ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Семенов, С.М. Решение систем логических уравнений в задачах ЕГЭ по информатике // Сборник научных трудов Четырнадцатой Международной научно-практической конференции «Применение технологий «1С» для повышения эффективности деятельности организаций образования». Москва, 28-29 января 2014 г. - С. 368 - 370.

8. Фирсова, С.А. Применение пакета "MATHCAD" для визуализации решения некоторых заданий ЕГЭ по информатике // Информационные и инновационные технологии в образовании. Сборник материалов Ш-й Всероссийской научно-практической конференции. под ред. С.С. Белоконовой. - 2019. - С. 199 - 200.

9. Шантарович, Е.А., Фирсова, С.А. Понятие логического мышления и его составляющих // Педагогическая наука и педагогическая практика. Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции. Санкт-Петербург, 30 января 2020 г. - 2020. - С. 54 - 56.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Аннотация. Олимпиады по высшей математике нельзя рассматривать как просто усложненную контрольную работу. Ценность олимпиад для ее участников заключается в том, что она помогает не только повысить интерес участников к изучению высшей математики, но и выявить особо глубокие и прочные знания, умений, навыков, способностей к не алгоритмизированному мышлению, нестандартности подходов.

Ключевые слова: интеграл, высшая математика, олимпиадные задачи.

INTEGRATION OF FUNCTIONS IN OLYMPIAD PROBLEMS BY THE HIGHEST MATHEMATICS

Abstract. Olympiads in higher mathematics cannot be regarded as simply complicated test work. The value of the olympiads for its participants lies in the fact that it helps not only increase the interest of participants in the study of higher mathematics, but also to identify particularly deep and lasting knowledge, skills, abilities for non-algorithmized thinking, and non-standard approaches.

Key words: Integral, higher mathematics, olympiad problems.

Задача высших учебных заведений состоит не только в том, чтобы дать студенту определенные знания, но и в том, чтобы научить его творчески мыслить, подготовить к жизни и практической работе в будущих условиях.

Чтобы освоить математические методы необходимо научиться решать задачи. Кроме задач формального характера на применение формул и алгоритмов, полноценно овладение математикой возможно лишь при решении нестандартных задач. Такие задачи присутствуют в олимпиадах.

Решение олимпиадных задач требует не только знаний по программе, но и творческого мышления, математической интуиции, находчивости, умения логически рассуждать, подразумевается присутствие необходимого уровня математической культуры у студента. Нестандартные задачи активизируют познавательную деятельность, позволяют студенту воспринимать математику как универсальный инструмент для решения прикладных проблем.

Не редко в олимпиадных задачах встречаются примеры, где надо вычислить интеграл. Чтобы легко решить интеграл надо к его решению подойти творчески. Так же существуют справочники, где прописаны «сложные» интегралы, как их решать, чаще всего это будут замены. Давайте рассмотрим некоторые замены и формулы по которым можно решить такие интегралы. Эти замены и формулы приведены в справочниках [2,45,8-10,12-13,15].

Для того чтобы проинтегрировать различную рациональную дробную функцию (-Ffi)/)/([/fr])] где/7 (х) и f(x") многочлены, не имеющие общих множителей, нужно сначала выделить целую часть £'(xj ( Е Ос J — многочлен), если таковая имеется, и взять интеграл от целой части и интеграл от остатка

Интегрирование остатка, являющегося правильной дробной функцией (степень числителя меньше степени знаменателя), основывается на разложении ее на элементарные дроби.

Давайте рассмотрим неопределенный интеграл с рациональными функциями и некоторые формулы его решения приведенные в справочнике [5]:

П.С. Чумакова, Н.В. Драгныш

P.S. Chumakova, N.V. Dragnysh

г, s,... — рациональные числа, приводятся к интегралам

от рациональных функций подстановкой

где m общий знаменатель дробей г, s,

2) Интегралы вида + Ьдгп)!' вд" (интегралы от биномиальных дифференциалов), где т., л, р —

рациональные числа, выражаются через элементарные функции только в следующих случаях:

а) когда р — целое число, тогда этот интеграл имеет вид суммы интегралов, указанных в первом пункте.

