Моделирование смертности населения с помощью аналитических законов на примере России Текст научной статьи по специальности «СМИ (медиа) и массовые коммуникации»

УДК 368/369

DOI 10.17150/2500-2759.2019.29(1).95-106

МОДЕЛИРОВАНИЕ СМЕРТНОСТИ НАСЕЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ НА ПРИМЕРЕ РОССИИ

О.В. Леонова

Байкальский государственный университет, г. Иркутск, Российская Федерация

Информация о статье

Дата поступления 20 января 2019 г.

Дата принятия к печати 12 марта 2019 г.

Дата онлайн-размещения 4 апреля 2019 г.

Ключевые слова

Системный анализ; системный подход; аналитические законы; таблицы смертности; кривая смертей; функция выживания; интенсивность смертности; метод наименьших квадратов; коэффициент детерминации

Аннотация

В данной работе используется системный подход к моделированию аналитических законов смертности. Работа посвящена моделированию таких вероятностных характеристик, как кривая смертей, функция выживания, интенсивность смертности. В статье данные таблиц смертности населения России для календарного года 2017 аппроксимированы следующими классическими аналитическими законами: де Муавра, Гомпертца, Мэйкхама, Вейбулла, Эрланга. Для каждого класса распределений решена задача оценивания неизвестных параметров с помощью различных методов. Качество подгонки всех простроенных моделей протестировано с применением коэффициента детерминации. Для нахождения оценок неизвестных параметров, вычисления по модели значения результирующего признака, определения коэффициента детерминации, построения графиков подбора была использована программа Microsoft Excel. В результате исследования установлено, что распределение смертности населения лучше всего описывается моделью Мэйкхама с оцененными параметрами.

POPULATION DEATH RATE MODELING BY MEANS OF ANALYTICAL LAWS ILLUSTRATED BY THE EXAMPLE OF RUSSIA

Оlga V. Leonova

Baikal State University, Irkutsk, the Russian Federation

Article info

Received January 20, 2019

Accepted March 12, 2019

Available online April 4, 2019

Keywords

System analysis; system approach; analytical laws; mortality tables; deaths graph; survival function; mortality rate; least square method; determination coefficient

Abstract

In this paper, the author uses a system approach for modeling analytical laws of mortality. The article considers modeling such probabilistic characteristics as: deaths graph, survival function, mortality rate. The data tables of Russia's population mortality in 2017 are approximated by such traditional analytical laws as that of de Moivre, Gompertz, Makeham, Weibull and Еrlang. For each class of distributions the problem of estimation of unknown parameters is solved by using different methods. The quality of models fitting was tested with the help of determination coefficient. Microsoft Excel was used to find estimates of unknown parameters, calculate the value based on the resulting feature model, calculate the determination coefficient, and build selection graphs. The author draws a conclusion that distribution of population mortality is best described by Makeham model with estimated parameters.

В настоящее время математическое моделирование процессов и явлений играет большую роль в различных областях научных исследований. Например, в [1] авторы анализируют подходы к моделированию средств массовой информации, в [2; 3] исследователь использует модели оптимального управления для построения финансовой и

© Леонова О.В., 2019

кредитной политики фирмы. В [4; 5] авторы проводят эконометрическое моделирование для исследования ценообразования на рынке недвижимости.

В данной работе математическое моделирование используется в целях системного изучения и статистического анализа продолжительности жизни населения.

ф

п ч

01 И 5<

а

л т

п *

о

о

о

а

и ^

о

H

H ф

X X

о

п

о у

X

ф ^

п s

H

ф

H M

о

M

z

ie

(О №

о

е>

(О

о

I

ю №

£ а

о с

Сй

«ч

?

Сй

о

«ч

12 I

с

э

ф

^

я

(О

л

"(5 ш

ч-

о с

3

ш

Для качественного исследования продолжительности жизни большую роль играет статистический анализ данных смертности населения в зависимости от различных факторов [6]. В данной статье автор рассматривает зависимость продолжительности жизни только от возраста индивида.

