет, с обязательством уплаты премии в размере р, т раз в год в течение Ь лет. Ежегодная процентная ставка і§(і) и ежегодный темп инфляции Ь§(і) задаются внутри программы;
Страхование на дожитие при переменной доходности и наличии инфляции:
Ь_рг_8^іпі(х.т,п,Ь) — расчет размера премии, уплачиваемой т раз в год в течение Ь лет по договору страхования заключаемому на п лет, при норме доходности ір. Ежегодная процентная ставка і§(і) и ежегодный темп инфляции Ь§(і) задаются внутри программы;
Ь_гег_8^рег_М(к,х.т,п,Ь,р) — расчет резерва на момент времени к на основе перспективного метода по договору страхования, заключенному на п лет, с обязательством уплаты премии в размере р, т раз в год в течение Ь лет. Ежегодная процентная ставка і§(і) и ежегодный темп инфляции Ь§(і) задаются внутри программы;
Ь_гег_8^ф_М(к,х.т,п,Ь,р) — расчет резерва на момент времени к на основе метода финансового потока по договору страхования, заключенному на п лет, с обязательством уплаты премии в размере р, т раз в год в течение Ь лет. Ежегодная процентная ставка і§(і) и ежегодный темп инфляции Ь§(і) задаются внутри программы;
Накопительное страхование (страхование на дожитие) при условии взятия ссуды:
рг_88^а(Ь, аііа, ЬЬ, х, т , п , Ь , ір) — расчет нового размера премии после взятия ссуды в размере аНа процентов в момент времени Ь, при условии сохранения страховой суммы на прежнем уровне;
гег_88^а(к, Ь, аііа, х, т, п, Ь, ЬЬ, ір, ир) — при
ир = 0 расчет резерва на любой момент времени к =0,1,..пт, при условии взятия ссуды в размере аНа процентов в момент времени Ь, для случая сохранения страховой суммы на прежнем уровне. Программа самостоятельно определяет внутри себя размер новой премии;
гez_ssuda(k, Ь, аііа, х, т, п, Ь, ЬЬ , ір , ир) — при ир = 1 расчет резерва на любой момент времени к = 0,1,..пт, при условии взятия ссуды в размере аНа процентов в момент времени Ь, при условии сохранения прежнего размера взносов и
порядка их уплаты. При k = nm значение резерва дает новое значение страховой суммы;
rez_ssuda_fp(k, x, m, n, h, ip, p, rrez ) — расчет резерва методом финансового потока на момент времени k, при условии внесения премии в размере p с периодичностью m раз в год в течение h лет, при условии начального значения резерва в размере rrez. Используется как вспомогательная программа программой rez_ssuda, кроме того, ее можно использовать и в иных целях, например, когда при заключении договора страхования единовременно вносится некоторая сумма, в целях снижения размера периодических премий, вносимых в дальнейшем в течение срока действии договора страхования.
Все эти программы используют программу Lx(x): количество доживающих до возраста х, на основе таблицы смертности, обоснованной к применению страховщиком. Для проведения расчетов была использована иллюстративная таблица смертности для мужчин.
Программная реализация расчета величины lx
для произвольных значений x в среде VBA EXCEL на основе линейной интерполяции имеет вид:
Function Lx(x As Double) As Double: Dim LL(120), dx As Double: Dim ix, k As Integer: ix = Int(x): dx = x - ix: LL(0) = 100000: LL(1) = 98752: LL(2) = 98631: LL(3) = 98552: LL(4) =
98485: LL(5) = 98423: LL(6) = 98373: LL(7) =
98322: LL(8) = 98277: LL(9) = 98228: LL(10) =
98186: LL(11) = 98142: LL(12) = 98100: LL(13) =
98052: LL(14) = 97998: LL(15) = 97931: LL(16) =
97838: LL(17) = 97720: LL(18) = 97566: LL(19) =
97363: LL(20) = 97151: LL(21) = 96884: LL(22) =
96565: LL(23) = 96201: LL(24) = 95782: LL(25) =
95310: LL(26) = 94764: LL(27) = 94195: LL(28) =
93589: LL(29) = 92941: LL(30) = 92276: LL(31) =
91518: LL(32) = 90797: LL(33) = 90061: LL(34) =
89318: LL(35) = 88570: LL(36) = 87717: LL(37) =
86881: LL(38) = 86013: LL(39) = 85091: LL(40) =
84124: LL(41) = 82973: LL(42) = 81884: LL(43) =
80752: LL(44) = 79559: LL(45) = 78329: LL(46) =
76935: LL(47) = 75547: LL(48) = 74105: LL(49) =
72617: LL(50) = 71057: LL(51) = 69188: LL(52) =
67450: LL(53) = 65714: LL(54) = 63917: LL(55) =
62104: LL(56) = 60130: LL(57) = 58071: LL(58) =
56267: LL(59) = 54113: LL(60) = 52218: LL(61) =
49927: LL(62) = 47739: LL(63) = 45835: LL(64) =
43517LL(65) = 41459: LL(66) = 39322: LL(67) = 37103: LL(68) = 35054: LL(69) = 32938LL(70) = 30815: LL(71) = 28627: LL(72) = 26591: LL(73) = 24568: LL(74) = 22541LL(75) = 20607: LL(76) = 18682: LL(77) = 16805: LL(78) = 14990: LL(79) = 13329LL(80) = 11794: LL(81) = 10448: LL(82) = 9095: LL(83) = 7936: LL(84) = 6813LL(85) = 5764: LL(86) = 4808: LL(87) = 3867: LL(88) = 3118: LL(89) = 2519LL(90) = 1949: LL(91) = 1471: LL(92)
= 1074: LL(93) = 777: LL(94) = 554 LL(95) = 384: LL(96) = 261: LL(97) = 173: LL(98) = 112: LL(99) = 71: LL(100) = 43: For k = 101 To 120: LL(k) = 0: Next k: Lx = LL(ix) * (1 - dx) + dx * LL(ix + 1): End Function___________________________________
Программа Lx(x) приводится в полном объеме для возможности проверки читателями (пользователями) соответствия расчетных данных, приводимых в статье, данным, получаемым самостоятельно на основе вышеуказанных программ.
Программа Lx(x) является также базовой программой для вычисления вероятностных характеристик:
tPx = lx+t /lx ; t4x = 1-tPx и u\tqx =uPx •(t4x+u ) . Все эти вероятности непосредственно выражаются через функцию Lx(x).
В связи с ограниченными возможностями публикации статьи в расширенном варианте в дальнейшем приведем только выражения и тексты программ с переменной доходностью и наличием инфляции.
1. Математические выражения и программная реализация определения размера премий по страхованию на случай смерти
На практике может возникнуть необходимость в применении переменных процентных ставок в зависимости от доходности размещаемых активов.
При расчете премий переменные процентные ставки будем учитывать при дисконтировании взносов.
Влияние инфляции будем учитывать только в величине страховой суммы, которая увеличивается пропорционально индексу инфляции в интересах застрахованных лиц.
Пусть i = 1,2..и — номер года и j = 1,2.. m — номер периода внутри года. Пронумеруем все периоды действия договора страхования следующим образом:
к = (i - l)m + j;к = 1,2..nm .