б) когда — целое число, подстановкой х" = г этот интеграл преобразуется к виду - '■ .м, рассмотренному в первом пункте.

в) когда ^^ ■+- р — целое число, при помощи той же подстановки ** = г данный интеграл приводится к

интегралу вида

О VI—1

I ™ 4

рассмотренному в первом пункте.

Приведем некоторые формулы с помощью которых можно решить неопределенный интеграл с алгебраической функцией:

1. Формы, содержащие биномы а + и V* Обозначения: 2]_ = я -|- Ьх

Г \xtix 2ух и Г ^ ?! Ь Ь )

2. Формы, включающие V а +■ Ьх +■ сх2

Рационализация подынтегрального выражения в интегралах типа добивается с помощью по крайней мере одной из следующих 3-х подстановок, именуемых подстановками Эйлера:

a) +- Ьх + сх2 = х£ + при а > 0:

b) \!а + Ьх + сх- = !: + х\с при с > 0:

c) - = ^ - при условии, что корни уравнения с- Ьх +- = О действительны.

Помимо подстановок Эйлера, имеется еще следующий метод вычисления интегралов типа . При помощи уничтожения иррациональности в знаменателе и простейших алгебраических операций подынтегральное выражение может быть сведено к сумме определенной

■, где Л. (-'О и Ра От,1 — два многочлена. При помощи

рациональной функции от х и выражения вида-

выделения из рациональной функции Г1'" •' целой части и разложения остатка на простейшие дроби интеграл от

последнего вьфажения сводится к сумме интегралов, каждый из которых имеет один из следующих трех видов:

РЫ Лх

1. '

■> л/ а +

Ьх 4- сх2

где р(х) — многочлен некоторой степени г; йх

* (я

(х ■+■ р]кч''е +- Ьх + сх2 (Мх +

Первый интеграл

+ рх + + Ъ1* + *г)

Г РШ Лх ,-- Г

' ■> Vа

¿х

+ Ьх + сх:

I + Ьх + сх"

где —многочлен \г — I,.1 — и степени. Его коэффициенты, а также число Л вычисляются по методу неопределенных коэффициентов из тождества

Интегралы вида

(д: +- р)к\а + Ьх + сх1

при условии, что степень « многочлена Р(х) ниже к, с помощью подстановки ь = — приводится к интегралу вида

/ а + +- уЬ21

Формы, содержащие у/а+Ъх +- с*2 и целые степени х. Обозначения: Я = а + Ьх + сх2, А= 4ос — Ь1

j xmy¡R^

dx =

(2m 4 2n + 1)й [m + Zn 4 Z)c ~ 2(m + 2n+ 2)c

(m. — 1)Q

I

(wi + 2n + 2)c

f

Формы, содержащие V и + Ьх 4- сх1 и многочлены первой и второй степени Обозначение: Я = с + Ьх +

i

J íx 4- d>VH J J,

JB-1

dt

Of + p>Jr J 7C + & - = (a- bjj + cp2)t2

Формы, содержащие

№

ax в подынтегральных функциях следует заменить через ¡?ln с = ах.

I

dx 1 .

-;—— — -.тх - ]п(п Н-be'

а + be"* am

01.

Пусть интегралы вида R(sinicosx)di не являются табличными. В некоторых случаях достаточно провести простую замену (подведение под знак дифференциала), интегрировать по частям, провести преобразования применяя тригонометрические формулы.

Для вычисления интегралов вида Л (sin xcos xjáx часто используют универсальную тригонометрической подстановку t = tg^. Данной подстановкой интеграл R (sin х сое х)dx преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной £, который выражается в простых функциях.