Как правило, для анализа законов смертности населения используют два основных подхода:

- построение единой математической формулы закона смертности, представление вероятности смертности как непрерывной величины, значения которой можно рассчитать на любой момент жизни человека [7; 8];

- построение таблиц смертности, в которых учитываются усредненные для данного возраста вероятности смерти. Таблицы смертности содержат расчетные показатели, характеризующие смертность населения по отдельным возрастам, а также доживае-мость человека при переходе из одной возрастной группы в другую [9].

Неопределенность или непредсказуемость момента смерти человека является источником случайности, что позволяет рассматривать продолжительность жизни человека как непрерывную случайную величину X [10].

При теоретическом анализе процессов смертности, первоначальном и упрощенном изучении реальных ситуаций используют, как правило, стандартные вероятностные модели, позволяющие выявить основные закономерности, интересующие исследователя. Некото-

рые реальные процессы смертности хорошо аппроксимируются рассматриваемыми ниже аналитическими законами.

Аппроксимация статистических данных аналитическими законами смертности

Задача — проанализировать возможности использования классических моделей в качестве законов смертности для статистических данных, приведенных в таблице смертности населения России для календарного года 2017 (прил.).

На рис. 1 представлена диаграмма рассеивания точек (х., у.), где х . — возраст человека, у. — количество людей, умерших в возрасте х лет.

1. Модель де Муавра. Учитывая, что предельный возраст, по данным таблицы смертности, составляет 110 лет, то оценка параметра СО =110:

/(х) = —, Р(х) = —, 5(х) = 1- — 110 110 110

К =

1

110-х

,0<л-<110.

1

Кривая смертей f(x) — не отражает многие характерные особенности, связанные с продолжительностью жизни человека, так как является горизонтальной прямой, а эмпирическая кривая имеет максимум в районе 72 лет (рис. 2).

3 а ф

с

о

3 000

2 500 -

2 000 _

1 500 _

1 000 _

500

20

40

60

80

Рис. 1. Зависимость смертности от возраста

100 120 Возраст, лет

0

3

а ш

CS

с О d

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 2. График подбора кривой смертей модели де Муавра

о

I

т р

е

5

20

40

60

г 80

100

120

Возраст, лет

Рис. 3. Аппроксимация данных экспоненциальной моделью

2. Модель Гомпертца. В модели Гом-пертца интенсивность смертности задается формулой = ßeax. Для нахождения оценок параметров a и ß можно использовать метод наименьших квадратов [11].

С целью построения линии тренда (аппроксимации и сглаживания) воспользуемся возможностями Microsoft Excel (рис. 3).

Таким образом, оцененная интенсивность смертности имеет вид

рх = 0,000 4е0 0687х, функция выживания —

кривая смертей —

Графики подбора модельных значений эмпирическим данным представлены на рис. 4 и 5.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 4) с помощью коэффициента детерминации для интенсивности смертности: II2 = 0,960 5 ^ качество подгонки хорошее и модель можно использовать для анализа и прогноза.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 5) с помощью коэффициента детерминации для кривой смертей: I2 = 0,910 5 ^ качество подгонки хорошее и модель можно использовать для анализа и прогноза.

3. Модель Мэйкхама. В модели Мэйкха-ма интенсивность смертности определяется функцией у = А + веах. Она называется моди-

S

W eg Ф

о т s а

Б

В) 5<

X В) S 1Г

о *

о

о

о

g

в)

■о

0 т я ф

1 I

о

п

0 У

1 S

Я

ф

■о

о

s

т

ф т

M

о

M

Z

10

(8 (л I

О

б)

а ш

1,2 -,

1,0 -

0,8 _

0,6

0,4

0,2

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 4. График подбора интенсивности смертности модели Гомпертца

к

X

3 а.

ш

0,030 -

0,025 -

0,020

0,015 -

0,010

0,005

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 5. График подбора кривой смертности модели Гомпертца

фицированной экспонентой. Ее недостаток заключается в том, что она является существенно нелинейной моделью [12]. Таким образом, ее невозможно линеаризовать, чтобы воспользоваться методом наименьших квадратов для нахождения оценок параметров.

Для нахождения оценок параметров составим систему из трех уравнений с тремя неизвестными А, в, а, решение которой и даст оценки неизвестных параметров.

