Вариационное уравнение движения континуума «Жесткий индентор деформируемая среда» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Н.В. Овчинникова, Ю.В. Чеботаревский

ВАРИАЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОНТИНУУМА «ЖЕСТКИЙ ИНДЕНТОР - ДЕФОРМИРУЕМАЯ СРЕДА»

Сформулирована контактная задача для исследования напряженно-деформированного состояния континуума «индентор - контактирующая с ним среда» с учетом искривления поверхности контакта в процессе деформирования. Получено вариационное уравнение движения континуума, без наложения каких-либо предварительных ограничений на геометрическую форму деформирующихся контактных поверхностей, геометрические соотношения и физические уравнения материалов тел его образующих. Рассмотрен частный случай индентора в виде абсолютно твердого тела.

Вариационное уравнение, континиум «идентор-деформируемая среда»

N.V. Ovchinnikova, U.V. Chebotarevsky VARIATIONAL EQUATION FOR MOTION OF THE CONTINUUM «SOLID INDENTER - DEFORMABLE MEDIUM»

A contact problem for the strain-stress analysis of the continuum «indenter - deformable medium» is formulated considering the curvature of deformed surfaces. The variational equation corresponding the stated problem is derived without any initial constraint on the geometrical form of deformed contact interfaces, strain-displacement relations or constitutive equations for materials of the bodies of the continuum. The article provides the case study of the rigid indenter.

Variational equation, continuum «indenter-deformable medium»

Реальные физико-механические процессы, происходящие в металлах при поверхностном упрочнении за счет контактного механического воздействия рабочего инструмента на обрабатыва-

емый объект, настолько сложны и многообразны, что описать все аспекты специфики их протекания в рамках какой-то одной обобщенной расчетной математической модели не представляется возможным. Кроме того, в силу непреодолимых математических трудностей получить аналитические решения для такого рода задач в классической постановке даже при идеально-упругом поведении материалов рассматриваемых объектов и динамическом воздействии, как правило, не удается. Поэтому при теоретическом исследовании таких процессов необходима разработка упрощенных подходов, учитывающих специфические особенности поведения материалов участвующих в процессе тел и позволяющих вместе с тем получить пригодные для практики результаты. Один из упрощающих подходов состоит в замене исходной задачи в классической постановке её вариационным аналогом, получаемым на основе дифференциального вариационного принципа Даламбера - Лагранжа для распределенной системы материальных точек, подчиненной неудерживающим связям, с последующим применением для решения последней численных методов, в том числе метода конечных элементов.

Целью настоящей работы является вывод вариационного уравнения движения континуума «индентор - контактирующая с ним среда» без наложения каких-либо предварительных ограничений на геометрическую форму деформирующихся контактных поверхностей, геометрические соотношения и физические уравнения материалов тел, его образующих.

В качестве исходной за основу примем математическую модель, предложенную в [1, 2], согласно которой в окрестностях локальной зоны контакта в обрабатываемой среде выделим некоторый объем в виде кругового цилиндра высоты к и радиуса Я , к центру одной из торцевых поверхностей которого прикладывается рабочий инструмент в виде индентора со сферической рабочей поверхностью. Силовое воздействие рабочего органа на материал среды будем моделировать путем приложения к индентору направленного вдоль общей оси симметрии индентора и цилиндра динамического усилия р (?). Будем полагать, что как упругие, так и пластические деформации материалов среды и инден-

тора являются малыми и, что твердость материала рабочей поверхности индентора значительно выше твердости обрабатываемого материала. Выделяемой при взаимодействии контактирующих тел теплотой будем пренебрегать, считая процесс деформирования изотермическим.

Отнесем цилиндр и индентор к цилиндрической системе координат Огд z, расположив ее

начало в центральной точке контактной поверхности и направив ось z вдоль общей оси симметрии индентора и цилиндра (рис. 1).

Исходя из физических соображений, будем считать, что нижняя торцевая поверхность выделенного объема среды Г жестко закреплена. Боковые поверхности индентора и среды Г5 и Г2, а

также верхняя торцевая поверхность среды Г3 и рабочая поверхность индентора Г4 , за исключением зоны контакта Гс = Г3 пГ4 (на рисунке не показана), свободны от внешней нагрузки.

При принятых допущениях задача о напряженно-деформированном состоянии континуума будет осесимметричной, в силу чего компоненты напряжений Ггв = Г(к = 0. С учетом этого в рамках классической теории напряжений движение его точек может быть описано уравнениями:

А

Г.

