CC BY
22
192
"
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
УДК 539.3:534.1
Mil
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ФОРМЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К РАСЧЕТУ ГИБКИХ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК НА ПРОЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ и ДИНАМИКУ
С.К. Ельмуратов
Павлодарский государственный университет .pi им.С.Торайгырова
Мацалада 6ipmymac матрицалъщ алгоритмнщ нег1зшде шлгш колбеу к,абык,тардъщ бертпшгш, турацтылыгын жэне динамикасын есептеу adici бер1лген.
В работе изложен метод расчета гибких пологих оболочек на прочность, устойчивость и динамику на основе единого матричного алгоритма.
The article deals with the calculation method of resistance, stability and dynamics offlexible casings on the basis of common matrix algorithm.
Исследуются гибкие ортотропные оболочки и пластинки переменной толщины при продольно-поперечном загружении. Основные соотношения получены на основе принципа Остроградского-Гамильтона:
|(Ж - (577 + Sw')dt = 0 ^ {1)
'и .
где к - кинетическая энергия элементарного элемента оболочки;
/7 - потенциальная энергия деформации; V/ - элементарная работа внешних сил.
Подставляя в {1) вариации этих
величин и используя гипотезы Кирхгофа-Лява, получаем следующие дифференциальные уравнения движения и совместности деформации для гибкой ортотропной оболочки переменной толщины [1]
№2, 2001г.
193
ми +2£»з^.1]22 + £»2^2222)+ 3/2(,с)-/.^(^ЖСЖ,, + v2PF22)-^
+ б/2 (*) • /, (*) ■ {т н, + Л-Л122) = ф, ¿,Ф 22 + *2Ф.П + 9 - ; (2)
^(с1Ф.т,+2СзФ.]122 + С2Ф.2222)-^||(2С1Ф.ш+СзФ;122)+С Здесь
1(г,ж)=(г12)2 -ЙГ -Ж
г
/3М /2М
(3)
12 12 11 '22
(4)
12/ " 11 " '22
ф - функция напряжений; стоянное ее значение, /(х) - функция, учитывающая изме- Необходимо отметить, что по-
нениетолщины оболочки; Ис -толщи- лученные уравнения позволяют ре-
на оболочки, принятая за постоянную; шать широкий класс задач, таких, как
к\,к2- кривизны оболочки в направ- устойчивость, собственные колебания,
лении осей х и у соответственно, вынужденные колебания, изгиб. При-
Черточки над цилиндрическими жес- чем, нагрузка может быть как попереч-
ткостями означают, что они выражены Ная, так и в срединной плоскости пла-
через Ис и С,, С2, С3 - коэффициенты, стин и оболочек. Схема загруженнос-
зависящие от упругих характеристик Ти в плане приведена на рис. 1 материала. Закон изменения толщины Для решения задач применен
/(х) задается по квадратной парабо- метод конечных разностей. Уравнения
ле, в частном случае предполагается (2) и (3) в конечных разностях имеют
линейное изменение толщины или по- вид [2]
<р№+<р2Щ +<р:1УК +<рМ,+К,)+<Р5К +<РЛ +(р1Ш<> +<р,Жч +<р91¥, +<р10Щ +
<Р>{ +<Р°2Ф, +ср°ъфк+(р1{фп +Фт)+<р1Ф„ +<Р°6Ф: +<р°ф„ +<р°ф, +<р>, + ' 1
кар,
1о
(б)
Коэффициенты <р2<р° определяют характер и направление внешних на-
194
"
НАУКА И ТЕХНИКА КАЗАХСТАНА
грузок и параметры оболочки. В уравнениях (5) и (6) введены безразмер-
(7)
ные обозначения.
