Применение метода множителей Лагранжа к решению контактной задачи о взаимодействии деформируемой среды с относительно жестким индентором Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Н.В. Овчинникова, Ю.В. Чеботаревский

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА К РЕШЕНИЮ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ С ОТНОСИТЕЛЬНО ЖЕСТКИМ ИНДЕНТОРОМ

Рассматривается контактная задача о напряженно-деформированном состоянии континуума «индентор - контактирующая с ним среда» с учетом искривления поверхности контакта в процессе деформирования. С помощью метода множителей Лагранжа исследование его напряженно-деформированного состояния сводится к поиску полей скоростей или полей ускорений движения точек континуума, удовлетворяющих нестрогому вариационному равенству, полученному для произвольной геометрической формы деформирующихся контактных поверх-

ностей и без наложения каких-либо ограничений на геометрические соотношения и физические уравнения материалов тел, его образующих.

Напряженно-деформированное состояние, нестрогое вариационное равенство, метод множителей Лагранжа

N.V. Ovchinnikova, Yu.V. Chebotarevsky

APPLICATION OF LAGRANGE MULTIPLIER METHOD TO ANALYSE THE CONTACT INTERACTION BETWEEN DEFORMABLE MEDIUM AND RELATIVELY STIFF INDENTER

The contact problem for strain-stress analysis of continuum “indenter - deformable medium ” is formulated with consideration of the deformed surfaces curvature. The Lagrange multiplier method is employed to conduct further strain-stress analysis of continuum by searching velocity or acceleration fields from variational inequality that was derived without specifying definite geometrical form of the deformed contact interfaces, strain-displacement relations and constitutive equations for materials of bodies constituting the continuum.

Contact interaction, deflected mode, variational inequality, Lagrange multiplier

method

Исследование механических процессов, происходящих в обрабатываемом материале при локальном взаимодействии с рабочим инструментом, во многих технологических процессах может быть сведено к решению контактных задач о взаимодействии относительно жесткого индентора с деформируемой средой [1]. Получение аналитических решений в задачах такого типа при неупругом поведении материалов тел, образующих континуум «индентор - среда», в динамической постановке ввиду непреодолимых математических трудностей невозможно. Поэтому возникает необходимость разработки различных подходов к решению подобного рода задач с применением упрощающих допущений и численных методов исследования.

В данной работе в качестве упрощенного подхода предлагается замена исходной задачи в классической постановке [1] её вариационным аналогом, получаемым на основе вариационного принципа Даламбера - Лагранжа с применением метода множителей Лагранжа на основе математической модели, предложенной в работах [1-3]. Согласно этой модели в окрестностях локальной зоны контакта в обрабатываемой среде выделим некоторый объем в виде кругового цилиндра высоты h2 и радиуса R2, к центру одной из торцевых поверхностей которого прикладывается рабочий инструмент

в виде индентора со сферической рабочей поверхностью. Силовое воздействие рабочего органа на материал среды будем моделировать путем приложения к индентору направленного вдоль общей оси симметрии индентора и цилиндра динамического усилия F(t), где t - время. Будем полагать, что

деформации материалов среды и индентора в процессе их взаимодействия являются малыми и что твердость материала рабочей поверхности индентора значительно выше твердости обрабатываемого материала. Возникающими при контакте силами трения и выделяемой при взаимодействии контактирующих тел теплотой будем пренебрегать, считая процесс деформирования изотермическим.

Отнесем цилиндр и индентор к цилиндрической системе координат Or6 z, расположив ее начало в центральной точке контактной поверхности и направив ось z вдоль общей оси симметрии индентора и цилиндра в глубь среды. Обозначим через Vlr, и Svlr, Svlz (l = I, II) - составляющие вектора скорости движения точек континуума и их вариации соответственно, а через и1. (i, j = r,6,z)

( l = I, II ) - компоненты тензора напряжений, где l = I означает, что соответствующая величина относится к индентору, а l = II- к среде. Если условия закрепления индентора будут таковы, что он сможет иметь только возвратно-поступательные перемещения вдоль оси Oz, то задача о напряженно-деформированном состоянии континуума при сформулированных выше допущениях будет осесимметричной, а граница области контакта будет иметь форму окружности некоторого радиуса a .

