CC BY
22
76
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХС7--
УДК 539.3:534.1
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РАСЧЕТУ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
С.К. Ельмуратов, Н.М. Шамрай, Н.Е. Айкенова
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Бул мацалада цабыршыкршрдыц динамикалъщжуктемедег1жумысы царастырылган. Ecenmev жолы соцгы any adicmepi арцылы ЭЕМ цолданып жург131лгд1.
В статье рассматривается расчет оболочек на динамические нагрузки. Расчет ведется методом конечных разностей с применением ЭВМ.
In clause the account of environments on dynamic loadings is considered. The account is conducted by a method of final differences with application of theECM.
Для исследования вынужденных колебаний пологих оболочек с ра> личными граничными условиями воспользуемся дифференциальным уравнением пологих оболочек:
ВУ2У2Ж-Ч2кф-Р2 = О (I)
—Ч2У2ф + У2к1¥ = 0 (2)
Ек
Здесь IV - функция прогибов; ф - функция напряжений; к - кривизна оболочек; к - толщина оболочки; £> - цилиндрическая жесткость, которая вычисляется по формуле
о.-^г. 12(1-V-)
где V - коэффициент Пуассона.
Рассмотрим пологую оболочку положительной гауссовой кривизны с прямоугольным планом. Запишем уравнение (1) и (2) в развернутом виде
№1,2004 г.
77
d4W
дх2ду2 9? Z)l ду2 dx2 g dt2
dx
i4
= 0
а4ф . а> д4ф .J. d2w , д
2W\
{ ду
дх" dxzdy' ду Поперечная нагрузка задается в виде
Pd2W
2 '"2^2 дх
= 0
q = R{Acos9t + BsinOt)-
g dt
Ищем решение уравнения (3) в виде
W(x, у, t) = W(x, v) ■ (A cos Of + tí sin Ot ) Подставляем (6) в (3) получим
у/ :Игг/ 1 / п2
ду" " Эх
d'w . э4ж 1Л д1ф , д2ф Рв
+ 2—-—-+ ■
эх4 дх2ду2 а/ d
w-R-^-w\ = 0
я я
д ф д ф д ф ,
дх4 дх2ду2 ду4
Л d2W
d2w\
„.2 + к2 \ 2
= 0
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
а/ <?х
Для решения дифференциальных уравнений (7) и (8) применим метод конечных разностей, для чего аппроксимируем пологую оболочку регулярной сегкой. Запишем уравнение (7) и (8) в конечных разностях для /-Й точки сеточной области
9,—
Рв2Л2хЯ2 у92Х2хЛ2 \
W¡+cp2{W! + Wk)+<p¿Wn+Wm)+
gD gD + <pÁWq+Wp + Wr+Wc)+'<p5{Wl+Ws) + cp6(Wv + Wii)-
(9)
-2ф,
D
D
. к Л2
л Л2
<РгФ, + <Рг (ф, + Фк )+ <Рз (Ф„ + фт )+ (р, (фч +Фр+Фг+Фо) + + (Ф, + Ф,)+ <Р6 {ф, + Фи )+ 2Wt(- k^Eh - k2?}yEh)+ + (К + К Ыеь + (W, + wk)kj2Eh = о,
где коэффициенты при прогибах определяются выражениями
9i =% + % + 6TJ2JU2, (р2=-%-4, ц- ц~
<Ръ = ~4?72/"2 - 4, ^4=2, ср5=\,<р6 = цгц2
И
(10)
78
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАН -
Для прямоугольных оболочек /и = а/Ъ - соотношение сторон. Для случаев сосредоточенного приложения возмущающей силы и мае ; приняты следующие обозначения:
Р0 - РА А, Я, = Ялхлу, Го = ГЯхЛу (12,
Выразим Хх и к через длины стороны и число шагов сетки 5 и перепишем уравнение (9) и (10)
9i _ Ml _ MlW + +^ + wj+
{ s И s M )
+ К +Wp+Wr+W0)+<p5{W! + Ws)+çb (Wv + JVJ-
(13)
Dr Ds
Ds ¡u Tm'Ds2 D
'i + + Фь)+(рАФп + Фп)+<рМЧ +ФР+Фг+ Фо) +
I s s
s s
(14
Поверхность оболочки аппроксимируем регулярной сеткой. Записав для каждого узла сеточной области уравнения в конечных разностях (13» и (14) с учетом граничных условий, получаем систему уравнений. Длж решения этих уравнений была составлена программа на языке Turbo Pascal. Решение систем выполнялось методом Зейделя. Полученные результаты сравнивались с имеющимися в литературе [1]. Наблюдаете* хорошие совпадения. Сходимость метода конечных разностей проверялась путем сгущения сетки, аналогичные исследования применительн: к динамике оболочек выполнялись в работе [2]. На основе составленной программы решены задачи по вынужденным колебаниям оболочек при действии различных поперечных нагрузок.
ЛИТЕРАТУРА
1. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. Часть II./ Под редакцией А. А. Уманского-М., 1973.
2. ЕлшуратовС.К. Численная методика исследования динамической устойчив -ста: оболочек и пластин / строительная механика. - Караганда: КарПТИ, 1991.
