CC BY
62
УДК 539.3
Н.В. Овчинникова, Ю.В. Чеботаревский
К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, КОНТАКТИРУЮЩЕГО С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМ ИНДЕНТОРОМ
Сформулирован упрощенный инженерный способ расчета напряжено-деформированного состояния упругопластической среды, контактирующей с абсолютно жестким индентором. В его основе находится замена реального контактного воздействия индентора на материал среды действием эквивалентной ему изменяющейся по определенному закону распределенной нагрузки. Обоснованы правомерность и эффективность предлагаемого способа.
Контактная задача, пластическая деформация, нелинейные колебания индентора, распределенная нагрузка, напряженное состояние
N.V. Ovchinnikova, U.V. Chebotarevsky ONE COPUTATIONAL METHOD FOR SRTRAIN-STRESS ANALYSIS OF ELASTO- PLASTIC HALF-SPACE IN CONTACT WITH RIGID INDENTER
Simplified engineering method for strain-stress analysis of elasto-plastic half-space in contact with rigid indenter is suggested. It based on substitution of real contact interaction between indenter and half-space for equivalent distributed load applied to contact surface of the half-space. Suggested method is proved to be appropriate and effective.
Contact problem, plastic strain, nonlinear oscillations of the indenter, distributed load, deflected mode
В настоящее время активно осваиваются различные технологии повышения эксплуатационных характеристик конструктивных элементов машин и механизмов. Одной из них является упрочнение поверхности детали пластическим деформированием воздействием колеблющегося с ультразвуковой частотой рабочего инструмента. Применение ультразвука позволяет существенно повысить качество обрабатываемой поверхности и обеспечить высокую износоустойчивость деталей. Для оптимизации технологических параметров механической обработки материалов с использованием ультразвукового воздействия и повышения её эффективности весьма актуальным представляется исследование напряженно-деформированного состояния обрабатываемых объектов при комбинированном силовом и ультразвуковом воздействии. Исследование механики таких процессов в большинстве случаев сводится к решению контактных задач о взаимодействии обрабатываемой среды с жестким индентором, к которому приложено силовое воздействие в виде [1]:
F (t) = F0 + Fv sin cot, (1)
где t - время; F0 - постоянная составляющая приложенной к индентору нагрузки, обеспечивающая необходимый рабочий натяг между ним и обрабатываемой средой; Fv -амплитуда переменной составляющей, колеблющейся с ультразвуковой круговой частотой
ю, причем Fv существенно меньше F0 .
Из-за локальности исследуемого механического процесса представим
обрабатываемый объект в виде упругопластического полупространства, к поверхности которого прикладывается жесткий индентор со сферической рабочей поверхностью. Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат Orвz, совместив её начало с точкой первоначального соприкосновения индентора и полупространства и направив ось Ог по нормали в глубь пространства (рис. 1).
Будем считать, что физико-механические свойства материала среды отвечают модели изотропно-кинематического упрочнения [2], а жесткость индентора такова, что формоизменения его рабочей поверхности при взаимодействии со средой не происходит.
Искривлением поверхности полупространства в процессе деформирования также будем пренебрегать. При сформулированных выше условиях в предположении, что к поверхности полупространства не приложено более никаких сил и индентор совершает только поступательные перемещения в направлении оси г, исследование напряженно-деформированного состояния среды может быть сведено к решению следующей осесимметричной контактной краевой задачи:
1) уравнения движения
(2)
а(гД)
2) соотношения Коши
а) для упругих составляющих компонент деформации
£еп = 4-[агг - п{?вв+огг )],
Е
V
ъ
Рис. 1 Схема процесса ультразвукового упрочнения поверхности
£ег1 = (1 + у)агг/Е; б) для пластических составляющих компонент деформации
Є =[&;; -П(ЄЄЄ+°ГГ )УЕ ,
(5)
(6)
Ф = f (а,а)-&0 = О,
(7)
аи = аи - аи, аи = С{<ги - аи )ер /а0 - уаиер‘, (/ = г,в, г ), (8)
а = а -а , а = С (а -а ер1 /а0 -уа ер1;
гг гг гг ’ гг \гг гг) П и / / гг и ?
4) граничные условия:
агг =авв=агг = агг = ^ при Г, г ®¥ ,
агг\г=0 = 0 при г ^ агг = 0 при г = 0 и г > а , (9)
а22 = р(г,t) при г = 0 и г < а , где |0ар(г,t)зТ = F().
