CC BY
26
УДК 681.05
С.А. Гайворонский, Т.А. Езангина
робастное управление компенсацией веса звеньев космических аппаратов на стенде имитации невесомости
S.A. Gayvoronskiy, T.A. Ezangina
robust control weight compensation links spacecraft
STAND WEIGHTLESSNESS SIMuLATION
Разработана структура системы стабилизации натяжения троса для стенда имитации невесомости. Предложен алгоритм параметрического синтеза робастного ПИ-регулятора на основе коэффициентного метода и критерия максимальной степени устойчивости в условиях интервальной неопределенности параметров системы. Работоспособность синтезированной робастной системы подтверждают результаты цифрового моделирования.
СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ НАТЯЖЕНИЯ ТРОСА; СИНТЕЗ РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА; МАКСИМАЛЬНАЯ РОБАСТНАЯ СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ; РОБАСТНАЯ СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ.
The structure of the robust stabilization system cable tension to stand simulates weightlessness. An algorithm of parametric synthesis of robust Pi-controller based coefficient method and maximum degree of stability criterion. Robust performance of the synthesized system confirms the results of digital simulation.
STABILITY CABLE TENSION; SYNTHESIS OF ROBUST CONTROLLERS; MAXIMAL ROBUSTNESS DEGREE OF STABILITY; ROBUSTNESS DEGREE OF VIBRATIONAL.
Космические аппараты (КА) содержат элементы, которые при выходе на орбиту переводятся из транспортировочного положения в рабочее. Стенд имитации невесомости (СИН) позволяет в наземных условиях имитировать движение таких элементов КА в условиях космоса. Кинематическая схема СИН [1] показана на рис. 1, где обозначены: 1 — трос; 2 — датчик натяжения троса; 3 — датчик вертикальности троса; 4 — привод горизонтального канала СИН; 5 — привод вертикального канала СИН; 6 — движущийся элемент КА; 7 — груз-противовес.
Согласно [1] критериями имитации невесомости в процессе движения элемента КА являются постоянство силы натяжения троса и постоянство вертикального положения троса. Для выполнения этих условий служат соответственно вертикальные и горизонтальные каналы управления, реализуемые с помощью автоматических систем. Последние характеризуются многомассово-стью, наличием упругих связей, а также переменных и неопределенных параметров.
Упругим элементом в системах управления является трос, параметрами которого служат удельное значение жесткости Суд и коэффициент демпфирования колебаний X . Участки троса между инерционными звеньями в процессе их движения изменяют свою длину I, а следовательно, и параметры С = Суд / I и х = Xуд / I• Заметим, что пределы изменения длин участков троса заранее известны, поэтому С и х каждого участка можно считать интервальными параметрами.
при рассмотрении СИН необходимо отметить, что в процессе движения элемента КА его вес распределяется между точкой опоры элемента и точкой подвеса. Данное обстоятельство при анализе и синтезе систем управления может быть учтено интервальным заданием массы элемента КА.
Постановка задачи. В данной статье разрабатывается вертикальный канал СИН, который должен обеспечивать выполнение первого критерия имитации невесомости: постоянство силы натяжения троса. Верти-
Рис. 1. Кинематическая схема стенда имитации невесомости
кальный канал представляет собой упругую трехмассовую систему стабилизации натяжения троса (ССНТ) с интервальными параметрами.
В настоящее время разработано большое количество методов синтеза систем управления с интервальными параметрами [2—4]. Для синтеза ССНТ мы предлагаем применить интервальное расширение коэффициентного метода [5], основанного на использовании коэффициентных показателей качества. Последние определяются на основании интервальных коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы (в которые входят интервальные параметры объекта управления и настройки регулятора).
В связи с тем, что динамические процессы в ССНТ с интервальными параметрами должны быть быстропротекающими, в качестве критерия синтеза робастного регулятора выбран критерий максимального быстродействия. предлагаемый для его реализации корневой подход предусматривает максимизацию робастной степени устойчивости ССНТ выбором соответствующих параметров робастного регулятора. при его синтезе предлагается также ввести ограничение на колебательность системы.
