CC BY
37
УДК 629.3.025.2
ПРИМЕНЕНИЕ Hœ -СИНТЕЗА ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ
© О.А. Сущенко1, А.А. Туник2
Национальный авиационный университет, 03680, Украина, г. Киев, пр. Космонавта Комарова, 1.
Охарактеризованы задачи систем стабилизации информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых в условиях параметрических и координатных возмущений. Отмечены особенности систем исследуемого типа, заключающиеся в наличии внутренних параметрических и внешних координатных возмущений. Показано, что наиболее целесообразным методом проектирования систем стабилизации, функционирующих в сложных условиях, является робастная оптимизация. Представлен алгоритм проектирования систем исследуемого типа на основании Hœ -синтеза. Разработано математическое описание и представлены результаты моделирования робастной системы стабилизации информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых на наземных подвижных объектах. Ил. 6. Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: системы стабилизации; информационно-измерительные устройства; робастная оптимизация; Hœ -синтез.
H -SYNTHESIS APPLICATION FOR DESIGNING ROBUST STABILIZATION SYSTEMS FOR VEHICLE INFORMATION MEASURING DEVICES O.A. Sushchenko, A.A. Tunik
National Aviation University, 1 Cosmonaut Komarov pr., Kiev, 03680, Ukraine.
The article describes the tasks of the stabilization systems for the information measuring devices operating under conditions of parametric and coordinate disturbances. It is indicated that the features of the studied type systems are the presence of the internal parametric and external coordinate disturbances. Robust optimization is shown to be the most appropriate method for designing stabilization systems operating in the complicated conditions. The design algorithm of the systems under investigation based on the H -synthesis is presented. The authors develop a mathematical description and provide the simulation results of the robust stabilization system for the information measuring devices operating on ground vehicles. 6 figures. 10 sources.
Key words: stabilization systems; information measuring devices; robust optimization; Hœ -synthesis.
Введение. В настоящее время возрастает актуальность совершенствования уже существующих и создания высокоточных систем стабилизации информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых на подвижных объектах в сложных условиях внутренних параметрических и внешних координатных возмущений. Решение этой проблемы требует использования платформ, стабилизированных в инерциальном пространстве [7], что, в свою очередь, приводит к необходимости проектирования систем стабилизации, способных сохранять свои эксплуатационные характеристики в условиях параметрических и координатных возмущений.
Среди информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых на подвижных объектах, можно выделить навигационные датчики, аппаратуру наблюдения, оптические датчики, антенны, в том числе мобильные антенны спутниковой связи, визиры, кинокамеры и другие виды полезной нагрузки. В настоящее время стабилизация навигационных датчиков остается актуальной в основном для автономных прецизионных инерциальных навигационных систем, предназначенных для эксплуатации на морских подвижных объектах.
Постановка проблемы. В общем случае основной задачей систем рассматриваемого типа является стабилизация и управление ориентацией информационно-измерительных устройств широкого класса в инерциальном пространстве [9].
1Сущенко Ольга Андреевна, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры систем управления летательных аппаратов, тел.: 380951408542, e-mail: sushoa@ukr.net
Sushchenko Olga, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Professor of the Department of Aircraft Control Systems, tel.: 380951408542, e-mail: sushoa@ukr.net
2Туник Анатолий Азарьевич, доктор технических наук, профессор кафедры систем управления летательных аппаратов, тел.: 380503816616, e-mail: aatunik@mail.ru
Tunik Anatoly, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Aircraft Control Systems, tel.: 380503816616, e-mail: aatunik@mail.ru
Решение этой задачи усложняется за счет следующих обстоятельств.
Во-первых, функционирование систем стабилизации рассматриваемого типа сопровождается наличием, как внутренних параметрических возмущений, так и неточностей математического описания.
К источникам основных параметрических возмущений относятся: момент инерции платформы с установленной на ней полезной нагрузкой, а также жесткость упругой связи между подвижным основанием платформы и исполнительным механизмом [6]. Перечисленные параметры могут изменяться в широких (до ±50%) пределах.
Следует отметить, что уравнения динамики платформы с установленной на ней полезной нагрузкой являются нелинейными [3]. В то же время в задачах синтеза используются в основном линеаризованные модели, что приводит к дополнительным неопределенностям математического описания объекта стабилизации.