Процентную ставку будем считать известной на каждый год IP(j), на ее основе можно вычислить процентную ставку внутри каждого периода
(1 / m) для каждого года:
к - 1 "
iPk
(1.1)
Дисконтирующий множитель для каждого k-го платежа дается выражением:
1 / П (l+iPj )
(1.2)
j=1
и, соответственно, коэффициент наращивания страховой суммы имеет вид:
к , j (1.3)
п =П + hj )
j=1
Будем считать известным ежегодный темп инфляции И1 и, соответственно, индекс инфляции
3, =(1 + И,), I = 1,2. .п. Пусть т — периодичность
уплаты премий. Внутри каждого года темп инфляции будем считать постоянным, тем самым можем определить темп инфляции в течение каждого периода длительностью (1/ т):
h к = I 1 + H
к — 1
1/m
+ 1 I I , к = 1,2. .nm (1.4)
В результате инфляции страховая выплата по случаю смерти увеличивается пропорционально инфляции, в частности, при ежегодном темпе инфляции в 5 % страховые суммы приведены в таб-
ЛиЦЄ 1Л' Таблица 1.1
Страховые суммы при ежегодном темпе инфляции в 5 %
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1,000 1,050 1,103 1,158 1,216 1,276 1,340 1,407 1,477 1,551
Таким образом, за п лет срока действия договора страхования страховая сумма возрастет до величины:
nn
Sn =S0•П J = S0 П(1 + H )
(1.5)
j=1
j=1
Рассмотрим обязательства страховщика и страхователя в случае переменных процентов и наличия инфляции.
Эквивалентность обязательств страховщика и страхователя приводит к выражению для расчета размера премии:
hm—1
Psm( m )^ P V =
h x:nl I к / m г x к 1
к=0
nm—1
S0 ^ к/mPx "(1/mqx+k/m ^ Гк ' Vk+1 ' idi
к=0
(1.6)
к+1
Здесь: Н — период уплаты премии, п — срок действия договора страхования;
к/тРх = 4+(к+1)/т /4+к/т - вероятН°сть дожития
лица в возрасте х лет до возраста (х + к / т);
1/тЯ.х+к/т 1 1х+(к+1)/т / 1х+к/т вероятНость
смерти лица в возрасте (х + к / т) на протяжении ближайшей части (1/ т) года; Ук — дисконтирующий множитель; S0 — страховая сумма в момент
Г)£т( т)
заключения договора страхования; н Рп — раз-
т
m
мер периодическом премии по страхованию на случай смерти уплачиваемой т раз в год в начале каждого периода (1 / т) года.
Если выплата по смерти производится в конце периода (1 / т), то idk = 1, если вытлата производится в момент смерти, то
у кт} = т((1 + У/,)1/т — 1)
id k
ос-
1п (1 + грк )
Действительно, пусть Тх = (т — х|Т > х)
таточное время жизни, то есть продолжительность жизни лица возраста х при условии, что он дожил до этого возраста, а Кх = [Тх ] — округленная остаточная продолжительность жизни.
Рассмотрим величину (Тх — Кх ) на интервале
( к к +1 ^
от
mm 0
Если выплата по смерти производится в конце ( k k +1 ^
периода
mm
то размер этой выплаты ра-
ве^-: к / тРх (1/тЯ.х+к / т } ^к+1 *
Если же выплата производится в момент смерти, то необходима замена вида:
•(,
k / m Уx Vl/mtfx+ki m ) Vk+l ®k/mP x
•(1/mqx+ k / m )* Vk+1 j eXP (- Sk+lt)/ (( ) dt 3 k = In (l + ipk ) .
0
где / (t) — функция распределения случайной величины (T - Kx).
В случае линейной интерполяции продолжительности жизни / (t) будет иметь равномерное распределение и в силу условия нормировки
У(t ) = m •
Вычисляя интеграл, получим:
1j”exp(-5k+it)/(t)dt = m((1+(iPk +Уm)-l) = idkk+i ,
0 ln(1+Pk+1)
что и объясняет наличие множителя idk+1 в
выражении (1.6).
Программная реализация выражения (1.6) в среде VBA EXCEL имеет вид: h_pr_sm_inf(x.m,n,h)
Function h_pr_sm_inf(x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer) As Double: Dim s1, s2, px, qx, d, id, ig(1 To 50), hg(1 To 50), im(1 To 600), hm(1 To 600) As Double: Dim vm(0 To 600),
rm(O To 6OO) As Double: Dim i, j, k, nm, hhm As Integer: hhm = h * m: nm = n * mFor i = 1 To 1G: ig(i) = G.G5+i*G.Gl: hg(i) = G.G5: Next i: vm(G) = 1: rm(O) = lFor i = 1 To n: For j = 1 To m: k = (i -1) * m + j: im(k) = (ig(i) + 1) л (1 I m)vm(k) = vm(k - 1) I im(k): hm(k) = (hg(i) + 1) л (1 I m): rm(k) = rm(k - 1) * hm(k)Next j: Next i: sl = G: s2 = G: For k = G To nm — 1: px = Lx(x + (k) I m) I Lx(x): qx = 1 - Lx(x + (k + 1) I m) I Lx(x + k I m): If k <= (hhm - 1) And h > G Then sl = sl + px
* vm(k): d = m * Application.Ln(im(k + 1)): id = (m * (im(k + 1) - 1)) I d: s2 = s2 + px * qx * vm(k + 1) * rm(k) * id: Next k: If h > G Then h_pr_sm_inf = s2 I sl: If h = G Then h_pr_sm_inf = s2: End Function
Входные параметры программы h_pr_sm_inf: х — возраст застрахованного лица; т — периодичность уплаты взносов; п — срок страхования;
Ь — период уплаты премий; ір — норма доходности* В целях конкретизации задания данных в программе процентные ставки каждый год увеличиваются на 1 %, начиная с 6 %, годовой темп инфляции принят равным 5 % для всех лет*
Программа h_pr_sm_inf(x,m,n,h,ip) является более общей, чем программа h_pr_sm(x,m,n,h,ip)* В частности, для получения на ее основе премий в условиях отсутствия инфляции и постоянных процентных ставок, например, в размере 10 %, достаточно в программе положить hg (і) = 0 и ig(і) = 10% *
В таблице 1*2 приведены ежемесячные премии
sm(l2)
для мужчин, в процентах от страховой
суммы ^0, установленной при заключении договора страхования при разных темпах инфляции и постоянных и переменных процентных ставках в зависимости от возраста* Срок страхования п = 10
лет и период уплаты h = 10 *
В графе 1 таблицы 1*2 приведены ежемесячные премии при возрастании процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 и до 15 % и годовом темпе инфляции 5 %; в графе 2 ежемесячные премии при постоянной процентной ставке в 10 % и нулевой инфляции; в графе 3 ежемесячные премии при постоянной процентной ставке в 10 % и годовом темпе инфляции в 5 %; в графе 4 приведены ежемесячные премии при возрастании процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 и до 15 % и нулевой инфляции*
