АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ НА ОСНОВЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК378.147:512

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ НА ОСНОВЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА

Селякова Людмила Ивановна, кандидат педагог. наук, доцент e-mail: l.seliakova@donnu.ru Мурмилова Дарья Юрьевна, старший преподаватель e-mail: d.murmilova@donnu.ru ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк

Selyakova Lyudmila, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor

Murmilova Daria, Senior Lecturer Donetsk National University, Donetsk

Описана созданная система задач по дисциплине «Алгебра» в высшей педагогической школе, составленных для обеспечения профессиональной подготовки будущих учителей математики. Основная особенность предложенных задач заключается в применении эвристических приемов при их решении, а также в обучении студентов таким приемам, в формировании у обучаемых готовности классифицировать и применять эвристики при обучении и в будущей педагогической деятельности.

Ключевые слова: эвристические приемы; эвристика; обучение алгебре; обучение будущих учителей математики.

Постановка проблемы. На современном этапе развития общества основной целью высшего профессионального образования является подготовка квалифицированного и компетентного специалиста, способного к самообразованию и саморазвитию, ответственного, умеющего критически мыслить, анализировать и обрабатывать информацию, использовать приобретенные знания и умения для творческого решения проблем. Главным заданием образовательных организаций среднего общего образования является создание благоприятных условий для раскрытия и развития способностей и творческого потенциала школьников. С подобным заданием может справиться высокообразован-

ный, высокоинтеллектуальный учитель, не только обладающий фундаментальными знаниями, творческим мышлением и исследовательскими навыками, но и способный развивать творческие, эвристические способности своих учеников.

Профессиональная деятельность учителя требует, с одной стороны, умений строить взаимоотношения с людьми, а с другой стороны - специальных знаний, умений и навыков в области математики, одним из разделов которой является алгебра. Без полноценного алгебраического образования невозможно подготовить высококвалифицированного математика и грамотного учителя математики [6]. Обучение алгебре в классическом университе-

те обладает широкими возможностями для формирования теоретической и практической готовности проведения занятий по математике, способности эффективно решать стандартные и проблемные задачи [2]. Эти возможности реализуются не только благодаря изучению материала, фактически лежащего в предметной области будущих учителей, но и при помощи предлагаемых методов и средств обучения, которые подкрепляются профессионально направленной системой задач, а также дифференцированным и индивидуальным подходом при их составлении [1]. При этом используются эвристические методы обучения в их разнообразии. Обучение будущих учителей разнообразным эвристическим приемам не только формирует их эвристическую деятельность, эффективно способствует развитию их творческого мышления, но и закладывает основания их готовности к формированию эвристических приемов и творческой деятельности учащихся.

Анализ актуальных исследований. Применение при обучении алгебре эвристики как общей методологии творчества и как системы частных приемов решения задач является необходимым компонентом эвристического обучения [5]. Понятие «эвристика» является предметом исследования в психологии (В.И. Андреев, П.Я. Гальперин, З.И. Калмыкова, В.И. Кру-тецкий, ДА Поспелов, В.Н. Пушкин, И.В. Страхов и др.), в философии (В.П. Бранский, А.Ф. Кудряшов и др.), инженерии, технике и изобретательстве (Е.А. Александров, М.В. Мдивани,

Г.С. Альтшуллер, Г.Я. Буш, Д.А. Троицкий, А.М. Столяров и др.), и, конечно же, в педагогике (Г. Армстронг, В.И. Андреев, Ю.Н. Кулюкин, А.В. Хуторской и др.).

Возможности реализации эвристических идей в обучении математике посвятили свои исследования такие ученые, как Ж. Адамар, Г.Д. Балк, В.Г. Болтянский, В.М. Брадис, Б.В. Гнеденко, Я.И. Гру-денов, Ю.М. Когягин, А.Д. Мышкис, Ю.А. Палант, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, Е.Е. Семенов, Е.И. Скафа, З.И. Слепкань,

Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин, С.И. Шапиро и др.

Под эвристическим обучением математике понимают такую методическую систему, которая направлена на формирование учебно-познавательной эвристической деятельности обучаемого, на овладение знаниями, учебными, эвристическими и профессионально ориентированными умениями по математике через конструирование обучаемым своей собственной образовательной траектории в изучении математики [4].