Во-вторых, эксплуатация систем стабилизации рассматриваемого типа сопровождается наличием внешних возмущений, к которым относятся колебания и вибрации платформы, вызванные неровностями рельефа дорог и местности для наземных подвижных объектов, действием ветра для летательных аппаратов и нерегулярным морским волнением для морских подвижных объектов. При этом внешние возмущения характеризуются разнообразием динамических характеристик, обусловленных наличием разных типов дорог и местности для наземных подвижных объектов и разной степенью интенсивности морского волнения для морских подвижных объектов.
Таким образом, возникает задача синтеза законов управления систем стабилизации, позволяющих эффективно подавлять внешние возмущения при наличии неопределенностей математического описания объекта стабилизации.
Для информационно-измерительных устройств, устанавливаемых на подвижных объектах, как правило, является актуальной двухосная стабилизация. При этом в ряде важных практических случаев можно рассматривать стабилизацию в горизонтальной и вертикальной плоскости раздельно [6].
Математическое описание системы стабилизации. В качестве примера математического описания рассматривается скоростная следящая система гироскопической стабилизации и наведения информационно -измерительных устройств, предназначенных для эксплуатации на наземных подвижных объектах [2]. В системах исследуемого типа привод вместе с объектом стабилизации может рассматриваться как единое устройство воспроизведения сигнала управления [2]. Выходным сигналом устройства является угловая скорость поворота объекта стабилизации, а управляющим сигналом - входное напряжение широтно-импульсного модулятора, управляющего скоростью вращения исполнительного двигателя постоянного тока. При таком подходе можно считать, что привод и объект управления соединяются между собой упругой связью, при этом редуктор характеризуется некоторой жесткостью.
Для создания математической модели объекта стабилизации необходимо учитывать действие моментов трения, неуравновешенности и инерции. В современной теории управления под объектом понимается совокупность объекта стабилизации, исполнительного механизма и измерительной системы. В представленной на рис. 1. системе в качестве исполнительного механизма используется двигатель постоянного тока, а в качестве измерительного устройства - гироскопический датчик угловой скорости.
Фп
Рис. 1. Структурная схема системы стабилизации информационно-измерительных устройств: Р - регулятор;
ШИМ- широтно-импульсный модулятор; Д - двигатель; БФЛ - блок формирования люфта; П - платформа;
Г - гироскопический датчик угловой скорости; г - командный сигнал; фай - угол поворота двигателя;
Ред--редуктор с передаточным числом п; ф - угол поворота вала редуктора с учетом действия люфта; е - угол поворота платформы; е - угловая скорость платформы; - угловая скорость подвижного объекта; - абсолютная угловая скорость; I - ток в цепи якоря двигателя
Математическая модель горизонтального канала системы стабилизации, которая учитывает упругую связь объекта стабилизации с двигателем, наличие углового движения только относительно оси стабилизации и малость углов поворота ротора с рамкой датчика угловой скорости относительно его выходной оси, может быть представлена в следующем виде [2, 3, 5]:
^плФпл = -Мтр^фп, -Мр cosфпя + ср{фя -рпя); = -М^ффд. + ^U + ср фл ~фдв ;
Ro6 Пр
UTM + U = kшиш - сефдв; ' (1)
Jzà + + cma = ф + Мтр ;
Uœ = kdya+ US
где JM - момент инерции платформы с полезной нагрузкой; фпл - угол поворота платформы; фл - угол относительного поворота вала редуктора с учетом действия люфта; M п- момент сухого трения в опорах платформы; M - момент неуравновешенности; ср - жесткость редуктора; Jde - момент инерции двигателя; фде - угол поворота двигателя; Mmpd - момент трения двигателя; сЛ - постоянная момента нагрузки на валу двигателя; Ro6 - сопротивление обмотки якоря двигателя; U - напряжение якоря двигателя; n - передаточное число редуктора; Тя - постоянная времени цепи якоря двигателя; kul - коэффициент передачи линеаризованного ШИМ; Uш - напряжение на входе ШИМ; се - коэффициент пропорциональности между угловой скоростью двигателя и эдс; Jг - момент инерции ротора с рамкой; a - угол поворота ротора с рамкой относительно выходной оси; v - относительный коэффициент демпфирования; сш - жесткость торсиона; S - кинетический момент гироскопа; M =-Mm signa - момент сухого трения в опорах подвеса датчика; Mm - приведенное
, . U
значение момента трения; kdy - крутизна выходной характеристики датчика угла; " - выходное напряжение
датчика угла; U5 - погрешность датчика угла. В приведенных нелинейных уравнениях угол <рл определяется по
алгоритму, представленному в [3].
