CC BY
31
6. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo porjadka i nekotorye ih prilozhenija [Integrals and derivatives of a fractional order and some of their appendices]. Minsk, Nauka i tehnika [Minsk, Science and technology], 1987. - 688 P. [in Russian]
7. Churikov V.A. Dopolnitel'nye glavy analiza. Drobnoe integrirovanie i drobnoe differencirovanie na osnove d-operatora: uchebnoe posobie [Additional chapters of the analysis. Fractional integration and fractional differentiation on the basis of the d-operator: manual] / Tomsk: Izd-vo Tomskogo politehnicheskogo universiteta [Tomsk: Publishing house of the Tomsk polytechnical university], 2010. - 118 P. [in Russian]
8. Toffoli T., Margolus N. Mashiny kletochnyh avtomatov [Machines cellular automata]. M.: Mir, 1991. - 280 P. [in Russian]
9. G. G. Malineckij, M. E. Stepancov, Modelirovanie diffuzionnyh processov s pomoshh'ju kletochnyh avtomatov s okrestnost'ju Margolusa [Simulation of diffusion processes using cellular automata with a neighborhood of Margolus] // Zh vychisl. matem. i matem. fiz. [W comp. mod. and mod. Phys.]. - 1998. V. 38. № 6. P. 1017-1020. [in Russian]
10. Evseev A. A., Nechaeva O. I. Kletochno-avtomatnoe modelirovanie diffuzionnyh processov na trianguljacionnyh setkah [Cellular automata modeling of diffusion processes into triangulated meshes] // PDM. - 2009. - № 4(6). - P. 72-83. [in Russian]
11. Sabel'fel'd K.K., Kireeva A.E. Diskretnoe stohasticheskoe modelirovanie rekombinacii jelektronov i dyrok v 2D- i JeB-neodnorodnyh poluprovodnikah [discrete stochastic simulation of recombination of electrons and holes in 2D and EB-inhomogeneous semiconductors] // Prikladnaja diskretnaja matematika [Journal of Applied discrete mathematics]. - 2016. - P. 110-127. [in Russian]
12. Pshu A.V. Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka [The equations in private derivatives of a fractional order]. - M.: Nauka [M.: Science], 2005. . - 199 P. [in Russian]
13. Sibatov R. T., Uchajkin V. V. Drobno-differencial'nyj podhod k opisaniju dispersionnogo perenosa v poluprovodnikah [Fractional and differential approach to the description of dispersing transfer in semiconductors] // Uspehi fizicheskih nauk [Achievements of physical sciences]. - 2009. - V. 179. - №10. - P. 1079-1104. [in Russian]
14. Sibatov R. T., Uchajkin V. V. Drobno-differencial'naja kinetika perenosa zarjada v neuporjadochennyh poluprovodnikah [Fractional and differential kinetics of transfer of a charge in the unregulated semiconductors]// Fizika i tehnika poluprovodnikov [Physics and technique of semiconductors]. - 2007. - V.41, № 3. - P. 346-351. [in Russian]
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.60.094 Литвинова Э.В.
ORCID: 0000-0001-5549-5627, кандидат технических наук, Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ имени В.И. Вернадского» ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Аннотация
Предлагается применение метода конечных разностей для решения динамических задач строительной механики на примере динамического изгиба жестко защемленной призматической балки под действием внезапно приложенной равномерно распределенной нагрузки, неизменной во времени. В методе конечных разностей область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным (дискретным) множеством узлов, называемым сеткой. Метод конечных разностей - сеточный метод, основанный на замене производных разностными отношениями, прост и удобен для вычислений.
Ключевые слова: метод конечных разностей, сеточные функции, разностная схема, динамическое приложение нагрузки.
Litvinova E.V.