Рис. 1 Схема процесса ультразвукового упрочнения цилиндра

дг г дг гг йг

В уравнениях (1) приняты следующие обозначения

у1 (I, 4 = г,в, г) - компоненты тензора напряжений;

ч

дУ„ 1 д( 1й V п,

—^ + -- — (гУ1Г)=Р1^7Т • (1)

и1 = и1 (г, г, г) - компоненты вектора перемещений;

р1 -плотность материала среды или индентора.

Здесь и в дальнейшем наличие верхнего индекса I = I или I = II означает, что данная величина

независимо от её физической природы относится соответственно либо к индентору, либо к среде.

Так как нижняя поверхность объема, ограничивающего среду, жестко закреплена, во всех её точках осевое смещение в направлении оси Ог должно быть равно нулю:

и,11 = 0 при (г,в, г )еГ1. (2)

Учитывая, что боковые поверхности индентора Г5 и среды Г2 свободны от внешней нагрузки, граничные условия на них зададим так:

У = У-в = У = 0 (1 = I,II) при (г,в, г)еГ2 и Г5. (3)

Полагая, что во избежание негативных локальных деформаций на верхней поверхности индентора Г6 сосредоточенное усилие Р (г) прикладывается к ней через некоторую абсолютно жесткую пластину, граничное условие на этой поверхности запишем в виде

У = -р(г), У = 0 при (г,в,г)е Г6, (4)

где р(г) - равномерно распределенная нагрузка по верхней торцевой поверхности индентора, эквивалентная приложенной к нему сосредоточенной силе:

«1

Р (г) = 2п | р(г )гйг • (5)

0

Обозначим через <г1пп и (Г1пт (I = I, II) нормальные и касательные компоненты вектора напряжений на площадках перпендикулярных внешним нормалям деформированных поверхностей индентора и среды в области контакта и её окрестностях. Тогда граничные условия на участках поверхностей Г3 и Г4 , свободных от внешней нагрузки и не включающих зону контакта, могут быть записаны так:

У1 = УТ = 0 при (гЛг)е Гз \Гс, (6)

УПп = у!пт = 0 при (г,в г Ь Г4 \ Гс, (7)

Кинетические условия на поверхности контакта Гс =Г3 пГ4 с учетом отсутствия на ней сил трения сформулируем в виде

УПп = У1 при (г,в г )еГс, (8)

У 1т = УТ = 0 при (^в г)е Гс • (9)

Очевидно, что напряжения о1пп и о1пТ (I = I, II) будут связаны с компонентами тензора

напряжений у1. (I, Ч = г, в, г) (I = I, II) известными соотношениями [3]:

ч

Упп = пг (Уггпг + УЛ )+ К (уX + ) ; (10)

У«т= (у1А +у1ггп1г )-^ (у[гп{ +УХ ) , ( I = I, П ) (11)

где п1г и пг (I = I, II) - направляющие косинусы главных внешних нормалей п1 и п11 деформированных поверхностей индентора и среды, включая и область контакта. Кроме кинетических условий

(8) и (9), на поверхности контакта должны выполняться ещё и кинематические граничные условия:

и!п + ип-8< 0, (12)

где 8 - начальный зазор между точками возможного контакта, а и1п (I = I, II) - нормальные составляющие

„ I I

их векторов перемещений, связанные с компонентами вектора перемещений и г и и г соотношениями:

и[ = и1! + и[п[. (I = I, ^ ) (13)

Очевидно, что приведенные выше соотношения (1)—(9) и (12) не содержат полную постановку задачи о напряженно-деформированном состоянии континуума, а являются лишь её частью. Но этих соотношений, как это будет показано ниже, вполне достаточно в качестве исходных для вывода вариационного уравнения его движения.

Введем в рассмотрение скорости движения точек континуума, связанные с перемещением его точек соотношениями:

йит . йи .

= • '■ ="а=и ■■ (14)

Их вариации 5уг и всюду в объеме контактирующих тел будут произвольны за исклю-

чением ограничивающих их поверхностей с граничными условиями, заданными в перемещениях или в скоростях.