Для дальнейших исследований осуществляется линеаризация приведенных уравнений относительно номинальных значений фазовых координат, которая в соответствии с [4] предполагает:
1) линеаризацию выражений для моментов трения и неуравновешенности двигателя и объекта стабилизации;
2) пренебрежение люфтом привода, моментом трения в опорах гироскопического датчика угла и погрешностью гироскопического датчика угловой скорости.
После выполнения этих действий система уравнений (1) может быть приведена к линеаризованному виду:
с
JnAn = -/плфпл + — фпл - с рфпл - M нр ; n р
сс
Jдвфдв = fдвфдв U + "2 фде - срфде; , (2)
Ro6 Пр
итя + и = -сефдв + к шиш; Т02ию+ 2х/Г0иа+ иа= кгтфпл
гДе /пл,/дв - коэффициенты линеаризованных моментов трения платформы и двигателя соответственно; кгт = —~ - коэффициент передачи датчика угловой скорости; Т0 = у/3/сот - постоянная времени датчика
С т
угловой скорости.
Исследуемая система может быть представлена в пространстве состояний системой уравнений вида:
х = Ах + Вм + Ви;
12 (3)
У = Сх,
где х - вектор переменных состояния; w - внешнее возмущение (момент неуравновешенностиМнр);
и - управление (напряжение иш на входе ШИМ); у - вектор наблюдений; А, В = [В, В2], С - матрицы состояния, входа и наблюдения. Векторы состояния, возмущения, управления и наблюдения, а также четверка матриц, описывающих модель в пространстве состояний, на основании выражений (2), (3) принимают вид [3]:
х- =[х х2 хз Х4 х х6 х7]=[ срде рпп срде (р,
2 3 4 5 Л6 7
™ = м нр;и = иш ; у = -1
]=[
и иа и ];
Рпл
и
Вт =
С =
О - 0 0 0 0 0
• пл
к
0 0 0 0 к^ 0 0
т
А =
00 01 0 0 0
00 00 1/Кб 0 0 ;
- Уде 0 - СР - СР С * 0 0
•де П де Vде Коб •де
0 - / СР - СР 0 0 0
•пл П р • пл • пл
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
- С тя 0 0 0 -1 Тя 0 0
0 0 0 к гт Т 2 0 1 Т2 т0 ¡V т
0 0 0 0 0 0 1
(4)
В матрице Вт соотношений (4) первая строка характеризует вход по возмущению, а вторая - вход по управлению.
Используя аналогичный подход, можно получить модель вертикального канала системы стабилизации.
Структурный Нш -синтез робастного регулятора. Эффективное решение поставленной проблемы может быть достигнуто за счет использования робастного управления. Современным подходом к проектированию ро-бастных систем является использование Нш -синтеза [8, 10].
Для постановки проблемы Нш -синтеза [8, 10] в рассмотрение вводится система, структурная схема которой представлена на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема системы для постановки проблемы Нш -синтеза
Проектируемая система состоит из объекта управления (стабилизации) и регулятора, которые описываются дробно-рациональными и правильными матричными передаточными функциями G(s), K(s). Объект управления представляет собой систему с двумя входами w и u , описанными выше, и выходами z , y . Выходной вектор z определяет качество процессов управления, например, ошибку отработки командного сигнала, которая в идеальном случае равняется нулю. Выходной вектор y представляет собой вектор наблюдаемых сигналов, которые могут быть использованы для организации обратных связей.
Современный подход к решению проблемы структурного Нш -синтеза основан на формировании желаемых частотных характеристик системы, что осуществляется с помощью формирования расширенного объекта за счет введения весовых передаточных функций. При этом в качестве критерия оптимизации используется Нш-норма функции смешанной чувствительности системы, включающей расширенный объект [8, 10].
Представленный на рис. 2 объект G , расширенный за счет весовых передаточных функций, характеризуется входным вектором [w u\ и выходным вектором [z y\ . При этом в состав вектора z входят составляющие z, z2, z3.
В практических ситуациях при проектировании систем стабилизации информационно-измерительных устройств целесообразно осуществлять поиск субоптимального робастного регулятора, для которого н -норма функции смешанной чувствительности системы, включающей расширенный объект, не должна превышать некоторое заданное положительное число у [8, 10].
