CC BY
17
УДК 62-1:519.6
ПРИМЕНЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ПРИНЦИПА ЛЕЙБНИЦА В ШАГОВОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ
Г.Н. Колесников, М.И. Раковская
APPLICATION OF THE LEIBNIZ'S EXTREME PRINCIPLE IN STEP-BY-STEP ALGORITHM FOR SOLVING THE LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEM
G.N. Kolesnikov, M.I. Rakovskaya
Аннотация. В численном моделировании инженерных систем известно направление, в котором численный анализ механических и биомеханических систем сводится к поиску решения линейной задачи дополнительности. В этих задачах матрица коэффициентов разрешающей системы уравнений по физическому смыслу является симметричной и положительно определенной матрицей. Для решения этих и других задач предлагается шаговый алгоритм, базирующийся на жордановых исключениях, выполняемых в определенной последовательности. Эта последовательность определена с использованием "энергетического" критерия, который основан на элементах методологии принципа «максимум и минимум». Примеры показали, что при определенных ограничениях для решения линейной задачи дополнительности новый алгоритм требует меньше шагов, чем при использовании известного алгоритма Лемке.
Ключевые слова: механические системы; моделирование; шаговый алгоритм; линейная задача дополнительности.
Abstract. In the numerical simulation of engineering systems the direction is known, in which the numerical analysis of mechanical and biomechanical systems is reduced to finding a solution of the linear complementarity problem. In these problems, the coefficient matrix of the resolving system of equations in its physical sense is a positive definite symmetric matrix. To solve these and other problems is proposed step-by-step algorithm, based on the Jordan exceptions in a certain sequence. This sequence was determined using the «energy» criterion. This criterion based on the methodology of the principle «maximum and minimum». The examples show that under certain restrictions for solving linear complementarity problem the new algorithm requires fewer steps than using the well-known algorithm Lemke.
Key words: mechanical systems; simulation; step-by-step algorithm; linear complementarity problem.
Введение
Экстремальные принципы - общее название ряда постулатов, на которых построены отдельные разделы современной физики, механики и других наук [1, 2]. Экстремальные принципы в общих словах можно сформулировать следующим образом: система ведёт себя так, чтобы основная ее характеристика в любой момент времени принимала минимальное (или максимальное) возможное значение. То есть действительное состояние любой системы реализуется при экстремальных значениях ее основных характеристик. Пример экстремального принципа - принцип наименьшего действия [3].
По литературе [4] известно, что понятие действия - как произведения массы, скорости и пути - предложил Г. Лейбниц (1646 - 1716). Экстремальный принцип, в соответствии с которым истинное движение отличается от всех возможных тем, что для него величина действия минимальна, сформулировал П. Мопертюи в 1744 г. Окончательная формулировка принципа наименьшего действия принадлежит Ж. Лагранжу (1736 - 1813).
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
Эффективность применения экстремальных принципов проверена временем [5]. Приведем цитату из книги С.П. Тимошенко (1952, англ.; 1957, перевод с англ.), которая содержит следующее утверждение Эйлера (1744): «Так как здание всего мира совершенно и возведено премудрым творцом, то в мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума; поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи метода максимумов и минимумов, как и из самих причин производящих ...» [6, с. 44].
Согласно экстремальным принципам из множества возможных состояний системы действительным состоянием является состояние с экстремальным значением некоторой числовой функции или некоторого функционала. Модели, основанные на экстремальных принципах, как правило, позволяют преодолеть проблему сложности, например, переборных алгоритмов, но оставляют свободу выбора самих исходных принципов [2].
Экстремальные принципы переводят на язык математики философские понятия «возможность» и «действительность». Как известно по литературе, философское обоснование экстремальных принципов восходит к работам Аристотеля, который утверждал: «природа во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь» [1].