Как можно видеть из таблицы 1*2, изменение процентных ставок слабо сказывается на размере премий, так как этот размер определяется в основном вероятностями смерти застрахованных лиц* В то же время зависимость от инфляции, точнее, от изменения страховой суммы пропорционально инфляции, существенна*
x.n
l/
т
Таблица 1.2
hP^
(срок страхования n = 10 лет и период уплаты h = 10 )
г) sm(12)
Ежемесячные премии hPxn\ для мужчин в зависимости от возраста
Ставки = 6 04 •I- 5 o4 i = 10% i = 10% = 6 04 •I- 5 o4
Инфляция H = 5% H = 0% H = 5% H = 0%
x psm(12) 10 ^x.10| psm(12) 10 ^x.10 psm(12) 10 ^x.10 psm(12) 10 ^x.10
20 0,05063% 0,03923% 0,05015% 0,03922%
25 0,01391% 0,05861% 0,01396% 0,05864%
30 0,09303% 0,01414% 0,09321% 0,01404%
35 0,12228% 0,09616% 0,12253% 0,09668%
40 0,16141% 0,13281% 0,16180% 0,13213%
45 0,22905% 0,18191% 0,22931% 0,18193%
50 0,30439% 0,24393% 0,30485% 0,24311%
55 0,39482% 0,31668% 0,39528% 0,31660%
60 0,51131% 0,41215% 0,51200% 0,41249%
— Таблица 1.3
Г)£т(12) 1
Ежемесячные премии ьрх.щ для мужчин в зависимости от возраста для различных периодов уплаты премий: к = 1,3,5,7,10 лет (срок страхования п = 10 лет, норма доходности 1р = 10% ,
годовой темп инфляции н = 5% )
h 1 3 5 1 10
x ^psm(12) 1 x.10 p sm(12) 3 x.10 psm(12) 5 x.10 psm(12) 11 x10 TJ sm(12) 10 Px.10
20 0,338% 0,124% 0,081% 0,064% 0,051%
25 0,487% 0,119% 0,118% 0,093% 0,014%
30 0,611% 0,225% 0,149% 0,111% 0,093%
35 0,195% 0,293% 0,194% 0,153% 0,123%
40 1,013% 0,391% 0,264% 0,208% 0,168%
45 1,431% 0,534% 0,356% 0,282% 0,229%
50 1,861% 0,691% 0,468% 0,312% 0,305%
55 2,342% 0,883% 0,591% 0,418% 0,395%
60 2,921% 1,112% 0,158% 0,613% 0,512%
В таблице 1.3 приведены значения премии
р1Л(12)
к хЩ для мужчин возраста 40 лет при различных сроках страхования " • Срок страхования п = 10 лет, норма доходности 1р = 10% , годовой темп инфляции Н = 5% •
2. Математические резервы по страхованию на случай смерти и их программная реализация на основе перспективного метода при наличии инфляции и переменной доходности
Перспективный метод — это метод оценки будущих обязательств страховщика и страхователя на момент времени I.
Исходя из выражения (1.6), получим следующее выражение для математического резерва на момент времени_т-=1^ / т :
"пт т = Б," £ , / тРх+к / т •(,/т«„(, т )
}=0
к / m
vj +к+1
J+к
j+1 h
- hP
sm(m)
I
к=0
j / m
V+к
(2.1)
Программная реализация метода на основе выражения (2.1) в среде VBA EXCEL имеет вид: h rez sm per inf(k,x.m,n,h,p)
Function h_rez_sm_per_inf(k As Integer, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, p As Double) As Double: Dim s1, s2, px, qx, d, id, ig(1 To 50), hg(1 To 50) As DoubleDim im(1 To 600), hm(1 To 600), vm(0 To 600), rm(0 To 600) As DoubleDim i, j, kk, nm, hhm As Integer: hhm = h * m: nm = n * mFor i = 1 To 10: ig(i) = 0.05 + i * 0.01: hg(i) = 0.05: Next i: vm(0) = 1: rm(0) = 1Foi i = 1 To n: For j = 1 To m: kk = (i - 1) * m + j: im(kk) = (ig(i) + 1) л (1 / m)vm(kk) = vm(kk - 1) / im(kk): hm(kk) = (hg(i) + 1) л (1 / m): rm(kk) = rm(kk - 1) * hm(kk): Next j: Next i: s1 = 0: s2 = 0: If k = nm Then GoTo metka: For j = 0 To nm - k
x.n
V
V
к
к
— 1: px = Lx(x + (j + k) / m) / Lx(x + k / m): qx = 1 - Lx(x + (j + k + 1) / m) / Lx(x + (k + j) / m): If j < = (hhm - k - 1) And h > 0 Then si = si + px
* vm(j + k) / vm(k): d = m * Application.Ln(im(j + k + 1)): id = (m * (im(j + k + 1) - 1)) / ds2 = s2 + px * qx * vm(j + k + 1) / vm(k) * rm(k + j) * id: Next j: metka: If h > 0 Then h_rez_sm_per_inf = s2
- p * s1: If h = 0 Then h_rez_sm_per_inf = s2: End Function
Входные параметры программы h_rez_sm_fp_inf (k,x,m,n,h,ip,p):
к = 1,2.. nm — момент времени расчета резерва; x — возраст застрахованного лица;
m — периодичность уплаты взносов; n — срок
страхования; h — период уплаты премий; ip — норма доходности; p — размер периодической премии
hр sm(m)
x:n| *
Изменение процентных ставок и задание индекса инфляции производится непосредственно внутри программы путем задания значений элементов массива ig (i) и темпа инфляции hg (i).
Программа h_rez_sm_fp_inf(x,m,n,h,ip) является более общей, чем программа h_rez_sm_fp (x,m,n,h,ip,p). В частности, для получения на ее основе резервов в условиях отсутствия инфляции и постоянных процентных ставок, наприме, в размере 10 %, достаточно в программе положить hg(i) = 0 и ig(i) = 10% .
3. Математические резервы по страхованию на случай смерти и программная реализация их расчета на основе метода финансового потока
Для расчета математических резервов по страхованию на случай смерти, при наличии инфляции и изменения процентных ставок, применим метод финансового потока (или метод динамики активов).
г) sm(m)
Пусть известен размер премии hp^ , вы-
численный при заданных изменениях процентных ставок и увеличении страховой суммы пропорционально темпу инфляции, тогда общий объем средств страховщика описывается следующей рекуррентной схемой:
тysm(m) — 7 -р sm(m) — . jrsm(m) — jrsm(m) —
0V x:nl = lx ‘hP x:nl э 1/mV x:nl =0V x:nl
• (1 + iPl fm — {lx — lx+1/m )• S0 • ri • id1 ;
ту sm(m) — , j p sm(m) — \
1/mV x:n| +lx+1/m'hr x:nl/‘
j / m
-rrsm( m) — / jrsm(m) — . i ту sm(m) — \
V x'n~ V(j—1)/mV xnl+/x+( j—1)/m 'h xnl/*
•{1+ iPj )l/m — {lx+(j—1)/m —lx+j /m )^ S 0 •Гш • idj
T/sm( m) — ___ / T/sm( m) — ,
V xnl = V( nm—1)/ J xn\ +
(nm)/ m
+ l • Psm(m) .n )^(1 + ip )1;m.
+ lx+ (nm—1)/m hP ХшП\ ) V1 + P{nm)/m)
{l
l )• S
x+(nm)/m/ <
x+( nm—1)/m x+(nm)/m7 0 {nm)/m
Соответственно, математический резерв на конец каждого периода ^ = к / т определяется как сумма средств на застрахованное лицо:
h rysm(m) — hTrsm(m) —,/1
к/ m R x:n\ — к/ m V x:n| / lx+к/ m
к = 0,1,2...(n • m — 1) .