JH =
WS W2 R W3T
<r,
(5)
где W, W, W - весовые передаточные функции; S, R, T - функции чувствительности по заданному сигналу, управлению и комплементарная функция чувствительности.
С математической точки зрения задача Нш -синтеза сводится к поиску такого регулятора, который минимизирует значение у, входящее в состав неравенства (5).
Поиск структуры и параметров регулятора, при которых у = min . Система стабилизации, включающая расширенный объект, описывается в пространстве состоянии следующей системой уравнений [8, 10]:
X(t) Ap B2 P B2 P x(t)
z(t) = C2 p D 2P D 2p w(t)
y(t) D22p D22p u(t)
(6)
зо
Структурный -синтез основан на решении двух уравнений Риккати, проверке ряда условий и минимизации -нормы функции смешанной чувствительности системы (6), структурная схема которой представлена на рис. 2. При этом необходимо выполнить следующие шаги, которые обеспечивают нахождение структуры и параметров робастного регулятора:
1) Найти решение алгебраического уравнения Риккати Хш, определяющее регулятор
ЛтрХх + ХаЛр + Ст1рС1р + Хх (у-2Б1рВт1р - Б2рБт2р )Ха = 0 (7)
2) Найти решение алгебраического уравнения Риккати 7Ш, определяющее наблюдатель
ЛрГх + Гхлр + ВрБТр + иу-СрСр - сТрС2р к = о (8)
3) Выполнить проверку условий
Яех, [Лр + рб\р - Б2рБ2р X ] < 0, V/,
т
Лр" 1р
-2^т
ЯеХ, [Лр + У^СТрСр - СТрС2р)] < 0, V/, р( XX) <у2
Искомый робастный регулятор определяется выражением [8]
к (5) = -2„ - лх )-1
(9)
(10)
где = (I-у-% Хш )-1; К=-1£т2р ; Г„=-Бт2рХ„ ; Лш = Лр + у-2Б1рБЪХ„ + Б2 р¥т + Ц<С
,т 2 рх
2 р ад
"'ад да 2р '
В описывающих регулятор выражениях (10) могут быть выделены: наблюдатель
х = ЛрХ + Б^у-Б1рХхх + Б2рЫ + (С2рХ - у) и обратная связь и = ^Х .
Для поиска субоптимального робастного регулятора используется процедура, предложенная в работе [8].
Для определения минимального значения утп некоторое заданное число у0 делится пополам, а затем выполняется решение уравнений Риккати (7), (8) и проверка условий (9). Блок-схема процедуры поиска субоптимального регулятора [8] представлена на рис. 3.
^ Начало^
^ Конец у
Рис. 3. Блок-схема алгоритма процедуры поиска субоптимального регулятора
Исследуемая система характеризуется большой размерностью (4) и содержит неуправляемую и ненаблюдаемую части. Для проведения синтеза необходимо выделение управляемой и наблюдаемой частей системы, что осуществляется с помощью процедуры минимальной реализации.
Кроме того, с целью понижения порядка системы целесообразно выполнять формирование модели в пространстве состояний, сбалансированной по входам и выходам.
Выбор весовых передаточных функций является неоднозначной задачей, требующей эвристических подходов.
В соответствии с рекомендациями, приведенными в [8]
Г1 =
5 / М + Ю
5 + юа
(11)
где М выбирается около 2; ю характеризует полосу пропускания системы; а должно соответствовать условию а << 1; Ж2 принимается равной небольшой постоянной величине; Wъ определяется эвристическим методом [8, 10], например, методом проб и ошибок.
С учетом изложенного выше в состав алгоритма проектирования робастных систем стабилизации информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых на подвижных объектах, должны входить следующие шаги.
1. Разработка полной математической модели объекта стабилизации с учетом нелинейностей, присущих реальным системам.
2. Линеаризация модели объекта стабилизации.
3. Разработка моделей возмущений, обусловленных, например, неровностями рельефа дороги и местности, по которой передвигается наземный объект.
4. Нахождение минимальной реализации модели объекта стабилизации.
5. Нахождение сбалансированной реализации модели объекта стабилизации [8].
6. Подбор весовых передаточных функций исходя из желаемых частотных характеристик системы.
7. Формирование модели объекта, расширенного за счет весовых передаточных функций.