Анализ многих исследований в этом направлении показывает, что чаще всего эвристики относят к методам, способам и приемам обучения. В настоящей работе под эвристикой понимается процесс поиска нового продукта деятельности. Из определения непосредственно следует цель эвристики - исследование методов, приемов и правил, которые можно использовать для осуществления открытия и поиска решения задачи [5]. Одним из средств достижения такой цели является применение для решения задач эвристических приемов - особых приемов, сформировавшихся в ходе решения одних задач и сознательно переносящихся на другие задачи [3]. Согласно принятой классификации различают общие и специальные эвристики, различное сочетание которых и является основой процесса формирования эвристических приемов.

Цель статьи. В настоящей работе описана построенная система профессионально направленных эвристических задач по алгебре для обучения бакалавров, будущих учителей математики.

Изложение основного материала. Предлагается следующий набор эвристических приемов:

- анализ задачи;

- введение вспомогательных неизвестных;

- доказательство «от противного»;

- контрпример или подтверждающий пример;

- «задача-софизм»;

- модификация;

®

- метод малых изменении;

- переход к равносильной задаче;

- аналогия;

- обобщение;

- перебор;

- эвристическая подсказка.

Приведем примеры задач построенной

системы, параллельно характеризуя применяемый эвристический прием.

Пример 1. Эвристический прием — анализ задачи.

Задание. Составить многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, имеющий корень i-3.

Решение. При анализе размышления идут от того, что нужно построить к тому, что дано и что установлено ранее. Так как нужно составить многочлен с целыми (а значит, обязательно с действительными) коэффициентами, то согласно известной теореме все комплексные, но не действительные, корни такого многочлена попарно сопряжены. Следовательно, данный многочлен будет иметь, по крайней мере, корни a =—3+i и b = -3-i. Проводим анализ далее: по следствию из теоремы Безу такой многочлен делится на f(x)=(x-a)(x-b). Найдем коэффициенты делителя:

f(x) = (х + 3 - i)(x + 3 + /) =

= х2 + 6х + 10.

Получили многочлен не просто с действительными, но уже с целыми коэффициентами. Так как необходимо составить многочлен наименьшей степени, который делится на fix), и по свойствам делимости /(х) :/(х), то в качестве искомого можем выбрать найденный многочлен или любой многочлен вида с• /(х), ceZ.

Ответ: х1 + 6х + 10.

Пример 2. Эвристический прием -введение вспомогательных неизвестных

Задание. Найти коэффициент А для многочлена x3-3x+A при условии, что многочлен имеет хотя бы один кратный, но не простой, корень.

Решение. Введем вспомогательные неизвестные: обозначим a, b, c - корни

данного многочлена. Так как многочлен имеет кратный корень, то а=Ъ и по теоре-' -26-с = 0;

Ь2+2Ьс = -3;

-Ь2с = А.

ме Виета получим: ,

Решая составленную систему, найдем А = 2 или А = -2.

Ответ: 2, -2.

Пример 3. Эвристический прием — доказательство «от противного».

Задание. Доказать, что многочлен х +рх+ц с нечетными целыми коэффициентами р и q не может иметь целый корень.

Решение. Доказательство «от противного» обосновано следующей теоремой математической логики. Высказывание Ф логически следует из посылок Т,, И7,, ..., Ц'п тогда и только тогда,

когда из ЧЛ Ф логически

1? ? п'

следует противоречие.

Таким образом, для доказательства присоединяем к условию отрицание того, что нужно доказать, с целью получить противоречие как следствие. Предположим, что существует целый кореньа данного многочлена, тогда получим тождество а3 + ра + ¿7 = 0. Если а - четное число, то а\ра, а' + ра также четные

числа, но аъ + ра + ц будет числом нечетным. Если же а - нечетное число, то а3,ра и а + ра +С] будут нечетными. В любом случае, в левой части тождества а3 + ра + с/ — 0 расположено нечетное число, в правой - четное, что невозможно. Полученное противоречие доказывает необходимое.

Пример 4. Эвристический прием — контрпример или подтверждающий пример.

Задание. Известно, что произведением двух попарно сопряжённых комплексных, но не действительных, чисел является действительное число. Справедливо ли обратное утверждение?

