ПРИМЕНЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА В МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 372.851

DOI: 10.24412/2079-9152-2021-54-85-96

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО МЕТОДА В МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКОМ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Дзундза Алла Ивановна,

доктор педагогических наук, профессор, e-mail: alladzundza@mail. ru Моисеенко Игорь Алексеевич, доктор физико-математических наук, доцент,

е-mail: [email protected] Цапов Вадим Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент,

е-mail: tsapva@mail. ru

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк, ДНР

].......j

Аннотация. Статья посвящена обоснованию необходимости и целесообразности применения эвристического метода в мировоззренческом обучении математическим дисциплинам будущих учителей математики. Обоснован воспитательный потенциал математического образования, который способствует гармонизации мировоззренческого обучения с всесторонним интеллектуально-познавательным, нравственным, эстетическим, мотивационно-волевым развитием личности будущего учителя. Акцентируется внимание на том, что эвристический (частично-поисковый) метод предусматривает наиболее высокий показатель познавательной активности студентов, поэтому он занимает особое место в мировоззренческом обучении математическим дисциплинам. Презентуются специальные методические требования к применению эвристического метода в мировоззренческом обучении: поощрение самостоятельности и инициативы в выборе способа решения задачи, доказательства утверждения; обязательность обоснования логики построения решения и правильности полученных результатов; осознанность применения эвристического метода будущими учителями. Приведен пример построения эвристической беседы, применяемой в процессе преподавания математического анализа студентам направления подготовки «Педагогическое образование».

Ключевые слова: мировоззренческое обучение математике, эвристический метод обучения, методические требования, методическая схема, эвристическая беседа.

Для цитирования: Дзундза А.И. Применение эвристического метода в мировоззренческом обучении математическим дисциплинам будущих учителей математики / А.И. Дзундза, И. А. Моисеенко, В. А. Цапов // Дидактика математики: проблемы и исследования: международный сборник научных работ. - 2021. - № 54. - С. 85-96.

DOI: 10.24412/2079-9152-2021-54-85-96

]......"¡5

Постановка проблемы. Эволюция ционно-коммуникационной сфер жизне-

общественно-политической и информа- деятельности социума, привела к про-

®

блематизации вопросов проектирования мировоззренчески ориентированного обучения и воспитания будущих специалистов. На наш взгляд, эта проблема наиболее остро стоит при организации профессиональной подготовки будущего учителя, поскольку педагог несет ответственность не только за качество учебно-воспитательного процесса, но и за трансляцию общечеловеческих культурных ценностей подрастающему поколению. Обучение математическим дисциплинам обладает огромным воспитательным потенциалом, способствует гармонизации мировоззренческого потенциала математики с всесторонним интеллектуально-познавательным, нравственным, мотива-ционно-волевым развитием личности будущего учителя. Одной из важнейших задач современной дидактики является разработка методов мировоззренчески ориентированного обучения [5].

Анализ актуальных исследований. Как известно, понятие метода обучения достаточно сложное, оно не имеет однозначного трактования в научно-педагогических источниках. Разнообразие подходов к определению и классификации методов обучения говорит о глубине и масштабности этой научно-педагогической категории. Исследователи классифицируют методы обучения в зависимости от вида учебно-познавательной деятельности (Ю.К. Бабанский, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин); дидактических целей обучения (М.А. Данилов, Б.П. Есипов, Л.П. Крившенко), источника и характера передачи информации и получения знаний (П.В. Гора, Н.М. Верзилин, П.И. Пидка-систый); форм организации учебной деятельности (М.И. Махмутов, А.В. Хуторской); степени развития самостоятельности в познавательной деятельности обучающихся (Л.П. Михалева) [9; 12; 17]. Г.А. Байгонакова, Е.И. Скафа, А.А. Темер-бекова, И.В. Чугунова выделяют особенности использования активных методов обучения математике: проблемного, эвристического, программированного обуче-

ния, лабораторного, аксиоматического, построения математических моделей и др. Е.И. Скафа разрабатывает специальные эвристические методы обучения математике: метод гипотез, метод ошибок, метод изобретения, метод синектики, метод инверсии и др. [14].