Рассмотрим функцию распределения для модели Мэйкхама:

ня р определяется по формуле Р(Х < хр) = = F(xp) = 1 — 5(хр) = р, поэтому верхний квартиль х075= 78,5 года, нижний квартиль х0 25 = = 54,5 года, медиана х05 = 68 лет.

Тогда система нелинейных уравнений будет иметь вид

найдем верхний, нижний квартили и медиану этого распределения по таблице смертности (см. прил.). Как известно [13], квантиль уров-

0

0

Решая эту систему, получим оценки параметров:

А — 0,000 557,/§ = 0,000 04,« = 0,068 7.

Таким образом, оцененная интенсивность смертности имеет вид

рх = 0,000557 + 0,000 4е°'0687л, функция выживания —

хождения оценок параметров k и n можно использовать метод наименьших квадратов [14].

Для построения линии тренда (аппроксимации и сглаживания) воспользуемся возможностями Microsoft Excel (рис. 8).

Таким образом, оцененная интенсивность смертности имеет вид

jûx = SE- 06х

2,122 2

функция выживания —

кривая смертей —

s(x) = ехр кривая смертей —

5Е-0,6 3,1222

,3,1222

Графики подбора модельных значений эмпирическим данным представлены на рис. 6 и 7.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 6) с помощью коэффициента детерминации для интенсивности смертности: I2 = 0,996 ^ качество подгонки хорошее и модель можно использовать для анализа и прогноза.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 7) с помощью коэффициента детерминации для кривой смертей: I2 = 0,995 ^ качество подгонки хорошее и модель можно использовать для анализа и прогноза.

4. Модель Вейбулла. В модели Вейбулла интенсивность смертности задается функцией = кхп. Это степенная функция, которая легко может быть линеаризована с помощью логарифмических преобразований. Для на-

Графики подбора модельных значений эмпирическим данным представлены на рис.9 и 10.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 9) с помощью коэффициента детерминации для интенсивности смертности: I2 = 0,829 ^ качество подгонки хорошее и модель можно использовать для анализа и прогноза.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 10) с помощью коэффициента детерминации для кривой смертей: I2 = 0,67 ^ качество подгонки слабое, модель не стоит использовать для анализа и прогноза.

5. Модель Эрланга. В модели Эрланга интенсивность смертности описывается функцией

которая относится к классу нелинеаризу-емых, поэтому для нахождения оценок

0

1

I-

<р

ш

s

и

1,2 -,

1,0 -

0,8

0,6 -

0,4 -

0,2

20

40

60

I

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 6. График подбора интенсивности смертности модели Мэйкхама

S

M H

о о

H

DI fi) s<

X fi) s г о

X

о

о

о

g

fi) V

о

H

я о

X X

о

»< X

s

я о

V

о s

H

о

H 0 M

о

¡0 0

M

Z

10

(О

сл

I

о да

0

0,005

о г

I-

а

<и 5

о О X т х о X

<и

IX

о О X

I-

а

<и

о

X

<и

IX

1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

1,2 -1,0 -0,8 0,6 0,4 0,2 0

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 7. График подбора кривой смертности модели Мэйкхама

у = 5Е — 06х2';

20

40

60

—I— 80

—I-1

100 120 Возраст, лет

Рис. 8. Аппроксимация данных степенной моделью

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 9. График подбора интенсивности смертности модели Вейбулла

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 10. График подбора кривой смертности модели Вейбулла

параметров воспользуемся методами математического анализа [15].

Для анализа соответствия найдем производную кривой смертей:

X

применим метод интегрирования по частям, получим

ч 1 х Г П -- 1

Г(х) = —е — е 0 = —е

2 "2 „ 2 а о \ а J а

i-i

и приравняем ее к нулю:

По таблице смертности (см. прил.) определим, что максимум смертей достигается в возрасте 72 года, значит,о = 72.

Оцененная модель Эрланга будет иметь вид:

— кривая смертей:

= 72,х > 0;

= - (х + 72)е 72

^ X

+ Je_72dx =

о О

— функция выживания:

— интенсивность смертности:

Для определения средней продолжительности жизни воспользуемся формулой

По таблице смертности максимум ^х) достигается около возраста 72 года. У нас среднее время жизни оказалось вдвое больше максимума и равно 144 годам, что не соответствует реальным данным.