Решение. Перемножая комплексные числа, в том числе попарно сопряженные, не сложно найти пример чисел, доказывающий, что обратное утверждение неверно: (— 1 +2i)(3 +6i)= -15.

Пример 5. Эвристический прием — «задача-софизм».

Задание. Следующие комплексные числа записаны в тригонометрической форме:

i\ Зя" . Зл.

i) 2(cos——7sin—);

— ч л л.

I) -2(cos— + 7sin—);

3) 2(cos— + 7sin—);

2 2

л\ Зл" . Зл.

4) 2(cos--h 7 sin—);

4 4

Зл" Зл.

Ь) 2(cos^- + 7cos—);

. Зл Зл.

о) 2(sin--h 7 COS-) .

4 4

В каких случаях допущена ошибка?

Решение. Основанием для правильного решения является знание тригонометрической формы записи комплексного числа и понимания геометрической интерпретации комплексных чисел как точек комплексной плоскости. Задача составлена на материале традиционных ошибок, которые допускаются при отыскании тригонометрической формы записи комплексного числа. Правильное понимание теоретических основ приводит к ответу.

Ответ: В 1, 2, 3, 5, 6.

Пример 6. Эвристический прием — модификация.

Задание. Вычислить определитель

о a

2 a 3 a 4 a 5

A =

-a2 0

a23 a24

a

a^ ОЗ 0 Оз5

a 4 a24 a34 0 a35

нить прием преобразования матрицы так, чтобы проявились свойства определителя, равного данному, но более удобного для вычисления или последующих преобразований. Транспонируем матрицу определителя А . В результате такого преобразования определитель матрицы не изменился.

о - « 2- а з- а 4 - а 5

a2 0 _ °23 _ °24 °25 a3 °23 0 _ °34 ~ °35

a4 a24 a34 0 _ a45 0

A = Ap \ =

а5 «25 «35 «45

Но такой прием благодаря общему виду матрицы позволяет применить свойство определителя: при умножении всех элементов строки на (-1) детерминант умножится на (-1). Каждая строка определителя А получается из соответствующей строки определителя Д1 вынесением множителя (-1), по свойству получим

=(-1)5А = -А. Таким образом, А = — Д, А = 0. Ответ: А = 0 .

Пример 7. Эвристический прием — метод малых изменений.

Задание. Вычислить определитель п-го порядка:

Д„ =

1 2 3.. .77-1 n

-1 0. . 0 0

0 -1 х . . 0 0

0 0 0.. . х 0

0 0 0.. .1 х

a- a25- 0,5- a45 0

Решение. В задании удобно приме-

Решение. Последовательно сведем заданный в условии определитель к более простым для вычисления за счет построения цепочки преобразований. Разложим данный определитель по последнему столбцу согласно теореме Лапласа:

л„=(-1Г

-1 X 0 .. . 0

0 -1 х .. . 0

п- 0 0 -1 .. . 0 +

0 0

1 2 3 •■ ■ п-1

-1 X 0 • 0

+х • 0 -1 х • ■ 0

из полученных вен (—I)"-1, а второй

О 0 0 ••• х

В результате такого преобразования удается последовательно свести вычисление исходного определителя к вычислению более простых. Первый определитель треугольного вида и ра-

такого же вида, как исходный, но уже порядка п-\ (обозначим его А„_1). Итак,

= (-\)2"п + х Д^. Таким образом, получим рекуррентное соотношение Д„ = п + хА;)_1. Применяя

эту формулу для Ли_ь найдем: А;)_1 = (п -1) + хД;)_2 и подставим в соотношение для Д„, откуда

Д„=я + х((я-1) + хД„_2) =

= и + (и - 1)х + х2 Д;)_2.

Аналогично поступаем для определителя еще на 1 меньшего порядка Л ,7-2 = (и - 2) + хД„_з; поэтому

А„ = п + (п- 1)х + х2((п - 2) + хАп_3),

Д;г1 = п + (и - 1)х + (п - 2)х2 + х3 Ди_3. Повторяя эти соображения еще (п- 4) раза, получим:

Дп =и + (и-1)х + (и-2)х2 +

+... + 2х"~2 + х"-1. Ответ:

Ап = п + (п-\)х + (п-2)х2 + +.. + 2х"~2 + х"-1.