Действительно, пусть t = tg -, Выразим s i n .г, с о s х и dr через t:

1 2t

- . х х 2 Sin- ■ C05-

ЭШД = ■

COS

С) ©-

О

о

1W©

COS Л" = ■

2dt

х = 2arc?tg t di =

14-t3

1

Подставляя в подынтегральное выражение вместо бшх , со б х и [¡г их значения, выраженные через переменную £. получаем

21 dt

4- t

f®)

Подынтегральная функция рациональна относительно t. Отметим, что с помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида йх

1;

и cos х 4- Ь sinx 4- с

Несмотря на то, что универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы типа но ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому часто более удобно использовать индивидуальные замены.

В частности, при вычислении интегралов вида if (sin х cos x)dx можно воспользоваться следующими рекомендациями:

1. В случае если подынтегральная функция нечетна относительно sinх, т.е.

Я(—sin i, cos i] dx = fi(sin дг, cos i)di то используется подстановка сое х = L

В случае если подынтегральная функция нечетна относительно т.е. ifvsinx, — cos j о. х = —Л (sin л-, cos а\) ах, в таком случае применяют подстановку sin .г = t.

В случае если подынтегральная функция четна относительно sin* и

т.е. Я(— sinx, — cas ijdi = Я(зга x, cos x)dx в этом случае используется замена tg х = t. Некоторые формулы для вычисления интегралов с тригонометрией [5]: Синусы и косинусы кратных дуг, линейных и более сложных функций аргумента.

2. 3.

COSXj

Г sinlte-I ELn(cu: 4- Ь] siii(c.r + rij ri.r =-—

si л.(и — + b - d] sinKa 4- c)r + b

m

](a - c) 2 (Q 4- c)

Г cosKq — с)дг + b — £¿J cosKq 4- 4- Ь 4- tiJ I sinfox 4- Й) cos(cx 4- dj dx = —--r-—-—-—г-. (10)

í

со s(сиг 4- b) cos(cj: 4- tí] t¡j¡r =-

c) 2 (a-be)

5Íti[(a - c)i 4- b - d] sin.(и + с)ж + Ъ 4-*í]

(1Ц

2 (а — с] 2 (о 4- с)

Приведем некоторые формулы, с помощью которых решаются определенные интегралы: 1. Показательная функция

К 1 + e-V Ч

Г* - д-*1 п рж

- da- = -ctg ■

(14)

2. Степени тригонометрических функций и тригонометрические функции от линейной функции аргумента

j sinvx sin i?;

sin тс dx = 2 viz sin—.

2

(15)

í

Sin гп+ El

InCZm + Üzdi = 2 j sin2rí+íx EÍn(2m 4-1)*dx = 4- 1>

= 0 [и < ш]

3. Формы, содержащие степени линейных функций от тригонометрических функций

К

совяг+виисч™ Zf СОЕ X - EinX/

dt =

2 Ет(тГС05"г£) '

(13)

4. Квадратные корни из выражений, содержащих тригонометрические функции

И I-

,'cos 2х — cos 2и -ж

dx= -к! - сое it). (19)

(20)

cos 2х Н-1 2

5. Тригонометрические функции от более сложных аргументов

Г Iñ

J [siп(д - x'J - cos(n - dx = '—sine.

с

se-

Г f , _ 1 / b1 b*\ rw оле(д* 4- 2bxj = - I cos — -I- sin— 1—. J 2 \ a a J \ 2a

6. Рациональные функции от х и от тригонометрических функций

(21)

Г х dx J 1 + SLtlX

: ln2.