Идея данной работы индуцирована публикациями о принципе максимумов и минимумов. «Принцип максимумов и минимумов . позволяет сделать наиболее широкие обобщения и самые глубокие выводы из присущих им взаимных противоречий. Он позволяет уверенно ориентироваться в природе, ибо она подобна "рачительному хозяину, который бережлив там, где это нужно, для того чтобы иметь возможность быть щедрым в свое время и в своем месте. Она щедра в своих действиях и бережлива в применяемых ею причинах". Благодаря этому и в познании и в практике удается достигать максимальных результатов ценой минимальных средств и усилий, если, разумеется, последние основаны на знании свойств и отношений вещей и продуманно направлены» [7, с. 40, с. 328]. Здесь «достигать» ассоциируется с движением к цели, а значит и с соответствующим отрезком времени. Роль опосредованного времени может играть подобный времени фактор, например, нагрузка или иное воздействие, изменяющееся, однако, во времени.
Целью исследования является достоверный результат. Каков путь к такому результату? Данный вопрос, как и ответ на него, касается методологии исследования. По Гегелю не только результат исследования, но и путь, ведущий к нему, должен быть истинным. Гегель не считает возможным получить истину всю и сразу. Истина не исчерпывается готовым результатом: истина (по Гегелю) есть результат вместе со своим становлением [8]. Отсюда следует, что и путь к истине не может быть получен весь и сразу. Остается предположить, что путь к истине дискретен, состоит из отдельных шагов, каждый из которых может рассматриваться как своего рода «квант». Таким образом, приходим к необходимости построения дискретной модели объекта исследования и соответствующего шагового алгоритма расчета для анализа состояния объекта.
Поскольку, как отмечено выше, не только результат, но и путь, ведущий к нему, должен быть истинным, то на истинном пути каждый шаг также должен быть правильным, т.е. появляется проблема обоснования выбора очередного шага из множества теоретически возможных шагов. Такой выбор предполагает прогнозирование, другими словами, необходим ответ на вопрос: будет ли выбранный из множества возможных очередной шаг действительным? Решить данную проблему можно с применением экстремальных принципов, которые позволяют обосновать выбор очередного шага из множества возможных и перевести на язык математики, как отмечено выше, философские понятия «возможность» и «действительность».
Очевидно, чтобы применить экстремальный принцип, необходима соответствующая модель и приемлемый алгоритм. При этом необходимо обращать внимание на то, что «аппарат здесь должен быть следствием, а не постулатом модели» [9].
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т 1, №4
В данной работе элементы методологии принципа максимума и минимума применены для построения алгоритма решения линейной задачи дополнительности, которая естественным образом появляется в многочисленных приложениях к моделированию состояния механических, экономических и других систем и объектов [10, 11, 12]. Поэтому вопросы совершенствования алгоритмов решения данной задачи привлекают внимание исследователей [13].
Линейная задача дополнительности формулируется как задача решения нижеследующей системы неравенств и уравнений [12]. Пусть задан вектор qeRп и матрица MeRпхп . Определить векторы w, zeRп , такие, что
Замечание 1: В силу неотрицательности векторов z, w условие (3) можно заменить требованием
Замечание 2: Еслиq>0, то решением задачи будет: z = 0, w=q.
Следуя принятым в литературе [12, 13] формулировкам, задачу (1), (2), (3) обозначим как LCP(M,4).
Замечание 3. Ссылаясь на работу Л.Д. Попова [12, с. 14] рассмотрим отдельно взятое уравнение (1). Неизвестные zi и wi принято называть дополнительными друг к другу.
Решение уравнений, записанных в матричной форме (1), удовлетворяет условиям дополнительности, если выполняются требования (4). На этом основании решение задачи LCP(M ,4) может рассматриваться как неотрицательное решение системы (1), отвечающее условиям (4).
Известен ряд классов алгоритмов решения LCP(M,4). Особенности алгоритмов определяются свойствами матрицы M. К наиболее изученным случаям относится задача с положительно определенной матрицей M [10, 11, 12]. Однако и для этого случая продолжаются поиски новых, более эффективных алгоритмов [13, 14].