Графики подбора модельных значений эмпирическим данным представлены на рис. 11 и 12.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 11) с помощью коэффициента детерминации для интенсивности смертности: R2 = 0,33 ^ качество подгонки плохое и модель нельзя применять для анализа и прогноза.

Оценим качество построенной модели (см. рис. 12) с помощью коэффициента детерминации для кривой смертей: R2 = 0,37 ^ качество подгонки плохое, модель нельзя использовать для анализа и прогноза.

Таким образом, если провести сравнительный анализ пяти классических моделей,

S

W 69

ф о

4

5

!0

Б

S) s< Я fi) л г о

я о

о

о

а

■о

0

4

л ф

1 I

о

и

0 У

1

5 л ф ■о о

s

ч

ф

ч о

■А

2 ,

Z

ю

(о (л

I

■А

о да

и 0 X н

а

(U

Z

и

1,2

1,0 Н 0,8 0,6 -0,4 -0,2 0

20

40

60

80

100 120 Возраст, лет

Рис. 11. График подбора интенсивности смертности модели Эрланга

X

г 3 а

(U

Z ^

к

с

О

с!

I

20

I

40

I

60

п 80

100 120 Возраст, лет

Рис. 12. График подбора кривой смертности модели Эрланга

можно сделать вывод, что современные статистические данные лучше всего описывают модели Гомпертца и Мэйкхама. Если выбирать из этих двух моделей, то лучше отдать предпочтение модели Мэйкхама, так как параметр А учитывает риски, связанные с несчастными случаями, а второе слагаемое веах — влияние возраста на смерть.

Оцененные модели можно рекомендовать для работы пенсионным фондам, стра-

ховым компаниям и различным структурам, которые в своих расчетах используют таблицы смертности.

В заключение отметим, что определенным преимуществом аналитических законов является то, что для них вероятностные характеристики продолжительности жизни можно легко вычислять по небольшому числу параметров. Это может оказаться полезным и в тех случаях, когда доступные статистические данные немногочисленны.

Приложение. Таблица смертности населения России для календарного года 2017 (мужчины)

Возраст x лет Вероятность смерти ^х) в интервале возрастов от х до х + 1 Число доживших до возраста х лет 1(х) Число умерших d(x) в возрасте x лет Вероятность дожития до возраста х лет S(x) Интенсивность смертности в возрасте х лет Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни т(х) в возрасте х лет

0 0,008 20 100 000 820 1 0,008 27 65,26

1 0,000 72 99 180 71 0,991 80 0,000 72 64,80

Продолжение таблицы

Возраст Вероятность смерти ¡(х) в интервале возрастов от х до х + 1 Число доживших до Число умерших d(x) в возрасте х лет Вероятность дожития до Интенсивность смертности в возрасте х лет Ожидаемая продолжительность

х лет возраста х лет 1(х) возраста х лет Б(х) предстоящей жизни т(х) в возрасте хлет