(3.1)
Программная реализация в среде VBA MS EXCEL по расчету математического резерва методом финансового потока имеет вид:
h rez sm fp int(k,x.m,n,h,p)
Function h_rez_sm_fp_inf(k As Integer, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, p As Double) As Double: Dim v(0 To 300), r(0 To 300), d, id As Double: Dim i, j, kk, hmm As Integer: Dim ig(1 To 30), hg(1 To 30) As DoubleDim im(1 To 300), hm(1 To 300) As Double: Dim rm(0 To 300) As Double: hmm = h * m : For i = 1 To 10: ig(i) = 0.1: hg(i) = 0.05: Next i: rm(0) = 1For i = 1 To n: For j = 1 To m: kk = (i - 1) * m + j: hm(kk) = (hg(i) + 1) Л (1 / m)rm(kk) = rm(kk - 1) hm(kk): im(kk) = (ig(i) + 1) л (1 / m): Next j: Next iv(0) = 0: r(0) = 0: If k = 0 Then GoTo metka: d = m * Application. Ln(im( 1))id = (m * (im(1) - 1)) / v(1) = Lx(x) * p * im(1) - (Lx(x) - Lx(x + 1 / m)) * rm(1) * id: r(1) = v(1) / Lx(x + 1 / m): If k =
1 Then GoTo metkaFor j = 2 To (k): d = m Application.Ln(im(j)): id = (m * (im(j) - 1)) / dIf j <= hmm Then v(j) = (v(j - 1) + p * Lx(x + (j - 1) / m)) * im(j) - (Lx(x + (j - 1) / m) - Lx(x + (j) / m)) * rm(j) * id: If j > hmm Then v(j) = v(j - 1) * im(j) - (Lx(x + (j - 1) / m) - Lx(x + (j) / m)) * rm(j) * id: r(j) = v(j) / Lx(x + (j) / m): Next j: metka: h_rez_sm_fp_inf = r(k): End Function
Входн^ге параметры программы h_rez_sm_fp_inf (к,х,ш,п,Ь,1р,р):
к = 1,2.. пт — момент времени расчета резерва; X — возраст застрахованного лица;
т — периодичность уплаты взносов; п — срок страхования; к — период уплаты премий; 1р — норма доходности; р — размер периодической премии
{1 + ip2 )1/т —{lx+1/m — lx+2/m )^ S0 • Г2 • id2; (3.1) hP sm(m)
x:n
Изменение процентных ставок и задание индекса инфляции производится непосредственно внутри программы путем задания значений элементов массива ig(/) и темпа инфляции hg(/).
Программа Ь_ге2_8т_Гр_тДх,т,п,кДр) является более общей, чем программа Ь_ге2_8т_1р (х,т,п,ЬДр,р). В частности, для получения на ее основе резервов в условиях отсутствия инфляции и постоянных процентных ставок, наприме, в размере 10 %, достаточно в программе положить hg^') = 0 и ig(^ = 10% .
4. Примеры численных расчетов математических резервов по страхованию на случай смерти при переменной доходности и наличия инфляции
В качестве иллюстрации работы программ Ь_ге2_8т_рег(к,х.т,п,ЬДр,р) и Ь_ге2_8т_Гр
(к,х.т,п,ЬДр,р) на рис. 4.1 приведены математические резервы к/т1гК*т(т)ХЦ для мужчин возраста 40 лет при сроке страхования 10 лет в случае ежемесячных премий при наличии инфляции и изменения процентных ставок.
На рис. 4.2 приведены математические резервы к/т^яя(т)Х:П для мужчин возраста 40 лет при сроке страхования 10 лет в случае ежемесячных „ ~рхт(12)
премий ^4010 , при наличии инфляции в раз-
мере Н = 5% в год и постоянной процентной
ставки. Период уплаты премий h = 1,3,5,7,10 лет (графики сверху вниз).
Рис. 4.1. Математические резервы к/ т И^от<^т)х:п| для страхования на случай смерти для мужчин
при сроке страхования п = 10 лет и ежемесячной уплате премий в течение И = п = 10 , возраст 40 лет:
Ряд 1 (второй сверху) — возрастание процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 и до 15 % и годовом темпе инфляции 5 %;
Ряд 2 (третий сверху) — постоянная процентная ставка в 10 % и нулевая инфляция;
Ряд 3 (первый сверху) — постоянная процентная ставка в 10 % и годовой темп инфляции в 5 %;
Ряд 4 (нижний график) — возрастание процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 и до 15 % и нулевой инфляции
Премии, соответствующие графикам рис. 4.1, приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Премии 10 ^4010] ) в зависимости от инфляции и нормы доходности
Ставки = 6 % 04 •I- 5 % о4 і = 10% і = 10% = 6 % 04 •I- 5 % о4
Инфляция Н = 5% Н = 0% Н = 5% Н = 0%
X г) от(12) 10 40:10 г) от(12) 10 40:10 г) от(12) 10 40:10 г) от(12) 10 40:10
40 0,16741% 0,13287% 0,16780% 0,13273%
12 000%
Ряд1 Ряд2 Ряд3 Ряд4 Ряд5
2,000% 0,000%
2 0 4 0 6 0 8 0 1C )0 1 0
Рис. 4.2. Математические резервы %/тИ^т(т)хц для мужчин возраста 40 лет при сроке страхования 10 лет
г) £т(12)
в случае ежемесячных премиях ир40щ при наличии инфляции в размере Н = 5% в год и постоянной процентной ставки при периоде уплаты премий И = 1,3,5,7,10 лет (графики сверху вниз)
Премии, соответствующие графикам рис. 4.2, приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
г) sm(12)
Премии h 4о10 в зависимости от периода уплаты премий h
р sm(12) 1 40:10 р sm(12) 3 40:10 р sm(12) 5 40:10 ту sm(12) 7 40:10 2) !'¥ о
1,06860% 0,39559% 0,26271% 0,20710% 0,16712%
5. Математические выражения и программная реализация определении+ премии при страховании на дожитие
Рассмотрим обязательства страховщика и страхователя при страховании на дожитие в случае переменных процентов и наличия инфляции. Будем считать справедливыми соотношения (1.1— 1.5) в отношении переменных процентных ставок и инфляции.
Пусть m — периодичность уплаты премий в течение h < n лет, тогда условие эквивалентности обязательств страховщика и страхователя приводит к выражению для расчета размера премии:
nm—1 пт
»Pj(m) Z,/ mP, ■ v, = Я П(1+h) (5.1).
k=0 k=1
Программная реализация выражения (5.1) в среде VBA EXCEL имеет вид:
hg(i)): Next i: vm(0) = 1For i = 1 To n: For j = 1 To m: k = (i - 1) * m + j: im(k) = (ig(i) + 1) л (1 / m)vm(k) = vm(k - 1) / im(k): Next j: Next i: If h =
0 Then GoTo metka: s1 = 0For k = 0 To nm — 1: px = Lx(x + (k) / m) / Lx(x): qx = 1 - Lx(x + (k + 1) / m) / Lx(x + k / m): If k <= (hhm - 1) Then s1 = s1 + px * vm(k): Next klf h > 0 Then h_pr_sd_inf = vm(nm) * Lx(x + n) / Lx(x) / s1 * IH: metka:If h = 0 Then h_pr_sd_inf = Lx(x + n) / Lx(x) * vm(nm)
* IH: End Function__________________________________
Входные параметры программы h_pr_sd_inf (x,m,n,h): x — возраст застрахованного лица; m — периодичность уплаты взносов; n — срок страхования; h — период уплаты премий.