При организации мировоззренческого обучения математическим дисциплинам будущих учителей математики мы применяем объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный, эвристический методы обучения. Безусловно, эвристический (частично-поисковый) метод предусматривает наиболее высокий показатель познавательной активности студентов, поэтому он занимает особое место в мировоззренчески ориентированном обучении.

Целью статьи является на основе анализа особенностей применения эвристического метода описать возможности его внедрения в систему мировоззренческого обучения дисциплине «Математический анализ».

Изложение основного материала. Применение эвристического метода обучения способствует повышению уровня самостоятельности и инициативности студентов в учебной деятельности. В процессе поиска путей решения задачи развиваются мотивационно-волевые качества, формируются навыки творческого подхода к решению нестандартных задач [1; 2; 6; 10]. При групповой организации обучения укрепляются межличностные коммуникации в студенческом коллективе. Сформулируем специальные методические требования к применению эвристического метода обучения, усиливающие его направленность на общекультурное, мировоззренческое развитие студентов. Методическими требованиями к использованию эвристического метода в мировоззренческом обучении являются [3, 4, 8, 11]:

а) самостоятельность в выполнении студентом необходимых задач, упражнений;

(86)

б) поощрение инициативы в выборе способа решения, доказательства;

в) обязательность обоснования логики построения решения и правильности полученных результатов;

г) реализация соответствующей методической схемы;

д) осознанность применения эвристического метода будущими учителями.

Заметим, что методическое требование необходимости осознанного применения определенного метода мировоззренческого обучения крайне важно при работе с будущими учителями [7]. Мы обязательно сообщаем студентам, какой метод обучения будем использовать, вместе с ними обсуждаем его преимущества при выполнении поставленной цели учебного занятия.

При организации мировоззренческого обучения мы проектируем методическую схему реализации того или иного метода. Так, методической схемой реализации эвристического метода является:

1) решение мировоззренчески направленных задач на систематизацию и классификацию приемов и методов решения, на геометрическую интерпретацию аналитических объектов;

2) поиск нарушенных логических связей в задачах на обобщение математических подходов;

3) опровержение или обоснование правильности предложенных преподавателем доказательств;

4) применение известных логических схем в самостоятельно составленных задачах;

5) построение контрпримеров.

Применение контрпримеров достаточно эффективно не только в случае обоснования ложности математического утверждения, но и, если необходимо убедить студента в ошибочности приведенного им решения, доказательства и пр. Использование контрпримеров в мировоззренческом обучении способствует формированию критичности мышления [13,15,16].

Наиболее широко в мировоззренческом обучении эвристический метод мы применяем в форме эвристической беседы. Мы считаем, что целесообразно организовывать эвристическую беседу при изучении темы «Методы неопределенного интегрирования». Например, на этапе постановки цели итогового практического занятия по этой теме перед студентами ставится проблемный вопрос: «При изучении дифференциального исчисления мы научились по определенным правилам находить производную практически любой, аналитически заданной функции. Подумайте, существуют ли подобные правила для нахождения неопределенного интеграла произвольной функции?» Как известно, отрицательный ответ на данный вопрос связан, в частности, с отсутствием правила интегрирования произведения функций. При этом правило дифференцирования произведения функций позволяет получить формулу интегрирования по частям, предоставляющую один из основных методов неопределенного интегрирования. Заметим, что ответ на поставленный вопрос требует от студентов анализа как имеющихся, так и недостающих знаний и умений; обоснования своей точки зрения; критического осмысления иных точек зрения; поиска оптимального варианта решения; формулирования выводов. Эвристическая беседа позволяет сформировать у студентов навыки проведения подобного анализа, что помогает выстраивать им наиболее короткий маршрут к достижению цели.