2 0,000 45 99 108 45 0,991 08 0,000 45 63,84

3 0,000 40 99 064 39 0,990 64 0,000 40 62,87

4 0,000 36 99 024 36 0,990 24 0,000 36 61,90

5 0,000 29 98 988 29 0,989 88 0,000 29 60,92

6 0,000 31 98 960 30 0,989 60 0,000 31 59,94

7 0,000 28 98 929 27 0,989 29 0,000 28 58,95

8 0,000 27 98 902 27 0,989 02 0,000 27 57,97

9 0,000 25 98 875 25 0,988 75 0,000 25 56,99

10 0,000 29 98 851 29 0,988 51 0,000 29 56,00

11 0,000 32 98 822 31 0,988 22 0,000 32 55,02

12 0,000 34 98 790 34 0,987 90 0,000 34 54,03

13 0,000 39 98 757 39 0,987 57 0,000 39 53,05

14 0,000 50 98 718 49 0,987 18 0,000 50 52,07

15 0,000 68 98 669 67 0,986 69 0,000 68 51,10

16 0,000 91 98 602 90 0,986 02 0,000 91 50,13

17 0,001 07 98 512 106 0,985 12 0,001 07 49,18

18 0,001 26 98 406 124 0,984 06 0,001 26 48,23

19 0,001 42 98 282 140 0,982 82 0,001 43 47,29

20 0,001 78 98 142 175 0,981 42 0,001 78 46,36

21 0,002 07 97 967 203 0,979 67 0,002 07 45,44

22 0,002 14 97 765 210 0,977 65 0,002 15 44,53

23 0,002 35 97 555 229 0,975 55 0,002 35 43,63

24 0,002 61 97 326 254 0,973 26 0,002 61 42,73

25 0,002 91 97 072 282 0,970 72 0,002 91 41,84

26 0,003 30 96 790 319 0,967 90 0,003 30 40,96

27 0,003 66 96 471 353 0,964 71 0,003 66 40,09

28 0,003 81 96 118 366 0,961 18 0,003 82 39,24

29 0,004 05 95 752 388 0,957 52 0,004 06 38,39

30 0,004 92 95 364 469 0,953 64 0,004 93 37,54

31 0,005 43 94 894 515 0,948 94 0,005 44 36,72

32 0,005 85 94 379 552 0,943 79 0,005 86 35,92

33 0,006 17 93 828 579 0,938 28 0,006 19 35,13

34 0,006 45 93 249 601 0,932 49 0,006 47 34,35

35 0,007 24 92 648 671 0,926 48 0,007 27 33,57

36 0,007 75 91 977 713 0,919 77 0,007 78 32,81

37 0,007 88 91 264 719 0,912 64 0,007 91 32,06

38 0,008 07 90 545 730 0,905 45 0,008 10 31,31

39 0,007 93 89 815 713 0,898 15 0,007 97 30,56

40 0,008 46 89 102 754 0,891 02 0,008 50 29,80

41 0,008 39 88 348 741 0,883 48 0,008 42 29,05

42 0,008 73 87 607 764 0,876 07 0,008 76 28,29

43 0,008 83 86 843 767 0,868 43 0,008 87 27,54

44 0,008 90 86 076 766 0,860 76 0,008 94 26,78

45 0,009 93 85 310 847 0,853 10 0,009 98 26,01

46 0,010 41 84 463 880 0,844 63 0,010 47 25,27

47 0,011 41 83 583 954 0,835 83 0,011 48 24,53

48 0,011 39 82 629 941 0,826 29 0,011 45 23,81

49 0,012 27 81 689 1 002 0,816 89 0,012 34 23,08

50 0,013 67 80 687 1 103 0,806 87 0,013 77 22,36

Продолжение таблицы

Возраст Вероятность смерти /(х) в интервале возрастов от х до х + 1 Число доживших до Число умерших d(x) в возрасте х лет Вероятность дожития до Интенсивность смертности в возрасте хлет Ожидаемая продолжительность

х лет возраста х лет /(х) возраста х лет Б(х) предстоящей жизни т(х) в возрасте хлет