Пример 8. Эвристический прием — переход к равносильной задаче.

Задание. С каким знаком входит в детерминант п-го порядка произведение элементов его второй диагонали?

Решение. Особенность этого приема состоит в переходе к равносильной задаче или в отыскании новой интерпретации заданных условий, что должно привести к успешному решению. Так как знак указанного члена детерминанта а определяется чет-

а\ п 'а2п-\ '•••ал-\2

ностью числа инверсий в соответствующей подстановке из индексов

^ о 1

п

2

п-1

и-1 2

V" " " ~

то задача сводится к вычислению количества инверсий. Верхняя строка подстановки не имеет инверсий, нужно сосчитать только число инверсий в нижней строке. Таким образом, необходимо решить новую задачу, вычислить сумму

(и-1) + (и-2) + ...+ 2 + 1 + 0. Такая задача решается средствами школьного курса математики - сумма первых п членов арифметической прогрессии, где первый и последний слагаемые п-1 и 0

п(п — \)

соответственно. Получим £ =:

2

следовательно, искомый знак произведения элементов второй диагонали детерминанта определяется множителем

п(п-\)

п(п-1)

Ответ: со знаком ( — 1) 2

Пример 9. Эвристический прием — аналогия.

Задание. Записать в общем виде систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Доказать, что если в этой системе:

a) к первому уравнению почленно прибавить второе уравнение;

b) из второго уравнения почленно вычесть первое уравнение, умноженное на число 3;

0

0

с) к удвоенному первому уравнению почленно прибавить утроенное второе, то получится система, эквивалентная данной.

Решение. Аналогия - достаточно часто применяется при обучении. В лекционном материале по теме «Системы линейных уравнений» сформулирована и доказана следующая теорема. Применение к системе линейных уравнений конечного числа элементарных преобразований переводит систему в эквивалентную первоначальной. Доказательство этой теоремы служит «образцом» для решения задания. В этих обстоятельствах можно действовать по аналогии, учитывая лишь особенности систем и преобразований, заявленных в условии. Приведем решение для случая Ь.

Рассмотрим две системы линейных уравнений:

Г ахх + Ъху + сх2 - ;

а2х + b2y + c2z = d:

(1)

2>

и

,-щ

(2).

[ а1х + Ь1у + с^ = с^{,

\{а2-За1)х + {Ь2- Щ )у + {с2- Зс, = (</2

I. Докажем сначала, что каждое решение системы (1) удовлетворяет системе

(2). Пусть (ОС^ОС2\<Х,) - произвольное

решение системы (1), тогда имеем тожде-

[ а,а, + Ка^ + сЛа, = <3,; „ сгва: < Значит,

первому уравнению второй системы данное решение удовлетворяет, подставим его во второе уравнение: (а2 - 3аг )аг + (Ь2 - 3Ъх )а2 + (с2 - 3с1 )а3 =

= апах + Ъпап + спа3 - 3ахах - - Ъсхаъ = = (а2а] + Ь2а2 + с2а,) --3(а1ог1 + Ъха2 + с^а?) - ¿/2 - Ъйх.

Получили, что и второму уравнению второй системы данное решение также удовлетворяет. Таким образом, все решения системы (1) являются решениями системы (2).

II. Докажем обратное, что все решения системы (2) являются решениями системы (1). Пусть теперь (Д;/?2;/?3) - произ-

вольное решение системы (2), тогда имеем тождества:

(а2 -3а1)Р1 +(Ь2 — ЪЪх)р2 +(с2 — 3с^Д ={с12 — 3^).

Очевидно, первому уравнению первой системы данное решение удовлетворяет, подставим его во второе уравнение системы (1), используя при этом полученные тождества: а2Д + 62Д2 + с2Дз = {{а2 - 3а1)Р1 + +(Й2-ЗЙ1)Д2 + (С2-ЗС1)Д) + +ЗЦ Д +Ьф2+сфъ) = (с/2 -Ъс1х) + Ъс1Л = ё2.

Значит, и второму уравнению первой системы данное решение также удовлетворяет. Таким образом, все решения системы (2) являются решениями системы (1).