Для того чтобы получить вариационное уравнение движения континуума «индентор - среда» на основе вариационного принципа Даламбера - Лагранжа [2] эквивалентное исходной задаче, следуя [4], проведем следующие преобразования. Дифференциальные уравнения движения (1), описывающие поведение материалов индентора и среды, умножим на соответствующие вариации компонент

вектора скорости &1г и (I = I, II) и затем полученные выражения сложим. Интегрируя их по

всему объему континуума V1 и V11, имеем

11

1=1,11 у1

ґда1гг о\г -а1вв да* ,й V ^

+

+ —^^ + і - р—^

V дг г ді йі у (15)

+ &

йУ = 0

Преобразуем слагаемые, в подынтегральные выражения которых входят производные от напряжений по координатам г и і, следующим образом:

і Л

| &г —^гйгйвйі = |—(&гга1гг )СгйШі ■

У1 дг У1 дг (і = I, II) (16)

Л

- I гагг ^ & )йгйвсІі - | (Т1гг&гйгй0(к

уі дг уі

[&1Г да,:'гйгйвіі = [ ^&’г'га’1 \lniedz. - [га1гі ^(&г]йгйвйі (1 =1,11) (17)

• ді і ді її ді

I&1 гсігсівск = I ^^—^йгІШі - IгО — (& )йгйШі (і = I,II)

у, ді Уі ді Уі ді

і 1 д ~і\.л„лги______________Г д (я. .і.. _-і л /ол_ Г і д

(18)

[ ^ _' (га1.г УйгйШг = [—(&[га[г )с1гйШг - [ га[г — (&1 )с1гйШг (19)

VI г Гг V1 Гг V1 Гг

Полагая, что между координатами геометрических точек деформированных поверхностей индентора и среды существует однозначная зависимость, введем в рассмотрение их уравнения следующим образом:

X (г, г,г) = г-Х1 (г,0 = 0 (I = I,II), (20)

где X, (г, г) (I = I, II) - некоторые пока не определенные функции. Тогда, применяя теорему Остро-градского-Гаусса, с учетом (20) приведем первые слагаемые в правых частях (16)-(19) к виду

I — (&’Іг°!т 111 = 2П I &І (гУг ) г-^1 (і і) йі , (21)

У1 дг X, ОМ)

д Хп (0,і)

I^(&':.го':гііШі=-2п | (о)■ (22)

| д&\гоп )ігіШі = 2п I &-Ю

VI ді 0

( ) гйг . (23)

z=XI (г ,і)

[ э(^г гап\rdOdz = -2п\д^1г1а1 ;ц дг 0

Г д(дга \ifdedz = 2п Г &1а[2

г1г ,

г=%! (г ,г)

Г ЫШг = -2л\

> дг } г ■

г=Ха(г,г)

К1

г1г + 2п| д,\ рг1г ,

о

г1г ^

о

XI (0,г)

г=Хп(г ,г)

Л '

га'г '11г1 Шг = 2п I &{ (га^ „XI-(,,,)

XI (К1,г) XII (0,1)

Г — (дч^га" )1г1 Мг = -2п Г д1! (га, : дг :

(г,г)

dz ■

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

В выражениях (21)-(28) XI (0, t) = XII (0, t) = и[ (0,0, г) = ипг (0,0, г) - осевое перемещение центральной точки контакта индентора и среды при отсутствии взаимопроникновения, а X- (г, г) (I = I, II) -

функции, обратные функциям XI (г, г) (I = I, II).

Кроме того, при записи упомянутых выше выражений учитывались граничные условия (2)-(4), и то, что вариации компонент вектора скорости на жестко закрепленной поверхности Г1 равны нулю, а именно

дч1! = 0, = 0.

А также принималось во внимание, что в области идеального контакта взаимодействующих тел 0 < г < а функцииXI (г, г) и xII (г, г) должны быть тождественно равны:

XI (г,t) = xn (г,г) (0 < г < а X

(29)

где а - радиус пятна контактной поверхности.

С учетом (16)-(28) уравнение (15) примет вид

0 XII (г,г)

дг

а" )+-г

дг г

)+&

II

II авв

+ аЧ ^(д,? )+дрd у"

дг

dt

+

-II д (2..и\, S1.II d у

дгУ

К XI(г ) ( д

+ а:— д)+ а" — )+д; р

dt

11г

I I

0 XI (Кьг )-*1

а‘„— д )+д дг

аа

+а1 )+дг р1

дг

dt

+

11г

К1 К1 К1

+ Г&га’ . Аг + (д,!га!. . Аг + \dviprdr-

J г гг z=xI (гг) } г ж г =XI (г,г) J

0

К2

0

XI (0,г)