— Р а —
А
2 _ АУ
я КРа
к, = к,а, к-, = к0а и , К = —=■ 1 12 2
Здесь 5 - шаг сетки, а - размер оболочки в направлении оси х: Покрываем поверхность оболочки регулярной сеткой. Системы конечно разностных уравнений с учетом граничных условий запишем в матричной форме:
= _ (8) (А-КВ)РГ =Ё + СФ (9),
где цг и ф - векторы проги- В результате находим значе-
бов и функций напряжений, составлен- ния функций ф во всех узлах сетки, ные из значений РГ и ф в узлах сетки; р(ж)-вектор, соответствующий
оператору ¿(¡■¥/,1¥. ) и составленный из значений уу в узлах на контуре и внутренней области оболочки; С~ квадратная матрица, составленная из значений и к2 в узлах сетки; ^ и I) - квадратные матрицы, составленные из коэффициентов при значениях Я^ифс учетом граничных условий; В - квадратная матрица, определяющая тип задачи (устойчивость или колебания); ][ -вектор,составленный из значений возмущающей нагрузки, приложенной в произвольных узлах сеточной области пластины или оболочки. Более подробно структура матриц изложена в работе [2].
Система матричных уравнений (8) и (9) решается на первом этапе при
р(ж)=0.
Из уравнений (8) имеем: Ф=В~](-СРг) (Ю)
Подставив ф в (9) получим:
{а*-квУ = ¥ (11)
где
А* - А + С/)_1С (12) Из уравнения (11) находим значения прогибов Ш0.
На втором этапе из выражения
(8) находим ф, с учетом й^, затем из
(9) значения И7, с учетом Ф,, т.е. решается нелинейная задача. Второй этап зацикливается. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполняться условие
IФ" ■
■Ф"-] \<е
(13)
где £ - малое, наперед заданное число (точность решения).
Если на контуре оболочки приложены силы, то значение Ф0 определяется из условия:
Ф = О~1Р(д0) (14)
№2, 2001г.
195
где Р(<70) - вектор, порожденный контурными силами.
В зависимости от наличия или отсутствия возмущающей поперечной нагрузки ^ будет решаться соответственно система неоднородных (11) или однородных уравнений
(А*-КВ}¥= 0 (15) Некоторые частные случаи матричных уравнений (8) и (9):
1. Если к{ =к7 - 0, то матрица С будет нулевой, в результате имеем матричное уравнение для гибких ортотропных пластин переменной толщины
ОФ = Р{Ш) _ (16) (А-КВ)Ж=Е (17)
2. Если в уравнениях (16) и (17) принять к = о, в = }¥ , то получим уравнения собственных колебаний гибких пластин
ОФ=Р(1¥) (18)
(А-КВ)Ж= 0 (19)
3. Если на контуре пластины действуют внешние силы, то при
Л = 0, в = 0, получим уравнения напряженно-деформированного состояния гибкой пластины
ОФ = Р(Ж)+Р(д0) (20) (А-КВ)Ж= 0 (21) Для формирования всех матриц (А, В, С и И) была разработана программа на ЭВМ. При формировании той или иной матрицы в ЭВМ вводились исходные данные и в зависимости от того, какая матрица формируется, перед обращением к подпрограмме вычисляются соответствующие коэффициенты , срг,........,сри. Анало-
гичная подпрограмма разработана и для формирования векторов. В качестве исходных данных вводятся: упругие характеристики материала; отношение сторон оболочки; отношение конечных толщин; коэффициенты кривизны оболочки и изменения толщины; главные кривизны оболочки; параметры задач устойчивости и колебаний; граничные условия; параметры внешних нагрузок; число делений сеточной области и другие величины. На основе составленной программы были решены различные задачи гиб-
1. Ельмуратов С.К. Устойчивость и колебания пластин и пологих оболочек, прямоугольных в плане. М.: Деп. в ВИНИТИ № 2119-ДЕП, 1979 г.
2. Ельмуратов. С.К. Численные методы расчета оболочек на ЭВМ.
ких пластин и оболочек. ЛИТЕРАТУРА
Караганда, КарПТИ, 1986.
3. Ельмуратов С.К., Ельмура-това А.Ф. Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций. -Материалы республиканской конференции «Наука и образование в стратегии регионального развития», Павлодар, ПГУ, 1999 г.