Ш. Для завершения доказательства осталось показать, что обе системы могут быть несовместными только одновременно. Если предположить, что одна из систем имеет решение, а другая - нет, то (по уже доказанному) имеем, что это решение будет удовлетворять и другой из систем.

Таким образом, полностью доказано, что множества решений данных двух систем совпадают, следовательно, системы -эквивалентны.

Пример 10. Эвристический прием обобщение.

Задание. Найти X120, если '1 а4

0 1

X =

Решение. Если задача трудна, то полезно попытаться выделить какой-либо простой ее частный случай, с которым легче справиться. В данной ситуации можно найти первые несколько степеней

матрицы: X1 -

1

а 1

X2 - (1 2ал

—

v0 vo К чо К

Хъ - 2а~ а '1 3 ал

—

vo 1 у v0 v0 1 ,

Попытка обобщить результат приводит к очевидному предположению, что

X" = ' п а ■ Такое предположение не

1.0 1 )

может быть использовано необоснованно. Докажем его методом математической

индукции: для п=\ формула, очевидно,

г\ к-а4

верна. Если верно хк =

0 1

хк+1=хк -х =

то

\

(\ к-аЛ (\ а

1 До 1,

{к + \)-а"

" V» 1 V

- также верно. Формула доказана для всех натуральных значений показателя, тогда

г\ 120а4

при /7=120 получим X120 =

Ответ: хш =

V

120£)Л

0 1

0

1

Пример 11. Эвристический прием перебор.

Задание. Найти X

С 0

127

если

X =

V

-1

1

Решение. Сущность этого приема заключается в проведении определенным образом организованного разбора и анализа всех (или некоторых специально выбранных) случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче. Будем находить последовательно натуральные степени матрицы X.

Х2 =

X4 =

' X3 = (-1 0)

0у ,0 -1,

'о 1

-1

х5 =

х6 =

/ г\

'1 1

-1 о

Л

0 1

= £>

тогда X7 =Х6-X = Е-Х = Х . На самом деле, получается, что все различные степени матрицы X найдены перебором. Воспользовавшись полученным результатом X6 = Е, найдем X'21 = {Х6)2' ■ X = Е2' ■ X = Е ■ X = X Здесь использовано равенство Е21 = Е,

которое легко доказать методом математической индукции.

Ответ: X127 = X .

Пример 12. Эвристический прием — эвристическая подсказка.

Задание. Некоторый вектор линейно выразили через зависимую систему векторов. Верно ли, что такое разложение обязательно будет единственным?

Решение.

Указание 1. Попробуйте применить условие линейной зависимости векторов.

Указание 2. Запишите разложение вектора в линейную комбинацию векторов линейно зависимой системы. Примените условие линейной зависимости к этой системе, а полученное в результате равенство примените в разложении исходного вектора. Сравните два разложения исходного вектора: первоначальное и полученное позже. Приведите пример, в котором два полученных разложения, действительно, будут различны.

Наряду с типовыми задачами мы предлагаем студентам задания, требующие творческого подхода в применении полученных знаний, так называемые задачи на доказательство. Для решения этих заданий важно сформировать готовность к такому уровню умственной деятельности, который предусматривает умение видеть проблему, самостоятельно ее формулировать, разрабатывать план ее решения, на котором осуществляется более глубокое понимание явлений, процессов и начинается творческая деятельность. Студенту на первом курсе достаточно сложно справляться с подобными заданиями, поэтому мы предлагаем наводящие указания-подсказки к таким задачам, в чем и заключается суть приема. Предлагаются указания двух уровней. Предполагается, что студент попробует решить задачу самостоятельно. Если не удастся это сделать, обучаемый обращается к первому указанию. Если указание не помогло, то студент обращается ко второму, более развернутому, указанию. Именно, задачи на доказательство с разработанной системой

подсказок предназначены для самостоятельной работы, которая носит эвристический характер. Решение этих задач связано с поиском и формированием нестандартных путей мышления. А эвристическая подсказка только помогает направить процессы мышления.

Построенная система содержит набор задач по алгебре, которые служат примером применения эвристических приемов, что демонстрировалось выше. Следующий этап обучения заключается в том, что студентам предлагаются задачи для решения и указываются эвристики, которые целесообразно применить для решения. Обучаемые должны продемонстрировать умение применения этих эвристических приемов и решить задачу. Это вторая часть построенной системы задач по алгебре. Приведем примеры.