В начале эвристической беседы мы используем логическую цепочку вводных вопросов: «Что называется неопределенным интегралом, первообразной? Сколько существует основных методов вычисления неопределенного интеграла? Существуют ли интегралы от элементарных функций, которые нельзя выразить с помощью элементарных функций? Существуют ли интегралы, которые наверняка можно вычислить? Назовите класс функций, обладающих таким свойством». По-

сле анализа ответов на вводные вопросы студентам было предложено построить логический блок систематизации подхо-

дов к вычислению неопределенного интеграла (рис. 1).

Табличное интегрирование

1

Неопределенный интеграл

Интегрирование рациональной функции

Табличное интегрирование

Интегрирование по частям

Интегрирование рациональной функции

Табличное интегрирование

Замена переменной

Интегрирование рациональной функции

Табличное интегрирование

Табличное интегрирование

Табличное интегрирование

Рисунок 1 - Логический блок систематизации подходов к вычислению неопределенного интеграла

Приведем пример построения эвристической беседы при решении задачи выбора оптимального метода вычисления

г dx

неопределенного интеграла I —-—.

J sin x

«Преподаватель (П). Какие методы неопределенного интегрирования Вы знаете?

Студент (С). Мне известны три метода: табличный (или сведение к табличному интегралу), метод интегрирования по частям и замена переменной.

П. Проанализируйте возможности указанных методов для вычисления данного интеграла.

С. Этот интеграл не является табличным и нет простейших преобразований, сводящих его к табличному. Интегрирование по частям также вряд ли применимо к данному примеру, так как подынтегральное выражение не подходит ни под один из трех вариантов применения данного метода. Остается метод замены переменной. Так как вариантов замены может быть несколько, то, возможно, какой-то из них приведет к цели.

П. На что будем ориентироваться при выборе варианта подстановки?

С. На вид подынтегральной функции.

П. Каков вид подынтегральной функции?

С. Это тригонометрическая функция. На лекции рассматривался класс тригонометрических функций, в которых sin x входит как множитель в подынтегральную функцию в нечетной степени. В этом случае целесообразно один синус отделить как множитель и внести его под знак дифференциала, чтобы совершить замену cos x = t.

П. Давайте попробуем отделить один синус.

^ т-т 1 sin-1 x

С. Получаем ——— = ————.

sin x sin x

П. И внесем его под знак дифференциала.

С. Да, но мы не можем воспользоваться формулой sin xdx = -d cos x. Синус в отрицательной степени!

П. Какой же вывод Вы можете сделать? Данный подход невозможен? Или

все-таки попробуем воспользоваться предложенной Вами формулой?

С. Как вариант, можно домножить числитель на синус.

П. Но, чтобы переход был равносильным, надо...

С. Домножить и знаменатель. Имеем

1 sin х „ ——— = — . Т еперь можно совершить

sin х sin х

запланированную замену на косинус.

г dx г sin xox г J cin^ J cm4v J

sin xdx

sin x

sin4 x

d cos x (l - cos2 x)

П. А что делать со знаменателем?

С. Это легко. Перейдем от синуса к косинусу, воспользовавшись тригонометрической формулой sin2 х = 1 - cos2 х .

П. Давайте оформим замену. Что же получается в результате?

С. Цепочка преобразований:

(

замена cos x = t. d cos x = dt

\

dt

J

(i-tJ )2

Получили интеграл от рациональной функции.

П. Сможем ли мы его вычислить?

С. Да, сможем легко!

П. Обоснуйте, на чем основана Ваша уверенность.

С. На лекции утверждалось, что любой интеграл от рациональной функции вычисляется. И приводилась схема решения подобных интегралов. Поэтому далее

применяем метод неопределенных коэффициентов для подынтегральной дроби, освоенный нами при изучении темы «Интегрирование рациональных функций».

1 1/ 1/ 1/ 1/ 1 /4 /4 /4 /4

(1 -12 )2 1 -' (1 - О2

и вычисляем наш интеграл:

1 +1

= - с_Л_ = , dt + dt + f Ü dt + dt =

Jsin3 x J(1 -^)2 J1 -1 J(1 -1)2 J1 +1 J(1 +1)2

1/

/ 4

(1 7' )2

=11 ln 1 -1|--1--ln 1 + t\+ —

4 M 1 1 -1 1 1 1 +1

+ C = 1

ln

1 -1

1+1

2t

Г7

(1+' )2 +C1.