В целях конкретизации задания данных в тексте программы процентные ставки каждый год увеличиваются на 1 %, начиная с 6 %, годовой темп инфляции принят равным 5 % для всех лет.
Программа h_pr_sd_inf(x,m,n,h,ip) является более общей, чем программа h_pr_sd(x,m,n,h,ip).
В частности, для получения на ее основе премий в условиях отсутствия инфляции и постоянных процентных ставок, например, в размере 10 %, достаточно в программе положить hg (i) = 0 и
ig (i) = 10% .
h pr sd inf(x.m,n,h)_________________________________
Function h_pr_sd_inf(x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer) As Double: Dim s1, px, qx, IH, ig( 1 To 50), hg(1 To 50), im(1 To 600), vm(0 To 600) As Double: Dim i, j, k, nm, hhm As Integer: hhm = h * m: nm = n * m: IH = 1For i =
1 To 10: ig(i) = 0.1: hg(i) = 0#: IH = IH * (1 +
В таблице 3.1 приведены ежемесячные премии
sd(m)
п х.п\ Для мужчин в зависимости от возраста
при изменении процентных ставок от 6 до 15 % и годовом темпе инфляции 5 % . Уплата премий производится в течение всего срока действия договора страхования к = п = 10 лет.
В таблице 5.2 приведены значения премии
Р^(12) лп
й х10 дёя мужчин возраста 40 лет при различных сроках страхования к. Срок страхования п = 10 лет, норма доходности 1р = 10% , годовой темп инфляции н = 5% .
6. Математические резервы на дожитие при наличии инфляции и изменении процентных ставок на основе перспективного метода
Перспективный метод — это метод оценки будущих обязательств страховщика и страхователя на момент времени I.
Исходя из выражения (5.1), получим следующее выражение для математического резерва на момент времени t = к / т:
m - к -1
h nsm(m) = е V'1 p q
x:n| 0 j / mFx+к / m \1/m4x
j=0
к / m x-n\ 0 / j j / m -T x+к / m \1/m 4x+(lc+j)/m (б. l)
hm-к-1
- psm( m) ^ p
I j+1 h xn\ 1 j / m r x+к / m
• r
j+к+1
j+к
j +к
к=0
Программная реализация выражения (6.1) в среде VBA EXCEL имеет вид:
к
к
Таблица 5.1
'г)sd ( т)
Ежемесячные премии ьРц Дёя мужчин при страховании на дожитие в зависимости от возраста при
изменении процентных ставок от 6 до 15% и годовом темпе инфляции 5 % (уплата премий производится в течение всего срока действия договора страхования к = п = 10 лет)
Ставки = 6 04 •I- 5 % о4 i = 10% i = 10% = 6 04 •I- 5 o4
Инфляция H = 5% H = 0% H = 5% H = 0%
x psd (12) 10 ^x:10 psd (12) 10 ^x:10 psd (12) 10 ^x:10 psd (12) 10 ^x:10
20 0,108% 0,480% 0,181% 0,435%
25 0,100% 0,414% 0,113% 0,430%
30 0,692% 0,469% 0,164% 0,425%
35 0,618% 0,459% 0,148% 0,416%
40 0,658% 0,446% 0,126% 0,404%
45 0,632% 0,428% 0,691% 0,388%
50 0,603% 0,409% 0,666% 0,310%
55 0,566% 0,384% 0,625% 0,341%
60 0,523% 0,354% 0,511% 0,321%
Таблица 5.2
psd (12)
Ежемесячные премии й х10 для мужчин в зависимости от возраста для различных периодов уплаты
премий: к = 1,3,5,7,10 лет. Срок страхования п = 10 лет, норма доходности 1р = 10%.
Годовой темп инфляции Н = 5%
h 1 3 5 1 10
x psd(12) 1 x:10 pd12) 3 x:10 pd12) 5 x:10 2) ^ © 1 psd (12) 10 ^ x:10
20 5,191% 1,906% 1,254% 0,980% 0,181%
25 5,092% 1,812% 1,235% 0,961% 0,113%
30 5,001% 1,842% 1,211% 0,954% 0,164%
35 4,854% 1,191% 1,185% 0,931% 0,148%
40 4,645% 1,119% 1,142% 0,900% 0,126%
45 4,368% 1,624% 1,083% 0,858% 0,691%
50 4,064% 1,522% 1,022% 0,814% 0,666%
55 3,101% 1,396% 0,943% 0,156% 0,625%
60 3,290% 1,253% 0,854% 0,690% 0,511%
h_rez_sd_per_inf(k,x.m,n,h,p)
Function h_rez_sd_per_inf(k As Integer, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, p As Double) As DoubleDim s1, s2, px, ig(1 To 50), hg(1 To 50), im(1 To 600), hm(1 To 600) As DoubleDim vm(0 To 600), rm(0 To 600) As Double: Dim i, j, kk, nm, hhm As Integerhhm = h * m: nm = n * mFor i = 1 To 10: ig(i) = 0.05 + i * 0.01: hg(i) = 0.05: Next i: vm(0) = 1: rm(0) = 1For i = 1 To n: For j = 1 To m: kk = (i - 1) * m + j: im(kk) = (ig(i) + 1) Л (1 / m) vm(kk) = vm(kk - 1) / im(kk): hm(kk) = (hg(i) + 1) л (1 / m): rm(kk) rm(kk - 1) * hm(kk) : Next j: Next i: s1 = 0: s2 Lx(x + n) / Lx(x + k / m) * vm(nm) / vm(k) * rm(nm): If k = nm Then GoTo metka: For j = 0 To nm - k — 1: px = Lx(x + (j + k) / m) / Lx(x + k / m): If j <= (hhm - k - 1) And h > 0 Then s1 = s1 + px * vm(j + k) / vm(k): Next j : metka: If h > 0 Then h_rez_sd_per_inf = s2 - p * s1: If h = 0 Then h_rez_sd_per_inf = s2 : End Function
J/sd(m) — j T) sd(m) — .
0V x:n\ - IXhP x:nl 5
„mVsd(m)xn\ _0Vsd(m)xn\-(l + ip1)J/m ; (7.1)
J/sd (m) — ____
2/mV x:n\ _
j/m
V
sd (m) — ____
( vsd(m) — + I psd(m) -) (j + ■ V7m
\l/mV xn\ + lx+ym * hP + ip2)
( Т/sd(m) f>sd(m) )
V( j-1)/mv x:nWlx+( j-1)/m'hr x:n\)'
|.(l + pj
Vsd(m) — _ ( vsd(m) — + I
V x:n\ - V(nm-1)/mV x:n\+i:
" Psd(m) - ) (1 + ■ V n
hp xn| J + ~ip[nm)/m)
Входн^ге параметры программах h_rez_sd_fp_inf (k,x,m,n,h,ip,p): ^ — момент времени расчета резерва; х — возраст застрахованного лица; т — периодичность уплаты взносов; п — срок страхования;
к — период уплаты премий; ip — норма доходнос-
(т)
ти; р — размер периодической премии рхц .
Изменение процентных ставок и задание индекса инфляции производится непосредственно внутри программы путем задания значений элементов массива ig(^ и темпа инфляции hg^').