Пример 13. Эвристический прием — аналогия, переход к равносильной задаче.

Задание.Сократить дробь:

2х4 + х3 —х2 — х —1 х5 — 2х3 + 2х2 + х — 2 '

Пример 14. Эвристический прием — анализ.

Задание. Решить систему уравнений с

Г ах +у = 1, параметром а: <

[х + ау - 1.

Пример 15. Эвристический прием — контрпример.

Задание. Всегда ли система двух линейных уравнений с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений?

Наконец, заключительный, самый сложный, этап - студентам предлагаются задачи, для которых самостоятельно нужно выбрать эвристики для реализации и применить их для решения данных задач. Такие задачи составляют третью часть построенной системы.

Выводы. Таким образом, в процессе обучения решению эвристических заданий с использованием эвристических приемов формируются умения использования

таких приемов. Постоянное применение общих и специальных эвристик позволяет заложить основы глубокого понимания изучаемой дисциплины и, несомненно, ведет к развитию творческой активности. Это особенно важно для будущих учителей математики, т. к. с одной стороны будущему профессионалу необходимы не только навыки и умения, но и глубокое понимание всех процессов математических дисциплин - вообще, а также, алгебры - в частности. С другой стороны - учитель должен в совершенстве владеть такими приемами для умелого их использования не только при решении задач, но и при обучении своих учеников.

Целесообразность внедрения в учебный процесс построенной системы заданий, соответствующих программе дисциплины «Алгебра», на наш взгляд, очевидна, т. к. развитие личности студента обеспечивается не только содержанием преподаваемых дисциплин, но и возможностью самореализации личности при обучении дисциплине, степенью побуждения к поиску собственных результатов.

1. Селякова Л.И. Алгебраические структуры в системе фундаментальной подготовки будущего учителя: учебно-методическое пособие / Л.И. Селякова. - Донецк: ДонНУ, 2016. - 69 с.

2. Селякова Л.И. О роли курса алгебры при подготовке будущего учителя математики / Л.И. Селякова // Современные проблемы физико-математических наук. Материалы II международной научно-практической конференции, 24-27 ноября 2016 г. - Орел: ОГУ, 2016. - С. 335-340.

3. Скафа Е. И. Комплексный подход к развитию творческой личности через систему эвристических заданий по математике (на материале 7 класса): книга для учителя / Е.И. Скафа, Е.В. Власенко, И.В. Гончарова. -Донецк: Фирма ТЕАН, 2003. - 240 с.

4. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике в контексте синергетического подхода / Е.И. Скафа // Синергетика и рефлексия в обучението по математика:: Доклади на юбилейна та международна конференция, 10-12 септември 2010, Бачиново. - Болгария, 2010. - С. 299-305.

®

5. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология :монография / Е.И. Скафа. - Донецк : Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.

6. Скафа Е.И. Алгебраические структуры в фундаментальных курсах алгебры и теории

чисел / Е.И. Скафа, Л.И. Селякова // Дидактика математики: проблемы и исследования: Международный сборник научных работ.-Вып. 45.- Донецк: Изд-во ДонНУ, 2017. - С.12-20.

Abstract. Selyakova L., Murmilova D. ALGEBRAIC TRAINING OF THE FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS ON THE BASIS OF THE HEURISTIC APPROACH. The

created system ofproblems in the discipline «Algebra», compiled to provide training for future teachers of mathematics, is described. The question of the formation of heuristic activity receptions for students in the course algebra is considered. The main feature of the proposed tasks is the use of heuristic techniques in their solution, as well as in teaching students such techniques and in the formation of students ' readiness to classify and apply heuristics in teaching and in future teaching activities. It is in the process of learning mathematical activity of various heuristic methods of teaching is to create effective use of these methods in their future professional activities. formation of heuristic techniques directs the future teacher to the self-education activity, to increasing of creative qualities without impairing the level offormation of basic knowledge and skills, as well as contributes to the quality of methodical preparation of the mathematics teacher.

Key words: heuristic techniques, heuristics, heuristic mathematics education, training in algebra, training of future mathematics teachers.

Статья представлена профессором Е.И. Скафой.

Поступила в редакцию 16.10.2018 г.

(68)