(1+' )2

П. Мы закончили вычисление? С. Нет. Нужно провести обратную замену. Ответ имеет вид:

dx

sin x

ln

1 - cos x

2cos x sin2 x

Л

+ C

1 + cos X

П. Как Вы считаете, решение примера является сложным?

С. Да. Подобрать замену было достаточно сложно. И разложение подынтегральной функции на простейшие дроби оказалось громоздким.

П. Да, Вам пришлось прилагать значительные усилия. Это тоже полезно для Вас, как для будущего учителя. Достигается воспитательная цель обучения. Фор-

мируются мотивационно-волевое качества: упорство, настойчивость в достижении цели. Но у меня возник вопрос: а может быть стоит поискать более рациональный путь решения данного примера? Знаком ли Вам табличный интеграл, содержащий синус в знаменателе?

С. Да. Это: = - ctg x + C .

J sin x

П. Можно ли эту формулу использовать как подсказку?

С. Да, синус в квадрате из знаменателя можно внести под знак дифференциа-

ла:

dx sin2 x

= -dctg x.

П. Правильно. Но у нас синус в знаменателе содержится в какой степени? С. В кубе.

П. Предложите, что можно в этом

случае сделать?

С. Можно подынтегральное выраже-

dx 1 dx

ние записать в виде: ——— = —---—-—.

sin x sin x sin x

П. Подсказка: какая замена напрашивается после внесения под знак дифференциала синуса в квадрате из знаменате-

dx

ля во втором множителе —-— = -dctg x.

sin x

С. Можно попробовать применить замену ctg х = t. Но что же делать с синусом в первой дроби?

П. Может быть Вам известна формула, связывающая тригонометрические функции sin х и ctg х ?

С. Такую формулу я знаю:

—1— = 1 + ctg2х . В этом случае, нам sin х

действительно удастся воспользоваться заменой ctg х = t. И мы получаем:

Í

с дх г 1 дх г г-2^

= I----; 2 =-1 V1 + ctg хdctg х =

Sin х •'cmvcmv *

Sin х sin х

замена ctg х = t, dctg х = dt

\

= -¡J1 +12 dt.

П. Сделайте вывод, какой интеграл мы получили?

С. Интеграл от иррациональной функции.

П. Проанализируйте возможность применения известных Вам методов вычисления подобных интегралов?

С. Судя по подынтегральной функции, здесь подойдут и подстановки Че-бышева, и подстановки Эйлера.

П. Молодец. Хорошо усвоили теорию. Но я хочу предложить Вам другой путь решения. Метод интегрирования по

J = jyj 1 +12 dt =

По частям

частям применяется, в основном, в трех случаях. Так вот в третьем...

С. Мы интегрируем по частям, в результате преобразований приходим к первоначальному интегралу и решаем получившееся уравнение относительно искомого интеграла.

П. Попробуйте решить пример таким образом.

С. Этот метод мы уже применяли на практических занятиях, поэтому особых трудностей вычисление не должно вызывать.

Л

u

= л/1

+1¿

du =

tdt

VT

+12

dv = dt,

v = t

= tVT+7 -J J= JVT+?

dt .

В числителе подынтегральной функции добавим и отнимем единицу и разложим эту функцию на две дроби:

1 + X2 -1

J = JV1 +12 dt = tVT = ^ + '

+ t¿ -

+ t

J . dt = tV 1 +12 - J + dt = J>í+7 3 V177

уЦ +1

+12 - J 1 +1 dt + J 1 dt = tV1 +12 - JV 1 +12dt + J 1

>/1

dt .

+1

Предпоследний интеграл, совпадает с первоначальным, а последний - таблич-

®

ный. Получаем линейное уравнение относительно искомого интеграла:

J = Ы1 +12 - J + ln t + Vl

1 +12

+ 2C2.

Решим

1

t + +1z

J=-71+7 +- 1п 2 2

ведем обратную замену.