Введем в рассмотрение на площадках поверхностей возможного контакта, перпендикулярных к их общей нормали п1, вектор напряжений Г1 (I = I, II). Учитывая, что при сделанном допущении об отсутствии сил трения на поверхности контакта касательная составляющая этого вектора Гпт равна нулю, представим его следующим образом:

Jl

i —i jnnn

-Л

grad X1 (r,z,t)

grad t ,,z (,r

(l=I, II) ,

где

Xi (r,z,t)= z-X (rt) = 0, \grad [jl (r, z, t )] =

dr

dZi

dz

(1)

C)

(З)

В уравнения контактных поверхностей (2) и выражения (3) входят пока неопределенные функции X (г, t) и множители Лагранжа А1 (I = I,II).

Нормальные и касательные компоненты вектора напряжений на площадках, перпендикулярных внешним нормалям деформированных поверхностей индентора и среды в области контакта и её окрестностях, связаны с компонентами тензора напряжений &1 (г, у = г, в, I) (I = I, II) известными

соотношениями [4]:

~l l(„-l l I ~l Ml Hsrl l I l

jnn = nz (j„nz + j„nr)+ nr [j„n. + Jrrnr

)+ nlr (jrznlz +jrrnlr); (l = I, II)

jL = К (jlA+jlnlr)- nl (jlA+jlA). (l=I, II)

(4)

Входящие в соотношения (4) направляющие косинусы П и п^ главных внешних нормалей

п1 и п11 деформированных поверхностей индентора и среды, включая и область контакта, с учетом (2) определяются по формулам [5]:

*r =(-1)

l+1

дхІ

dr

1

r _ З -

i

dr dz

; n.

= (-1)

i

dz

І

(l = I, II).

(5)

dr

i

dz

Очевидно, что по закону равенства действия и противодействия в любой точке поверхности контакта векторы напряжений 71 (I = I, II) должны быть равны по величине и противоположны направлению:

71 = -711. (0 < г < а) (6)

Кроме того, в области контакта и её окрестностях в силу физического смысла должно выполняться требование 71пп < 0 (I = I, II) и условие непроникновения [3]:

Гп = *П + *П' < °. (7)

I

где Уп - составляющие векторов скорости принадлежащих индентору и среде точек возможного

I I

контакта в направлении соответствующей нормали. Нормальные Уп и касательные составляющие

векторов скоростей этих точек связаны с проекциями скорости на оси системы координат Ог1 соот-

ношениями [4]:

i ii.il Vn = Vrnr + Vznz.

(І=I, II).

Варьируя (7), имеем

l l l . l l VT =-Vrnz + Vznr ,

8yn = SvK + Sv1! й 0.

n n n

(8)

SB

z

z

L

2

+

Проецируя (6) на направление общей нормали к поверхности контакта с учетом (1), получаем

71 = 7П = -А. (10)

пп пп

Умножая (10) на (9) и интегрируя затем полученное выражение по поверхности контакта Гс , находим

ал ал

И =2п!—М^п+к №=-2ж\—л(&п+Улг=°, 11)

Гс 0 п1 0 п1

При записи соотношения (11) использовались известные формулы преобразования поверхностного интеграла первого типа [6], принимались во внимание уравнения контактной поверхности (2) и выражения для направляющих косинусов (5), а также учитывалось, что везде внутри области контакта

=&п +&Ц = 0. (I2)

Вариационное уравнение, описывающее движение континуума без учета «условия непроник-новения» (7) для поставленной выше задачи получено в [3] в виде

К2 Ь2 К, XI (т^) К,

дф(г, ) = ! !- !8у1гртйт = 0 , (13)

0 XIIЫ) 0 XI (к1^)-Ь1 0

где

р(ї) -

/(г,г,і) = а1гг д-(&Г)+&1г Гж + Гп д-(&Г )+&1гр1^

дг Г дг Сї (I = I, II) (14)

+ Г —(&1)+ Г —(&1 )+&1 р ,

гг д гг дг Сї

равномерно распределенная нагрузка по верхней торцевой поверхности индентора, эквива-

лентная приложенной к нему сосредоточенной силе

К1

Г ^ ) = 2п! р( )тйт.

0

Для того чтобы учесть «условие непроникновения» (7) непосредственно в уравнении движения континуума (13), проведем следующие преобразования. Используя (11), добавим в левую часть (13) дополнительное слагаемое, эквивалентное нулю, а именно

К, XI(т*) К-2 Ь2 к,

ёф(т, ) = ! ! fIтdzdт + ! ! fIIтdzdт - !SvIzpтdт +

г -

0 хI(Кі-Ї)~Ь 0 хп(гЇ) 0

1 "к:

а 1 (15)

+ I — 4^ + дуШ )ГСГ =°.