Программа h_rez_sd_fp_inf(x,m,n,h,ip) является более общей, чем программа h_rez_sd_fpr (x,m,n,h,ip,p). В частности, для получения на ее основе резервов в условиях отсутствия инфляции и постоянных процентных ставок, например, в размере 10%, достаточно в программе положить hg^) = 0 и ig^) = 10% .
7. Математические резервы на дожитие при наличии инфляции и изменения процентных ставок на основе метода финансового потока
Для расчета математических резервов по страхованию на дожитие, при наличии инфляции и изменения процентных ставок, применим метод финансового потока (или метод динамики активов).
(т)
Пусть известен размер премии НГХЦ , вычисленный при заданных изменениях процентных ставок и увеличении страховой суммы пропорционально темпу инфляции, тогда общий объем средств страховщика описывается следующей рекуррентной схемой:
Соответственно, математический резерв на конец каждого периода ^ = к / т определяется как сумма средств на застрахованное лицо:
h Tjsd(m) — hjrsd(m) —
к/ m R x:n\ — к/ m V x:n|
/1
к _ 0,1,2...(n- m -1) (7.2)
Программная реализация в среде VBA MS EXCEL по расчету математического резерва методом финансового потока имеет вид:
Function h_rez_sd_fp_inf(k As Integer, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, p As Double) As DoubleDim v(0 To 300), r(0 To 300), ig(1 To 30), im(1 To 300) As DoubleDim i, j, kk, hmm As Integer: hmm = h * m: For i = 1 To 10: ig(i) = 0.1: Next iFor i = 1 To n: For j = 1 To m: kk = (i - 1) * m + j: im(kk) = (ig(i) + 1) Л (1 / m)Next j: Next i: v(0) = 0: r(0) = 0: If k = 0 Then GoTo metkav(1) = Lx(x) * p * im(1): r(1) = v(1) / Lx(x + 1 / m): If k = 1 Then GoTo metkaFor j = 2 To (k): If j <= hmm Then v(j) = (v(j - 1) + p * Lx(x + (j -1) / m)) * im(j)If j > hmm Then v(j) = v(j - 1) * im(j): r(j) = v(j) / Lx(x + (j) / m): Next jmetka: h_rez_sd_fp_inf = r(k): End Function
Входные параметры программы h_rez_sd_fp_inf (k,x,m,n,h,ip,p): к - момент времени расчета резерва; x - возраст застрахованного лица; m — периодичность уплаты взносов; n — срок страхования; h - период уплаты премий; ip - норма доходности; p - размер периодической премии
hp sd (m)
x:n| *
Изменение процентн^гх ставок и задание индекса инфляции производится непосредственно внутри программы путем задания значений элементов массива ig (i) и темпа инфляции hg(i).
x: n
h_rez_sd_fp(k,x.m,n,h,ip,p)
Программа к_ге2_8ё_1р_1пГ(х,т,п,кДр) является более общей, чем программа Ь_ге2_зё_Грг (х,т,п,ЬДр,р). В частности, для получения на ее основе резервов в условиях отсутствия инфляции и постоянных процентных ставок, например, в размере 10%, достаточно в программе положить
hg(г) = 0 и ig(г) = 10% .
8. Примеры численных расчетов математических резервов по страхованию на дожитие
Функция Ь_ге2_8ё_рег_1пГ имеет те же параметры, что и Ь_ге2_8ё_Гр_1пГ, результаты расчета по этим функциям полностью совпадают.
На рис. 8.1 приведены математические резервы к/т,гЯ"а(т)хц для мужчин возраста 40 лет при
сроке страхования 10 лет в случае ежемесячных премиях при наличии инфляции и изменения процентных ставок.
Рис. 8.1. Математические резервы к/т (т)х:п| для страхования на дожитие для мужчин при сроке
страхования п = 10 лет и ежемесячной уплате премий в течение h = п = 10 , возраст 40 лет:
Ряд 1 (второй сверху) — возрастание процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 и до 15 % и годовом темпе инфляции 5 %;
Ряд 2 (третий сверху) — постоянная процентная ставка в 10 % и нулевая инфляция;
Ряд 3 (первый сверху) — постоянная процентная ставка в 10 % и годовой темп инфляции в 5 %; Ряд 4 (нижний график) — возрастание процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 и до 15 % и нулевой инфляции
Премии, и страховые суммы, соответствующие графикам рис. 8.1, приведены в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Премии 10 ) в зависимости от инфляции и нормы доходности
Ставки II 6 ©х •1* 5 ©х і = 10% і = 10% = 6 0х •1* 5 ©х
Инфляция Н = 5% Н = 0% Н = 5% Н = 0%
р^12) 10 40:10 0,658% 0,446% 0,726% 0,404%
^ 0-Пл к =1 1,62889 1,00000 1,62889 1,00000
На рис. 8.2 приведены математические резервы к/т кК!“1 (т-1 для мужчин возраста 40 лет при сроке
10 р^(12) и , %
страхования 10 лет в случае ежемесячных премиях ^4010 , при возрастании процентной ставки на 1 %
за год, начиная от 6 и до 15 % и годовом темпе инфляции 5 %. Период уплаты премий к = 1,3,5,7,10 лет (графики сверху вниз).
Рис. 8.2. Математические резервы к/т ИЕ^с1 Ст)х:„| для мужчин возраста 40 лет при сроке страхования 10 лет
р^С12) „ , „
в случае ежемесячных премиях и^ 40:10| при возрастании процентной ставки на 1 % за год,
начиная от 6 и до 15 % и годовом темпе инфляции 5 %. Период уплаты премий И = 1,3,5,7,10 лет (графики сверху вниз). Период уплаты премий лет (графики сверху вниз)
Премии и страховые суммы, соответствующие графикам рис. 8.2, приведены в табл. 8.2.
Таблица 8.2
тт Р^(12) „ ,
Премии нг40щ и страховые суммы на дожитие в зависимости от периода уплаты премии к,
при возрастании процентной ставки на 1 % за год, начиная от 6 до 15% и годовом темпе инфляции 5 %
P sd(12) 1 40:10| psd(12) 3 40:101 P sd(12) 5 40:101 psd(12) 7 40:10 psd(12) 10 40:10
P sd(12) h 40:10| 4,380% 1,577% 1,031% 0,809% 0,658%
s 0'ҐК к=1 1,628895 1,628895 1,628895 1,628895 1,628895
9. Взносы и резервы накопительного страхования в связи с выдачей ссуды
Согласно законодательству и условиям страхования, страхователь имеет право на получение ссуды в период действия договора страхования жизни в пределах сформированного резерва взносов на момент выдачи ссуды.
Изменение условий договора страхования в связи с выдачей ссуды производится на основе соглашения между страхователем и страховщиком.
В том случае, если страхователь не меняет размер и порядок уплаты оставшихся взносов необходимо произвести уменьшение страховой суммы.
Если страхователь желает сохранить или, вообще изменить страховую сумму, то необходимо произвести расчет новых взносов, подлежащих уплате с момента выдачи ссуды.
Как правило, ссуда выдается за счет накопительной части договора страхования жизни, то есть, за счет резерва взносов на дожитие, в этом случае страховая защита на случай смерти сохраняется в прежнем объеме.