Окончательный ответ

уравнение C2 и про-

r dx ctg x г 2 11 £

I—— =--л/1 + ctg2X --ln ctgX + V1 + ctg

J sin X ~ 9

+ C2.

П. Мы решили пример иначе, чем в первый раз. Проанализируйте, чем характерен этот метод.

С. В этот раз мы применили комбинацию из методов замены переменной и интегрирования по частям. Оказывается, такая комбинация возможна.

П. Я предлагаю попробовать применить еще какой-нибудь метод решения. Подумайте, все ли варианты замены мы использовали.

С. Не все. Можно применить еще универсальную тригонометрическую подстановку. Через тангенс половинного угла.

П. Сформулируйте четче, в чем же универсальность данной подстановки?

С. Универсальность заключается в том, что все тригонометрические функции, а также ёх преобразуются в результате замены в рациональные выражения.

П. И какая от этого польза для нас?

С. Польза явная! Интеграл от рациональной функции всегда вычисляется.

П. Действительно, плюсы данной подстановки очевидны. Проанализируйте недостатки.

dx

Б1П х

(

X

tg2=t, V 2

замена

sin X =

2t 1 +12

С. Недостатки, к сожалению, есть. Эти формулы повышают степень выра-

1 - -2

1 + -2'

жения:

2t

tSX = -—~ 1 -12

sin x = ■

2t

1 +12

cos X = ■

dX =

2dt 177

. Вместо триго-

нометрических функций в первой степени появляются рациональные выражения во второй степени.

П. Сделайте вывод, когда же стоит применять тригонометрическую подстановку при интегрировании?

С. Когда нет других методов решения и при этом надо «морально» готовиться к громоздким вычислениям. Поэтому, если есть возможность, лучше применять другие подстановки.

П. Давайте, все-таки, попробуем применить данную подстановку.

С. Оформив замену, получаем подынтегральное выражение шестой степени.

dX =

2dt 1 +12

2t

1+?

2dt

3' 1+t

Его можно упростить. П. Обоснуйте свою точку зрения. С. После упрощения имеем

1 г(1 "

4 ^

1

2 dt

31+7

2t

д Tt2

П. Сделайте вывод.

1 +12 )2

dt.

С. Степень выражения понизилась. И еще одно важное преимущество: в знаменателе стоит одночлен (одно слагаемое).

П. Проанализируйте, в чем плюс данного результата?

С. Плюс очевиден: интеграл сводится к табличному. Достаточно раскрыть

<9D

скобку в числителе и почленно поделить на знаменатель.

/ 2 \2

4 Р+З^- *=4 £ *+\ ^+\ * }

Осталось проинтегрировать табличные интегралы и совершить обратную замену.

• dx 1 1, , | t2

—^ =--2 + - ln t + —+ C3

sin3 x 8t2 2 1 1 8 3

1

8tg

- + 1ln 2 x 2

2

x

tgx

tg2

x

- + C3.

П. Мы решили пример третьим методом. Какие выводы Вы можете сделать по поводу целесообразности применения данного метода?

С. Предполагалось, что он будет самым громоздким, и большого желания применять его не было. Но он оказался самым коротким, оптимальным, не требующим особо сложных вычислений.

П. А если сравнить все три метода?

I

dx

1

(

С. Для данного примера третий вариант является наиболее удачным.

П. Мы осуществили три различных решения одного примера. А еще, в частности, прошли мимо подстановок Чебы-шева и Эйлера. Но хочу обратить Ваше внимание на еще один интересный факт. Решая один и тот же пример тремя методами, мы получили три различных ответа.

sin x 4

ln

1 - cos x

1 + cos x

2cos x sin2 x

л

+с, = f (x)+c,,

I d = -1 + ctg2x --¡-ln ctg x + J1 + ctg2x + C2 = F2 (x) + C

J cin v- 2 2 '

sin3 x

2 '

I-i

J C1

dx

3

sin x

1 1,

- + — ln

8tg:

x 2 2

tg

tg2

- + C3 = F3 (x) + C3.

