CC BY
94
УДК 314.4, 614.1
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СМЕРТНОСТИ НАСЕЛЕНИЯ
М.С.Токмачев
MODELING OF INDICATORS OF POPULATION MORTALITY
M. S. Tokmachev
Институт электронных и информационных систем НовГУ, mtokm@yandex.ru
Для населения региона рассмотрена модель Гомпертца интенсивности смертности. Для расчетов использованы персонифицированные базы демографических данных и алгоритм моделирования условного поколения. Вычислены и исследованы параметры модели Гомпертца для мужского и женского населения. Найдены регрессионные соотношения для числовых характеристик продолжительности жизни. Смоделированы сценарии при изменении параметров. Произведены расчеты и сравнение параметров по различным регионам.
Ключевые слова: общественное здоровье, интенсивность смертности, формула Гомпертца, средняя продолжительность предстоящей жизни
This paper considers the mortality intensity for the region population using the Gompertz model. For these calculations we used personalized demographic data and an algorithm for simulation of conditional generation. Some parameters of the Gompertz models for male and female populations are calculated and investigated. We also found the regression equations for numerical characteristics of the lifetime and simulated some scenarios for changing the parameters. Finally, we performed the calculations and comparison of the parameters for different regions.
Keywords: public health, mortality intensity, Gompertz equation, average life expectancy
Введение
Общественное здоровье определяет жизнестойкость популяции и ее способность к адаптации в среде обитания. Оно характеризуется комплексом числовых показателей, которые трактуются как случайные величины, а на временном интервале — и как случайные процессы. В рассматриваемой интерпретации общественное здоровье — это совокупность случайных процессов, представляющих в численном виде балансовое соотношение между поломом и защитой, между организмами и окружающей средой [1-4].
Продолжительность жизни населения является важнейшей характеристикой общественного здоровья. Далее в расчетах будем использовать показатель средней продолжительности предстоящей жизни (СППЖ), который для настоящих и будущих поколений представляет не что иное, как медиану распределения случайной величины «возраст умерших в рассматриваемом поколении», т.е. «продолжительность предстоящей жизни населения в поколении». Также рассмотрим и другие численные характеристики случайных величин.
В представленной работе задействованы статистические данные смертности всего застрахованного населения Новгородской области из персонифицированной базы данных, созданной в Новгородском научном центре Северо-Западного отделения РАМН [5,6].
Рассматривается «условное поколение», определяемое как упорядоченное объединение пятилетних
временных (возрастных) интервалов, в каждом из которых указано значение смертности в соответствующей категории населения, т.е. предполагается, что для каждого возрастного интервала в будущем сохранятся имеющиеся тенденции. Для расчетов использованы авторские разработки [1-3,7-10] формирования условного поколения, моделирования и прогнозирования процесса общественного здоровья.
Модели Гомпертца
Рассмотрим общую смертность мужского и женского населений в пересчете на условное поколение родившихся в 2001-2002 гг. Переменная времени t — возраст индивидуумов в поколении. Смертность с учетом половозрастной структуры зафиксирована на 10 тыс. соответствующего населения в начальный момент времени и до полного вымирания в интервале «85 и более» лет. Интенсивность смертности М(Г), т.е. относительную скорость вымирания когорты, в данном условном поколении определяем по известной формуле Гомпертца (см., например, [11])
М (0 = М0еа', (1)
где М0 и а — параметры модели: М0 — начальная интенсивность смертности, а — относительная скорость нарастания интенсивности смертности.
Значения параметров находим по реальным данным, исходя из уравнения парной линейной регрессии
1п М (0 = 1пМ0 + аt.
