Применение метода экстремальных значений к определению максимальных эксплуатационных нагрузок Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том 41 1972 ' МП

УЛК 629.735.33.015.4.017

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МАКСИМАЛЬНЫХ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ НАГРУЗОК

В. М. Чижов

Рассматривается применение вероятностных методов к вопросам определения максимальных эксплуатационных нагрузок для самолетных конструкций при представлениях нагружения я форме случайных процессов или случайных последовательностей. С помощью указанных методов получена зависимость максимальных эксплуатационных нагрузок от времени эксплуатации самолетов.

1. Метод экстремальных значений. Вероятностно-статистические методы нормирования статической прочности авиационных конструкций основаны на том, что существует связь между величиной вероятности статического разрушения £ и уровнем нагрузок, рассчитанных но условиям статической прочности. Это позволяет для заданного уровня механической надежности $ — 1— £ определять соответствующий уровень расчетных нагрузок.

Разрушение конструкции можно представить как факт превышения внешней нагрузкой Рэ, действующей на самолет, несущей способности его конструкции РР , Т. е. Яэ(/)^-РР(Рэ и Рр—случайные величины). Оценкой вероятности разрушения конструкции

а т (О

за время эксплуатации / служит величина р — -др. гДе т(/)~

число разрушений, имевших место за время IV— общее число эксплуатировавшихся самолетов.

Для определения числа разрушений за время I представим действие внешних нагрузок в виде некоторого процесса Р3 (^) продолжительности Каждому самолету будет соответствовать своя реализация процесса (фиг. 1). Для каждого самолета имеется вполне определенный уровень несущей способности его конструкции Р?, для различных самолетов этот уровень будет разным; вообще величина Р? как функция номера I будет величиной случайной, с некоторой функцией распределения Р9{х), которая

определяется на основании статистических данных испытаний на прочность авиационных конструкций. Выброс процесса внешней нагрузки за уровень РГ соответствует разрушению в данном 1-м случае. В этих условиях процесс нагружения самолета представляет собой процесс с поглощением, прекращающийся при достижении величины несущей способности данной конструкции. Величину т{() можно определить как число реализаций, в которых имело место

! 5 »*> *

1^^ 1/ \ 1 р? <■ ЛД Л. л . Кл. п N р /

р” •Г*

Л Р* р/ ч */ ?г™ОХ 1

9 \ 9 ® V ! Т I ! I Гь? !Тм * ?

ч ? ? 1 !Т ?!

1т? } МП

♦ } ? Г?!? ,т " Т I .1 I I ! 1 1 I У 1 ! Им

Лг р* * м тел

I ? ?,!и! т тIт ТтТ! ТУ ТтТт!

г

Фиг.

Фиг. 2

хотя бы один раз достижение процессом Р)Щ его предельных значений, т. е. величины Р?. Совершенно очевидно, что величина /я(£), а следовательно, и будет одинаковой для случаев определения ее по процессам Я?(() с поглощением или без поглощения. Для определения, имел ли место в данной реализации выброс процесса Р?(£) за его предельное значение, достаточно произвести сравнение одного максимального значения процесса без поглощения Р/таа С ВвЛИЧИНОЙ Несущей СПОСОбНОСТИ КОНСТРУКЦИИ!

если Р)та*> Р$, имеет место разрушение; [

если Р*тах <С Р*1 > разрушения нет.

Отсюда следует, что для подсчета вероятности разрушения конструкции необходимо иметь функцию распределения максимальных значений нагрузок, определенных для процессов без поглощения длиной £, и функцию распределения несущих способностей конструкции, определению которых посвящены специальные работы.

При заданных функции распределения максимальных значений внешних нагрузок £3(х) и функции распределения несущих способностей конструкции Р'ррс) величина вероятности разрушения (3 определяется с помощью соотношения

Р = Л /*С*) (Х)йх=\— J /р (х) (х) их.

(2)

где /3(х) и /р(х) — плотности распределения соответственно максимальной внешней нагрузки и несущей способности статистически не зависящих друг от друга случайных величин.

Выражение (2) определяет число случаев, в которых максимальное значение внешней нагрузки в каждой реализации превосходит значение несущих способностей конструкции, т. е. соответствует определению разрушения в виде (1).

Необходимо также указать на несостоятельность широко распространенного отождествления понятий вероятности разрушения по условиям статической прочности и вероятности выброса процесса за уровень несущих способностей конструкции: каждый самолет может только один раз разрушиться за время Л а выбросов процесса без поглощения за то же время может быть довольно много.

Такой же подход к определению величины вероятности разрушения конструкции может быть использован и в том случае, когда нагружение самолета задается в форме дискретных нагрузок, например „амплитудных" значений нагрузок, действовавших на самолет (фиг. 2). В этом случае можно рассмотреть также только одно наибольшее значение внешней нагрузки из I нагрузок, действовавших за время I эксплуатации самолета; при этом факт разрушения или неразрушения устанавливается с помощью соотношений (1). Следовательно, и в этом случае для вычисления вероятности разрушения нужно иметь функцию распределения максимальных нагрузок, полученных на различных самолетах.

Прежде чем перейти к рассмотрению методов определения функций распределения наибольших значений нагрузок, отметим их характерные особенности. Очевидно, эти функции распределения зависят от времени эксплуатации (длины реализации), так как чем больше тем больше возможность получить большое значение внешней нагрузки. Отсюда следует, что вероятность разрушения конструкции будет также зависеть от I. Функция распределения максимальных внешних нагрузок тесно связана с понятием эксплуатационных нагрузок: можно показать, что медиана распределения Р3(х) соответствует эксплуатационной нагрузке норм прочности самолетов.