Основные соотношения для синтеза ро-бастного регулятора. Коэффициентный
метод [5] использует соотношения между
коэффициентами характеристического поп
линома Р(я) = ^ р 5 замкнутой системы и
I=0
показателями ее качества. Согласно [6] ро-бастное расширение коэффициентного метода на интервальные системы позволяет для анализа устойчивости применять верхнюю границу интервального показателя устойчивости \ = р-1 р.+2 / рр+1, I = 1, п - 2, где р. — верхний предел, р. — нижний предел 1-го коэффициента характеристического полинома. На основе получено достаточное _условие робастной устойчивости системы < 0,465.
Очевидно, что при проектировании ССНТ с интервальными параметрами представляет интерес не столько обеспечение устойчивости системы, сколько гарантия сохранения ее допустимого качества в процессе движения элемента КА. Обеспечить желаемые динамические свойства интервальной ССНТ предлагается с помощью робастного ПИ-регулятора, имеющего передаточную функцию (5) = к + к25 / s, к = (кх, к2) — вектор настроек регулятора.
Для решения задачи синтеза ПИ-регулятора предлагается использовать достаточное условие заданной степени устойчивости п интервальной системы [7]:
Р1 -1(к) Р1+2 (к)
(Р!(к) - Р1+1(п - , - 1)п)(р+1(к) - р1+2(к)(п -, - 2)п)
< 0,465 , I = 1, п - 2;
Рт_(к) - Рт+1 (к)(п - , - 1)п > 0, т = 1, п - 1;
Ро(кк) - Р1(к)п + 2Р^ П|- > 0.
Вхождение степени устойчивости п в условия (1) дает возможность ее максимизации настройками к пИ-регулятора.
Коэффициентный метод позволяет также формировать условия, ограничивающие колебательность интервальной ССНТ. Для этого можно использовать нижнюю границу показателя колебательности 8г = р2 /(Рг-1 Рг+1), ъ = 1, п -1. Основанное на 8_ достаточное условие робастной колеба-
тельности имеет вид 8z > 8д, где 8д — допустимый показатель колебательности, определяемый из таблицы, приведенной в [7, с. 6].
Основываясь на приведенных выше условиях, для синтеза робастного регулятора предлагается выбором его параметров максимизировать робастную степень устойчивости системы при ограничении на ее колебательность. Для этого необходимо выполнение следующих условий:
РI-1 (к) Р,+2(к)
(Р,- (к) - Р,+1(п - , - 1)п)(Р,+1 (к) - Р,+2(к)(п - , - 2)п)
= 0,465,- = 1, п - 2;
Ру-1(к) РУ+2(к)
(Ру (к) - Ру+1(п - , - 1)п)(Р]+1(к) - р]+2(к)(п - , - 2)п)
< 0,465, у = 1, п - 2, у * ,;
Рт (к) - Рт+1 (к )(п - , - 1) п > 0, т = 1, п - 1;
2
Ро(к) - Р1(к )п + 2 Р2(к) ^ > 0;
Р2 / Рг-1 Рг+1 >8д' 2 =1'п -1.
Количество условий (2)—(6), проверяемых при нахождении значений настроек регулятора, определяется числом коэффициентов характеристического полинома интервальной системы. Из полученных наборов значений параметров регулятора выбираются те, которые обеспечивают максимальное значение п.
математическая модель системы стабилизации натяжения троса. На основании дифференциальных уравнений, описывающих динамику отдельных элементов ССНТ, составлена ее математическая модель в виде структурной схемы, приведенной на рис. 2. ССНт имеет следующие параметры: / = 0,01 кгм2 — момент инерции электропривода; х уд = 2000 Нс — удельный коэффициент демпфирования колебаний в
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
тросе; Суд = 80 000 Н — удельная жесткость троса; г = 0,1 м — радиус приводного шкива электропривода и блоков трособлочной системы ССНТ; тп = 80 кг — масса груза-противовеса; Ст = 0,05 Нм / А — коэффициент передачи двигателя по моменту; Кдн = 1 В/Н — коэффициент передачи датчика натяжения троса; i = 100 — передаточное число редуктора.