Полученные соотношения и для мужского, и для женского населения достаточно точно и адекватно отражают объективные связи статистических данных:
для мужского населения — Ы(1) = 0,0009697 е0,0671670211; 1 >5; К2 = 0,98591;
Знач. F = 2,3Е -14; (2)
для женского населения — Ы(1) = 0,0004399е0,065221718 г; г >5; К2 = 0,97640;
Знач. F =1,28Е -13. (3)
Как видим, начальные интенсивности Ы0, характеризующие начальную «стартовую» интенсивность смертности (в нашем исследовании при 1 = 5), различаются лишь на четвертом знаке после запятой. При этом, несмотря на малые значения, параметры различаются более чем вдвое: Ы0(муж)/ Ы0(жен) = 2,22428. Абсолютные различия значений параметра а, характеризующего скорость старения, в моделях более существенны — на третьем знаке после запятой. Однако относительные различия менее заметны: а(муж)/а(жен) = 1,02983(разница на 2,98%). Оба параметра выше у мужского населения. Значения интенсивностей смертности мужского и женского населений (см. рис.) существенно различаются уже в средних возрастах.
Отметим, что с возрастом разность интенсив-ностей ДМ (1) = Ы (1)(муж) - Ы (1)(жен) возрастает: АЫ (5) = 0,00075; ДМ (43) = 0,01015; ДМ (77) = 0,10416; ДМ (100) = 0,50189. Это связано с соотношением параметров Ы0 и а для соответствующего населения.
Если стартовые характеристики Ы0 взять одинаковыми при реальных значениях а, то разность интенсивностей смертности АЫ(1) окажется
куда менее существенной: например, при Ы 0( муж) = Ы 0(жен) = 0,000439920 получим
ДЫ (77) = 0,02377; АЫ (100) = 0,14161. Следовательно, кажущееся незначительным (четвертый знак после запятой) уменьшение параметра Ы0 при неизменном значении а способно весьма существенно снизить значение функции Ы (1). Разумеется,
для отдаления возрасти смерти в поколении желательно уменьшение значений обоих параметров модели.
Однако в реальности параметры Ы0 и а не являются независимыми: между ними существует тесная корреляционная зависимость, представляемая уравнением регрессии
1ПЫ0 = 1ПЫ - Та, (4)
где Ы и Т — положительные коэффициенты уравнения. Соотношение (4) называют корреляцией Стрелера-Милдвана [12]. Так как коэффициент перед а в модели (4) имеет знак «минус», то при
уменьшении Ы0 значение а должно возрастать, т. е. благоприятные условия внешней среды на начальном этапе, формирующие малые значения Ы0, вовсе не гарантируют автоматическое уменьшение интенсивности смертности, а наоборот, влекут рост параметра а, а именно рост скорости старения, приводящий к более ранней смерти. Суть данного факта, вытекающего из наличия корреляции Стрелера— Милдвана, на первый взгляд нелогичного, в том, что благоприятные условия внешней среды в целом играют положительную роль только на начальном этапе (при формировании стартового значения параметра Ы0 в модели Гомпертца), а в дальнейшем в
более старших возрастах их существенным следствием является развивающаяся «изнеженность» организмов тепличными условиями, приводящая к гипо-
— Мужское население
—Женское население
-- — -- 1 i l -1—
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Возраст
Графики интенсивности смертности в мужском и женском поколениях
динамии, неправильному питанию, нездоровому образу жизни и т. д. А следовательно, в существенной части населения получаем более высокую изнашиваемость практически всех систем организма, увеличивающих риск смерти и способствующих уменьшению возраста смерти. Таким образом, возникающая согласно корреляции Стрелера— Милдвана обратная зависимость параметров М0 и а имеет естественное объяснение.
Вывод очевиден. Уменьшение обоих параметров М0 и а модели Гомпертца обеспечивают не только благоприятные условия внешней среды, но и обязательные, естественные (комфортные, но без излишеств и вредных привычек), определенные природой условия образа жизни, способствующие здоровому функционированию всех систем организма при наличии качественного неотложного и профилактического медицинского обслуживания населения. Особенно значимым это является в старших возрастах.