Какой из них правильный? С. Интегрирование проверяется дифференцированием. Проверка показывает, что все ответы правильные.

П. Следовательно все ответы правильные. Возможно ли это?

С. Мы нашли три первообразных F,( x), F2 (x), F3 (x) от одной и той же

подынтегральной функции f (x) = —1—.

sin3 x

А по теореме о строении множества первообразных, они должны отличаться друг от друга только лишь на константу

F (x)-F (x ) = C.

П. При каких значениях х одна и та же константа С удовлетворяет данному равенству?

С. На промежутках непрерывности первообразных. Подынтегральная функция / (х) = —1— непрерывна, в частно-

sin3 x

сти, на интервале (0, п), а так как интеграл от непрерывной функции является непрерывной функцией (даже дифференцируемой), то на интервале (0, п) наши

первообразные ^ (х), (х), (х) совпадают с точностью до константы!

П. Давайте вычислим значения полученных первообразных при достаточно

x

2

удобном значении переменной. Например

x=пe (o, n).

С. В этом случае имеем , П 0, ,2 П 0, ,3 П 0. Сле-

довательно, при х е (0, п) имеем

, ( X ) = ,2 ( X ) = ,3 ( X) .

П. Тогда мы можем записать три тождественных соотношения для полученных выражений при условии х е (0, п) .

ln

1 - cos X

1 + cos X

Л

- sin X

У

1 + ctg2 X - 1ln ctg X + л] 1 + ctg2

1 + ctg2x -1 ln ctg X + sj 1 + ctg2

1 1,

- + -ln

8tg-

X 2

X

tgx

tg2

2

ln

1 - cos X

1 + cos X

Л

- sin X

У

11

- + — ln

8tg2

X 2

x

tgX

tg2

Получили ряд тождественных тригонометрических соотношений на промежутке х е (0, п) . Эврика!

П. День прошел не зря. Мы с Вами совершили открытие!

С. Математика - замечательная наука. Она увлекает своей неисчерпаемостью, внутренней красотой, строгостью выкладок. Я обязательно буду использовать воспитательные возможности математики в будущем, когда буду работать учителем!»

Обращаем внимание, что в ходе эвристической беседы мы предлагаем будущему учителю проанализировать результат того или иного действия, обосновать свою точку зрения, критически осмыслить оптимальность разных вариантов решения, сформулировать выводы. Заметим, что на некоторых этапах решения данной задачи мы применяли также приемы проблемного и репродуктивного методов обучения.

Эффективным средством реализации эвристического метода в обучении является применение отличающихся от традиционных приемов при решении задач, доказательстве теорем. Приведем пример

использования нетрадиционного приема при доказательстве признака сравнения для знакоположительных рядов. В данном утверждении содержится два утверждения: если начиная с некоторого номера N выполняется неравенство ап > Ъп

ад

V п > N, то 1) из сходимости ряда ^ ап

п=1

ад

следует сходимость ряда ^ Ъп; 2) из рас-

п=1

ад

ходимости ряда ^ Ъп следует расходи-

n=1

мость ряда ^ ап. По свойству сходящих-

п=1

ся числовых рядов отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его сходимости. Поэтому можно считать, что неравенство ап > Ьп

выполняется при всех значениях п. Традиционно доказательство первого утверждения основывается на построении последовательности частичных сумм рядов

ад ад

^ ап и ^ Ъп, и на последующем приме-

п=1 п=1

нении теоремы о необходимом и достаточном условии сходимости ряда. По той

1

4

2

1

4

@

же схеме традиционно доказывают и второе утверждение теоремы, при этом учитывая расходимость неограниченной последовательности. Проговорив данный путь доказательства второго утверждения, мы предлагаем студентам применить метод доказательства от противного: «предположим, что второе утверждение теоремы неверно». Пусть в соответствии с теоремой (и нашим замечанием относительно отбрасывания конечного числа начальных членов ряда) выполнено неравенство ап > Ьп при всех значениях п, и