Гипотеза данной работы: применение принципа максимума и минимума позволит разработать алгоритм решения линейной задачи дополнительности, более эффективный по сравнению с известными алгоритмами при определенных ограничениях.
Цель данной статьи: разработка и проверка эффективности алгоритма решения линейной задачи дополнительности, построенного с применением принципа максимума и минимума.
Данная работа является продолжением ранее выполненных работ [15, 16, 17], в которых принцип максимума и минимума не был использован в явной форме. Эти работы содержат предпосылки для применения данного экстремального принципа в алгоритмах решения линейной задачи дополнительности, появляющейся, например, в дискретных моделях механических систем с односторонними контактами [10, 16, 17].
Материалы, методы и результаты
Задача (1), (2), (3) может быть записана в эквивалентной форме, как задача минимизации [18]:
w = Mz+q z > 0, w > 0 z т w = 0
(1) (2) (3)
ziwi = 0, /=1, ... , п
(4)
шт( z, Mz+q) = 0 z > 0, Mz+q > 0
(5)
(6)
http://vestnik-nauki.ru/
2015, Т. 1, №4
Замечание 4. Идея предлагаемого алгоритма имеет своей стартовой точкой приведенное выше Замечание 2, из которого следует, что если существует решение рассматриваемой задачи, то применяя преобразования уравнения (1) и заменяя его другими уравнениями, равносильными данному, можно привести данное уравнение к такому виду, чтобы все элементы вектора ц* , полученного соответствующими преобразованиями вектора ц, были бы неотрицательными. При этом преобразованы будут векторы н иг, а также матрица М в уравнении (1). Соответственно, получим преобразованные вектора н* и г*, а также преобразованную матрицу М *. Тогда, в соответствии с Замечанием 2, решение задачи будет представлено векторами г*=0 и г* = ц*.
Вопрос 1. Каков путь к такому результату? Как отмечено выше, данный вопрос, и ответ на него, касается методологии исследования. Поскольку истина есть результат вместе со своим становлением [8], то и путь к истине не может быть получен весь и сразу. Становление есть процесс, требующий определенного времени и некоторого числа шагов (или стадий). На истинном пути каждый шаг также должен быть правильным, т.е. появляется проблема обоснования выбора очередного шага из множества теоретически возможных шагов. Поэтому необходим ответ на очередной вопрос: будет ли теоретически выбранный очередной шаг действительным, и каким должен быть критерий выбора шага? Получить ответ на данный вопрос можно, если воспользоваться экстремальным принципом. Тем самым будет обоснован выбор очередного шага из множества возможных шагов в алгоритме, который (алгоритм) детерминирует путь к решению задачи.
Рассмотрим возможные ситуации в эволюции объекта, для которого сформулирована задача ЬСР(М,ц). Моделируемым объектом может быть некоторый процесс или механическая система с односторонними контактами. Примеры таких объектов рассмотрены, например, в [10, 11, 16].
Действительным состоянием моделируемого объекта назовем состояние, в котором переменные н и ц являются решением рассматриваемой задачи ЬСР(М,ц).
Ситуация 1. Предположим, что моделируемый объект принудительно переведен (путем изменения воздействия, представленного вектором ц ) в возможное состояние, такое,
что все = 0, г=1, ... , п . Тогда по (1) н=ц. При этом, если все >0, г=1, ... , п, то данное состояние моделируемого объекта является не только возможным, но и действительным. Объект, предоставленный самому себе, останется в данном состоянии и решением задачи, с учетом изложенного выше, будут векторы н*=н=ц, г* = г = 0 .
Ситуация 2. Пусть тот же объект принудительно переведен в возможное состояние, такое, что все = 0, г = 1, ... , п . Если при этом некоторые элементов вектора ц отрицательны, то вектор н = ц не отвечает условию (2). С физической точки зрения это означает, что, предоставленный самому себе, объект будет трансформироваться из возможного состояния в действительное состояние. Соответственно, переменные и будут стремиться к
решению ЬСР(М,ц) . При этом в каждой паре и по меньшей мере одна переменная для
действительного состояния объекта окажется равной нулю, согласно (4). Разобьем процесс трансформации на отдельные стадии. Каждой стадии соответствует один шаг алгоритма.