Соотношение между М0 и а в модели поколения, фиксируемое в виде корреляции Стрелера— Милдвана, определяется совокупностью как экзогенных, так и эндогенных факторов в жизни населения.
О роли параметров в изменении функции Гом-пертца математически можно судить, исходя из результатов дифференцирования функции М(¿) = М0еа по параметрам. В частности, скорость изменения интенсивности смертности при изменяющемся а для
каждого возраста t пропорциональна teat, а при изменяющемся М0 - пропорциональна лишь еа', т.е. для изменения функции М(¿) изменение а более существенно.
Моделирование числовых характеристик смертности в поколении
На основе полученных моделей (2), (3) рассматриваемого условного поколения можно рассчитать вероятностные числовые характеристики: СППЖ (средняя продолжительность предстоящей жизни), ¿025, ?075 (нижняя и верхняя квартили продолжительности предстоящей жизни), тахППЖ (максимальная продолжительность предстоящей жизни).
Введем обозначение N = N^) — общая численность населения в поколении на момент t. Тогда согласно соотношению связи численности с функцией М ) имеем [11]
dN dN , ^ а, ,
Ш? = ~М(t), т.е. dN = ~М0е Л.
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем
1П N = - М- еа + с.
Следовательно,
- М0
N(t) = С1е а
^е -■ , где С = ес. (5)
В начальный момент времени полагаем t = ¿0.
С: = N(to)ea . (6)
Из (5) при С вида (6) можно выразить t: 1
Тогда
t=-Ш1- М 1п Ш)
а \ М0 )
(7)
Таким образом, фиксируя численность населения N = N(t), согласно (7) можно проследить изменение t по N, а именно: при изменении N(¿) от 10 тыс. чел. до 0 чел. получаем соответствующие квантили. В частности, при N(¿) = 7500 находим
нижнюю квартиль ¿0 25 , при N(¿) = 2500 — верхнюю квартиль ¿0 75 , а при N(¿) = 5000 — медиану ¿0 5, которая и является СППЖ. Теоретически тахППЖ должна получаться при N(¿) = 0 . Однако рассматривать модель имеет смысл лишь при N >> 1, так как для граничных значений точность модели резко ухудшается. Понятие «тахППЖ» можно ввести условно, чисто математически при N < 1, например, для определенности при N = 0,9 или при N = 0,5 . Но относиться к полученным значениям следует именно как к чисто теоретическим (виртуальным) характеристикам рассматриваемого поколения, используемым для сравнения.
Рассчитанные значения для данного поколения родившихся в 2000 г. представлены в табл. 1.
Таблица 1
Числовые характеристики условного поколения (лет)
¿0,25 СППЖ ¿0,75 тахППЖ
Муж. Жен. Муж. Жен. Муж. Жен. Муж. Жен.
44,56 57,24 57,64 70,90 67,96 81,59 97,23 111,79
Отметим, что тахППЖ вычислена как момент времени (возраст), при котором в условном поколении 10 тыс. населения останется «менее одного человека» (в табл.1 формально математически представлено значение, соответствующее 1 чел. на 20 тыс. населения в поколении, т.е. при N = 0,5).
С целью ориентиров для управления можно моделировать процесс жизни поколения, варьируя параметры М0 и а, например, на определенное количество процентов от имеющихся зафиксированных значений. Некоторые результаты приведены в табл.2,3.