(25)

7. Тригонометрическая и степенная функция от более сложных аргументов

). (26)

о

Г , , . ь нг ( ъ2

X 5П1(ДХ*) 5111(2Ьх)/1х = - 1-I СО5-

2а \ и

:

г „ ь ь2 ь2\

I х соз(пх*) 5ш(2йх) Ах = ~ ( М5 — - —]■ 8. Тригонометрические, показательная и степенная функции

(27)

в sin у sin ах — = — 1п

dx 1 р2+(а+- у)2

х 4 р2+(.а-у)2'

Г dx 1

[ в sin их eos йх — = — arctg

2ра -ж

?:-а2 +Ь2 + S2'

(29)

(30)

[а > 0,р > 0,s = О

при р2 - а2 -ЬЬг>0и5=1 при р2 - а" +- Ь2 < 0]

j в ^(sinen: — sin ¿ж)— = arctg

9. Логарифмическая функция В интегралах вида

О ~ ЦД

ab+- в2 '

(31^1

Г Он х)Гя

J [ат + Ппх)я

■ dx

[ап + (]пх)"]! полезно сделать подстановку х = в~1. 10. Логарифмическая и алгебраическая функция

эс-

X.

Í

х\: 1 — хг ]tix cix = - 1п 2 — —.

^ 3 9

(33)

11. Логарифмическая функция от более сложных аргументов и степенная функция 1

В случае если подынтегральная функция включает логарифм, аргумент которого также содержит логарифм, например если под знаком интеграла имеется, то полезно сделать подстановку и затем искать в таблицах в сборнике [15].

12. Логарифмическая и показательная функция

| 0-2lU!LnOto)£Íx = — [- + [п 2 -2/?(2tt + l)].

13. Обратные тригонометрические функции

j or ctg (гокО dx = 0 ,

im

x aireos fea: ir

. -dx = —lu(l 4 fe)

'Ci - *2)G - t3!3) 2k

В основном олимпиадные задачи представляют собой доказательство или вычисление интегралов. Чаще всего встречаются [1,3,6-7,11,14] рациональные функции, в которой может быть логарифм, тригонометрия, степенная функция (табл. 1)

Таблица 1. Интегралы в олимпиадных задачах

1 Ь(1 4-1)

JD 14

I

I

dt

s

x sinx dx

V 1.1(9-X)

i v' ln(9 - x) + ^/lnC* + 3) sin5.? sinS.* dx

1 dx

L

cos*xysiri23 — sni*i

h

dx r^tl-x*)

dx

Cx2 4 2}\t2(x2 4- S) - e"*d*

J

iCe* + l)(x2 4-1)

Gf-1):

-dx

x: 4 e* 4 1

loa 4x

~ i7 - 3x5 4 7x- -x 4 1

di

CDS'I

J X sinfóx2) sin(4x) dx I V1 -b cos 2x dx

D

i x 4- sin x

: 1 4 cqsx

Интегралы на доказательство:

i f1 si

J

se

í

1 4 е-* sin*

r-

J n

sinx* dx > 0

di

1 — cos(3x)

COS 2 О 7Г*

77^ = ü

cos2Q

dx

í* c i:

j sin (sin x -h nxjdx = j:

Рассмотрим интеграл: Jtin sx sin 5x dx. Решение данного интеграла будет находится по формуле 16: :

J'

I

cas х cosnx

dx — 1

sífi x sin 5x dx = —г = — 2S 64 :

Решение J; x sin(5x!) sín(4jc) dx интеграла будет находится по формуле 27:

Ь1

Г " b Г* ( ъ

х sin(ox*"i sin(2£ixjdx = — — cos — J 2аЫ 2a \ и

4 sin.-

А вот с помощью этой формулы 1

Infi 4 х) 1 с 4 ¿ 21п2

dx=—-—In——4-

í

(ах 4 b)2 a (a-b)

b2- a2

можно решить такой интеграл

/

Infi + %) _ 1 3 + 2 2 111 2__1 5 2 111 2 _1 S 2 ln2

3^5 3

Ответ: ]п —

32

Не все интегралы можно решить по формулам или каким-то универсальным заменам. К таким интегралам надо применять творчество. Иногда это надо придумать замену, иногда надо ввести замену и сложить два интеграла.

Пример 1. Вычислить

п1]п(1 + £)

J

Jn

dt.