К записанным выше соотношениям (7) для точек, лежащих на возможной линии
раздела контактирующих поверхностей, необходимо добавить граничные условия,
сформулированные в виде неравенств:
и1 - и1 -3(г)< ^ агг < ^ («! - и1 -$(г))агг = 0 г = 0 (10)
В формулах (2)-(11) приняты следующие обозначения: агг,авв,агг,агг и егг,евв,е22,егг -компоненты тензора напряжений и тензора деформаций соответственно; агг,авв,агг,агг-компоненты тензора микронапряжений; иг, иг - компоненты вектора перемещений в направлении осей г иг с индексом «1» и»2» точек полупространства и индентора соответственно; д(г) - первоначальный зазор между соответствующей парой точек, лежащих на поверхностях полупространства и индентора; Е - модуль Юнга, V -коэффициент Пуассона, р - плотность материала; а0 и Q¥, Ь , С, у - предел текучести материала среды и его физические параметры, определяемые экспериментальным путем. Интенсивность скоростей пластических деформаций определяется соотношением
ер=^ (е -ев )+(ей - е )2+(ер -ер;)'+2 (е ), (11)
Сформулированная выше задача является весьма сложной поэтому, её аналитическое решение из-за математических трудностей не представляется возможным. При численном её решении с применением современных конечно-элементных программных комплексов типа ABAQUS, АКБУБ [2, 3] из-за специфики поведения материала при высокочастотных механических воздействиях требуются огромные вычислительные мощности и даже при их наличии результат не всегда достижим. Поэтому возникает необходимость разработки упрощенного инженерного способа исследования, позволяющего с существенно меньшими затратами определять напряженно-деформированное состояние обрабатываемого объекта и при необходимости оперативно корректировать параметры технологического процесса.
Ниже предлагается инженерный способ расчета напряженного деформированного состояния среды, в основе которого содержится физико-математическая модель исследуемого процесса, основанная на замене реального контактного воздействия рабочего инструмента на материал обрабатываемой среды, действием эквивалентной ему, распределенной по определенному закону нагрузки. Из-за принятых выше допущений предлагается считать индентор абсолютно жестким и его движение рассматривать отдельно от движения упругопластической среды, заменяя её действие на индентор равнодействующей сил контактного взаимодействия, подчиняющейся закону [4]:
N = опр w3^ (12)
где спр = 4л/яе/[3(1 -V2)] - приведенный коэффициент жесткости материала среды; Е - его
модуль упругости при отсутствии пластических деформаций на поверхности контакта или секущий модуль при их наличии; п - коэффициент Пуассона; Я - радиус кривгоны сферической рабочей поверхности индентора; а w = w(t) - перемещение её центральной точки.
Так как в соответствии с условиями поставленной задачи индентор может совершать только поступательные перемещения, для определения закона его движения 12
достаточно исследовать движения любой его точки. Примем за такую точку упомянутую выше центральную точку его рабочей поверхности. Тогда с учетом сформулированных выше допущений и в предположении, что рассеяние энергии при движении индентора происходит за счет механизма внутреннего трения в контактирующем с ним материале, исследование его движения сводится к решению следующей нелинейной краевой задачи:
тй + Ьй + спрw32 = Е(), й = 0, й = 0 при t = 0, (13)
где Ь = л]Яй0 Еу/р®(1 -V2)] - приведенный коэффициент диссипации энергии; у -коэффициент поглощения энергии обрабатываемой среды, - некоторое статическое
смещение, которое получил бы индентор под действием постоянной составляющей приложенной к нему силы Е0. Учет рассеяния энергии в обрабатываемой среде проведен на основе условной вязкоупругой схемы [5], эквивалентной в отношении поглощающих свойств модели материала с внутренним трением.
Данная задача является существенно нелинейной. Поэтому фактическое существование ее асимптотически устойчивых периодических решений подтверждено с помощью теоремы Ляпунова [6] на основе анализа корней характеристического уравнения соответствующей (13) линеаризованной задачи: Я2 + ЬЯ/т + с1/т = 0, полученного при
следующих ограничениях 0 < й < 2й0. Так как коэффициент Ь по физическому смыслу рассматриваемой задачи всегда положителен, то вещественные части корней приведенного выше характеристического уравнения всегда будут отрицательны, что соответствует условию асимптотической устойчивости.
Накладываемые ограничения по существу определяют границы области устойчивости движения рассматриваемой механической системы «индентор - среда» и имеют простой физический смысл. А именно при значениях перемещения индентора, выходящих за пределы указанного выше интервала, происходит его отрыв от контактирующей с ним поверхности, что противоречит условиям применимости сформулированной выше задачи о движении индентора (13) из-за наличия в левой части уравнения его движения слагаемого, содержащего перемещение в дробной степени с четным знаменателем.
Численное решение поставленной задачи получено методом Рунге-Кутта 4-го порядка. На основе анализа результатов расчета обнаружено существование явления многопикового резонанса, принципиально невозможного в линеаризованной системе. В качестве примера на рис. 2 показана зависимость наибольших отклонений центра масс индентора от начального положения в установившемся вынужденном колебательном движении от частоты переменной составляющей возмущающей силы (1), при следующих значениях параметров:
Е = 2,1 1011 Па, 2 = 0,3, т = 0,018 кг, Е0 = 19,62 Н, Ккр = 0,07 м, Еу = 0,08Е0 (14)
Приведенная выше зависимость характерна скачкообразным изменением амплитуды колебаний индентора при плавном приближении частоты к резонансному диапазону.