(30)

0

"а11

г гг

г=%п (г ,г)

XI (0,г)

,г1г- Гд,нгаП7 , Аг + Г д,!г(га

,г) J г г=%п (г,г) J г 4

XII (0,г)

XI (Я1,г) Л

I (г,г)

^-г^г=x71 ()

dz +

+ I д’1 (г< | ,.x1Ч■,t)dz - Г д^'°(га° |

XI («1,() 0

XII (0,г)

Г д,11 (га") -1 ( ) dz = 0

1 г у гг/\г=Xп( г )

0

V

г

0

К

0

Уравнение (30) представляет собой исходное вариационное соотношение, отображающее уравнения движения и граничные условия на поверхностях среды и индентора, но без учета кинематического и кинетического условий в области возможного контакта (8), (9) и (12). Учитывая, что это уравнение, описывающее состояние континуума, записано относительно скоростей движения и их вариаций, условие (12) целесообразно преобразовать к виду, содержащему скорости движения точек инден-тора и среды. Дифференцируя это условие по времени, приведем его к виду, получившему в иностранной литературе [4] название «условие непроникновения (отсутствия взаимопроникновения)»:

Гп = < + V" <0. (31)

Здесь чП и - составляющие векторов скорости, принадлежащих индентору и среде точек возможного контакта в направлении соответствующей нормали, связанные с проекциями скорости на оси системы координат Ог, соотношениями:

,1п = ,1гп1г + у[п[, ,1Т = -у1гп[ + ,{п1г (I = I, II ). (32)

Объединяя условие (31) с условием (8), приходим к следующему «обобщенному контактному условию»:

,+,п а=,+а=0. (33)

Производя в четырех последних слагаемых уравнения (30) замену переменных по формуле

и учитывая, что приведем их к виду

= Щ^1г (I = РП)

дг

(34)

XI(0,)

XI( к1, )

XI(0,г) К1

Г &(г<|„X-(,,)&=-

XI (^) 0

XII(0•t) . К2

Г , (гаГГ) -1 ( ) dz = Г дч^ аЦ

J г \ гг )\г=x1^(г,г) J Г гг

00

XII (0,г) К2

Г V(га1)г*1Ь,)^

X

(г ) 1г

г1г , г1г ,

Мг,

Используя известные соотношения для направляющих косинусов п1г и п, (I = I, II) [5]:

= (-1)

1+1

д~~1

дг

dXII

^п (г ) 1г нусо д%

г1г .

(35)

(36)

(37)

(38)

п.

II

=(-1)

1+1

дг

., (I = I,II)

(39)

дг

+

^дXL~'

дг

+

дг

и принимая во внимание, что с учетом (20)

X=-1ь=пГ., X=1 = К, (,=I,п)

1г 1г п, дг п,

(40)

после подстановки (35) - (38) в (30) получаем

К

0

0

п

2

2

г

2

2

- Г Г г: Гг(5¥“ )+5¥” аг+с” Г,(5¥“ )+5¥

0 XII (гД) V

дг

■(^г К^г

0 XII (гД)

II

Эг

&1 XI (м) ( -л

Г Г (а;. Г и*г 1+

0 XI (^ К V Эг + а,, )+а,г )+8v,р - v

п dvГI

IIр------ +

Л

гёгёг -

а!

+ аг^'^г)+

г Эг

&

+

Эг

К1 2,Л

дг

г а.

Г1 «VI ( I

+Г^ а

0 пг

? 8vг (

0г ? Svrп (

0 пг

? 8vZ (

- Г ^^

( >п, + а*

z=XI (г,*) г гг

( лп, +а,г

z=XI (гД) г ,г

„II ,

( >п, + 0

z=Xп (г,*) г гг

( , пг гаг +

-XI (г,*) г“

г,^,,)nI )г-г

) nIП ^

гёгёг -

(41)

0 п,

z=XII (г,*)пг +а,г

z=Xп (г,*) г

,,) "? )г-г+1

+ Г 8vZpгdг = 0.