Определение 1. Минимальным шагом назовем такой шаг, на котором только в одной паре и (4) одна из переменных обязательно принимает значение, равное нулю. Другая
переменная, как и все переменные в других парах, могут быть равны или не равны нулю.
Таким образом, алгоритм определения действительного состояния моделируемого объекта состоит из отдельных минимальных шагов, каждый из которых, как отмечено выше, может рассматриваться как своего рода «квант».
В данном случае математической моделью минимального шага является один шаг жордановых исключений, выполненный с диагональным разрешающим элементом Ми Ф 0
http://vestnik-nauki.ru/
матрицы коэффициентов в задаче LCP(M,4). Один шаг жордановых исключений заключается в том, что из уравнения г определяется zi и полученное выражение zi подставляется во все остальные уравнения (1). После преобразований матрицы M и вектора q переменные zi и wi меняются ролями. А именно, первая из них занимает место в правой части уравнения г, вторая - в левой части того же уравнения.
Алгоритм жордановых исключений и примеры их применения в строительной механике рассмотрены в книге [19, с. 538-515].
Очередность жордановых исключений в алгоритмах расчета конструкций с односторонними связями и критерии очередности жордановых исключений рассматривались в работах [15, 17, 20]. Новое обоснование критерия очередности представлено в ближайшем изложении.
Пусть на старте указанного выше шага все zk = 0, к=1, ... , п . Пусть на финише того же шага в векторе z только один элемент zi принимает новое значение, такое, что zi >0, 1<г <п . Номер этого элемента, а значит и номер соответствующего уравнения г = г* заранее неизвестен и подлежит определению. В данном случае взамен (5) получим функцию одной переменной /г = Miiz'1i + qizi. В стационарной точке производная данной функции равна
нулю: 2Miizi + qi = 0; тогда zi =-ц1 /(2Mii); 4* = -qf /(4Mii). В стационарной точке имеет место минимум, т.к. вторая производная положительна (в задачах рассматриваемого класса Mii >0). Таким образом, на финише рассматриваемого шага значение функции уменьшается.
Принимая во внимание сделанные выше Замечания 2 и 4, приходим к нижеследующему алгоритму.
Шаг 1. Для всех qi < 0 вычислить 4* =-qг2/(4Mii). Наименьшее из вычисленных значений соответствует номеру г=г* разрешающего уравнения (для этого достаточно сравнить значения /** = -ц2 / Mii). Диагональный элемент Mii данного уравнения используется в качестве разрешающего элемента на шаге жордановых исключений. Если для различных значений получены одинаковые значения критерия 4*, то используется любое из них (однако в данном случае могут появиться дополнительные возможности повышения вычислительной эффективности алгоритма).
Шаг 2. Если преобразованный по алгоритму жордановых исключений вектор q содержит отрицательные элементы, то повторяется шаг 1. Если в преобразованном векторе все элементы неотрицательны, то задача решена. Иначе выполняется переход к шагу 1.
Пример 1. Рассмотрим задачу LCP(M,4) из книги Л.Д. Попова [12, с. 16], где
Г1 2 1 > Г11
M = 1 1 2 , q= -1
V 2 1 1V V 1
Уравнения задачи запишем в табличной форме:
q
w1 1 2 1 1
w2 1 1 2 -1
ж, 2 1 1 1
http://vestnik-nauki.ru/
Вычислим / и перепишем таблицу:
q I'
1 2 1 1
1 1 2 -1 -1/4
2 1 1 1
Разрешающий элемент М22 =1. Выполним один шаг жордановых исключений по формулам (47), (48) из [16]. Получим:
ж2 q
ж1 -1 2 -3 3
Z2 -1 1 -2 1
ж3 2 1 -1 2
Все элементы вектора q положительны. Тогда в соответствии с Замечанием 2 и с Замечанием 4 решением задачи, удовлетворяющим условиям дополнительности (4), являются: ж1 = 3; ж2 = 0; ж3 = 2; z1 = 0; =1; z3 = 0.