Рассмотрим длины участков троса СИН: 11 — между электроприводом и звеном КА и /2 — между электроприводом и грузом-противовесом. Эти длины определяют интервалы параметров соответствующих участков троса: [С1] = С^/^], [С2] = Суд / [/2] и
[Х1] = X уд/[/1] [Х2] = X уд/[/2].
В результате преобразования приведенной на рис. 2 структурной схемы ССНт по-
Рис. 2. Структурная схема системы стабилизации натяжения троса
лучен ее характеристический полином
Р (5) = р555 + р454 + Рз53 + р252 + р^ + Ро, (7)
где в коэффициенты линейно входят настройки ПИ-регулятора и полилинейно интервальные параметры системы:
Ро = 4т3гС2Ст1С1кк1\
Р1 = 4т3гС2С1(2гКт + Ст/кк2) +
+ 4тзГСт'к (С2Х1к1 + С1Х2) +
+ ВКДНС2С1(/ + г 2тп); Р2 = 8гКднтзтп(Х1 + Х2) +
+ 4тз гСт1кк2(С2%1 + С1Х2) + + 32Кдн/(С2Х1 + С1Х2) +
+ 8КднГ 2(С2Х1тз + С1Х2тп) +
+ т3гСт1ккг(4%1 + Стп);
Рз = 2г 2Кднтзтп(С1 + С2) +
+ 8КднХ1^2(4/ + г 2тп + т3г2) + + 8Кдн I(Ст + С2тз) +
+ т/Ст1к (4к2 Х1 + к1Х1 + С1тп к2);
Р4 = 2г 2Кднтзтп(С1 + С2) +
+ 8Кдн1 (тпХ1 + тзХ2) + + 32Кдн1 (С2Х1 + С1Х2) +
+ тптзгСт/кк2;
Р5 = 2Кднтзтп1.
Пусть масса тз элемента КА принадлежит диапазону [60; 100] кг. Длины 11 и /2 в процессе раскрытия КА принимают значения из интервала [5; 10] м. Тогда на основании правил интервальной арифметики приведем полином (7) к интервальному виду:
Р(5) = [Р5]55 + [Р4]54 + [Рз]53 +
+ [ Р2]52 + [ Р1 ]5 + [ Р0], где р5 = [1;3]; Р4 = [624 + 2е4к2;2528 + 12е4к2];
Р3 = [112128 + 2е4 к, + 832е4 к2;
636180 + 12е4 к + 4942е 4к2]; р2 = [4070400 + 832е4 к1 + 256е 6 30464000 + 4992е 4к1 + 1536е 62]; ру = [58368е4 + 256в6 к, + 512е8 к2;
37888е4 + 1536е6 к1 + 3072е8 к2];
Р0 = [5 Пек ;3072е 8к1].
Заметим, что интервальные коэффициенты полинома (8) образуют параметрический многогранник, вершины которого определяются крайними значениями коэффициентов полинома.