,„ 1 + £:

Решение: Для того чтобы решить этот интеграл, необходимо ввести замену переменной £ = Ьд -п. Так как мы сделали замену 1 — 1д и. то поменяются пределы интегрирования. Если t меняется в пределах 0 < £ < 1, то и будет меняться 0 < и < —.

4

Теперь подставим вместо I = Ьд и, найдем = ".. он и сделаем элементарные преобразования по

тригонометрии. Затем перемножим две дроби и распишем ta = 'n L''.

C-D5 Li

ГПп(1 fíSu] 1 jT M1 + 777-J) du

Г 71x1(1 + tß и) 1 п ГГ J: l+tg2u cos"и J; caszu

+

31П Li С PS Li

sin'u

Зная, что cas1x +- sin'x = 1 запишем интеграл:

Логарифм частного равняется разностью логарифмов от числителя и знаменателя: Ln(cosn + sill и) du— LiiícosiO

Теперь распишем сумму (соsu + sinuj. Умножим и разделим на — \П и внесем -j- в скобку. Значение — соответствует sin- и cos-. В скобке получается косинус разности.

: "44

jsiiiu + cos гс = 'V^fsmи + cos и) = л/2 ^-^-sítlíj +- cos u^J == v 2 (sin— sinn + cos —cos и J

Подставив эту сумму в интеграл, получим: I Lnl v2 (cos(— — u) J J du — I lti(cosiO du.

Логарифм произведения равняется сумме логарифмов от каждого из множителей:

]TIV2ÍÍU4-J luscos (——uj j йи — In (cos и) tin

Первый интеграл не зависит от ii, поэтому чтобы решить данное выражение надо решить второй и третий интеграл:

I Ini/ídn + J _ln cos t dt — | Itl(cgsw) du.

Принципиально не имеет значение, какой буквой обозначить переменную под интегралом, поэтому второй и третий интегралы - равны. Следовательно, все выражение, которое состоит из суммы трех, будет равно

= fb

J -

Я П

V 2 diA = — In V2 = —In 2,

'1lnfl + ti n

" в1

r1M: ..

Ответ: -ц— dt = — Ln Z.

J„ 1

4£2

Пример 2. Вычислить j x sinGi3) sin(4x)[ix,

Теперь распишем сумму (с o su + sin и). Умножим и разделим на — v2 и внесем -4 в скобку. Значение -j- соответствует sin^ и cos j. В скобке получается косинус разности.

Подставив сумму (со sit 4 si пи] в интеграл, получили:

2 Пт~ / _ /л 4 -,

2 / /я 4\\ V 5тг /я 4- \

V 5тг

Ответ: —— cos 50

/я 4ч \4 ~ 5/'

Пример З.Найти значение интеграла 4 yln(9-;Q

I

■.dx.

i v' ln(9 - x) + Vint* + 3)

Обозначим

4

-J:

VMS -б +y)

VM9 -6 4 y) + v'lnC& - у +■ 3)

:C

-dy) = j-

yln(3 + >0

dy

Обозначим переменную у через х:

4

Í

уМЗ + О

v'in(3 fí) 4 v'in(9 -x]

:dx

Сложим полученное выражение с исходным: i

ln(?-y)

:'iti(3 +■

p - >0 + V]n(3 + X) 7 in(3 4 xj 4 v/in( 9 - у V

: ^ Ответ: 1.

Пример 4. Вычислить интеграл: i

dx

*) \ Г

. dx = dx

■■Lnf 9 —-vV J

/

[a* 4 l)fxa4 l)'

Обозначим интеграл

Введем замену переменной х. = —у

I 1 1 + в? I

= 0-У+ 1 = —+ 1 =-—

I I

= /

в1 dy

(1 +■ eOCy® +■ l)

Обозначим переменную у через х: 1

/

(11 + я')Ы3 + 1)

Ar

Сложим полученное выражение с исходным: i ' i

21

f

(1 + £?*}(** +■ 1}

dx +

I (е* 4-

dx

1)(х2 +-1)

/с

(У" 4- V)dx

в' +■ ОСх3 +■ О

/

rix

+ 1

TT TT 71

(arctg jcll i L = orcijCl] - artig (-1) = - + - = -

4-4■ Z

21

7T~

tt

4'

Таким образом, в статье обзорно рассмотрены формулы, по которым можно решить сложные интегралы, приведены примеры решений олимпиадных задач.

