Построение закона управления для снижения маневренных нагрузок на упругом самолете Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м XII 19 8 1

№ 4

УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.42

ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СНИЖЕНИЯ МАНЕВРЕННЫХ НАГРУЗОК НА УПРУГОМ САМОЛЕТЕ

Математическая модель продольного маневра упругого самолета используется для построения системы активного управления нагрузками. Предложен метод определения закона управления самолетом для снижения маневренных нагрузок.

В последние годы во многих исследованиях рассматривается возможность улучшения летных характеристик летательных аппаратов с помощью систем активного управления (САУ). Одной из рассматриваемых возможностей является снижение маневренных нагрузок с помощью САУ.

Нагрузки в выбранных сечениях конструкции могут быть снижены путем перераспределения аэродинамической силы по несущей поверхности аэродинамическими органами управления.

В теоретических исследованиях обычно используется математическая модель абсолютно жесткого самолета, а при учете упругости конструкции ограничиваются малыми отклонениями от горизонтального полета [1, 2].

В настоящей работе для построения и исследования систем снижения маневренных нагрузок предлагается использовать более общую математическую модель маневра упругого самолета, которая позволяет исследовать взаимодействие САУ с движением самолета как твердого тела и с упругими деформациями конструкции при больших возмущениях.

1. Продольный маневр упругого самолета. На основе общих уравнений движения деформируемого тела в работе [3] получены уравнения, описывающие продольное управляемое движение самолета с учетом его симметричных деформаций:

Ф. 3. Ишмуратов, В. Н. Поповский

П

тт у = Г + ^ Рк від 9* •—соб & — ^ (с-іі 9 і +‘иа-и Я і +

ї=і

п

+у2 Ь_и <7г) + ч>1 ^ с—іі

(О

ттх

п

+ а ^ ЙІ + Ь_и ЯіУ,

1=1

дау= — 1/а — иа + шг и;

h №г + m [~~xc wy + ycwx — <іг {x\ + y2c)] = Mz + mg (xc cos » + yc sin ft) —

n \ n

Удв *+]!£ fik Qi + 2 (c°< it + vdoi Ъ +1,2 M Чй —

i=1 ) i~ 1

n

— — ®г + «2 *c) 2 С_іг (3)

І = 1

Cq + vDq + (v2 В + G) Q; (4)

я

Qi = “г ^ CU 4j ~ C-U (®y + ">z + »гЛ) + coi <°г + 1,2 di, -i“ +

J= 1

T /

+ P №o — •*<: dt _j) <ог — £с_1; COS » + Qp.+ ^ % V

;'=i

і = 1, 2, . . n,

8; -f kj bj = Uj, 7=1,2, . . ., r. (5)

Здесь m, Iz, xc, yc, a, 9, o>z, v — инерционные характеристики и параметры

движения недеформированного самолета:

/и, lz—масса и момент инерция самолета относительно связанной оси Ог\ а, & — углы атаки и тангажа (рис. 1); «г = $—-угловая скорость тангажа; v — скорость

центра инерции самолета; хс, ус, — координаты центра инерции; X, Y, Мг —

аэродинамические силы и момент, действующие на недеформированный самолет;

Рис. 1

Рк> ¥*• Удв *— тяга, угол установки и координата по оси Оу к-то двигателя; # — вектор канонических обобщенных координат в системе координат, связанной с самолетом; в, С, V2 В, у/) —матрицы жесткости, инерции, аэродинамической жесткости и демпфирования.

Коэффициенты с индексами— 1 и 0 описывают взаимодействие между упру-* гим движением и движением самолета как твердого тела; 8.—угол отклонения

1

/-го органа управления;— — постоянная времени привода; и,-—управляющий

Лу

сигнал на /-м приводе; (}п — обобщенные силы, обусловленные тягой двигате-

1 ч

лей [1].

Уравнения записаны в левой связанной системе координат (ось Ох направлена по потоку, см. рис. 1). Система уравнений (1) — (5) может быть записана в общепринятом виде для управляемой системы:

z = f(z,t) + Gu, (6>

где г = (а Я и д д 8)т — //-мерный вектор переменных состояния (Ы=2п + г+4); и — (иъ и2,... иГ)т — вектор управления; /(г, () определяется путем решения системы уравнений (1) — (5) относительно старших производных, которые входят в уравнения линейно.