* п

0пг

Преобразуя последнее слагаемое в уравнении (15) следующим образом:

а 1 _ а л

I-№ + УСг = Ьз[л(у1п + )\Сг -1-зл(у1п + )гСг, (16)

» іґі » іґі » іґі

перепишем (15) так:

0 пг 0 пг 0 пг

Кі хI (г’Ї) К2 Ь2 Кі

I | гйійг + | I /11 гйійг - |ду[ ргйг

0 хI (кі.і)-Ь 0 хП (г.і) 0

а -і а -і (17)

+ I — д\к(у1п + у1п )гСг = I — дАу1п + у!! )гСг-

* 11 * 11

I I \ п п /А II \ п п

0 п 0 п

Так как напряжения 71пп (I = I, II) на площадках касательных к поверхности возможного контакта всегда в силу физического смысла должны быть сжимающими или равными нулю, из (10)

следует, что множитель Л всегда во всех точках этой поверхности должен быть либо положительным, либо равным нулю, причем знак вариации множителя Л в каждый момент времени будет зависеть от характера движения индентора - его внедрения в среду или отхода от неё. Для определенности будем считать, что в данный момент времени происходит процесс внедрения индентора в среду,

при котором напряжения <71пп (I = I, II) возрастают по абсолютной величине. Варьируя (10) и учитывая, что при внедрении индентора в среду З71пп > 0 (I = I, II), имеем

71 = -ЗЛ> °, (18)

откуда следует, что вариация ЗЛ при этом должна быть или меньше, или равна нулю, а именно

ЗЛ< 0. (19)

В силу «условия непроникновения» (7) сомножитель в подынтегральном выражении в правой

части (17) (уП + Ун ) < 0, Принимая это во внимание, а также (19), приходим к выводу, что

а л

I—ЗЛУ + у" )гёг > 0. (20)

0 п.

С учетом (20) на основании (17) окончательно получаем

а 1

| |/ггёгёг + | |/пгёгёг - |ду^ртйт +-д\х(уП + уЩ )гёг > 0. (21)

0 XI (я,л Ук1 0 XII (г,1) 0 0 Пг-

Таким образом, с применением множителей Лагранжа и одного из численных методов исследование напряженно-деформированного состояния континуума в вариационной постановке может быть сведено к отысканию поля скоростей и поля напряжений, удовлетворяющих нестрогому равенству (21). Однако в соотношение (21) входят пока неопределенные направляющие косинусы п1г и п1. Определим их значения через искомые радиальную и осевую составляющие вектора перемещений точек континуума — и и1 (I = I, II). С этой целью выразим текущие координаты любой точки континуума в процессе деформирования через их начальные значения гн и гн следующим образом:

г = гн + иг (гн, гн, г); (I = I, II)

г = 1н + и{ (гн, 1н, г), (22)

где г - момент времени, в который эти текущие координаты определяются.

Если в соотношениях (22) за начальные принять значения, соответствующие координатам точек недеформированных поверхностей индентора и среды в области и окрестностях возможного контакта, то получаемые при этом соотношения можно рассматривать как уравнения их деформированных поверхностей в параметрической форме. К сожалению, получить исходя из этих зависимостей уравнения этих поверхностей в явном виде (2) не представляется возможным. Однако, используя соотношения (22), можно выразить производные от левых частей уравнений (2), входящие в выражения

для направляющих косинусов (5), через искомые компоненты вектора перемещений точек континуума, лежащих на поверхностях возможного контакта. Вычисляя полные дифференциалы от функций (22), имеем

ёг = ёгн + ^—1ёгн +д-г1ёгн (I = I,II)

дгн д^н

, , ди1 ди1

= й1н +—^ёгн +—^й1н . (23)

дгн д^н

Подставляя (23) в выражение для полного дифференциала от функций ~ (г, г, г) (I = I, II), определяемых соотношениями (2),

й%1 = ёг ——ёг = 0, (I = I, II), (24)

дг

после преобразований находим

дХі

дг

йі

йг

йгн +

дг

ды7 , ды7 ,

— йгн +^ &н

дін

н

н

, диг , диГ ,

йгн +^йгн +^йін

дГн дін

I

(25)

Дифференцируя (2) частным образом по координатам Г и z, имеем

=_дх_ =1

дг дг ді

(І = I, // ).