Рассмотрим ситуацию, когда страхователь сохраняет прежний размер и порядок уплаты оставшихся взносов. Пусть ^ = Ь момент выдачи ссуды. Ссуда выдается в размере а от величины резерва взносов на этот момент времени, то есть
тъяЗ (т)
в размере а'ьЛхЦ . Размер взносов и порядок
„ (т)
уплаты остается без изменений гхц .
Новую страховую сумму находим на основе принципа эквивалентности обязательств сторон:
S n-L/ mP:+L / m V
n-L / m
(h-L)m-\
(1 -a)LRT)+hPT) I,P
(1 - a)LR
:+L / m
к=0
sd(m)- L > h
(9.l)
В том случае, когда страховая сумма остается без изменений новый размер взносов находится из соотношения:
(1 ~a)LR
sd ( m )
+
hh
hh-m-\
psd(m)
к=0
P:+L
/m
V1 = S,
0 n-L /m
P:+L
/m
• V
n-L / m
. hh < (n - L)
(9.2)
Здесь hh — новое количество лет уплаты взносов.
Программная реализация по определению нового размера взноса, сохраняющего страховую сумму, в среде VBA EXCEL имеет вид:
pr_ssuda(L, alfa, hh, x, m , n , h , ip)
Function pr_ssuda(L As Integer, alfa As Double, hh As Integer, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, ip As Double) As DoubleDim pr, rez, vm, s1, s2, px, qx As Double: Dim j, nm, hhm, lm As Integerlm = L * m: pr = h_pr_sd(x, m, n, h, ip): rez = h_rez_sd_per(lm, x, m, n, h, ip, pr)nm = n * m: vm = 1 / (1 + ip) A (1 / m): si = 0: s2 = Lx(x + n) / Lx(x + L) / (1 + ip) A (n - L) - (1
- alfa) * rez: If hh = 0 Then GoTo metka: hhm = hh * mFor j = 0 To (nm - L * m - 1): px = Lx(x + L + j / m) / Lx(x + L)If j <= (hhm - 1) Then s1 = s1 + px * vm A j: Next j: If hh > 0 Then pr_ssuda = s2 / s1: metka: If hh = 0 Then pr_ssuda = s2: End Function
Входные параметры рг_Б8иёа: Ь — момент взятия ссуды; аНа — размер ссуды в процентах от резерва взносов в момент времени Ь; hh — кол-во лет уплаты взносов после взятия ссуды; х — возраст застрахованного лица; т — порядок уплаты взносов; п — срок действия договора страхования;
h — кол-во лет уплаты взносов установленное при заключении договора страхования; гр — норма доходности.
В табл. 9.1 приведены новые размеры ежемесячных взносов при условии внесения которых сохраняется размер страховой суммы.
Остаток резерва после выдачи ссуды
(1 - a)LR
sd (m) :.n\
вычисляется автоматически внут-
ри программы rez_ssuda, которая производит расчет резерва на любой момент времени действия договора страхования как до выщачи ссуды (по исход-ныш размерам взносов), так и после ее выщачи, в зависимости от управляющего параметра ир.
При ир = 0 расчет резерва после выщачи ссуды производится на основе новыгх взносов, сохраняющих размер страховой суммы после взятия ссуды в момент времени Ь.
При ир = 1 производится расчет резерва на основе старых взносов и с учетом остатка от резерва после взятия ссуды, при этом конечное значение резерва на момент окончания договора страхования дает новое значение страховой суммы.
Таблица 9.1
Размер новых ежемесячных взносов для мужчин после взятия 40%-ной ссуды в момент времени £ от резерва взносов (срок страхования — 10 лет, период уплаты — 10 лет, норма доходности — 10 %,
страховая сумма остается без изменений)
L 0 3 5 7
(п - L ) 10 7 5 3
psd (12) 10 ^ ::10 psd (12) 7 :+3:7 psd (12) 5 :+5:5 psd (12) 3 :+7:3
20 0,480% 0,613% 0,797% 1,233%
25 0,474% 0,608% 0,791% 1,228%
30 0,469% 0,602% 0,785% 1,220%
35 0,459% 0,591% 0,773% 1,208%
40 0,446% 0,576% 0,758% 1,192%
45 0,428% 0,557% 0,737% 1,170%
50 0,409% 0,536% 0,715% 1,146%
55 0,384% 0,508% 0,685% 1,113%
60 0,354% 0,475% 0,649% 1,073%
Программная реализация по определению резерва взносов после взятия ссуды, на основе новых взносов и с учетом остатка от прежнего резерва, в среде VBA EXCEL имеет вид:
чета резерва; L — момент взятия ссуды; alfa — размер ссуды в процентах от резерва взносов в момент времени L; hh — кол-во лет уплаты взносов после взятия ссуды; x — возраст застрахованного лица; m- порядок уплаты взносов; n — срок действия договора страхования; h — кол-во лет уплаты взносов, установленное при заключении договора страхования; ip — норма доходности; up — управляющий параметр.
Функция rez_ssuda внутри себя обращается к вспомогательной функции rez_ssuda_fp:
rez_ssuda_fp(k, x, m , n , h , ip , p, rrez ) Function rez_ssuda_fp(k As Integer, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, ip As Double, ByVal p As Double, ByVal rrez As Double) As DoubleDim im, v(0 To 300), r(0 To 300) As Double: Dim j, hm As Integerhm = h * m: im = (1 + ip) Л (1 / m): v(0) = rrez * Lx(x): r(0) = rrez: If k = 0 Then GoTo metka: v(1) = (v(0) + Lx(x) * p) * im: r(1) = v(1) / Lx(x + 1 / m): If k = 1 Then GoTo
metka: For j = 2 To (k): If j <= hm And h > 0 Then v(j) = (v(j - 1) + p * Lx(x + (j - 1) I m)) * im: If j > hm Then v(j) = v(j - 1) * im: r(j) = v(j) I Lx(x + (j)
I m): Next j: Metka: rez_ssuda_fp = r(k): End Function_________________________________________
Входные параметры rez_ssuda_fp: k — момент расчета резерва; x — возраст застрахованного лица; m — порядок уплаты взносов; n — срок действия договора страхования; h — кол-во лет уплаты, ip — норма доходности; p — размер взноса, rrez — значение резерва на начало расчета.
Функция rez_ssuda_fp практически полностью совпадает с функцией h_rez_sd_fp, за исключением начального значения резерва, что позволяет ее использовать и в иных целях, например, когда при заключении договора страхования единовременно вносится некоторая сумма, в целях снижения размера периодических премий, вносимых в дальнейшем в течение срока действии договора страхования.
На рис. 9.1 приведены размеры резерва взносов для мужчин возраста 40 лет в случае взятия 40%-ной ссуды в различные моменты времени. Срок страхования — 10 лет. Норма доходности — 10%. Размеры новых премий, вносимых после взятия ссуды, приведены в табл. 9.1.
Для расчета новой страховой суммы, которая должна быть установлена после взятия ссуды в момент времени L и при условии, что взносы платятся в прежнем размере, применяется функция res_ssuda при up = 1. Значение резерва на срок окончания договора страхования дает значение страховой суммы, то есть новая страховая сумма определяется вызовом функции: S = rez_ssuda (n*m, L , alfa, x, m, n, h, hh, ip, 1).
На рис. 9.2 приведены резервы взносов для мужчин возраста 40 лет при условии взятия 40%-ной ссуды в 3,5 и 7 лет и при условии, что взносы платятся в прежнем размере.