- X Pk cos I

k=i

Выбрав начальное состояние системы г0 и задав управление и, уравнение (6) можно проинтегрировать численно на ЭВМ и, следовательно, определить переменные состояния в процессе маневра. Другие интересующие величины (перегрузка, силовые факторы в выбранных сечениях конструкции) выражаются через переменные состояния (см. [1]).

2. Математическая постановка задачи об активном управлении нагрузками при маневре летательного аппарата. Под „управлением нагрузками” будем понимать снижение максимального в процессе маневра значения нагрузки в выбранном сечении конструкции. Как было отмечено выше, управление нагрузками проводится перераспределением аэродинамических сил путем отклонения органов управления. Сформулируем математическую задачу управления маневренными нагрузками. Управляемая система (самолет) описывается системой дифференциальных уравнений (6). Заданы начальное и конечное состояния системы:

г(0) = г0; г(Т) = гт-

Конечный момент времени Т может быть как фиксированным, так и свободным. Нужно найти управление и, переводящее систему из состояния г0 в состояние гт с минимальным значением функционала

Ф (г) = шах | Р{г,Л) |,

где Р{г, £) означает интересующую нас нагрузку.

При минимизации функционала нужно иметь в виду, что управление и параметры состояния должны удовлетворять некоторым ограничениям типа неравенств, например: 8Г <; 8; (() ^ 5+— ограничения на отклонения органов управления.

Такую задачу можно решать каким-нибудь численным методом, например, методом последовательной линеаризации [4]. В результате получим так называемое программное управление, т. е. управление без обратной связи. Для его осуществления нужно иметь бортовую ЭВМ с нереально большим быстродействием, так как нужно многократно интегрировать систему уравнений (6) (см., например, [4]). Большой порядок уравнений также не позволяет применить методы динамического программирования. Поэтому рассмотрим другой подход к задаче управления маневренными нагрузками. Будем считать, что управление самолетом при маневре состоит из двух частей:

и — и° + и1,

где и0 — траекторное управление; и1 — управление с целью снижения нагрузок.

При определении траекторного управления (это задача динамики полета) нагрузки учитываются только в виде ограничений, чтобы не превысить их максимально допустимые значения. Управление и0 будем считать известным.

Управление и> будем искать в виде сигнала обратной'связи по параметрам состояния

и1 = К (г — 20),

где К — постоянная матрица коэффициентов обратной связи.

Вернемся к рассмотрению продольного маневра самолета с учетом его симметричных деформаций. Управление по траектории осуществляется отклонением руля высоты, закон управления которым и0(0 будем считать известным. Для продольного маневра одним из наиболее характерных величин, определяющих нагруженность конструкции самолета, является изгибающий момент в корне крыла. Его максимальное значение будем снижать, используя симметричные отклонения элеронов и закрылков. Закрылки будем отклонять пропорционально отклонениям элеронов в противоположную сторону таким образом, чтобы дополнительная подъемная сила, возникающая на крыле из-за отклонения органов управления, была незначительной (в установившемся маневре — равна нулю). При таком управлении не надо заботиться об ограничениях на угол атаки, перегрузку и т. д., так как их изменение будет незначительным; остаются ограничения на отклонения органов управления. Эти ограничения можно включить в функционал с соответствующим весом, как штрафную функцию.

Таким образом, задача оптимального управления с ограничениями типа неравенств в рассматриваемом случае сводится к задаче безусловной минимизации функции многих переменных. Сформулируем задачу: найти

«а траектории системы

*..= /(«, <) + О1^(г-го) + е0во(О

(7)

с начальными условиями г(0) = г0.

Здесь 5Э — угол отклонения элерона; в1з О0 — соответствующие столбцы матрицы О; р, р — параметры штрафной функции, определяемые эвристически.