8. Выполнение процедуры Нш -синтеза и определение структуры и параметров робастного регулятора.
9. Понижение порядка синтезированного регулятора в пределах возможного.
10. Проверка робастной устойчивости синтезированной системы на основании теоремы Харитонова.
11. Приведение синтезированного регулятора к дискретному виду.
12. Проверка показателей качества и робастности (Н2, Нш -норм замкнутой передаточной функции) синтезированной системы, а также соответствия частотных характеристик заданным требованиям.
13. Проверка качества переходных процессов при помощи полных моделей, учитывающих нелинейности, присущие реальным системам.
14. Проверка устойчивости синтезированной системы к возмущениям при помощи моделирования с учетом моделей случайных возмущений.
15. Выдача рекомендаций на дальнейшие этапы проектирования системы.
Модели внешних возмущений для информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых на наземных подвижных объектах. К основным внешним координатным возмущениям, влияние которых необходимо учитывать при проектировании систем, эксплуатируемых на наземных подвижных объектах, относятся возмущения, обусловленные неровностями рельефа дороги и местности.
Известно, что влияние неровностей дороги или местности определяется ее рельефом, который представляет наиболее обобщенную модель неровностей дороги и местности и описывается случайной функцией высот и неровностей [1].
С точки зрения задания возмущений для наземных подвижных объектов наибольший интерес представляют четыре группы дорог и местности, которые отличаются между собой характером представления спектральной плотности, а именно: с преимущественно длинными неровностями, с валами, с кочками и однородными неровностями. Спектральные плотности для каждого типа дорог и местности определены на основании многолетних исследований и представлены во многих источниках [1].
В соответствии с рассмотренной классификацией на основании спектральных плотностей, приведенных в [1], могут быть получены выражения для формирующих фильтров для задания возмущений разного типа, например, для дорог с большими однородными неровностями
Kh (jo) = JDJV
(jo)3
(jo)3
(jo)2 +42°Mjo + ol
(j°f +42°Kjo + °2K
(12)
и для дорог с большими кочками
K (jo) = 4DJV
( jo)3
(jo)3
1 Ov + jo (Jo)2 +4loM jo + oM (jo)2 + 4loK jo + o
(13)
X
2
где D2, o - коэффициенты, зависящие от подгруппы дороги [1]; v - скорость наземного подвижного объекта; тм = 2-3 рад/с; сок = (0,9 — 1,3)v/b, здесь b - половина длины контактной поверхности.
Результаты робастной оптимизации. Результаты моделирования синтезированной системы представлены на рис. 4-6.
Следует отметить, что выбор весовых передаточных функций является одним из самых сложных этапов проектирования системы стабилизации, поскольку он во многом определяется эвристическими подходами и требует организации интерактивной процедуры проектирования.
Весовые передаточные функции для горизонтального и вертикального каналов системы стабилизации, полученные в процессе синтеза на основании выражений (11), имеют вид:
ттт 1 s/M + o лтт ттг s + o /M
Wl2 =--=— ; W2s = const = 0,04; W32 =-—,
s s + oa as + o
где
1 v
M = 1,5 ; Ш = 200; a = 1-10 5; Ж = —; = const = 0,04; Ж = к-,
7 16 2 26 7 3в гт1 —
v Tv + ю
здесь к = 20; Т = 1.
На рис. 4, 5 представлены реакции номинальной и параметрически возмущенной системы на типовые воздействия. При этом рассматривалось увеличение в 1,5 раза момента инерции объекта стабилизации и жесткости упругой связи между объектом стабилизации и исполнительным механизмом. Известно, что именно эти параметры имеют наибольшее влияние на функционирование стабилизированных платформ [6].
Воздействие внешних возмущений (рис. 6) рассматривалось применительно к вертикальному каналу системы стабилизации, поскольку в соответствии с изложенным в работе [1] влиянием возмущений, обусловленных неровностями дорог и местности, на горизонтальный канал системы стабилизации можно пренебречь.
В качестве возмущений были выбраны воздействия, характерные для дорог со средними неровностями и большими кочками. Задание возмущений осуществлялось на основании выражений (12), (13).