ORCID: 0000-0001-5549-5627, PhD in Engineering, Academy of Construction and Architecture V.I. Vernadsky
Crimean Federal University APPLICATION OF FINITE DIFFERENCES METHOD FOR DYNAMIC PROBLEMS SOLUTION
Abstract
The article proposes the application offinite differences method for solving the dynamic problems of building mechanics with the help of dynamic bending of a rigidly clamped prismatic beam under the impact of a suddenly applied uniformly distributed load, unchanged in time. In the method of finite differences, the domain of continuous change of the argument is replaced by a finite (discrete) set of nodes, called a grid. Finite differences method - the grid method, based on the replacement of derivatives by differencing ratios, is simple and convenient for calculations.
Keywords: finite difference method, grid functions, differencing scheme, dynamic load application.
Решение сложных инженерных задач, относящихся к предметной области науки о прочности и устойчивости строительных конструкций, существенно упрощается благодаря моделированию. Математические модели строительных конструкций представляют собой условия равновесия конструкций и ее узлов, выраженные в дифференциальной или интегральной форме, под действием различного рода нагрузок.
Рассмотрим один из методов дискретизации аналитических моделей функционирования строительных конструкций - метод конечных разностей (МКР).
Пусть на отрезке [ 0 ; 1] требуется найти решение некоторого уравнения
L (х) = f (х) , 0 < х < 1 (1)
где Ь - некоторый дифференциальный оператор.
Будем предполагать, что решение у (х) уравнения (1) имеет необходимое число производных. Для его решения применим МКР [1 - 3].
В МКР область непрерывного изменения аргумента заменяется конечным (дискретным) множеством узлов, называемым сеткой. Сетку вводят следующим образом. Отрезок изменения аргумента [0 ; I] разбивают на п равных частей длиной Ь = 1/п каждая. Сами точки х^ называются узлами сетки. На сетке вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента , определяемые в узлах сетки и
называемые сеточными функциями. Производные заменяются (аппроксимируются) соответствующими разностными отношениями, то есть линейной комбинацией значений сеточной функции в нескольких узлах [1, 3].
Необходимо найти разностный аналог производной функции у (х) в касательной к кривой в точке. Это можно сделать с помощью замены истинной производной следующими разностными отношениями [3]:
У1-У1-1 .
Лу йх
к
У1+1-У1 .
(2)
уй-1-У;-1
Первое выражение в (2) определяет левую одностороннюю разностную производную, второе выражение -правую одностороннюю разностную производную, третье - двусторонняя разностная производная.
Очевидно, располагая выражением для первой производной, можно выписать разностные аналоги и для производных высших порядков [3]:
¿2У _ У1+1 ~ ^"Уь + У1-1 щ йх2 ~ к2 '
¿3У У1+2 ~ 2у,+ 1 + 2- у,_2 _ йх3 ~ 2Ь3 '
<14У У1+2 ~ 4у,+ 1 + б у, - 4у1_1 + у,_2 с1х* * И4
Заменяя в дифференциальном уравнении производные их разностными аналогами, приходим к разностному уравнению относительно узловых неизвестных, которое вместе с разностными краевыми условиями, называют разностной схемой.
Часто при решении задач с помощью МКР (главным образом при аппроксимации граничных условий) используют правые и левые разности, аналогичные по точности аппроксимации центральным разностям. Приведем без вывода наиболее характерные из них [3]:
с1у(0) 1
-(-Зуо + 4ух -у2);
с!х с1У(1) с!х ' ¿2У(0) с!х2 с!2у(1) 1
2Ь
2Ь 1
И2
(Зуп - 4уп_! + уп-2);,
(2 У о - 5ух + 4у2 - уз);
с!х2 с!3у(0)
— (-2уп + 5уп_!
4уп-2 + Уп-з);
с!х3 2Ь3 С13У0) 1
(-5у0 + 18У1 - 24у2 + 14у3 - Зу4);
18УП.! + 24уп_2 - 14уп_3 + Зуп_4).
с!х3 2Ь3
Для исключения грубых ошибок при построении разностных схем полезно помнить, что сумма коэффициентов в рассмотренных выражениях для разностных аналогов производных, должна равняться нулю.