3. Определение закона управления. Изгибающий момент Мязт выражается линейно через обобщенные координаты [1]; 8Э является одним из параметров состояния; таким образом, для вычисления значения функции Р(К) нужно проинтегрировать систему уравнений (7) при фиксированном значении К■ Это серьезное требование к методу минимизации, а именно: количество вычислений функции /=•(/<■) должно быть минимальным. Очевидно, что линии уровня функции Р(К) имеют резко выраженную овражную структуру, поэтому можно сразу исключить из рассмотрения методы первого порядка (типа наискорейшего спуска). В методах второго порядка, нечувствительных к овражной структуре (типа Ньютона — Рафсона), для данной задачи слишком трудоемко вычисление матрицы вторых производных. Поэтому для определения направления спуска был выбран метод переменной метрики Дэвидона — Флетчера — Пауэлла [5], который не требует вычисления вторых производных и малочувствителен к овражной структуре линий уровней функции. Еще одно достоинство данного метода состоит в том, что его сходимость зависит от точности определения шага спуска меньше, чем у других методов сопряженных градиентов. Поиск шага спуска (определение точки минимума функции одной переменной) производился с помощью параболической интерполяции.

4. Пример построения закона управления, й качестве примера использовалось применение изложенного алгоритма к исследованию продольного маневра тяжелого пассажирского самолета со стреловидным крылом большого удлинения. Рассматривалось 4 упругих тона и 3 органа управления: руль высоты, элерон, закрылок. На руль высоты сигнал обратной связи не подается; закрылок отклоняется пропорционально отклонению элерона; таким образом, число неизвестных коэффициентов обратной связи равно порядку системы уравнений (6): N = 2п +■ г + 4 =15. Маневр совершается отклонением руля высоты. Начальное условие г0 — установившийся горизонтальный полет у земли.

На рис. 2 приведено поведение самолета с системой управления (САУ-1) и без нее. Видно, что не ухудшая маневренности самолета, можно существенно снизить изгибающий момент в корне крыла с помощью сигнала обратной связи.

На самолете с САУ для выхода на ту же перегрузку руль высоты отклонялся на меньший угол, так как на стреловидном крыле отклонение элерона существенно влияет на тангажный момент. В данном примере замкнутая система оказалась неустойчивой в диапазоне частот упругих колебаний. Этот факт подчеркивает важность исследования систем активного управления маневренными

юс

} г.с

$Р(

ю

СШк

_!______________I_____________I___________I

6 Ї,С

Рис. 4

нагрузками совместно с динамикой упругих деформаций. В данном случае устойчивость терялась при взаимодействии двух первых упругих тонов, так как коэффициенты обратной связи при и получились слишком большие.

После уменьшения в пять раз указанных коэффициентов замкнутый контур стал устойчивым, при этом эффект снижения изгибающего момента уменьшился (рис. 3, САУ-2).

Из теории известно, что оптимальное управление в линейной стационарной системе с квадратичным критерием качества получается в виде линейной комбинации всех параметров состояния. Из этих соображений для оценки возможности максимального снижения нагрузок в приведенных примерах сигнал обратной связи берется от всех параметров состояния. Поэтому даже после выхода на квазиустановившуюся перегрузку изгибающий момент продолжает уменьшаться, так как угол тангажа & и скорость V продолжают изменяться и при установившейся перегрузке.

Кроме того, при таком выборе сигнала обратной связи после совершения маневра остается сигнал, пропорциональный статическому изменению параметров состояния, но данный эффект может быть сделан незначительным соответствующим выбором кинематической связи между отклонениями органов управления на крыле.

Представляет интерес реакция самолета с замкнутой системой на траек-торное управление в виде импульса конечной длительности (рис. 4). Для такого траекторного управления САУ-2 также снижает изгибающий момент.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schwanz R. С. Equation of motion appropriate to the analysis of control configured vehicles. A1AA Paper, 72—952.

2. Van Dierendonck A. J., Stone C. R., Ward M. D. A practical load relief control system designed with modern control techniques. AIAA Parer 73—863.

3. Поповский В. H., Ишмуратов Ф, 3. Математическая модель продольного маневра упругого самолета. Труды ЦАГИ, вып. 2135, 1981.

4. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М., „Наука”, 1978.

5. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., „Мир“, 1975.

Рукопись поступила lljl 1980 г.

11—.Ученые записки" Л 4