Параметрический синтез робастного ПИ-регулятора системы стабилизации натяжения троса. На основании полученных условий (2)—(6) проведем параметрический синтез робастного ПИ-регулятора ССНТ. Для этого, приняв §д = 1, '75, что соответствует сектору ф = ±70° располо-
жения корней полинома (8), выразим из (6) при 2 = 4 параметр регулятора кх через к2: к1(к2) = Р42(к2) -1,75Рз(к2)Р5(к2). Далее, подставив к1( к22 в (2), при , = 3 получим уравнение р2 (к2) р5 (к2) -- 0,4б5(р3(к2) - р4 (к2)п)(Р4(к2)) = 0, из которого выразим параметр регулятора к2 через степень устойчивости п. Используя полученные зависимости в выражениях (3)—(6), сформируем для ССНт систему неравенств (9), где неизвестным является максимальная степень устойчивости п :
Р0(п) Рз(п) / (Р1 (п) -3Р2(п)п)(Р2(п) - 2Рз(п)п) < 0,465;
Р1 (п) Р4 (п) / (Р2(п) -2Рз(п)п)(Рз(п) - Р4 (п)п) < 0,465;
Р1(п) - 3 Р2(п)п > 0;
Р2(п) - 2 Рз(п)п > 0;
Рз(п) - Р4 (п)п > 0;
(9)
Р0(п) - Р1(п)п + 2р2Сл)у > 0;
Р2(п) / Р0(п)Р2(п) > 1,75;
Р2(п)/ Р1(п)Рз(п) > 1,75;
Рз(п) / Р2(п)Р4 (п) > 1,75.
Решая систему (9), находим п = 6,8, после чего определяем искомые настройки ро-бастного ПИ-регулятора к2 = 0,06, к1 = 1.
Моделирование процессов управления в системе стабилизации натяжения троса. Оценка работоспособности ССНТ с синтезированным регулятором проведена путем моделирования системы в пакете МаНаЪ с помощью приложения 81шиНпк. Моделирование выполнено для сочетаний интервальных параметров ССНТ, соответствующих наихудшему режиму работы: /2 > /1, тп > т3.
Для проверки правильности имитации вертикальным каналом СИН движения элемента КА в условиях невесомости в качестве входного воздействия выбран импульс силы толкателя, приводящего в движение элемент КА (рис. з а). Известно, что в результате импульсного воздействия на объект в условиях невесомости последний
разгоняется и начинает двигаться с постоянной скоростью, зависящей от величины импульса. Именно такой характер движения получен на рис. з б. Оценить выполнение в ССНТ первого критерия имитации невесомости — сохранение постоянства натяжения троса — можно по графику, показанному на рис. з в.
Из рис. з видно, что выставленная до начала испытания датчиком на нуль сила натяжения троса совершает в переходном процессе быстрозатухающие колебания с частотой, определяемой жесткостью троса, и в установившемся режиме опять равна нулю. Такое поведение силы натяжения троса свидетельствует о соответствии характера движения элементов КА на СИН их движению в условиях невесомости.
моделирование процессов управления в ССНТ в других режимах работы (при других сочетаниях интервальных параметров)
2
а)
Fb,H
10
5 "
Рис. 3. Переходные процессы:
а — силы толкателя; б — скорости вертикального перемещения элемента КА; в — силы натяжения троса
показало, что их качество мало отличается от приведенного на рис. 3, что позволяет сделать вывод о наличии у ССНТ робаст-ных свойств.
В статье разработана структура робаст-ной системы стабилизации натяжения троса, позволяющая в наземных условиях на специальном стенде имитировать невесомость при испытаниях космического аппарата. Для расчета параметров используемого в системе ПИ-регулятора применен коэффициентный метод и критерий мак-
симального быстродействия. Эффективность работы спроектированной системы подтверждена графиками переходных процессов.
Проведенные исследования выявили ряд новых задач, решение которых позволит улучшить качество работы робастной системы стабилизации натяжения троса. В частности, представляется целесообразным учитывать при проектировании системы различные сопутствующие нелинейности (сухое трение в блоках трособлочной системы, люфты в электроприводах).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вадутов О.С., мельников Ю.С., Гайво-ронский С.А., Новокшонов С.В. Синтез динамических регуляторов интервальных автоматических систем стенда имитации невесомости // Информационные системы и технологии. Доклад Междунар. конф. Новосибирск, 2000. С. 371-377.
2. Волков А.Н., Загашвили Ю.В. Метод синтеза систем автоматического управления с максимальной степенью устойчивости при наличии ограничений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. № 3. С. 12-19.
