CC BY
5
О РАСЧЕТЕ ОДНОЙ КОМБИНИРОВАННОЙ ТАРИФНОЙ НЕТТО-СТАВКИ В
СТРАХОВАНИИ ЖИЗНИ Казей И.С.
Казей Игорь Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва
Аннотация: в статье анализируется построение тарифной нетто-ставки в страховании жизни при комбинации нескольких условий, накладываемых на ее выплату. Выплаты в страховании жизни производятся в зависимости от наступления определенных событий в жизни застрахованного лица. Такого рода события (болезнь, смерть, дожитие до определенного возраста) называют демографическими. Для построения тарифной ставки использованы обозначения и методы актуарной математики. В результате, найдена формула для расчета тарифной ставки для одного конкретного случая, возникшего в деятельности страховой компании. Ключевые слова: нетто-ставка, тариф, рента, страховая премия.
ABOUT CALCULATION OF ONE COMBINED TARIFF NET-RATE IN LIFE
INSURANCE Kazei I.S.
Kazei Igor Sergeevich - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor,
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS, MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY NAMED AFTER N.E. BAUMAN, MOSCOW
Abstract: the article analyzes the construction of a tariff net rate in life insurance with a combination of several conditions imposed on its payment. Payments in life insurance are made depending on the occurrence of certain events in the life of the insured person. Such events (illness, death, survival to a certain age) are called demographic. The designations and methods of actuarial mathematics are used to construct the tariff rate. As a result, a formula was found for calculating the tariff rate for one specific case that arose in the activities of an insurance company.
Keywords: net rate, tariff, rent, insurance premium.
УДК 51-75
1. Предпосылки и постановка задачи.
Актуарный анализ страховой деятельности компании связан, в частности, с решением задач расчета страховых тарифов. Рассмотрим пример расчета тарифной нетто-ставки, возникшей в практической деятельности одной страховой компании. Для вычислений тарифа будем использовать обозначения и методы, описанные в [1] и [2]. Сформулируем задачу: необходимо произвести расчет нетто-тарифа по договору страхования жизни на следующих условиях:
1) премия вносится единовременно;
2) в случае смерти застрахованного до возраста 60 лет или после 70 лет выгодоприобретателю выплачивается страховая сумма в размере 1;
3) в возрасте 60 - 70 лет выплата ренты ежемесячно (постнумерандо), размер 1/12;
4) в случае смерти застрахованного в возрасте 60 - 70 лет выгодоприобретателю выплачивается половина невыплаченных рент.
2. Решение задачи о вычислении тарифной нетто-ставки.
Составим балансовое уравнение для тарифной нетто-ставки. Пусть имеется группа из l
страхователей. Суммарная стоимость премий, вносимых страхователями l x Ax , где Ax - искомая
тарифная нетто-ставка. Наиболее просто обстоит дело с будущими выплатами выгодоприобретателям в случае смерти застрахованного до 60 лет и после 70 лет.
Спустя год d заключивших контракт умрут и по их полисам будет выплачена сумма d = d • 1, еще через год умрут d +j человек, а выплаты компании составят d = d +i • 1 и т.д. Таким образом, ежегодные выплаты компании (при x < 60 и x > 70): dx, d +j,..., d^ и dyg , dyj,..., dC ,где C - предельный возраст в таблице смертности.
Современная стоимость всех выплат после смерти застрахованных в рассматриваемых временных
тервалах (X < 60 процентная ставка):
интервалах (X < 60 и X > 70) при известном коэффициенте дисконтирования V — (1 + /) 1 (/ -
60 -х
V • + V2 • йх+1 +... + V59-х+1 • ¿59 — 2 Vkdx+k-1
к—1
т
V70-х+1 • d70 + V71-х+1 • d71 + . + vm-х+1 • da — 2 vk-х+1 • dk •
к—70
Для возраста 60 < х < 70 производятся ежемесячные выплаты страховой ренты. Полная стоимость ренты за 10 лет, если выплаты происходят ежегодно , ,61-х 1 , , ,62-х / , , , ,70-х 7 V • /61 + ^ * /62 + . +V * 170 •
Пусть выплаты происходят ежемесячно (12 раз в год) и составляют единичную сумму. Величина однократной выплаты равна 1/12. Поскольку рента постнумерандо, то она выплачивается в конце каждого периода. Рассуждения для полной стоимости ренты в этом случае аналогичны.