Учитывая формулы (32), выразим вариации д,1Г и д,, (I = I, II) компонент векторов скоростей точек континуума через их нормальные д,1п (I = I, II) и касательные д,1т (I = I, II) составляющие следующим образом:

д,1Г = д,1пп1Г -д,1тп[, д,, =д,1пп[ +дч1тп1Г (I = I,II). (42)

Подставляя (42) в (41) и группируя затем в полученном уравнении члены, содержащие вариации нормальных и касательных составляющих векторов скоростей, имеем

^ 'Ч !-П 0 ^ „II

II д

•Г Г ' ‘' Эг

(svZr)

агг — )+ 8v

0 X и (гд) д

II °оо

г

+ аг,— (8vrI )+8vrIр - Vr

.и

Эг

+

+ а,, )+о,г ^Г(8vZI )+8vZIр ^

Эг Эг

г-Мг

Й1 XI (гД)

- Г Г

0 XI ^Д)-Ь1

л д и I \ I Э

^ ^(^г )+8v

дг

I а00

+ 0rz ^г )+8v

Эг

rIр

- vr

+

+ аг— (8vZ) + а ,г ^ (8vZ) + ^

Эг Эг

I - V I р

Л

Мг-г -

0 п,

+пг( °г,

7

+ Ь

nr I а1

( ип, + 7,г

г =XI (гД) г ,г

г^I (г,*)пг +

(43)

( ,п,+

г =XI (г,*) г гг

пг

,=XI (гД) г

г-г +

0 п, nr I аI

nrI а 1

, >п, + а г.

,=XI (г,*) г гг

пг

,=XI (гД) г

( , п, + а,г

,=XI (гД) г ,г

пг

,=XI (г,*) г

г-г

Используя выражения (10) и (11), легко убедиться в том, что члены, содержащиеся в квадратных скобках в уравнении (43), представляют собой значения нормальных а1пп (I = I, II) и касательных <71пт (I = I, II) составляющих векторов напряжений на площадках, перпендикулярных к главным нормалям поверхностей индентора Г4 и среды Г3, включая и поверхность контакта Гс. Принимая это во внимание, уравнение (43) перепишем так:

0

г

,

-ї І [аг £ (—*? )+8ї" ^+*" £(8ї” )+8ї”р іт+

0 Xп(г,1 )^

+ « ^(5у^ )+ої ^(—у? )+5у^р аї” ^

' ' -“дг4"*'' "гг а

гёгёг

у

Ьі XІ (г,і) / і і

І І < д“ (—у )+5уГ ^+оГ2 — (—у )+5у^ р—+

охі(М-* І дг г і ^ (44)

і д (ь..І^ , _і д (я,.і'

+ о1^(5у! )+ а12г ^(—у!)+ 5уір іг^аг +

дг 2Гдгч 2Г а

Ьі Ьі буі Ьі буі

+ | буІрЛ + | оПпгаг + |—Пхгаг

0 0 пг 0 пг

£,,П £,,П

- | ІГаПпГаг - | ^аПІхГаг = 0

* п * п

0 пі ^0 пі

С учетом граничных условий на поверхностях Г3 и Г4 , свободных от внешней нагрузки (6) и

(7), обобщенного контактного условия (33) и отсутствия сил трения на контактной поверхности (9), преобразуем последние четыре слагаемых в (44) так:

Кіо I а с I I а £ I

І —п а1 г(г = І —^ а1 г(г + І —п а! г(г = І —п а1 г(г,

I I пп I I пп I I пп I I пп

І п І п * п • п

0 г 0 г а г 0 г

«і ^ I а с I ^і е; I

І —Т аІМг = | —Т аІМг+1 —Т а1Ыг=0,

і п і п •’ п

0 г 0 г а г

«2 Яі II а С II «2 С II а о II

І —т аУ(г = 1 —г аУ(г+} —г аУ(г = | —г аУ(г, (45)

* п * п •’ п * п

0 г 0 г а г 0 г

«2 С II а о II Й2 С .II

І -Г- аТг(г = 1 -г апМг+1 —т апМг = 0,

0 пг 00 пг а пг

І —Га’пп^г -1-п-аігйг = 0, (46)

0 пг 0 пг

аа

І “Г —(уп7 + ")а1г(г = -І-7Т —;і + ;!! •

0 пг 0 пг

Подставляя (45) и (46) в (44), окончательно получаем

«2 ^2 «і XI (г^) «і

—ф(г,г,г)= І ІІнг(г(г + І ІІ!г(г(г - І&іргйг = 0, (47)

0 X;; (г,г) 0 XI («і,гМі 0

где

Iі (г, г, г)=аГг д- (—^г)+—;Г а д~ (—г)+—г р1 (^г

дг г дг ( (і = I, П) (48)

і д I£,і\ , ~.і д ІX.Л , Х.і Л ( ;г

+ а:7— (д,,)+ а17Г —(д,,)+ д,[ р .