Таким образом, решение найдено за один шаг жордановых исключений. В данном случае предлагаемый алгоритм более эффективен в вычислительном отношении по сравнению с хорошо известным методом Лемке, в соответствии с которым для решения того же примера необходимо два шага [12, с. 16-17].
Пример 2. Рассмотрим задачу ЬСР(Миз книги [12, с. 29], где
Г1 2 0 > Г-Г|
М= 0 1 2 , q= -1
V 2 0 1V V-1,
В данном примере стандартный метод Лемке зацикливается [12, с. 29]. Предлагаемый алгоритм за пять шагов жордановых исключений по формулам (47), (48) из [16] приводит к решению: ж1 = 0; ж2 = 0; ж3 = 0; z1 =1/3; z2 =1/3; z3 =1/3.
Другие примеры рассмотрены в [16].
Обсуждение и заключение
Как известно, в численном анализе механических и биомеханических систем сформировалось направление, в котором задачи анализа состояния систем сводятся к поиску решения линейной задачи дополнительности [10, 14, 17, 20, 21]. Предложенный алгоритм решения ЬСР(Мможет быть использован при решении таких задач. В этих задачах матрица М по своему физическому смыслу [14] является положительно определенной симметричной матрицей, вследствие чего не возникает сложностей при решении ЬСР(М [18]. Однако в приложениях желательно уменьшить время счета, что позволит расширить класс прикладных задач инженерного анализа. Рассмотренные примеры показывают достаточную эффективность предложенного алгоритма, отличительная особенность и эффективность которого в вычислительном отношении определяется впервые установленной (насколько известно авторам) очередностью жордановых исключений, выполняемых в соответствии с «энергетическим» критерием [15]. Эта очередность определена с
использованием критерия, который получен с применением элементов методологии принципа «максимум и минимум».
Данный критерий /* =-qf/(4Mii) эквивалентен /** =-^г2/Mii и вычисляется для всех
qi <0; наименьшее из полученных значений критерия соответствует разрешающему
уравнению на каждом шаге жордановых исключений. С точки зрения механики энергетический критерий используется как критерий перехода односторонних связей из возможного состояния в действительное состояние [22, 23]. Нами на примерах показано, что при определенных ограничениях решение линейной задачи дополнительности по предлагаемому алгоритму определяется за меньшее число шагов, чем при использовании алгоритма Лемке, который в некоторых случаях приводит к зацикливанию [12, с. 29].
Данная работа представляет собой шаг в прикладном исследовании, ориентированном на то, чтобы при помощи минимума приемов достигнуть максимума результатов в соответствии с затронутой выше методологией, развитие и преодоление противоречий которой отражено в работах [1-9, 23].
Работа выполнена в рамках реализации комплекса научных мероприятий Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012-2016 гг.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Терехович В.Э. Обобщение экстремальных принципов физики // Альманах современной науки и образования, 2012. № 11 (66). С. 184-192.
2. Фурсова П.В., Левич А.П., Алексеев В.Л. Экстремальные принципы в математической биологии // Успехи современной биологии, 2003. Т.123. № 2. С. 115-137.
3. Терехович В.Э. Действующие и целевые причины в принципе наименьшего действия // Вестник Ленинградского государственного университета им. А.С. Пушкина. 2012. Т. 2. № 3. С. 49-59.
4. Голицын Г.А., Левич А.П. Вариационные принципы в научном знании // Философские науки, 2004. № 1. С. 105.
5. Полак Л.С. Вариационные принципы механики: Их развитие и применения в физике. М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. 602 с.
6. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов. М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. 536 с.