51 0,014 33 79 583 1 140 0,795 83 0,014 43 21,66

52 0,014 99 78 443 1 176 0,784 43 0,015 10 20,97

53 0,015 65 77 267 1 209 0,772 67 0,015 77 20,28

54 0,017 07 76 058 1 299 0,760 58 0,017 22 19,59

55 0,019 07 74 759 1 425 0,747 59 0,019 25 18,92

56 0,020 36 73 334 1 493 0,733 34 0,020 57 18,28

57 0,021 50 71 841 1 545 0,718 41 0,021 74 17,65

58 0,023 35 70 296 1 642 0,702 96 0,023 63 17,03

59 0,025 27 68 654 1 735 0,686 54 0,025 60 16,42

60 0,028 18 66 919 1 886 0,669 19 0,028 58 15,84

61 0,029 93 65 034 1 946 0,650 34 0,030 38 15,28

62 0,032 56 63 087 2 054 0,630 87 0,033 10 14,74

63 0,032 71 61 033 1 997 0,610 33 0,033 26 14,22

64 0,034 77 59 036 2 053 0,590 36 0,035 39 13,68

65 0,039 46 56 983 2 249 0,569 83 0,040 26 13,16

66 0,036 24 54 735 1 984 0,547 35 0,036 91 12,68

67 0,045 04 52 751 2 376 0,527 51 0,046 08 12,13

68 0,041 06 50 375 2 068 0,503 75 0,041 92 11,68

69 0,043 54 48 307 2 103 0,483 07 0,044 51 11,16

70 0,048 63 46 203 2 247 0,462 03 0,049 84 10,65

71 0,047 43 43 956 2 085 0,439 56 0,048 58 10,16

72 0,062 36 41 872 2 611 0,418 72 0,064 36 9,65

73 0,059 66 39 261 2 342 0,392 61 0,061 50 9,25

74 0,065 13 36 918 2 404 0,369 18 0,067 32 8,81

75 0,074 56 34 514 2 573 0,345 14 0,077 44 8,39

76 0,073 81 31 941 2 357 0,319 41 0,076 64 8,02

77 0,080 99 29 583 2 396 0,295 83 0,084 41 7,62

78 0,087 11 27 187 2 368 0,271 87 0,091 07 7,25

79 0,092 43 24 819 2 294 0,248 19 0,096 91 6,90

80 0,095 03 22 525 2 141 0,225 25 0,099 77 6,55

81 0,104 35 20 384 2 127 0,203 84 0,110 09 6,18

82 0,114 63 18 257 2 093 0,182 57 0,121 60 5,84

83 0,119 38 16 165 1 930 0,161 65 0,126 96 5,54

84 0,129 06 14 235 1 837 0,142 35 0,137 96 5,22

85 0,136 71 12 398 1 695 0,123 98 0,146 73 4,92

86 0,150 42 10 703 1 610 0,107 03 0,162 66 4,62

87 0,160 50 9 093 1 459 0,090 93 0,174 50 4,35

88 0,173 52 7 634 1 325 0,076 34 0,190 00 4,08

89 0,187 47 6 309 1 183 0,063 09 0,206 86 3,83

90 0,207 33 5 126 1 063 0,051 26 0,231 31 3,60

91 0,218 94 4 063 890 0,040 63 0,245 86 3,41

92 0,232 30 3 174 737 0,031 74 0,262 83 3,23

93 0,242 33 2 436 590 0,024 36 0,275 74 3,05

94 0,281 95 1 846 521 0,018 46 0,328 23 2,87

95 0,271 42 1 326 360 0,013 26 0,314 04 2,80

96 0,286 75 966 277 0,009 66 0,334 74 2,66

97 0,302 28 689 208 0,006 89 0,356 10 2,52

98 0,317 95 481 153 0,004 81 0,378 05 2,40

99 0,333 68 328 109 0,003 28 0,400 50 2,29

Окончание таблицы

Возраст x лет Вероятность смерти f(x) в интервале возрастов от x до x + 1 Число доживших до возраста x лет l(x) Число умерших d(x) в возрасте x лет Вероятность дожития до возраста x лет S(x) Интенсивность смертности в возрасте х лет Ожидаемая продолжительность предстоящей жизни т(х) в возрасте хлет

100 0,349 42 218 76 0,002 18 0,423 39 2,18

101 0,365 08 142 52 0,001 42 0,446 60 2,08

102 0,380 60 90 34 0,000 90 0,470 06 1,99

103 0,395 92 56 22 0,000 56 0,493 64 1,91

104 0,410 97 34 14 0,000 34 0,517 25 1,83

105 0,425 69 20 8 0,000 20 0,540 79 1,76

106 0,440 03 11 5 0,000 11 0,564 15 1,70

107 0,453 94 6 3 0,000 06 0,587 22 1,64

108 0,467 39 3 2 0,000 03 0,609 92 1,59

109 0,480 33 2 1 0,000 02 0,632 15 1,55

110+ 1,000 00 1 1 0,000 01 0,653 84 1,53

Ф

п н

01 и 5<

а

л т

п *

о

о

о

а ^

о ч

я ф

X X

о

п

о у

X

ф ^

п s

н

ф

ч

2 о

2 ,

Z

ю

(о №

о

в)

Источник: The Human Mortality Database. male // Демоскоп Weekly. URL: http://www.