Таблица 2
Значения числовых характеристик (лет) при варьировании параметрами в модели Гомпертца
для мужского населения
¿0,25 Изменение ¿0,25 СППЖ Изменение СППЖ ¿0,75 Изменение ¿0,75 тахППЖ Изменение тахППЖ
Уменьшение а на 1%, М0 фиксировано
44,87 0,31 58,08 0,44 68,50 0,54 98,06 0,83
Уменьшение а на 5%, М0 фиксировано
46,14 1,58 59,89 2,25 70,74 2,78 101,55 4,32
а фиксировано, уменьшение М0 на 5%,
45,27 0,71 58,39 0,75 68,71 0,75 98,00 0,77
Уменьшение а на 5%, уменьшение М0 на 5%
46,89 2,33 60,67 3,03 71,54 3,58 102,35 5,12
Увеличение а на 1%, М0 фиксировано
44,26 -0,30 57,22 -0,42 67,43 -0,53 96,42 -0,81
Увеличение а на 5%, М0 фиксировано
43,10 -1,46 55,58 -2,06 65,41 -2,55 93,29 -3,94
Увеличение а на 5%, увеличение М0 на 5%
42,46 -2,10 54,91 -2,73 64,73 -3,23 92,60 -4,63
Уменьшение а на 15%, уменьшение М0 на 45%
59,57 15,01 75,24 17,60 87,48 19,52 122,00 24,77
Значения числовых характеристик (лет) при варьировании параметрами для женского населения Таблица 3 в модели Гомпертца
¿0,25 Изменение ¿0,25 СППЖ Изменение СППЖ ¿0,75 Изменение ¿0,75 тахППЖ Изменение тахППЖ
Уменьшение а на 1%, М0 фиксировано
57,67 0,43 71,46 0,56 82,26 0,67 112,77 0,98
Уменьшение а на 5%, М0 фиксировано
59,45 2,21 73,81 2,91 85,06 3,47 116,85 5,06
а фиксировано, уменьшение М0 на 5%,
58,00 0,76 71,68 0,78 82,37 0,78 112,58 0,79
Уменьшение а на 5%, уменьшение М0 на 5%
60,25 3,01 74,63 3,73 85,88 4,29 117,68 5,89
Увеличение а на 1%, М0 фиксировано
56,82 -0,42 70,35 -0,55 80,93 -0,66 110,84 -0,95
Увеличение а на 5%, М0 фиксировано
55,21 -2,03 68,23 -2,67 78,42 -3,17 107,18 -4,61
Увеличение а на 5%, увеличение М0 на 5%
54,53 -2,71 67,53 -3,37 77,71 -3,88 106,47 -5,32
Уменьшение а на 15%, уменьшение М0 на 45%
74,97 17,73 91,17 20,27 103,80 22,21 139,37 27,58
Как видим, изменение параметра а более существенно, чем изменение М0, отражается не только на значениях М(¿), но и на числовых характеристиках продолжительности предстоящей жизни. Однако для достижения значений показателей, например, СППЖ, сравнимых с соответствующими значениями в благополучных регионах, необходимо комплексное решение задачи уменьшения обоих параметров.
Приведем некоторые регрессионные соотношения для вычисления СППЖ мужского населения в зависимости от М0 и а . При этом М0факт = 0,000969705, афакт = 0,067167021.
СППЖ = -35,674964945 - 12,4457686281пМ0 + + 0,144785710(1п М 0)2,
R 2 = 0,9999995; Знач. F = 7,17Е - 73; при М0 е (0,25М0факт; 1,5М0факт), а = афакт .
СППЖ
139,762036843 -1800,629768076а +
2
+8604,200842346а R2 = 0,999989; Знач.^ = 1,33Е-57; при М0 = М0факт , а е (0,85а факт;1,10афакт).
СППЖ = 61,876608098 -1753,979552398 а --23,9931830581пМ0 -7320,239674452а/1пМ0 , R 2 = 0,99762; Знач. F = 0; при
М0 е (0,25М0факт;1,5М0факт), а е (0,85афакт;1,10афакт).
Также приведем аналогичные регрессионные соотношения для вычисления СППЖ женского населения в зависимости от М0 и а . При этом
М0факт = 0,000439920, афакт = 0,065221718. СППЖ = -45,804373399-15,102256876 1пМ0, R2 =0,999993; Знач^ = 6,58Е - 76; при а = афакт, М0 е(0,5М0факт;2М0факт).