7. Лейбниц Г.В. Сочинения в 4-х т. Т.2. М.: Мысль, 1983. 686 с.
8. Гегель Г.В. Ф. Сочинения. Академия наук СССР, Институт философии, Т. 4, Система наук, ч. 1, Феноменология духа; перевод Г. Шпета. Москва, 1959. 440 с.
9. Левич А.П. Субстанциональное время открытых систем // Метафизика, 2013. № 1 (7). С. 50-73.
10. Ferris M. C., Pang J. S. Engineering and economic applications of complementarity problems // Siam Review, 1997. Т. 39. №. 4. С. 669-713.
11. Murty K. G. Linear Complementarity, Linear and Nonlinear Programming. Internet Edition (1997). 613 c. http://booksee.org/g/g/Katta%20G.%20Murty
12. Попов Л.Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности // Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2001. 124 с.
13. Hadjidimos A., Tzoumas M. On the Solution of the Linear Complementarity Problem by the Generalized Accelerated Overrelaxation Iterative Method // Journal of Optimization Theory and Applications, 2015. Т. 165. № 2. С. 545-562.
14. Ким Т.С., Яцура В.Г. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности // Строительная механика и расчет сооружений, 1989. № 3. С. 41 - 44.
15. Колесников Г.Н., Раковская М.И. Энергетический критерий очередности перехода односторонних связей в действительное состояние // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006. Т. 13. С. 652.
16. Колесников Г.Н. Алгоритм декомпозиции линейной задачи дополнительности и его применение для моделирования соударений балансов в корообдирочном барабане // Resources and Technology, 2013. Т. 10. № 2. С. 111-138.
17. Колесников Г.Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями // Петрозаводск: Петрозавод. гос. ун-т., 2004. 204 с.
18. Мазуркевич Е.О., Петрова Е.Г., Стрекаловский А.С. О численном решении линейной задачи дополнительности // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009. Т. 49. № 8. С. 1385-1398.
19. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа // Киев: Издательство Сталь, 2002. 600 с.
20. Колесников Г.Н. Закон очередности перехода односторонних связей в действительное состояние и его применение в математических моделях упругих механических систем // Депонированная рукопись № 981-В2003 21.05.2003. 20 с.
21. Ловцов А.Д Применение алгоритма Лемке к задаче изгиба балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения Кулона // Вестник гражданских инженеров, 2006. № 1. С. 19-26.
22. Колесников Г.Н., Раковская М.И. К обоснованию энергетического критерия очередности перехода односторонних связей механических систем из возможного состояния в действительное состояние // Ученые записки Петрозаводского государственного университета. Серия: Естественные и технические науки, 2015. № 4. С. 80-81.
23. Васильков Г.В. Эволюционные задачи строительной механики. Синергетическая парадигма. Ростов-на-Дону: ИнфоСервис, 2003. 180 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Колесников Геннадий Николаевич ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет» (ПетрГУ), г. Петрозаводск, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой общетехнических дисциплин Института лесных, инженерных и строительных наук. E-mail: kgn@petrsu.ru
Kolesnikov Gennady Nikolaevich FSEI HPE «Petrozavodsk state university» (PetrSU), Petrozavodsk, Russia, Head of Department of technical disciplines of the Institute of Forest, engineering and building sciences, Doctor of Technical Science, Professor. E-mail: kgn@petrsu.ru
Раковская Марина Ивановна ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет» (ПетрГУ), г. Петрозаводск, Россия, кандидат технических наук, доцент, начальник методического отдела ПетрГУ.
E-mail: MRakovskaya@petrsu.ru
Rakovskaya Marina Ivanovna FSEI HPE «Petrozavodsk state university» (PetrSU), Petrozavodsk, Russia, PHD, Head of Methodology Department PetrSU.
E-mail: MRakovskaya@petrsu.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 185910, Петрозаводск, Ленина пр., 33, ПетрГУ, ИЛИСН. Колесников Г.Н.
8(8142)711039