Russia. Life tables by year of death (period), 1959-2016, 1x1, female, demoscope.ru/weekly/ssp/rus_lt.php?year=50.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОМ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Суходолов А.П. Анализ подходов в моделировании средств массовой информации / А.П. Суходолов, И.А. Кузнецова, С.В. Тимофеев // Вопросы теории и практики журналистики. — 2017. — Т. 6, № 3. — С. 287305. — DOI: 10.17150/2308-6203.2017.6(3).287-305.

2. Аксенюшкина Е.В. Нахождение оптимальной инвестиционной стратегии финансовой организации [Электронный ресурс] / Е.В. Аксенюшкина // Baikal Research Journal. — 2017. — Т. 8, № 4. — Режим доступа: http://brj-bguep.ru/reader/article.aspx?id= 21904.— DOI: 10.17150/2411-6262.2017.8(4).16.

3. Аксенюшкина Е.В. Решение задачи оптимизации расхода сбережений на основе принципа максимума / Е.В. Аксенюшкина // Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика. — 2018. — № 1. — С. 3-18. — D0I:10.18101/2304-5728-2018-1-3-18.

4. Мамонова Н.В. Исследование рынка недвижимости в городе Шелехове [Электронный ресурс] / Н.В. Мамонова // Baikal Research Journal. — 2017. — Т. 8, № 1.— Режим доступа: http://brj-bguep.ru/reader/article. aspx?id=21388.— DOI: 10.17150/2411-6262.2017.8(1).14.

5. Моделирование стоимости квартир на региональном рынке жилой недвижимости (на примере Иркутской области) / Л.В. Санина [и др.] // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. — 2017. — Т. 7, № 3. — С. 27-41. — DOI: 10.21285/2227-2917-2017-3-27-41.

6. Ахвледиани Ю.Т. Страхование : учебник / Ю.Т. Ахвледиани. — М. : Юнити-Дана, 2012. — 567с.

7. Леонова О.В. Исследование законов смертности населения [Электронный ресурс] / О.В. Леонова, Ю.Г. Яковлева // Экономика. Право. Менеджмент : сб. тр. — Иркутск, 2016. — Вып.1 (5). — Режим доступа: http://izdatelstvo.bgu.ru/epm/archive.aspx?id=39.

8. Леонова О.В. Аналитическая аппроксимация в личном страховании / О.В. Леонова // Проблемы и перспективы современной науки : материалы 14-й Междунар. науч.-практ. конф. : сб. ст. — М., 2017. — С. 148-153.

9. Актуарные расчеты в страховании жизни и пенсионном страховании / Н.В. Звездина [и др.]. — М.: Евразийский открытый ин-т, 2012. — 485 с.

10. Кошкин Г.М. Основы страховой (актуарной) математики : учеб. пособие / Г.М. Кошкин. — Томск : Том. гос. ун-т, 2012. — 116 с.

11. Доугерти К. Введение в эконометрику / К. Доугерти. — М. : Инфра-М, 1999. — 402 с.

12. Колемаев В.А. Эконометрика : учебник / В.А. Колемаев. — М. : Инфра-М, 2009. — 160 с.

13. Балдин К.В. Основы теории вероятностей и математической статистики : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рокосуев. — М. : Флинта, 2010. — 245 с.

14. Кремер Н.Ш. Эконометрика : учебник / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. — М. : Юнити-Дана, 2006. — 310 с.

15. Шипачев В.С. Математический анализ. Теория и практика / В.С. Шипачев. — М. : Высш. шк., 2009. — 350 с.

REFERENCES

1. Sukhodolov A.P., Kuznetsova I.A., Timofeev S.V. The Analysis of Approaches in Modelling of Mass Media. Voprosy teorii i praktiki zhurnalistiki = Theoretical and Practical Issues of Journalism, 2017, vol. 6, no. 3, pp. 287305. DOI: 10.17150/2308-6203.2017.6(3).287-305. (In Russian).

2. Aksenushkina Ye.V. Finding an Optimal Investment Strategy of Financial Institution. Baikal Research Journal, 2017, vol. 8, no. 4. Available at: http://brj-bguep.ru/reader/article.aspx?id=21904.DOI: 10.17150/2411-6262.2017.8(4).16. (In Russian).