Время, с Время, с
а) б)
Рис. 4. Реакция на скачкообразный сигнал системы стабилизации для номинальной системы (сплошная линия) и системы с увеличенным в 1,5 раза моментом инерции объекта стабилизации (прерывистая линия) для каналов:
а - горизонтального; б - вертикального
а) б)
Рис. 5. Реакция на скачкообразный сигнал системы стабилизации для номинальной системы (сплошная линия) и системы с увеличенной в 1,5 раза жесткостью упругой связи (прерывистая линия) для каналов:
а - горизонтального; б - вертикального
ч: га
CL
о о
О. 10
о ^
о к
й 5 m о F
1
1/
га
.
о о
О. 10
о ^
о к
й 5 m о F
1/
1 1.5
Время, c
а)
1 1.5
Время, c б)
Рис. 6. Действие на вертикальный канал системы стабилизации совокупности импульсного сигнала и внешнего возмущения, характерного для дороги: а - со средними неровностями; б - с большими кочками
н2 и Нш -нормы синтезированной системы составляют Н2 = 0,25 и Нх = 0,57. Структура синтезированного робастного регулятора после понижения порядка с 10 до 7 может быть описана в пространстве состояний следующей четверкой матриц:
Арег —
f
рег
- 1,36 54,17 1,11 - 98,9 10,75 - 0,07 3,55
78,7 - 221,9 12,42 512,3 -145,5 96,18 - 0,76
11,62 28,72 1,58 - 50,17 - 0,54 7,06 3,29
- 198,4 162,4 - 68,61 - 551,1 140,1 -194,8 - 4,01
84,63 192,1 59,36 - 293,5 59,6 17,05 20,66
-4,2 -125,3 -10,33 224,1 - 52,15 - 36,82 - 5,11
55,2 226,3 39,1 -172,9 116,2 157,9 -105,8
" 0,23 0,77 - 0,32 -1,04 0,3 - 0,07 0,57 "
- 7,33 -104,4 -13,36 208,8 - 55,92 14,23 - -87,19 ;
Срег — [0,88 4,48 0,84 - 8,31 2,68 - 0,53 0,22]; Dpez — [0,09 -1,659].
Результаты моделирования свидетельствуют о достаточном быстродействии синтезированной системы и приемлемых показателях качества переходных процессов системы, включая перерегулирование, при значительных неопределённостях момента инерции системы и жёсткости упругой связи.
Заключение. Исследованы особенности проектирования систем стабилизации информационно-измерительных устройств, эксплуатируемых на подвижных объектах в сложных условиях воздействия внутренних параметрических и внешних координатных возмущений. Выбран путь решения проблемы в виде робастной оптимизации. Разработан алгоритм проектирования робастной системы исследуемого типа на основании Нш-синтеза. Разработано математическое описание и проведено моделирование синтезированной системы стабилизации информационно-измерительных устройств, предназначенных для эксплуатации на наземных подвижных объектах. Получены весовые передаточные функции для проведения робастного структурного синтеза методом смешанной чувствительности.
Библиографический список
1. Динамика системы «дорога-шина-автомобиль-родитель» / под. ред. А.А. Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976. 536 с.
2. Кочергин В.В. Следящие системы с двигателем постоянного тока. Л.: Энергоатомиздат, 1988. 168 с.
3. Сущенко О.А., Сайфетдинов Р.А. Математична модель системи стаб^зацп рухомого наземного об'екта // Електронка та системи управлшня. 2007. № 3 (13). С. 146-151.
4. Сущенко О.А. Особливост лшеаризацп системи стаб^зацп рухомого наземного об'екта // Електрошка та системи управлш-
25
25
15
15
0
0
0
0.5
2
2.5
0
0.5
2
2.5
Кибернетика. Информационные системы и технологии
ня. 2008. № 2 (16). С. 57-63.
5. Яловенко А. В., Богданович М.М. Судовые гироскопические приборы. Л.: Судостроение, 1990. 224 с.
6. Gawronski W. A Modeling and Control of Antennas and Telescopes. New York: Springer, 2008. 225 p.
7. Hilkert J.M. Inertially stabilized platform technology // IEEE Control Systems Magazine. 2008. No 1. Р. 47-64.
8. Skogestad S., Postlethwaite I. Multivariable Feedback Control. New York: Jonh Wiley, 1997. 559 p.
9. Sushchenko O.A., Tunik A.A. Robust Optimization of the Inertially Stabilized Platforms // 2-nd International conference MSNMC. Kiev: NAU, 2012. С. 101-105.
10. Zhou K., Doyle J. Essential of robust control. New Jersey: Prentice Hall, 1999. 425 p.