СППЖ = 176,262346312 - 2367,035674425 а + +11523,69328257а2,
R2 = 0,999976; Знач^ = 2,18Е-65; при М0 = М0факт, а е (0,85афакт; 1,15афакт).
СППЖ = -82,290377100 - 2242,509788587 а -
-27,1032547251п М0 -10680,936613348а/1пМ0,
R2 = 0,997135 ЗнaчF=0; при М0е(0,5М0факт;2М0факт),
ае (0,85афакт;1,15афакт).
Аналогично можно найти соотношения и для других числовых характеристик, например, для женского населения: х0,75 = 168,865711067-1124,727248009 -
-29092,945507533М0, при R2 = 0,97551; Знач^ = 0;
при М0 е(0,5М0факт;2М0факт), ае (0,85афакт;1,15афакт); тахППЖ = 228,395635132 -1789,628361818 а --17922,1609693808 М0 + 0,057207812 а/1пМ0, при
R2 = 0,99033; Знач F=0; при М0 е (0,5М0факт; 2М0факт),
ае (0,85афакт;1,15афакт).
Следуя полученным выше соотношениям связи параметров в формуле Гомпертца и СППЖ, по фактическим данным Росстата 2013 г. [13] вычислим значения параметров М0 и а для населения Новгородской области и некоторых других регионов.
Комментируя данные табл.4, отметим, что по показателю СППЖ в рейтинге российских регионов в 2013 г. Новгородская область занимала 73-е место, Республика Ингушетия — 1-е, и Республика Тыва — 83-е (последнее) место. Среди государств Российская Федерация оказалась на 108-м месте из 188. Лидеры по показателю СППЖ — Сингапур, Гонконг, Сан-Марино, Андорра, Япония и др. [13].
Приведенные в табл.4 значения М0 и а указывают ориентиры параметров модели Гомпертца на ближайшую перспективу, а также границы изменения этих параметров в настоящее время.
На формирование параметров М0 и а в модели Гомпертца оказывают влияние многие факторы. В частности, исключив из реальных данных условного поколения [3,5,6] фактор болезней (согласно МКБ-10) класса «травмы, отравления и некоторые другие последствия воздействия внешних причин», способствующий более ранней смерти индивидуумов, для женского населения Новгородской области получаем модель
М(1) = 0,0004374 е0,0641510001 ; г >5; R2 = 0,9769;
Знач^ =1,09Е -13.
Таким образом, указанный фактор, согласно полученной усеченной модели и полной модели (3), вносит вклад в интенсивность смертности, оцениваемый по параметрам, как ДМ0 = 0,0000025; Да = 0,001070718. Аналогично можно оценить «вклад» в параметрах М0 и а заболеваемости и по другим классам болезней.
Таблица 4
Значения СППЖ, М0 и а для населения некоторых регионов
Регион Население СППЖ (лет) М 0 а
Новгородская обл. Муж. 60,89 0,000775411 0,062421238
Новгородская обл. Жен. 74,75 0,000341371 0,061002948
Республика Ингушетия Муж. 75,97 0,000277368 0,045182695
Республика Ингушетия Жен. 81,32 0,00022095 0,054650694
г. Москва Муж. 72,31 0,000355296 0,048874662
г. Москва Жен. 80,17 0,000238432 0,055700556
Республика Тыва Муж. 56,37 0,001059621 0,069185043
Республика Тыва Жен. 67,51 0,000551349 0,069376981
С-ЗФО Муж. 65,65 0,000559268 0,056311098
С-ЗФО Жен. 76,57 0,000302614 0,05915039
Российская Федерация Муж. 65,13 0,000579533 0,056940493
Российская Федерация Жен. 76,30 0,000308073 0,05942021
Сингапур, Гонконг, Сан-Марино Муж. 82,00 0,000184933 0,039555216
Андорра Жен. 87,6 0,000145781 0,049280268
Япония Жен. 87,3 0,000148706 0,04952448
Заключение
Рассматриваемая в работе модель Гомпертца, применительно к реальным данным демонстрирует высокую точность соответствия. Эта модель замечательна тем, что является весьма простой по структуре и содержит всего два управляющих параметра. Как добиться снижения реальных значений параметров М0 и а в модели Гомпертца по регионам РФ — задача соответствующих органов управления и здравоохранения. Отметим, что при приложении к процессу общественного здоровья целенаправленных организованных усилий, предпринимаемых обществом, контролируемые показатели могут изменяться, а следовательно, принципиально допускается возможность управления этим процессом. Соотношения, представленные в данной работе, позволяют по изменению параметров М0 и а отслеживать численные значения показателей продолжительности жизни, а также находить составляющие для каждого класса болезней в структуре этих управляющих параметров.