(26)

Подставляя (25) и (26) в (5) и учитывая, что координаты точек, лежащих на недеформирован-ных поверхностях возможного контакта, не являются независимыми, а связаны между собой соотношениями

II (г

(г ) = ■/

Я

я

(г ) = 0,

и опуская далее индекс н для направляющих косинусов главных нормалей в области и окрестностях деформированных поверхностей возможного контакта, после преобразований получаем следующие выражения:

ди[

дг

К =■

д/я0 -

\ диі ^ 1 + —1

ді

ди[

дг

2 „2

\ ди[Л 1 + —1

ді

+

ди1 диІ

1 + —г------------г-

дг ді

Я

— і

1 +

ди!. ди1,. г

дг ді

пі =-

Яо2

(27)

д^

дг

(л диІ Л

1 + —і

ді

+

1 +диі-дг

ди!

ді

їІк0

II

II

пг = -

ди

і

дг

1 + диг

дг

II

+

II

ди

дг

II

П7, =

1+ди"

дг

1+дТ-

дг

2

(28)

+

ди

II

дг

Анализируя полученные выражения для направляющих косинусов, замечаем, что их значения в центральной точке возможного контакта г = 0, z = 0 в силу осевой симметрии рассматриваемой задачи совпадают

п1 = п1/ = 0, п11 = -п^ = 1.

Совпадение же значений направляющих косинусов в других точках поверхностей контакта индентора и среды не столь очевидно. Это объясняется тем, что при отсутствии учета трения в контактной области составляющие векторов перемещения в одноименных точках идеального контакта индентора и среды из-за наличия проскальзывания не совпадают.

Докажем, что требование выполнения нестрогого вариационного равенства (21) при определении поля скоростей точек континуума в вариационной постановке равносильно поиску решения исходной задачи в классической постановке. С этой целью подставим (14) в (21). Группируя в подынтегральных выражениях двойных интегралов полученного при этом нестрогого равенства слагаемые, содержащие множители в виде вариаций скоростей, с учетом (4), (5) и (8) после преобразований получаем

2

г

2

г

2

2

г

г

2

2

2

2

г

г

2

2

2

2

2

I I

0 X11 {г,г)

ду

да

11

а.

11

а,

дг

Г

11

вв

Г

да

дz

11 л2 11 \

п — и

-----р ----------

-г

2

+

+ ду111 д°^ ■ 1 д (Г-11) -11—и

—~ + 1 -—{та 1!)-р'

-V V гг I г

дz г дг

2 11

г

2

Я X1 {т,г )

-1 I

0 X1 {К1,1)-21

ду

да1

а

а

-г

1 да1

т-г-т

вв

дг

+

+ ду

и да1

+1 д { 1

---------1га ,г

дг г дг гг

)-

г дг

21

21

Гг 1 а и

^ - р -------1

-г

2

+

у

р

а 2и

______г

-г2

т-г-т -

X1 {К1,>)

+ ^ | дуГаГг | Г=К1 -г + Я21 дуГ аГГ1Г=^ -г - | дуГа

X1 {я1,г)-Ь1 0

г=X1 {Ъ.г)-Ь1

г-г

К1 I - |ду[ {

7 а7

г \ гг

0

г=X1 №1,1)-Ь1

\ Я2 Я2

+ рг-т + Iду^та 11 Ь -т + Iду11 аП

* ) J г гг г=П2 J г гг

0

0

X1 {Я1 ,г) К2 Я1 д 1

+ Я1 |дуГа1\г=Е1аг + Я21ду11а"\г=к2-г + |~пута1тгйг- |п_аПТгйг +

X, {Я1,1)-2 0

°' £ 1 Я2 с 11 а £ 1 а о I

'дуп-1-]~ Г^п -11- , Гдут _1 * ГдК

I

г = Ь2 Я2 £ 11

г-г +

1ду‘

п,

а г

(29)

+1 -Т а1ппгйг - |аУ-Г +1-уга1птГ-Г -1^ТТ^ТГйГ+

* VI * 11 * 11 * 11

а пг

‘дуТ

п,

а г

0 пг

0 пг

| -уГ {а пп + а)г-г -1 %- {аПп + х +1 дх{уГ + у" )-1т гдг > 0

* п * п * п

1

0 пг

0 пг

{уп + уп , 1

пг

г

г

а

а

0

Откуда в силу произвольности вариаций проекций скоростей на оси координат из первых двух интегралов левой части (29) следуют уравнения движения индентора и среды

д°гг +^п

дг

оа

да[

дг

72 I

р'а-и-=0

-г

2

да

л

= 0

(I = 1,11).