Интегрирование функций, имеет немаловажное значение в курсе высшей математики, а также в ее приложениях. Олимпиадные задачи могут быть полезны в ходе подготовки бакалавров физико-математических профилей педагогических направлений. Важное прикладное значение олимпиадные задачи могут иметь при индивидуализации обучения, построения индивидуальных образовательных маршрутов [16]. Материал данной работы может быть использован в качестве дополнительного источника для преподавателей и студента, заинтересованного в углублении знаний по теме интегрирование функций. Еще она может быть полезна, когда подготавливаешься к олимпиаде по высшей математике. Так же данная работа может быть рекомендована специализированным школам, учащиеся которых хотят повысить свою подготовку для участия в олимпиадах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Амбарцумян, В.А., Андрющенко, Е.А., Бухенский, К.В., Дворецкова, Е.А., Дюбуа, А.Б., Машнина, С.Н., Сафошкин, А.С. / Студенческие математические олимпиады. Часть 2: учеб. пособие. Рязан. гос. радиотехн. ун-т. - Рязань, 2015. - 99 с.

2. Архипов, Г.И., Садовничий, В.А., Чубариков, В.Н. Лекции по математическому анализу. :Учебник для университетов и пед. вузов / Под ред.В.А.Садовничего. -М.: Высш. шк., 1999. - 640 с.

3. Беркович, Ф.Д. Задачи студенческих математических олимпиад с указаниями и решениями: учеб. пособие/ Ф.Д. Беркович, В.С. Федий, В.И. Шлыков. - Ростов н/Д: Феникс, 2008.- 171 с.

4. Боронина, Е.Б. Математический анализ: конспект лекций/ Е.Б.Боронина. -М.: Эксмо, 2007.- 158 с.

5. Градштейн, И.С., Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е издание. М. Физматгиз 1963. -1100 с.

6. Григорьева, И.С. Казанские студенческие олимпиады по математике. Сборник задач: учеб.-метод. пособие/ Казань: Казанский университет, 2011.- 48 с.

7. Данилова, Ю.А. Избранные задачи. Сборник. Пер. с англ. Под ред. И с предисл. В.М. Алексеева. М., «Мир», 1977.- 597 с.

8. Дороговцев, А.Я. Математический анализ: сборник задач /А.Я. Дороговцев. - К.: Высш.шк.,1987. - 408 с.

9. Зорич, В.А . Математический анализ .В 2-х ч. Часть 1. -6-е изд, дополн. - М.: МЦНМО, 2012. - 586 с.

10. Ильин, В .А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Начальный курс/В.А.Ильин. Под ред., А.Н.Тихонова.—2-е изд., перераб.— М.: Изд-во МГУ, 1985. - 662 с.

11. Коновалов, С.П., Балашов М.В. Студенческие олимпиады МФТИ 1993 - 2007. - М. 2007. - 172 с.

12. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа (3-х томах):Учебник для студентов университетов и вузов. М.: Высш. шк.,1988-1989.

13. Никольский, С.М. Курс математического анализа: Учебник для вузов. 6-е изд.стереотип. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 592 с.

14. Садовничий, В.А., Григорян, А.А., Конягин, С.В. Задачи студенческих математических олимпиад - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 309 с.

15. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд. - М.: Физмалит: ЛБЗ, 2003. -672 с.

16. Драгныш, Н.В., Цветков, А.А. Использование возможностей системы дистанционного обучения Moodle для создания индивидуальных образовательных маршрутов // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2017. - № 1. - С. 198-204.