Работа выполнена при финансовой поддержке проектной части государственного задания в сфере научной активности Министерства образования и науки Российской Федерации, проект № 1.949.2014/К
1. Токмачев М.С. Здоровье населения региона: модели и управление // Проблемы управления. 2010. №6. С.45-52.
2. Токмачев М.С. Разработка ряда показателей общественного здоровья на основе цепей Маркова // Приложение к «Вестнику НовГУ». Сер.: Техн. науки. 2004. №28. Препринт. С.3-7.
3. Токмачев М.С. Математическая модель процесса здоровья населения региона // Четвертая Междунар. конф. по проблемам управления: Сб. тр. М: Ин-т проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2009. С.893-906.
4. Токмачев М.С. Исследование вероятностными методами общественного здоровья как процесса // Тр. XII Всеросс. совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014, 16-19 июня 2014). М.: ИПУ РАН, 2014. С.6646-6656.
5. Токмачев М.С., Рязанцев П.П. Формирование персонифицированной базы данных и программная реализация исследования здоровья населения региона // Информационные технологии. 2010. №3. С.64-68.
6. Рязанцев П.П., Токмачев М.С. Разработка программного комплекса для расчета новых показателей здоровья населения // Сб. мат. Всеросс. науч.-практ. конф. и тр. Новгородского научного центра СЗО РАМН. М.: Медицина, 2007. Т.6. С.214-219.
7. Токмачев М.С. Изучение общественного здоровья с помощью математических моделей // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2005. №30. С.76-83.
8. Токмачев М.С. Разработка математико-статистических методов оценки здоровья населения // Сб. мат. Всеросс. науч.-практ. конф. и тр. Новгородского научного центра СЗО РАМН. М.: Медицина, 2007. Т.6. С.219-229.
9. Токмачев М.С. Статистический прогноз здоровья населения региона на основе математического и компьютерного моделирования // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2010. №60. С.56-61.
10. Кирьянов Б.Ф., Токмачев М.С. Математические модели в здравоохранении: монография. В.Новгород: НовГУ, 2009. 279 с.
11. Геронтология т si1ico: становление новой дисциплины: Математические модели, анализ данных и вычислительные эксперименты: Сб. науч. тр. / Под ред. Г.И.Марчука, В.Н.Анисимова, А.А.Романюхи, А.И.Яшина. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. 535 с.
12. Strehler B.L., Mildvan A.S. General theory of mortality and aging // Science. 1960. V.132. P.14-21.
13. ЦБСД Росстата. URL: www.statdata.ru (Дата обращения -25.02.2016).
References
1. Tokmachev M.S. Zdorov'e naseleniia regiona: modeli i upravle-nie [The regional population health: models and control]. Prob-lemy Upravleniya - Control Sciences, 2010, no. 6, pp. 45-52.
2. Tokmachev M.S. Razrabotka riada pokazatelei obshchestven-nogo zdorov'ia na osnove tsepei Markova [The development of a number of indicators of public health on the basis of Markov chains]. Prilozhenie k Vestniku NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki. Preprint - Supplement to Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences. Preprint, 2004, №28, p.3-7.
