Применение метода многочленов к расчету параметров установившегося маневра упругого самолета Текст научной статьи по специальности «Физика»

______ УЧЕНЫЕ 3АПИ С К И ЦАГИ

Т о м VII 197 6

№ 4

УДК 629.735.33.015.4:533,6.013.422 ,

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МНОГОЧЛЕНОВ К РАСЧЕТУ ПАРАМЕТРОВ УСТАНОВИВШЕГОСЯ МАНЕВРА УПРУГОГО САМОЛЕТА

Г. А. Амирьянц, В. Г. Буньков'

Дается алгоритм, расширяющий возможности метода многочленов на случай расчета некоторых аэродинамических характеристик упругого самолета и параметров его установившегося маневра. За основу берутся характеристики, применяемые при расчете на флаттер, — жесткостные, инерционные и аэродинамические матрицы. Деформации самолета, углы отклонения и эффективность рулей как при боковом маневре, так и при продольном выражаются в универсальном виде.

Идея объединения расчетов на флаттер летательного аппарата с расчетом эффективности рулей и элеронов реализовалась ранее в работе [1]. Особенность задач аэроупругости заключается в том, что деформации и упругие колебания самолета, как правило, рассматриваются в неподвижной системе координат. Так, в применяемом нами для решения поставленной задачи методе многочленов [2] перемещения самолета как твердого тела и перемещения, вызванные упругими деформациями, записываются в неподвижной системе координат х, г в виде

г, 0 = 2 «*/*(*» г); /*(■*> г) (1)

й=1

где х — координата, направленная вдоль скорости набегающего на самолет потока; г — координата, направленная вбок; х, г — безразмерные координаты, отнесенные к характерному размеру Ь.

В задаче о флаттере самолет рассматривается в прямолинейном равномерном движении, поэтому инерциальная система координат, связанная с вектором скорости набегающего потока, вполне уместна. При маневре самолет летит по кривой, и система координат, связанная с вектором скорости набегающего потока,

оказывается уже неинерциальной, следовательно, для такой системы окажутся непригодными инерционные характеристики, взятые из задачи о флаттере. ,

Полагая, что все точки на траектории установившегося маневра равнозначны, рассмотрим мгновенную картину маневра и введем инерциальную систему координат, связанную с направлением мгновенной скорости набегающего на самолет потока. Тогда установившийся маневр упругого самолета можно описать тем же матричным уравнением, что и флаттер:

({?+ ъ'В)и 0-\- С 0 = Я, (2)

где О, С— жесткостная и инерционная матрицы;

В, й — аэродинамические матрицы;

V — параметр потока (либо скорость V, тогда х = 2; либо относительная плотность Д, тогда х=1); ф — вектор обобщенных сил.

Вектор обобщенных перемещений £/=(«!, . . . , иц, §„)

будем считать состоящим из N компонентов ии . . . , им, определяющих деформацию (и поворот) самолета согласно выражению (1), и из е компонентов йлг+1, . . . , и.н+е, определяющих углы 8Ь . . . , отклонения рулей и их секций.

Номера у тех компонентов иу-, которые определяют перемещение и поворот самолета как твердого тела, обозначим ..., /т; для продольного маневра /га = 2, для бокового т — Ъ. Для примера рассмотрим продольный маневр (что соответствует расчету симметричных форм колебаний и флаттера) с заданием деформаций в виде ряда но = их «2 х + ийх2. . . . В этом примере компоненты ии м2 (у 1 = 1; /2 = 2) означают соответственно вертикальное смещение некоторой ТОЧКИ конструкции на величину «1 и поворот некоторого сечения фюзеляжа около центра координат на угол а = и21Ь. Угол а — это местный угол атаки, образованный осью х и касательной к упругой линии деформированного самолета в окрестности начала координат (л: = 0). Такое условное определение угла атаки для деформированного самолета совпадает с общепринятым для „жесткого" самолета (со знаком минус). Если в указанном примере компоненты «2, и2 имеют ненулевую производную щ, и2ф0, то угол атаки будет определяться суммой (— и,г\Ь —

— и^У), а угловая скорость будет равна и2/Ь. Поскольку угол атаки, как видно из этого примера, не однозначно определяет сочетание компонентов м2 и и1> то ПРИ расчете параметров маневра в формулах хотя и будет фигурировать ии но для определенности его можно брать равным нулю.