1 -1 " 60— - х , «1-- • 1 -1
V 12 • I 2 + "•
60— 12
.1 „2
Г) 1 , 60--х 60—-х , .61-х 7 ч 1 _ х 60--х
Я — 7Т (V 12 • I 1 +V 12 Х • I • ^^ 12 Х • I 1+V 12 • I 2 + - +
1 ' 60- 12 б1- 60—
12 12 12 12
,,62-х 7 ч 1 _ 6У--х 69--х ,,70-х 7 ч _
+ v • 162 )+...+—V 12 • I l+v 12 • I 2+.+ V • 170 )• (*) 12 69-1 69^
12 12
Стоит подчеркнуть, что выплаты по формуле (*) получают сами лица в возрасте 60 < х < 70. Перепишем формулу для полной стоимости рент (*) в более удобном виде:
1 840 к-х
я — — • 2 и2 • 1к • (**) 12 к—721 12
Для пользования формулой (**) необходимо знать количество людей доживающих до дробных возрастов (по месяцам). Этого можно добиться, произведя, например, линейную интерполяцию по известным значениям таблицы смертности для целого количества лет. За каждого из тех, кто умер в
возрасте 60 < х < 70 лет, выгодоприобретатель получит согласно условию задачи половину невыплаченных рент. Суммарная рента, выплачиваемая каждому человеку за 10 лет (с 60 до 70 лет) составит
12 12
60--х 60--х ,, 1 61--х 60--х
я — .V 12 + V 12 + ,.^61"х) + — (V 12 + V 12 + х)+...
х 12 12
1 69——х 69——х ...+А. (V 12 +v 12 + ..^70-х). 12
За — /721 - /720 людей, умерших в первый месяц после достижения 60 лет,
12 12 12
выгодоприобретатели получат 1 • ^ • d единиц. Выплаты за d — / -/ человек, умерших во
г\ х 720 721 722 721
2 12 12 12 12 второй месяц после достижения 60 лет, составят
1 1 60--х
^х -1 V 12 ) • ^ •
2 х 12 721
12
Для остальных месяцев выплаты выгодоприобретателям после смерти застрахованных в данный период времени вычисляются аналогично.
Наконец, выплаты за — /ш - /839 умерших в последний 120 месяц периода рент, составят
12 12 12
12 12
1 1 60--x 60--x ,, 1 61--x 60--x
1(Sx - (V 12 + V 12 + ...+V ) + —(V 12 + V 12 +...
2 x 12 12
1 2 11
„ 1 69--x 69--x 69--x 1 1 „„
V-x)+...+- (V 12 +v 12 + ...+V 19 )• ^839 = - • -V70-x • d839.
12 12 2 12 12 Общая сумма выплат за умерших в рассмотренный период выплаты рент составит
1 839 840 k-x
Ux = - • I dj • Iv12 .
24 j=720 12 k=j+1 3. Итоговый результат.
Суммируя результаты, получим, что искомый нетто-тариф Ax вычисляется по формуле
1 60-x CO 1 840 k - x 1 839 840 А - г
A = 1 • (2>4+k-1 + IIvk-x+1 • dk +1 • I v12 • lk + ±. I dj • Iv12 ).
lx k=1 k=70 12 k=721 12 24 j=720 Ц k=J+
Список литературы /References
1. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику (анализ кредитных и инвестиционных операций). М.: «Анкил», 2001. 144 с.
2. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных схем). М.: «Анкил», 2001. 176 с.