3. Aksenyushkina E.V. Solution of the Problem of Optimal Consumption and Saving Based on the Maximum Principle. Vestnik Buryatskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, informatika = Bulletin of the Buryat State University. Mathematics, Informatics, 2018, no. 1, pp. 3-18. DOI: 10.18101/2304-5728-2018-1-3-18. (In Russian).

4. Mamonova N.V. Investigation of Real Estate Market in the Shelekhov Town. Baikal Research Journal, 2017, vol. 8, no. 1. Available at: http://brj-bguep.ru/reader/article.aspx?id=21388. DOI: 10.17150/2411-6262.2017.8(1).14.(In Russian).

5. Sanina L.V., Sherstyankina N.P., Bergen D.N., Dashkevich P.M. Modeling of the Price for Flats at the Regional Market of Real Estate (at the Example of Irkutsk Region). Izvestiya vuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Nedvizhi-most' = Proceedings of Universities. Investment. Construction. Real estate, 2017, vol. 7, no. 3, pp. 27-41. DOI: 10.21285/2227-2917-2017-3-27-41. (In Russian).

6. Akhvlediani Yu.T. Strakhovanie [Insurance]. Moscow, Yuniti-Dana Publ., 2012. 567 p.

7. Leonova O.V., Yakovleva Yu.G. Studies on Population Mortality Laws. Ekonomika. Pravo. Menedzhment [Economic. Law. Management]. Irkutsk, 2016, iss. 1 (5). Available at: http://izdatelstvo.bgu.ru/epm/archive. as-px?id=39. (In Russian).

8. Leonova O.V. Analytical approximation in personal insurance. Problemy i perspektivy sovremennoi nauki. Materialy 14-i Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii [Problems and Prospects of Modern Science. Materials of the 14th International Scientific and Practical Conference]. Moscow, 2017, pp. 148-153. (In Russian).

9. Zvezdina N.V., Ivanova A.V., Skorik M.A., Egorova T.A. Aktuarnye raschety v strakhovanii zhizni i pension-nom strakhovanii [Actuarial Calculation of Life Insurance and Pension Insurance]. Moscow, Eurasian Open Institute Publ., 2012. 485 p.

10. Koshkin G.M. Osnovy strakhovoi (aktuarnoi) matematiki [Fundamentals of Actuarial Mathematics]. Tomsk State University Publ., 2012. 116 p.

11. Dougerti K. Vvedenie v ekonometriku [Introduction to Econometrics]. Moscow, Infra-M Publ., 1999. 402 p.

12. Kolemaev V.A. Ekonometrika [Econometrics]. Moscow, Infra-M Publ., 2009. 160 p.

13. Baldin K.V., Bashlykov V.N., Rokosuev A.V. Osnovy teorii veroyatnostei i matematicheskoi statistiki [Fundamentals of Probability Theory and Mathematical Statistics]. Moscow, Flinta Publ., 2010. 245 p.

14. Kremer N. Sh., Putko B.A. Ekonometrika [Econometrics]. Moscow, Yuniti-Dana Publ., 2006. 310 p.

15. Shipachev V.S. Matematicheskii analiz. Teoriya i praktika [Mathematical Analysis. Theory and Practice]. Moscow, 2009. 350 p.

Информация об авторе

Леонова Ольга Васильевна — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и статистики, Байкальский государственный университет, 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, e-mail: olga.olgaleonova@yandex.ru.

Для цитирования

Леонова О.В. Моделирование смертности населения с помощью аналитических законов на примере России / О.В. Леонова // Известия Байкальского государственного университета. — 2019. — Т. 29, № 1. — С. 95-106. — DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(1).95-106.

Author

Olga V. Leonova — Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Mathematics and Statistics, Baikal State University, 11 Lenin St., 664003, Irkutsk, the Russian Federation, e-mail: olga. olgaleonova@yandex.ru.

For Citation

Leonova O.V. Population Death Rate Modeling by Means of Analytical Laws Illustrated by the Example of Russia. Izvestiya Baikal'skogo gosudarstvennogo uni-versiteta = Bulletin of Baikal State University, 2019, vol. 29, no. 1, pp. 95-106. DOI: 10.17150/2500-2759.2019.29(1).95-106. (In Russian).