Ниже преобразуем уравнения движения так, чтобы а обозначало поворот касательной к упругой линии самолета не около начала координат, а около центра тяжести самолета. Аэродинамические производные будем „привязывать" к введенному таким образом углу. Далее, говоря о смещении центра тяжести самолета, будем иметь в виду смещение той точки на упругой линии, которая для недеформированного самолета совпадает с центром тяжести. Соответственно углом поворота вокруг центра тяжести будем называть угол, образованный касательной к упругой линии в упомянутой точке и осью х.

Известно, что на многих самолетах элероны и рули составлены из нескольких секций. В задаче о флаттере движение каждой секции описывается отдельной степенью свободы. При маневре же все секции отклоняются на один угол (или в определенном соотношении) и, следовательно, их движение описывается одной степенью свободы.

Поскольку анализируемый расчет основывается на использовании матриц (/, С, В, /?, взятых из расчета на флаттер, то в качестве первого этапа следует преобразовать вектор II и матрицы в,

С, В, й, введя вместо смещений, заданных многочленом (1), смещение и поворот центра тяжести (ц. т.), и сократить число секций рулей до минимума.

Введем вместо вектора и = (ии . . . , и,ч, Ъи ... , 8е) новый вектор, состоящий из трех частей: и0, ии и2, где £/0 — вектор компонентов, не влияющих ни на аэродинамику, ни на упругие силы; 1)х — углы отклонения самолета и его рулей; и2— компоненты, определяющие упругие деформации. Конкретно векторы и0> равны:

для продольного маневра, что соответствует расчету симметричных форм колебаний и флаттера самолета,

и0 — вертикальное смещение ц. т. самолета (положитель-

ное— вверх),

— поворот самолета вокруг ц. т. (положительный на

—угол отклонения рулей высоты (положительный вверх); для бокового маневра, что соответствует расчету антисимметричных форм колебаний и флаттера самолета,

)вое смещение ц. т. самолета,

: крена, поворот вокруг оси х', проходящей через

л скольжения, поворот вокруг ОСИ У, проходящей ез ц. т.

л отклонения элеронов,

л отклонения руля направления.

Обращаем внимание на то, что порядки векторов и0, их соответственно равны т—1 и т. Положение ц. т. по двум осям х1г уТ может быть определено из инерционной матрицы С.

Введя вместо е углов отклонения рулей и их секций всего лишь один угол 8В отклонения руля высоты для продольного маневра или два угла §9, 8Н отклонения элерона и руля направления для бокового маневра, мы должны выразить их взаимосвязь. Это можно сделать, определив долю отклонения каждой секции при маневре:

8г = £;8в; г = 1, . . . , е — для продольного маневра,

8г = 8Э к\ 8Н; г=1, ..., е — для бокового маневра.

Например, пусть для расчета продольного маневра используются матрицы О, С, В, £>, предназначенные для расчета симметричных форм флаттера, в котором е = 4 и при этом 81? 82, 83 —отклонения трех секций элерона, а о4 — отклонение руля высоты. Тогда к1 = к2~к3 = 0; &4 = 1.

Возвращаясь к индексам . . . , /т, условимся, что компоненты с этими номерами означают следующее: ]\ — смещение (вверх

пикирование),

во

или вбок), а соответствующая координатная функция //1 = = 1; /2 — поворот относительно начала координат (тангаж или скольжение), а соответствующая функция /^2 = .* = •*/£. Для бокового маневра (антисимметричные формы колебаний) имеется еще и третий „нулевой" компонент с номером Уз, который соответствует крену, а координатная функция =

Переход от прежнего вектора и к новому, состоящему из трех частей и0, ии и2, запишем с помощью матрицы перехода Т:

(3)

(штрих означает транспонирование).

Вектор новых обобщенных сил фн, в свою очередь, с помощью этой же матрицы перехода Т выразится через вектор обобщенных сил (}:

<?„=7Х?. (4)

Матрица Т имеет следующее строение (при переходе от центра координат к ц. т. ограничиваемся случаем, когда участок упругой линии между этими точками — практически прямая).