Рис. 1 - Схема крепления и нагружения балки
Применение МКР для решения динамических задач покажем на примере динамического изгиба жестко защемленной призматической балки (рис. 1), под действием внезапно приложенной равномерно распределенной нагрузки, неизменной во времени ц0 ( £:) = ц0 ■ Н (£:) . Здесь Н (Ь) - единичная функция Хэвисайда
( 0 при £ < 0 ;
Н (о = I 0 ,<0
при
Схема задачи, показанная на рис. 1, отличается в динамическом приложении нагрузки. До приложения нагрузки балка неподвижна и не имеет прогиба.
Динамика системы с внезапным приложением нагрузки описывается дифференциальным уравнением
= ( (3)
Здесь: т = рЛ - погонная масса; р - плотность материала; А - площадь поперечного сечения; Е - модуль Юнга; J - момент инерции поперечного сечения; w - величина прогиба балки; х - горизонтальная координата вдоль оси балки.
Если предположить, что колебания системы происходят при наличии сил сопротивления, пропорциональных скорости движения поперечных сечений балки, то уравнение (3) можно записать так
д2™ I дш тг/-*.\ г-г^4"7 /14
= ^ (£) —(4)
где а - коэффициент сопротивления. Уравнение (3) необходимо дополнить начальными и граничными условиями:
и/ (х, 0) = 0; и (х, 0) = 0 ; (5)
и/ ( 0 ,0 = и' ( 0 ,£) = и ( 1,0 = и' ( /, 0 = 0 . (6)
Применим для решения краевой задачи (4) - (6) МКР. Выберем на плоскости хО £ (х - координата, £ - время) прямоугольную равномерную сетку с шагами к х и к Искомые сеточные функции и^' (/ - номер шага по координате х, i - номер шага по времени t, и (х, £) - итоговая функция прогиба балки). Для аппроксимации производных, входящих в уравнение (4), а также граничных и начальных условий применим формулы центральных конечных разностей:
(ц/)' = 7+1 7-1; (иЛН
(„/'»У. = ^
(7)
Разделим (4) на массу да
д£2 П1 т ( ) т 9ж4. ( )
Подставим выражения (7) и граничные условия (5) и (6) в уравнение (8). Получим систему алгебраических уравнений относительно сеточных функций и/,' внутри области (/ = 1 , 2 , 3 ,. . . — 1 ) в момент времени i
т
(9)
Рис. 2 - Двумерная разностная сетка
Как видно из выражения (9), в точке на плоскости хО I с координатами (/, /') ее прогиб формируется с помощью семи узловых точек, образующих на плоскости «крест» (рис. 2). При этом значение узловой переменной на новом шаге по времени может быть явно выражено из уравнения (9). Поэтому разностную схему (9), построенную с
помощью соотношений (7) называют явной разностной схемой типа «крест»
Здесь
2т
............•+'
1+2т - - ~ V (10)
ьг —
т
Граничные условия (6) не зависят от времени и могут быть записаны следующим образом:
и0 = = 0 ; и/11 = и/|; и/1+! = _ 1 ; I = 0, 1 , 2 ,. . .,1 ,. . ,,М (11)
Из начальных условий (5) имеем
,0 _ „,о _ п. (у = о,ЛО.
7 7
Для замыкания системы нам необходимо получить значения узловых перемещений на первом шаге по времени (/ = 1). Они могут быть найдены при помощи разложения в ряд Тейлора с учетом начальных условий (10)
й2
и// = и// + И///*, + IV? у + о(й').
Для определения м/,0 = иД 0 ) воспользуемся уравнением (8). Тогда
а „ оп £734м/
и ( 0 ) = Л ( 0 ) - - и,0, где Д (0 ) = — - — —.