2. Способы определения функции распределения Еэ (■*)■ В качестве функции распределения максимальных значений внешних нагрузок будем использовать функции распределения наибольших значений независимых выборок из одной генеральной совокупности, которая характеризует все возможные в условиях эксплуатации нагрузки, а выборка из этой совокупности соответствует конкретной последовательности нагружений г-го самолета.

Если внешняя нагрузка задана в виде случайного процесса, то для определения Г3(х) нужно иметь функцию распределения пиковых значений нагрузок, соответствующих данным условиям эксплуатации, и среднее число пиковых нагрузок, соответствующих длине реализации /. Для произвольных процессов эта задача в настоящее время в аналитической форме не решена [1|. Однако, если процесс нагружения самолета является узкополосным нормальным стационарным процессом, что имеет место при некоторых условиях, пиковые значения нагрузок имеют функцию распределения Релея

Р(л:)= 1 -

а среднее число их определяется по второй формуле Райса

/

| О)4 Ф (ш) Йсо

0^_____________________________

00

| іо2 Ф ((.о) о

где Ф(о)) — спектральная плотность случайного процесса.

Полагая, что пиковые значения нагрузок слабо коррелированы, получим выражение для функции распределения |2]

-ытег-х'Р''

Р9(х) = Р^ (х)^е

Соответственно максимальная эксплуатационная нагрузка (медиана распределения) будет

"у/" 21п Ы"

0,6932 •

Зависимость максимальной эксплуатационной нагрузки от времени эксплуатации £ приведена на фиг. 3.

1,5 х -Z.lt)

т

/, /

‘•!0° /0' /о2 10 3 1Ь 7 г [се* /о

Фиг. 3

В некоторых случаях период эксплуатации £ приходится разделять на несколько интервалов Д£ ■. В этом случае, если известны функции распределения максимальных значений нагрузок F3j(x), соответствующие интервалам Ыто функция распределения максимальных значений нагрузок для всей реализации £ будет

/%(*)= П/%.,(*).

/

Это соотношение позволяет производить исследование экстремальных нагрузок по отдельным интервалам Д/у; при этом необходимо, чтобы интервалы Добыли бы достаточно велики по сравнению с характерным периодом случайных колебаний внешней нагрузки.

При другом способе задания внешних нагрузок генеральная совокупность их характеризуется кривыми повторяемости: повторяемость нагрузок Н,(х) представляет число нагрузок величины х и больше х на один час полета самолета. Для определения функции

распределения /%»(•*) в этом случае рассмотрим следующее усеченное распределение, которое является генеральным распределением внешних нагрузок:

О для х < х0\

, \НЛх) .

1 - 7Г,ы для

Величина (фиг. 4) представляет собой порог чувствительности аппаратуры, с помощью которой производятся измерения нагрузок, и ниже которого нагрузки не расшифровываются. Величина эта достаточно произвольна, но на распределение максимальных нагрузок не оказывает влияния, так как

Ю

0,1

001

тХ X

*0 \ \

\ \

\

\

/%(*)= I -

Н,(х)

НМ»)

н, (.«•„) /

Ограниченно-маневренные,. лсама/ге/т/

Ю} г [час] /О4

Фиг. 4

Фиг. 5

если Н,{х)<^Н,(х0)> что и имеет место для наиболее важной части кривой повторяемости, определяющей распределение максимальных нагрузок. Здесь повторяемость нагрузок Hl(x0)t представляет собой среднее число всех нагрузок действующих на самолет за

время t. Отсюда эксплуатационное значение нагрузки будет определяться по кривой повторяемости

Н,(хэ) =

0,6932

На фиг. 5 приведено изменение максимальной эксплуатационной величины перегрузки для различных самолетов в зависимости от t.

В некоторых случаях полное время эксплуатации самолета t может быть представлено в виде суммы, каждое слагаемое Д£; которой относится ко вполне определенной кривой повторяемости (например, вследствие того, что кривые повторяемости эффективных порывов неспокойного воздуха ге>эф различны для разных высот и время пребывания самолета на данной высоте Ы, может быть определено из рассмотрения условий эксплуатации самолета). При

4— Ученые записки М I

этом Fbj{x)—e Ht)^x)Ui и функция распределения максимальных значений для всего времени t будет

F9 (х) = П /=, j (х) = exp (— X ни (*) ) •

і )

Следовательно, с точностью до малых второго порядка величина вероятности разрушения р будет равна сумме вероятностей разрушения Ру для отдельных участков.

В некоторых задачах определение функции F3(x) целесообразно производить с помощью метода статистических испытаний, что прежде всего относится к задачам с нестационарными условиями и к задачам в нелинейной постановке. Схема расчета перегрузок показана на фиг. 6: на вход системы уравнений движения

Фиг. 6

летательного аппарата (с учетом всех характерных особенностей) подается внешнее случайное возмущение w(t)\ величина исследуемой нагрузки, например перегрузки в центре тяжести n{t), получается в качестве выходной величины. Производя соответствующее число раз решение системы уравнений, получаем необходимое число реализаций n(t). Для каждой реализации определяется максимальное значение Ятэху и непосредственно строится функция распределения максимальных значений внешних нагрузок.

Метод статистических испытаний имеет большое значение для тех задач, решение которых с помощью аналитических методов встречает непреодолимые трудности. Решение задачи методом статистических испытаний может быть осуществлено на цифровых или моделирующих вычислительных машинах; число реализаций, необходимое для определения Рэ(х), определяется в зависимости от требуемой точности и конкретных особенностей решаемой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. М., .Наука”, 1970.

2. К р а м е р Г. Математические методы статистики. М., Изд. иностр. лит., 1948.

Рукопись поступила 21/VI 1971 г.