Тт\

(т X >У;)[

Т=

[2 Ь 1 -Ут -*г Ъ А , ш;

ш ъ 2 ът,

£

Е

£ " Г

£

► 7^^ (/77хЛ^)

'О)

(777-1)*#}

l=N-m

N

Прямоугольная матрица Т, имеющая общий порядок (УУ + т —

— 1)‘А^і, разбита на несколько блоков; 70, Тъ Т, в соответствии с векторами 1/0, ии и2. Заштрихованные строки появляются только в случае расчета бокового маневра (яг = 3), при расчете продольного маневра {тп=-2) они исчезают. Особо выделяем блок Тт в матрице Т, он нужен для выражения подъемной силы (боковой силы) и моментов через прежние обобщенные силы ф:

<2і “Т’я.О; ^=(^У) или (5)

1' Первые ш компонентов в векторе сил (}н, образующих подвек-Т0Р Яи — ЭТО те силы и моменты, которые определяют маневр самолета. Далее в векторе идут пг — 1 шарнирных моментов

(обозначим М) и, наконец, I обобщенных, сил, соответствующих, упругим деформациям (обозначим (?2)'

При расчете параметров установившегося маневра будем исходить из уравнения (2), учитывая, что в переходе от вектора (Р к О0, и%, и2 и от сил к Оу М, (?2 часть переменных следует изъять. В самом деле, вектор ио не влияет на слагаемые с матрицами О и В. В свою очередь, в слагаемых с матрицами й и С скорость й2 и ускорение М2 равны нулю по определению установившегося маневра. В произведениях йй и СО следует оставить только и0 и первый компонент от иг, такое сочетание компонентов обозначим

ит=

ос

ИЛИ

(6)

Вектор ит определяет перемещение и поворот самолета как» твердого тела. Соответствующие силы и моменты обозначены (5). Вектор ит связан с и через блок Тт.

При переходе от вектора сил к новым силам оставим только и (?г, а М отбросим, поскольку задача определения шарнирных моментов может решаться отдельно.

Таким образом, в уравнение (2) вместо векторов і/, І/, ІІ подставим соответственно

°' <г;’ г;) (£);

и={Т'0, Т[, г2) I

и=(Тт....)

и

о

= Тт ит\ и=Ттит

(7)

От вектора обобщенных сил @ перейдем к силам кото-

рые связаны соотношением

@А____(Тт\ п. /п ___ т п\

п. , ) <?, «?, = Т20),

М2/ \*г /

после чего (2) приобретает следующий вид:

[0{Т[ Т2) + Vх В (Т[ Т'2)\ ^ + г» ОТ’тйт +

+ {ТТ\]

или в развернутом виде:

сттиш

Ql

'Т^аг,

ттот2\

т, вт\ Г2ОГ2

ТтОТ'

Vх

ТтВТ[ ттвт Т2ВТ[ т2вт2

ит+\

ТтСТ

и„

ТгОГа)—- ■ \ТгСТ'т)"т ^ Введя следующие обозначения:

о22 = т2 ст2, (Тп 0Т[ = ттот2 = т,ат[ =

: Т2 ВТ{, В22 -Тт СТ ; С, =

т тл “

В, = ТтВГх- вГ2 = ттвгТ в2 = ТтОТ' • 1>,= 72ЯГ; С,

0);

т2вт2.

= П СТ'

(9)

(10)

(И)

и разбив уравнение (10) на две части, получим:

■ Vх В х U\ + v% В^ U2 -ф- v D\ Um •+■ Ci Uт — Qi'i 0^)

w* В, £/, -• (G2, -f- ^ ВТ2) U> + vD2 ит + С8 Um = Qo. (13)

Если в уравнении (12) приравнять нулю деформации U2, то получим матричное уравнение для жесткого самолета:

■rBiU1 + vD1Um + ClUa=Qi. (14)

Для определения параметров маневра Uu Um, Um следует иметь в виду, что требуемые для маневра силы можно представить либо через Qi, либо через Ci Um. Вообще правая часть Q введена для описания особых сил — тяги двигателей, сил, обусловленных несимметричностью обтекания самолета и т. п. Требуемые силы удобнее выразить через произведение Сх Um, этим произведением можно определить и силы веса, и центробежные (природа их одинакова). Например, для маневра с перегрузкой п следует в качестве Um подставить Um=(ng,0)', а для йт получим тогда Um =