т 1 ' т 771 дх
Отсюда следует, что
Таким образом, имеем разностное уравнение (10), граничные условия (11) и начальные условия для первого и второго слоя разностной схемы
и// = и// = 0; (/ = -1, М + 1), которые аппроксимируют краевую задачу (8) с граничными и начальными условиями с точностью до величины
0(йх +
Определим прогиб балки, что позволит получить сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния конструкции при статическом и динамическом видах нагружения. В качестве динамической нагрузки примем равномерно распределенную нагрузку, но приложенную внезапно. В этом случае коэффициент динамичности равен двум.
Кроме того, не будем учитывать внутреннее сопротивление конструкции. Тогда уравнение движения балки (4) примет вид
32м/ 34м/
£ = *(*-£> (12)
Здесь
Зададим исходные данные: << = 1 0000 Н/м - погонная нагрузка, I = 5 м - длина балки, Е = 2 ■ 1 0 1 1 Па - модуль упругости, [с] = 1 6 0 ■ 1 0 6 Па - допускаемое напряжение.
Максимальный изгибающий момент в месте жесткой заделки балки Нм Допускаемый
момент сопротивления для данных условий составляет м см Пусть балка имеет
двутавровое сечение. Тогда из таблицы сортаментов выбираем двутавр № 18, для которого: У\/ = 1 4 3 см3 , / = см см - площадь поперечного сечения. Погонная масса балки при значении плотности материала
р = 7874 кг/м3 составляет т = 1 8 кг. Прогиб балки при статической нагрузке в фиксированных сечениях составляет:
и1 = Ь4<?0 = 0,00388 м, и2 = 2 Ь4<?0 = 0,00776 м.
Перейдем к динамическому расчету. Разобьем балку по длине на пять равных отрезков ( м
Применим МКР к уравнению (12), получим четыре уравнения:
МЛ
1+1 = 2ш1 - ы^1 + — - + 4<72 - и/^),
1
ил
'+1 = - м^-1 + — + 4м/{ - + 4м/д -
и/.
= 2м/д - м^"1 + — ^2(<?о - К + - б1Уз + 4М4),
з
и/.
г+1 = - и/]"1 + - - ^ + 4м/д -
4
(*)
Систему (*) удобно решать на ПК, причем в начальный момент времени все прогибы равны нулю. В результате расчета колебательного процесса без затухания получены максимальные значения прогибов балки в соответствующих ее сечениях: м м Обозначенные прогибы в два раза больше, чем при
статической нагрузке, то есть соответствуют коэффициенту динамичности.
Вполне естественно, что максимальный изгибающий момент в заделке балки должен быть в два раза больше, т. е.
Нм
м(°)
а напряжение с = = 2 80 ■ 1 0 6 Па > [с] .
С целью обеспечения прочности балки при заданной динамической нагрузке необходимо определить допускаемый момент сопротивления сечения м см. Из сортамента выбираем
двутавр № 22а: см см см кг При таких условиях решение динамической
задачи дает: м м
При этом Нм Па
Таким образом, условия прочности удовлетворяются. Рассматриваемая схема проста и удобна для вычислений.
Список литературы / References
1. Курамшина Р.П. Численные методы в строительстве и их реализация: учебное пособие / Р.П. Курамшина. -Братск: ГОУВПО «Братский государственный университет», 2010. - 104 с.
2. Чемодуров В.Т. Методы теории планирования эксперимента в решении технических задач: монография / В.Т. Чемодуров, В.В. Жигна. - Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2012. - 110 с.
3. Чемодуров В.Т. Численные методы в строительстве: учебное пособие / В.Т. Чемодуров, М.С. Сеитжелилов. -Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2016. - 112 с.