3. Татаринов А.В., Дирлин А.м. Задачи математического программирования, содержащие комплексные переменные, и предельная степень устойчивости линейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 1. С. 28-33.
4. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Robust stability and performance with fixed-order controllers // Automatica. 1999. No. 35. Pp. 1717-1724.
5. Петров Б.Н., Соколов Н.И., Липатов А.В. и др. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами: Инженер-
ные методы анализа и синтеза. М.: Машиностроение, 1986. 256 с.
6. Гайворонский С.А., Езангина Т.А. Настройка ПИД-регулятора для максимизации степени устойчивости интервальной системы // Автоматизация процессов управления. 201з. № 1(з1).
С. 86-91.
7. Гайворонский С.А., Езангина Т.А. Параметрический синтез линейного регулятора для интервального объекта управления // Мехатрони-ка. Автоматизация. Управление. 201з. № 9(105). С. 5-10.
REFERENCES
1. Vadutov O.S., Melnikov Yu.S., Gayvoronskiy S.A., Novokshonov S.V. Sintez dinamicheskikh regulyatorov intervalnykh avtomaticheskikh sistem stenda imitatsii nevesomosti, Informatsionnyye sistemy i tekhnologii. Doklad mezhdunarodnoy konferentsii, Novosibirsk, 2000, Pp. 371-377. (rus)
2. Volkov A.N., Zagashvili Yu.V. Metod sinteza sistem avtomaticheskogo upravleniya s maksimalnoy stepenyu ustoychivosti pri nalichii ogranicheniy, Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 1997, No. 3. Pp. 12-19. (rus)
3. Tatarinov A.V., Tsirlin A.M. Zadachi matematicheskogo programmirovaniya, soder-zhashchiye kompleksnyye peremennyye, i predelnaya stepen ustoychivosti lineynykh dinamicheskikh system, Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 1995, No. 1, Pp. 28-33. (rus)
4. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Robust stability and performance with fixed-order controllers, Automatica, 1999, No. 35, Pp. 1717-1724.
5. Petrov B.N., Sokolov N.I., Lipatov A.V. i
dr. Sistemy avtomaticheskogo upravleniya obyektami s peremennymi parametrami: Inzhenernyye metody analiza i sinteza. Moscow: Mashinostroyeniye, 1986, 256 p. (rus)
6. Gayvoronskiy S.A., Ezangina T.A. Nastroyka PID-regulyatora dlya maksimizatsii stepeni ustoychivosti intervalnoy sistemy, Avtomatizatsiya protsessov upravleniya. 2013. No. 1(31). Pp. 86-91. (rus)
7. Gayvoronskiy S.A., Ezangina T.A. Parametricheskiy sintez lineynogo regulyatora dlya intervalnogo obyekta upravleniya, Mekhatronika. Avtomatizatsiya. Upravleniye. 2013, No. 9(105). Pp. 5-10. (rus)
ГАЙВОРОНСКИЙ Сергей Анатольевич — заместитель директора по учебной работе Института кибернетики Национального исследовательского томского политехнического университета, кандидат технических наук, доцент.
634050, Россия, г. Томск, пр. Ленина, д. 30.
E-mail: saga@tpu.ru
GAYVORONSKIY, Sergey A. National Research Tomsk Polytechnic University.
634050, Lenina Ave. 30, Tomsk, Russia.
E-mail: saga@tpu.ru
ЕЗАНГИНА Татьяна Александровна — аспирант кафедры автоматики и компьютерных систем Института кибернетики Национального исследовательского томского политехнического университета.
634050, Россия, г. томск, пр. ленина, д. 30.
E-mail: eza-tanya@yandex.ru
EZANGINA, Tatiana A. National Research Tomsk Polytechnic University.
634050, Lenina Ave. 30, Tomsk, Russia.
E-mail: eza-tanya@yandex.ru
© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014