„ Э, -г Эг dt

Полученное вариационное уравнение движения континуума (47) универсально, так как оно выведено без наложения каких-либо ограничений на форму деформированных поверхностей индентора и среды вследствие контакта, геометрические соотношения и на физические уравнения, определяющие состояние материала тел, образующих континуум. Поэтому при решении конкретной задачи оно должно быть дополнено соответствующими физическими и геометрическими соотношениями, а форма деформированных поверхностей должна быть конкретизирована с учетом условий нагружения континуума. При дополнении уравнения (47) указанными выше соотношениями решение динамической задачи теории упругости или пластичности либо смешанной (в зависимости от выбора физиче-

55

ских уравнений) о напряженно-деформированном состоянии континуума в каждый момент времени может быть сведено с применением какого-либо из численных методов к отысканию минимума

функционалаФ (г, 7,г) с учетом ограничения (31) и требования 71пп < 0 (I = I,II) в области контакта.

С использованием метода штрафных функций или метода множителей Лагранжа эти ограничения можно учесть непосредственно в вариационном уравнении движения континуума и свести решение задачи к отысканию безусловного минимума соответствующего функционала, что значительно упростит её решение.

Если считать индентор абсолютно жестким и пренебречь его деформациями по сравнению с

деформациями среды, то для поступательного движения индентора вдоль оси О7вариационное

уравнение (47) можно значительно упростить и записать его в виде

К2 ^2 { Л I Л

2 - 1 d '

0 Хц (r ,t)

R \ Ro-Ro

дФ(г, z,t)= J J fnrdzdr + dv\ Ml z - F(t) = 0, (49)

где м1 = Г Г р!Г1,1Г - масса индентора.

0 -(^0+К)

При записи уравнений (49) учитывалось, что при поступательном движении индентора в направлении оси Ог составляющая вектора скорости = 0 , а составляющая для всех его точек,

включая и точки возможного контакта, одинакова. Так как вариация проекции скорости д/ произвольна и может принимать любые значения, то на основании (49) получаем

Л „I

дФ11 (г, г, г) = Г Г/пг1,1г = 0, М1—- - Р (г ) = 0. (50)

0 XII (г,г) ^

Интегрируя второе из уравнений (50), находим

1 г

Г Р (т)Т + С, (51)

vz z M o

где С - произвольная постоянная.

Подставляя (32) в (31) и затем в полученное выражение (51), имеем

I г

,"п" + >/У' <-п,ГР(т1т + С. (52)

М 0

Из проведенных рассуждений следует, что в случае индентора в виде абсолютно твердого тела решение задачи в каждый момент времени сводится к отысканию поля скоростей точек среды и постоянной интегрирования С, обеспечивающих минимум функционала ФП (г, г,г) при выполнении ограничений (52) и а" < 0.

В заключение заметим, что полученные в данной работе результаты могут быть достаточно просто обобщены для описания движения континуума, составленного из нескольких контактирующих тел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Овчинникова Н.В. Модельная задача для исследования процессов поверхностного упрочнения пластическим деформированием с применением ультразвуковых воздействий / Н.В. Овчинникова, Д.Г. Павлов, Ю.В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2007. №4(28). Вып.1. С. 14-18.

2. Овчинникова Н.В. К расчету напряженно-деформированного состояния упругопластического полупространства, контактирующего с абсолютно жестким индентором / Н. В. Овчинникова, Ю.В. Чеботаревский // Вестник СГТУ. 2010. №4(51). Вып.3. С. 10-17.

3. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. М.: Высш. шк., 1968. 512 с.

4. Belytschko T. Nonlinear finite elements for continua and structures / T. Belytschko, W. K. Liu, B. Moran. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2000. P. 666.

5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 2. / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Лань, 2005. 464 с.

Овчинникова Наталья Владимировна -

ассистент кафедры «Техническая механика и детали машин» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Чеботаревский Юрий Викторович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья пос

Natalya V. Ovchinnikova

Assistant Lecturer,

Department of Technical Mechanics and Machine Elements, Gagarin Saratov State Technical University

Yuri V. Chebotarevsky -

Dr. Sc., Professor Department of Applied Mathematics and System Analysis,

Gagarin Saratov State Technical University

типа в редакцию 15.10.11, принята к опубликованию 01.12.11