Список литературы на английском языке / References in English
1. Kuramshina R.P. Chislennye metody v stroitel'stve i ih realizacija: uchebnoe posobie [Numeral methods in building and their realization: train aid] / R.P. Kuramshina. - Bratsk: GOUVPO «Bratskij gosudarstvennyj universitet» [Bratsk State University], 2010. - 104 p. [in Russian]
2. Chemodurov V.T. Metody teorii planirovanija jeksperimenta v reshenii tehnicheskih zadach: monografija [Methods of theory of planning of experiment are in the decision of technical tasks: monograph] / V.T. Chemodurov, V.V. Zhigna. -Simferopol': IT «ARIAL», 2012. - 110 p. [in Russian]
3. Chemodurov V.T. Chislennye metody v stroitel'stve (dlja studentov vseh special'nostej ochnoj i zaochnoj form obuchenija): uchebnoe posobie [Numeral methods are in building: train aid] / V.T. Chemodurov, M.S. Seitzhelilov. -Simferopol': IT «ARIAL», 2016. - 112 p. [in Russian]
DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.60.079 Логачев В.Г.1, Карякин Ю.Е.2, Игнатьева А.М.3, Любякина Е.А.4
1 Доктор технических наук, профессор, Тюменский индустриальный университет
2Кандидат технических наук, доцент, Тюменский государственный университет
3Магистрант, Тюменский индустриальный университет
4Бакалавр, Тюменский государственный университет ПРОБЛЕМА ВЫБОРА КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПРЕДОТВРАЩЕНИЯ НЕСАНКЦИОНИРОВАННЫХ ПЕРЕВОДОВ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ В СИСТЕМАХ
ДИСТАНЦИОННОГО БАНКОВСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Аннотация
Приведены данные о росте в настоящее время несанкционированных переводов денежных средств. Обоснована необходимость разработки математической модели процесса мониторинга банковских транзакций и программного обеспечения на ее основе. Установлены параметры математической модели программного модуля. На основе частных критериев предложен интегральный критерий для их использования в системе фрод-мониторинга. Результаты исследований полученной модели показали, что удалось повысить количество выявленных несанкционированных переводов, а также снизить количество ошибочно отклоненных транзакций.
Ключевые слова: математическая модель, транзакция, несанкционированный перевод, банковские системы, фрод-мониторинг, критерии.
Logachev V.G.1, Karyakin Y.E.2, Ignateva A.M.3, Lyubyakina E.A.4 :PhD in Engineering, Professor, Industrial University of Tyumen 2PhD in Engineering, Associate professor, Tyumen State University 3Graduate student, Industrial University of Tyumen, 4Student, Tyumen State University PROBLEM OF CHOICE OF CRITERIA FOR THE CONSTRUCTION OF A MATHEMATICAL MODEL OF UNAUTHORIZED CASH TRANSFER PREVENTION IN THE SYSTEMS OF REMOTE BANKING
MAINTENANCE
Abstract
The article provides data on the growth of currently unauthorized cash transfer. The necessity of the development of a mathematical model of the process of banking transactions monitoring as well as software based on it is substantiated in the paper. The parameters of the mathematical model of the program module are established. On the basis ofparticular criteria, an integral criterion for their use in fraud monitoring systems is proposed. The results of studies of the obtained model showed that it was possible to increase the number of identified unauthorized transfers and reduce the number of erroneously rejected transactions.
Keywords: mathematical model, transaction, unauthorized transfer, banking systems, fraud monitoring, criteria.
Получившее в последние годы широкое распространение применение интернет-технологий во всех сферах х озяйственной деятельности привело к возрастанию количества сервисов дистанционного перевода денежных средств. Так, по данным Банка России доля переводов, осуществленных через глобальную сеть клиентами кредитных организаций, расположенных на территории РФ, за I полугодие 2016 г., составила более 80% в денежном выражении от общего количества переводов в электронном виде [1].
Массовое внедрение мобильных и Интернет-приложений, предназначенных для совершения финансовых операций, вызвало волнообразный скачок роста вредоносного программного обеспечения, направленного на эксплуатацию уязвимостей в данных сервисах.
По статистике исследовательского центра Group-IB за 2015 год у физических лиц было похищено более 99 млн. руб., из них 61 млн. руб. - с помощью троянов под операционную систему Android [2].