3. Tokmachev M.S. Matematicheskaia model' protsessa zdorov'ia naseleniia regiona [The mathematical model of the process of health in the region]. Sbornik trudov 4 Mezhdunarodnoi kon-ferentsii po problemam upravleniia [Proc. of the 4th Int. Conf. on Control Sciences]. Moscow, 2009, pp. 893-906.
4. Tokmachev M.S. Issledovanie veroiatnostnymi metodami obshchestvennogo zdorov'ia kak protsessa [The study of public health as a process using probabilistic methods]. Trudy XII Vserossiiskogo soveshchaniia po problemam upravleniia (VSPU-2014) [Proc. of the 12th All-Russian Symp. on Control Sciences]. Moscow, 2014, pp. 6646-6656.
5. Tokmachev M.S., Riazantsev P.P. Formirovanie personifitsi-rovannoi bazy dannykh i programmnaia realizatsiia issledo-vaniia zdorov'ia naseleniia regiona [Creation of the personified database and program implementation of research of the local population health]. Informatsionnye tekhnologii - Information Technology, 2010, no. 3, pp. 64-68.
6. Riazantsev P.P., Tokmachev M.S. Razrabotka pro-grammnogo kompleksa dlia rascheta novykh pokazatelei zdorov'ia naseleniia [The development of a software complex for calculation of new indicators of population health]. Sb. materialov Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii i trudov Novgorodskogo nauchnogo tsentra Severo-Zapadnogo otdeleniia RAMN [Collected works of the Novgorod Scientific Center of the North-Western Branch of the Russian Academy of Medical Sciences]. Vol. 6. Moscow, 'Meditsina" Publ., 2007, pp. 214-219.
7. Tokmachev M.S. Izuchenie obshchestvennogo zdorov'ia s pomoshch'iu matematicheskikh modelei [The study of public health with the help of mathematical models]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2005, no. 30, pp. 76-83.
8. Tokmachev M.S. Razrabotka matematiko-statisticheskikh metodov otsenki zdorov'ia naseleniia [The development of mathematical and statistical methods to assess the health of the population]. Sb. materialov Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii i trudov Novgorodskogo nauch-nogo tsentra Severo-Zapadnogo otdeleniia RAMN [Collected works of the Novgorod Scientific Center of the NorthWestern Branch of the Russian Academy of Medical Sciences]. Vol. 6. Moscow, 'Meditsina" Publ., 2007, p.219-229.
9. Tokmachev M.S. Statisticheskii prognoz zdorov'ia naseleniia regiona na osnove matematicheskogo i komp'iuternogo mod-elirovaniia [Statistical forecast of the region population health on the basis of mathematical and computer modeling]. Vest-nik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2010, no. 60, pp. 56-61.
10. Kir'ianov B.F., Tokmachev M.S. Matematicheskie modeli v zdravookhranenii [Mathematical models in health care]. Ve-liky Novgorod, NovSU Publ., 2009. 279 p.
11. Marchuk G.I., Anisimov V.N., Romaniukha A.A., Iashin A.I., eds. Gerontologiia in silico: stanovlenie novoi distsipliny: Matematicheskie modeli, analiz dannykh i vychislitel'nye eksperimenty: sbornik nauch. tr. [Gerontology in silico: establishment of a new discipline. Mathematical models, data analysis, and computational experiments. Collected works]. Moscow, "BINOM. Laboratoriia znanii" Publ., 2007. 535 p.
12. Strehler B.L., Mildvan A.S. General theory of mortality and aging. Science, 1960, vol. 132, pp. 14-21.
13. TsBSD Rosstata [The Central Statistical Database of the Federal State Statistics Service (Rosstat)]. Available at: www.statdata.ru (accessed 25.02.2016).