Конечное значение резерва дает новые страховые суммы, равные в данном случае: S (L = 3 ) = 0,831015; S (L = 5) =0,745544; S (L = 7) =0,677212.
rez_ssuda(k, L, alfa, x, m, n, h, hh , ip , up) Function rez_ssuda(k As Integer, L As Integer, alfa As Double, x As Double, m As Integer, n As Integer, h As Integer, hh As Integer, ip As Double, up As Integer) As Double: Dim pr0, pr, rez, rrez, im, v(0 To 300), r(0 To 300) As Double: Dim j, hhm, lm As Integer: lm = L * m: pr0 = h_pr_sd(x, m, n, h, ip): rez = h_rez_sd_fp(lm, x, m, n, h, ip, pr0): rrez = rez * (1 - alfa): hhm = hh * m: pr = pr_ssuda(L, alfa, hh, x, m, n, h, ip): If k = lm Then rez_ssuda = rrez: If k < lm Then rez_ssuda = h_rez_sd_fp(k, x, m, n, h, ip, pr0)
If k > lm And up = 0 Then rez_ssuda = rez_ssuda_fp(k - lm, x + L, m, (n - L), hh, ip, pr, rrez): If k > lm And up = 1 Then rez_ssuda =1 rez_ssuda_fp(k - lm, x + L, m, (n - L), hh, ip, pr0, rrez): End Function
BxoAHbie napaMeTpM rez_ssuda: k — momcht pac-
1 ,2 -
Ряд 1
0 -0
2 0 4 0 6 0 8 0 1 С 0 1 20
Рис. 9.1. Резерв взносов для мужчин возраста 40 лет в случае взятия 40%-ной ссуды в моменты времени 3,5 и 7 лет, срок страхования — 10 лет, норма доходности — 10 %
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
-------Ряд 2
-------РядЗ
Рис. 9.2. Резервы взносов для мужчин возраста 40 лет при условии взятия 40%-ной ссуды в 3,5 и 7 лет и при условии, что взносы платятся в прежнем размере
10. Смешанное страхование жизни
Смешанное страхование жизни включает в себя страхование на случай смерти и страхование на дожитие.
Расчет фактических взносов по смешанному страхованию жизни осуществляется на основе ранее рассмотренных программ.
Страховые суммы на случай смерти и на случай дожития могут быть установлены раздельно:
£ (ят) и £ (^).
р( т)
а) Расчет фактических взносов и рхц в случае
постоянной нормы доходности и отсутствия инфляции осуществляется на основе программ Ь_рг_8ш и Ь_рг_8ё:
= £(т • И_рг _ят(х,т,п,И, гр) +
+ S(*а) • И _ рг _ sd(х, т, п, И, гр) (1°-1)
Расчет математических резервов по смешанно-
(т)
му страхованию жизни к 1 т л-хц в случае постоянной нормы доходности и отсутствия инфляции осуществляется на основе программ Ь_ГС2_8Ш_реГ и Ь_ге2_зё_рег, основанных на перспективном методе:
к 1 тИ-^ХП\ = ^^ • И_гег_ят_рег(к,х,т,п,И,гр,р)+> + £(^) • И _ ге2 _ sd _ рег (к, х , т, п, И, 1р, р ) (10.2)
И ту(т)
Также расчет резервов к 1 т ^хц можно осуществлять на основе программ Ь_ге2_8Ш_1р и Ь_ге2_Бё_Гр, основанных на методе финансовых потоков (динамики активов):
к'тН^хП\ = ^(^ • И_ге2_ят_/р(к,х,т,п,И,гр,р) + + £ ^ • И _ рг _ sd _ /р(к, х , т, п, И, гр, р ) (10.3)
b) В том случае, когда применяются переменные процентные ставки и, учитытается инфляция, следует применять соответствующие функции.
р( m)
Расчет фактических взносов h рхц в случае переменной доходности и наличия инфляции осуществляется на основе программ h_pr_sm_inf и h_pr_sd_inf:
hP(m\ = S(sm) ■ h _Pr _sm _inf (x, m,n, h, ip) +
+ S('sd) ■ h_pr _sd_inf (x,m,n,h,ip) (10.4)
Расчет математических резервов по смешанно, I h R(т)
му страхованию жизни k 1 т в случае пере-
менной нормы доходности и наличия инфляции осуществляется на основе программ h_rez_sm_per_ inf и h_rez_sd_per_inf, основанныж на перспективном методе:
k/mhRm = S('sm) ■ h_rez_sm _per_inf (k,x,m,n,h,ip,p)+
+ S(sd) ■ h_rez_sd_per _inf (k,x,m,n,h,ip,p) (10.5)
h (m)
Также расчет резервов k 1 m Rx^ можно осуществлять на основе программ h_rez_sm_fp_inf и h_rez_sd_fp_inf, основанныж на методе финансовых потоков (динамики активов):
к/mHRXn\ = S(m ■ h_rez_sm_fp_inf(k,x,m,n,h,ip,p)+
+S{sd) ■ h_pr_sd fp jnfk,x,m,n,h,ip,p) (10.6)
В заключение отметим, что приведенные выше математические выражения и, соответствующие им программы могут быть обобщены на случай заданного изменения размера премий относительно базового уровня, а также на случай изменения условий страхования в заданный момент времени.
Библиографический список
1. Савич С.Е. Элементарная теория страхования жизни и трудоспособности / под ред. В.К. Малиновского. М.: Янус-К, 2003. 496 с.
2. Лунский Н.С. Специальный курс страховых вычислений. Репринтное воспроизведение издания 1912 г. М.: ЮКИС, 1992. 168 с.
3. Актуарная математика / Н. Бауэрс, X. Гербер, Д. Джонс [и др.]; пер. с англ. под ред. В.К. Малиновского. М.: Янус-К, 2001. 656 с.
4. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: Мир, 1995. 156 с.
5. Фалин Г.И. Математические основы страхования жизни и пенсионных схем. М.: Анкил, 2007. 304 с.
6. Финансовая экономика с приложениями к инвестированию, страхованию и пенсионному делу / X. Панджер, Ф. Бойль, X. Гербер [и др.]; пер. с англ. А.А. Новоселова; под ред. В.К. Малиновского. М.: Янус-К, 2001. 550 с.
7. А.Ю. Гарнаев, Л.В. Рудикова. Microsoft Excel 2010: разработка приложений. СПб.: EXB-Петербург, 2011. 528 с.
8. Сараев Л.А. Уравнение динамики экономического развития предприятия, модернизирующего производственные отношения // Основы экономики, управления и права. 2014. № 3 (15).
V.N. Nikishov*
PREMIUMS AND RESERVES ON LIFE ASSURANCE TAKING INTO CONSIDERATION INFLATION AND VARIABLE INTEREST RATES WITH REALIZATION IN VBA EXCEL MEDIUM
Mathematical expressions and implementation of premium statement and mathematical reserves on insurance in contemplation of death and survival adjusted for inflation and application of variable interest rates and for generalization of premium statement and reserves taking into consideration lending money are suggested.
Key words, life assurance, pensions, mathematical reserves, premium, inflation, variable rate of return, implementation.
* Nikishov Viktor Nikolaevich (tsh-sea05@yandex.ru), department of Mathematics and Business-Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