ад

ряд ^ Ъп расходится по условию второго

и=1

утверждения теоремы, но при этом ряд

ОТ

^ап сходится в противоречии со вто-

п=1

рым утверждением. Но тогда, согласно доказанному ранее первому утверждению

ад

теоремы, из сходимости ряда ^ ап будет

п=1

ад

следовать сходимость ряда ^ Ъп. Однако

п=1

ад

ряд ^ Ъп расходится по условию второго

п=1

утверждения теоремы! Получили противоречие. Следовательно, наше допущение

ад

во втором утверждении, что ряд ^ ап

п=1

сходится - неверное. Из этого противоречия вытекает справедливость второго утверждения теоремы. Студенты делают вывод, что этот метод доказательства оказался короче и элегантнее первоначального без потери строгости рассуждений.

Выводы. Применение эвристического метода мировоззренческого обучения математическим дисциплинам обеспечивает создание не только благоприятного эмоционального климата, но и специфической образовательной среды, способствующей формированию интеллектуальной сферы, познавательной активности, мотивационно-волевых качеств студентов. Нередко целесообразным бывает

комбинирование нескольких методов обучения, например, эвристического и проблемного. Специальные методические требования к проектированию эвристического метода в мировоззренческом обучении математическим дисциплинам направлены на актуализацию мировоззренческого потенциала математического образования, поскольку позволяют задействовать внутренние интеллектуальные, эстетические, нравственные ресурсы математики для формирования мировоззренческих компетенций будущего учителя.

1. Андреев В.И. Педагогическая эвристика для творческого саморазвития /

B.И. Андреев. - Казань: Центр инновационных технологий, 2015. - 288 с.

2. Беликова А.А. Педагогические условия развития творческих способностей у детей старшего дошкольного возраста / А.А. Беликова // Образовательное пространство: проблемы, достижения, перспективы : Материалы Всеросийской научно-практической конференции (Шадринск, 01 февраля 2019 г.). -Шадринск : Шадрин. гос. пед. ун-т., 2019. -

C. 38-42.

3. Гимпель Л.П. Теоретико-методологические основания формирования творческой личности будущего учителя [Электронное издание] / Л.П. Гимпель // Сборник статей «Наука - образование - профессия: системный личностно-развивающий подход» / Под общ. ред. Л.М. Митиной. - Москва: Изд-во «Перо», 2019. - С. 291-294.

4. Джух Е.Н. Формирование социокультурной компетенции у студентов языковых специальностей на основе эвристического подхода / Е.Н. Джух // Вестник Полоцкого государственного университета. Серия E: Педагогические науки. Педагогика. - 2020. -№ 7. - С. 12-17.

5. Дзундза А.И. Мировоззренческий потенциал математики / А.И. Дзундза, В.А. Цапов // Дидактика математики: проблемы и исследования: международный сборник научных работ /редкол.: Е.И. Скафа (научн. ред.) и др.; Донецкий нац. ун-т. - Донецк, 2016. - Вып. 43. - С. 7-12.

6. Долгая Н.А. Развитие творческих способностей у студентов педагогических вузов

®

/ Н.А. Долгая //Педагогическая деятельность как творческий процесс: Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием, ФГБОУ ВО « Чеченский государственный педагогический университет» (Грозный, 29 октября 2019 г.). - Махачкала: АЛЕФ, 2019. - С. 209-215.

7. Еровенко В.А. Эстетическая ценность математического знания и преподавание математики / В.А. Еровенко // Российский гуманитарный журнал. - 2016. - Т. 5. - №2. -С. 108-120.

8. Журавлёва О.П. Воспитательное пространство современной школы: попытка определения сущности и средств его организации / О.П. Журавлёва, Л.П. Михалева // Инновации в образовании. - 2018. - № 9. -С. 131-140.

9. Ильин В.В. Теория познания. Эвристика. Креатология / В.В. Ильин. - Москва : Проспект, 2018. - 176 с.

10. Качалов А.В. Педагогическая эвристика как средство формирования творческой самостоятельности студентов / А.В. Качалов // Международный журнал экспериментального образования. - 2017. - № 42. - С. 181-183.