(30)

дг т дГ *" ' -г1

Оставшиеся интегралы, за исключением пяти последних, на том же основании дают граничные условия на поверхностях индентора и среды свободных от внешней нагрузки, условие приложения усилия к верхней поверхности индентора и условие жесткого закрепления нижней поверхности ограничивающего среду объема, а именно

а

т=Я

= 0, а

п

т= Я = 0, о* Г =Я = 0, а

т=Я9

= 0,

о

II

,=ь2

= 0 , оГг

г=Х1{Я1,г УК

= 0 а

0, г

г=X 1 {я1,г У2

Р ,

о

г=Х1{т ,г) °пт

о

II

г =Хп{т ,г) °пт

г=Х1{т ,г) II

= 0 при а < т < Я1,

= 0 при а < т < Я2.

(31)

г-Xll{г ,г)

С учетом (19) и (20) из последнего интеграла в силу произвольности вариации множителя Лагранжа следует условие непроникновения

I , и ^ п

уп + уп ^ ^

Г

а из оставшихся четырех в силу произвольности нормальных и касательных составляющих векторов скоростей точек контактной поверхности имеем кинетические граничные условия на поверхности контакта:

ai

а

z=Zi (r,t)

а

п

=Xi (r,t)

-A< 0

-A< 0

a

в

=Xii(r ,t)

0 (0 < r < a),

z=Xii(r ,t)

(0 < r < a).

(32)

(33)

£=Хц(г Л)

Совокупность полученных выше уравнений (30), граничных и контактных условий (31) - (33) представляет собой рассматриваемую задачу в исходной постановке. Таким образом, эквивалентность задачи в вариационной постановке исходной доказана.

Полученное выше с применением метода множителей Лагранжа нестрогое вариационное равенство (21) является основой для исследования напряженно-деформированного состояния тел, образующих континуум. На базе какого-либо из численных методов определение полей скоростей и напряжений с его использованием может быть сведено либо к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно скоростей движения точек континуума, либо к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно ускорений. Кроме того отметим, что указанное выше нестрогое равенство получено без наложения каких-либо ограничений на форму деформированных поверхностей индентора и среды вследствие контакта, геометрические соотношения и на физические уравнения, определяющие состояние материала тел, образующих континуум. Поэтому при решении конкретных задач оно должно быть дополнено соответствующими геометрическими, кинематическими и физическими соотношениями, а также условиями для определения границ области контакта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Овчинникова Н.В. Модельная задача для исследования процессов поверхностного упрочнения пластическим деформированием с применением ультразвуковых воздействий / Н.В. Овчинникова, Д.Г. Павлов, Ю.В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2007. №4 (28). Вып. 1. С. 14-18.

2. Овчинникова Н.В. К расчету напряженно-деформированного состояния упругопластического полупространства, контактирующего с абсолютно жестким индентором / Н.В. Овчинникова, Ю.В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2010. №4 (51). Вып. 3. С. 10-17.

3. Овчинникова Н.В. Вариационное уравнение движения континуума «жесткий индентор -деформируемая среда» / Н.В. Овчинникова, Ю.В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2011. №4 (60). Вып. 2. С. 48-57.

4. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. М.: Высш. шк., 1968. 512 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: в 2 ч. Ч. 1 / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Лань, 2005. 448 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: в 2 ч. Ч. 2 / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Лань, 2008. 464 с.

Овчинникова Наталья Владимировна -

аспирант кафедры «Техническая механика и детали машин» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Natalya V. Ovchinnikova -

Assistant Lecturer,

Department of Engineering Mechanics and Machinery

Gagarin Saratov State Technical University

Чеботаревский Юрий Викторович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Yuri V. Chebotarevsky -

Dr. Sc., Professor

Department of Applied Mathematics and Systems Analysis,

Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 14.10.12, принята к опубликованию 06.11.12

z

z