; Решим систему (12) и (13) с нулевой деформацией U2, для чего выразим t/a из уравнения (13) следующим образом:

U2 — vxPUi+vRUm + SUm — Q2*, (15)

где

Р — Z В2\ R = Z D 2', S = Z С2; Qat~ZQ2', Z = (62j + ‘й'Вгг)-1-

Подставляя в (12), получим:

Vх В0 U1 + vD0Um + C0Um = Q0, (16)

где ' ■

В0 = Вх -f- vxВ12Р; D0 = Dx -f- vxB^R\ Сй = CxvxB\2S\

Qo = Ql Ч- Q2*'

Уравнение (16) определяет установившийся маневр упругого самолета и по форме похоже на уравнение (14) для жесткого самолета, но чтобы аэродинамические силы vxB0Ult vD0Um соответствовали по физическому смыслу таким в уравнении (14), т. е. означали бы подъемную (боковую) силу и моменты, следует уравнение (16) умножить слева на произведение Сг С^1, в результате чего получаем:

vxBynp их Dx упр Um + Ct Um = Qj упр, (17)

где

упр = Ci С0-! В0; D\ упр — Cj С0 1 Z)0; Qx упр = Ct С0 1 Q0.

Отличные от нуля силы Q могут означать, например, силы, обусловленные конструктивной кривизной крыла, несимметричностью профиля и т. п. Такие силы, очевидно, пропорциональны множителю Vх, а в коненном итоге — скоростному напору. С другой стороны, могут иметь место силы, не зависящие от скорости. Поэтому силы Q целесообразно представлять состоящими из двух слагаемых: Q=Q'-\-vxQ".

С помощью уравнения (17) получаем как параметры маневра:

Ux = — (г>*#, упр)-1 (v Dx уПр Um + С, Um - «?! уПр), (18)

так и серию аэродинамических производных с учетом упругости В-1 1)\ упр- Последние желательно привести к безразмерному тра-

диционному виду Су, т“г и др., исходя из того, что безразмерные

силы связаны с размерными ф, через скоростной напор <7, площадь крыла 5 и характерный размер а следующим образом:

а безразмерные скорости и ускорения связаны с размерными:

Здесь V— скорость полета, М — масса самолета. Компоненты, взятые в круглые скобки, нужны только для бокового маневра (т = 3). Характерный размер а равен / — размаху крыла для бокового маневра и Ьа — средней аэродинамической хорде для продольного маневра. Скоростной напор ц, очевидно, может быть однозначно связан с параметром потока V формулой

Матрицы безразмерных аэродинамических производных в итоге запишутся следующим образом:

Параллельно с преобразованием (17) дадим еще и другой вид представления аэродинамических сил на упругом самолете, для этого уравнение (16) перепишем так:

Видно, что те же аэродинамические силы выражены по-другому:

Этот новый вид выражения аэродинамических сил на упругом самолете, по-видимому, менее удобен для расчета параметров маневра, поскольку он не дает зависимости сил в явном виде от углов атаки, углов отклонения рулей и угловых скоростей самолета, однако он весьма удобен для раздельного анализа влияния упругости конструкции и влияния распределения масс на аэродинамические характеристики самолета. В самом деле, в формировании матриц В0 и />„ не приняла участия матрица С. Всякая вариация масс в самолете, и в первую очередь расход горючего, будет влиять на изменение аэродинамических производных упругого самолета через произведение Супр От.

1. Буньков В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

2. Буньков В. Г. Учет деформации сдвига при расчете колебаний крыла малого удлинения методом многочленов. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 4, 1972.

диагональная матрица т-го порядка,

(19)

— диагональные матрицы (20) т-го порядка.

д = д0ъх (д0 = союі).

(21)

B1 = vxf^BlyПp; упр /.

(22)

ъхВ0и1 + йт + СуПр йт + Сх ит = (?„; Супр = (С0 — С]). (23)

*х Вх упр и, -Ьг/0, уприт = До их + vD0 ип + Супр Цт. (24)

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила ЗІ VI 1975 г.