11. Король А.Д. Эвристическая игра как принцип и форма диалогизации образования / А.Д. Король, Е.А. Бушманова // Педагогика. -2020. - № 12. - С. 44-51.

12. Махмутов М.И. Избранные труды: в 7 т. Т. 6 / М.И. Махмутов, сост. Д.М. Ша-кирова. - Казань : Магариф-Вакыт, 2016. -375 с.

13. Романенко Н.Е. Использование эвристического обучения на уроках математики для формирования критического мышления /

Н.Е. Романенко // Эвристическое обучение математике : Материалы IV Международной научно-методической конференции (Донецк, 19-20 апреля 2018 г.). - Донецк : ДонНУ, 2018. - С. 51-54.

14. Скафа Е.И. Методика обучения математике: эвристический подход. Общая методика : учебное пособие / Е.И Скафа; ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет». - Донецк : ДонНУ, 2020. -440 с.

15. Токарев В.Н. Развитие культуры математического мышления и учебной мотивации студентов с помощью эвристики дополнения /В.Н.Токарев, Е.В. Богарова//Эври-стическое обучение математике : Материалы IV Междунар. научно-метод. конф. (Донецк, 19-20 апреля 2018 г.). - Донецк: ДонНУ, 2018. - С. 62-64.

16. Фунтикова Н.В. Мировоззренческая зрелость как качество интеллигентного человека / Н.В. Фунтикова // Донецкие чтения 2016. Образование, наука и вызовы современности: Материалы I Международной научной конференции (Донецк, 16-18 мая 2016 г.). - Т. 6. Психологические и педагогические науки / под общей редакцией проф. С.В. Беспаловой. - Ростов-на-Дону : Издательство Южного федерального университета, 2016. - С. 205-209.

17. Хуторской А.В. Миссия ученика как основание его стремлений и компетентно-стей / А.В. Хуторской // Научный результат. Педагогика и психология образования. - 2018. - Т. 4. - №1. - С. 51-64.

APPLICATION OF THE HEURISTIC METHOD

IN THE WORLDVIEW TEACHING OF MATHEMATICAL DISCIPLINES FOR FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS

Dzundza Alla

Doctor of Pedagogical Sciences, Professor,

Moiseyenko Igor

Doctor of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor,

Tsapov Vadim

Candidate of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor,

Donetsk National University, Donetsk

(95)

Abstract. The article is devoted to the substantiation of the necessity and expediency of using the heuristic method in the worldview teaching of mathematical disciplines for future mathematics teachers. The upbringing potential of mathematics education has been substantiated, which contributes to the harmonization of worldview teaching with a comprehensive intellectual and cognitive, moral, aesthetic, motivational and volitional development of the personality of the future teacher. Attention is focused on the fact that the heuristic (partial search) method provides the highest indicator of students ' cognitive activity, therefore it occupies a special place in the worldview teaching of mathematical disciplines. Special methodological requirements for the use of the heuristic method of worldview-oriented teaching are presented: encouragement of independence and initiative in choosing a method for solving a problem, proving a statement; the obligatory justification of the logic of constructing a solution and the correctness of the results obtained; implementation of the methodological scheme of the heuristic method; awareness of the use of the heuristic method by future teachers. A methodological scheme for the implementation of the heuristic method in of worldview-oriented teaching is presented. The example of constructing a heuristic conversation used in the process of teaching mathematical analysis to students of the direction of training "Pedagogical education", are given.

Keywords: worldview teaching of mathematics, heuristic teaching method, methodological requirements, methodological scheme, heuristic conversation.

For citation: Dzundza A., Moiseyenko I., Tsapov V. (2021). Application of the heuristic method in the worldview teaching of mathematical disciplines for future teachers of mathematics. Didactics of Mathematics: Problems and Investigations. No. 54, pp. 85-96. (In Russ., abstract in Eng.)

DOI: 10.24412/2079-9152-2021-54-85-96

Статья поступила в редакцию 21.08.2021 г.