Согласно предлагаемой расчетной модели найденные значения перемещения центральной точки рабочей поверхности индентора ) используются в каждый момент времени в качестве исходных данных для определения радиуса пятна контакта а() и интенсивности распределенной по нему нагрузки д(г, t) по формулам [7]:
а( ) = у1 Я ■ ) д(г, {) = 2Ет]й( )д/ 1 - г2 / К2 /р^Я (1 -V2)]
Правомерность замены решения контактной задачи в классической постановке (2) -(10) задачей о напряженно-деформированном состоянии среды под действием эквивалентной нагрузки, обосновывается проведением сравнительного анализа результатов решений, полученных разными способами, а также совпадением результатов с аналитическим решением контактной упругой задачи [4]. Исследование проводилось с
применением программного комплекса ЛБАриБ в статической и квазистатической постановках при условии, что физико-механические свойства материала среды отвечают приведенной выше модели изотропно - кинематического упрочнения (6) - (8).
При этом при решении задач, как в классической постановке, так и на основе расчетной схемы с эквивалентной нагрузкой рассматривались только те условия нагружения, при которых пластическая зона не выходит на поверхность обрабатываемой среды.
В качестве примера на рис. 3 и 4 показаны зависимости интенсивности напряжений от осевой координаты г, полученные двумя способами при нагружении рабочего инструмента силой (1) для случаев = 0 (рис. 3) и = 0,08Е0 (рис. 4). Вычисления
выполнены для приведенных выше параметров (17) при следующих значениях констант материала среды:
а0 = 2• 108 Па, д¥= 2• 109 Па, ~ = 0,26, С = 2,55• 1010 Па, у = 81. (14)
\У х107. м
6.5 -6 -
5.5 -5 -
4.5 -4 -
3 51_______I_______I_______I_______I_______I_______I_______I_______I______I_________
'126 126.5 127 127.5 128 128.5 129 129.5 130 130.5 131
о) * 10\ рад с
Рис. 2. График поведения наибольших отклонений центра масс индентора от начального
положения
в зависимости от частоты переменной составляющей возмущающей силы в установившемся движении
Рис. 3. Зависимость интенсивности напряжений от осевой координаты 2 при = 0
На рис. 3, 4 сплошная линия соответствует решению контактной задачи в классической постановке, а пунктирная линия - решению эквивалентной ей задачи с распределенной нагрузкой, определяемой по результатам исследования движения индентора как абсолютно твердого тела. Приведенные графики показывают хорошее совпадение результатов, полученных двумя способами.
Наибольшее расхождение результатов расчета в случае статического нагружения наблюдается в центральной точке контакта и не превышает 3%.
ои х 108, Па
(
2x10? М
Рис. 4. Зависимости интенсивности напряжений от осевой координаты г при = 0,08^0
В случае нагружения силой с переменной составляющей наибольшее расхождение результатов обнаружено в упругой зоне на участке, находящемся непосредственно перед областью пластических деформаций. При этом погрешность расчета на базе эквивалентной модели находится в пределах 3,3%. Сопоставление зависимостей, показанных на двух рисунках, позволяет сделать вывод о том, что при отсутствии
15
резонансных режимов (w = 23,885 кГц) ультразвуковое воздействие практически не оказывает влияния на характер напряженно-деформированного состояния среды. На рис. 4 штрих-пунктиром показан график поведения интенсивности напряжений вдоль оси oz для случая резонансных колебаний индентора с частотой 20,223 кГц, построенный по результатам расчета на базе предложенной выше модели. Из него следует, что при резонансе характер поведения интенсивности напряжений изменяется как качественно, так и количественно.
Приведенные выше примеры подтверждают правомерность и эффективность применения предложенного инженерного способа расчета напряженно - деформированного состояния упругопластической среды, контактирующей с абсолютно жестким индентором, за счет значительного уменьшения трудоемкости и времени вычислительного процесса, а также позволяют предположить возможность управления процессом формирования упрочненных слоев в обрабатываемом материале подбором соответствующих технологических параметров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Овчинникова Н.В. Модельная задача для исследования процессов поверхностного упрочнения пластическим деформированием с применением ультразвуковых воздействий / Н.В. Овчинникова, Д.Г. Павлов, Ю.В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2007. №4(28). Вып. 1. С.14-18.
2. ABAQUS Analysis User’s Manual Version 6.4 Hibbitt: Karlsson & Sorensen, Inc. USA.
2002.
3. Басов К. А. ANSYS. Справочник пользователя / К. Басов. М.: ДМК Пресс, 2005. 640
с.
4. Динник А.Н. Избранные труды / А.Н. Динник. Т.1. Киев: Изд-во АН Укр. ССР, 1952. 152 с.
5. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я.Г. Пановко. М.: Физматгиз, 1960. 193 с.
6. Красовский А.А. Основы автоматики и технической кибернетики / А.А. Красовский, Г.С. Поспелов. Л.: Госэнергоиздат, 1962. 600 с.
7. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. М.: Высшая школа, 1968. 512 с.
Овчинникова Наталья Владимировна -ассистент кафедры «Теоретическая механика» Саратовского государственного технического университета
Чеботаревский Юрий Викторович -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 01.11.10, принята к опубликованию 15.11.10
