Многокритериальный подход к коррекции противоречивой задачи квадратичного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

Л. В. ЗЫКИНА

Омский государственный технический университет

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ПОДХОД К КОРРЕКЦИИ ПРОТИВОРЕЧИВОЙ ЗАДАЧИ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для несобственной задачи квадратичного программирования первого рода строится аппроксимирующая задача, решение которой сводится к обратной задаче линейной дополнительности. Формулируются условия разрешимости, приводится схема решения обратной задачи.

Введение

Математические модели сложных и, как следствие этого, противоречивых задач наряду с внутренними параметрами содержат внешние параметры, отражающие динамику влияния окружающей систему среды на процесс принятия решений. При этом относительно внешних параметров задаются дополнительные условия, позволяющие стабилизировать моделируемую ситуацию. Структура полученных математических моделей принципиально отличается от классических задач оптимизации. Эффективное решение таких задач требует не только разработки новых методов для нахождения решений, но и принципиально новых подходов и новых математических конструкций для моделирования и для определения понятия решения таких задач.

В статье для оптимальной коррекции несобственной задачи квадратичного программирования первого рода используется обратная задача линейной дополнительности. С точки зрения математического моделирования,: обратные задачи представляют большой интерес, поскольку позволяют учитывать в модели заданные свойства искомых решений. Кроме того, сложные содержательные задачи могут быть записаны как обратные задачи для известных, хорошо изученных классов задач.

Формальную постановку обратной задачи будем рассматривать в следующем виде: найти такие параметры х е X , для которых решение

у = у(х) задачи

эдоо (и

удовлетворяет условиям

кмм (2)

При этом если внутренние параметры в прямой задаче (1) это переменные у, то в обратной задаче (2) внутренними параметрами являются переменные х и решение обратной задачи сводится к решению задачи К(х, у(х)), где у = у(х) - решение исходной задачи (1) при заданном значении параметра х.

Содержательно задача (1) может характеризовать выбор оптимальных внутренних параметров

у=у' функционирования некоторой большой экономической, инженерной, вычислительной или другой системы при воздействии на эту систему некоторых внешних факторов, характеризующихся внешними параметрами q = q ■ Задача (2) может характеризовать балансовые соотношения между у = у и q = q' , при которых система функционирует стабильно и эффективно.

Исследованием обратных задач матема тического программирования занимались многие известные математики (A.C. Антипин, В.П. Булатов, A.A. Истомин и др.) [1, 2]. В данной работе впервые формулируется обратная задача линейной дополнительности для коррекции неразрешимой задачи квадратичного программирования. Несмотря на то, что в теории математического программирования задачи дополнительности и их приложения образуют самостоятельный большой раздел, обратные задачи дополнительности до сих пор еще не рассматривались. Впервые на международной конференции [3] автором была анонсирована постановка обратной задачи для нелинейной задачи дополнительности, в статье [4] приведено развернутое обоснование существования решения поставленной задачи. В работе [5] результаты, полученные для нелинейной задачи дополнительности, переносятся на линейный случай, выявляется специфика задачи, обсуждаются методы ее решения. В работе [6] автором строится обратная задача оптимизации для одной содержательной задачи, решение которой заменяется решением обобщенной задачи Лагранжа по методу последовательных приближений.

Впервые на международной конференции [3] автором была анонсирована постановка обратной задачи для нелинейной задачи дополнительности, в статье [4] приведено развернутое обоснование существования решения поставленной задачи. В работе |5] результаты, полученные для нелинейной задачи дополнительности, переносятся на линейный случай, выявляется специфика задачи, обсуждаются методы ее решения. В работе [6] автором строится обратная задача оптимизации для одной содержательной задачи, решение которой заменяется решением обобщенной задачи Лагранжа по методу последовательных приближений.

Линейная задача дополнительности

Перспективность использования задач дополнительности обусловлена тем, что задачи дополнительности являются обобщением классических постановок задач математического программирования и матричных игр. Задачи дополнительности представляют большой интерес также благодаря их многочисленным приложениям в транспортных и экономических задачах (к примеру, равновесие транспортных потоков, вопросы ценового равновесия, баланса спроса и предложенияи др.).

Классическая задача дополнительности состоит в нахождении пары связанных определенной функциональной зависимостью точек (О и у в пространстве Л"', у которых координаты неотрицательны и в каждой паре соответствующих координат не более чем одна величина отлична от нуля [7].

Рассмотрим линейную задачу дополнительности в виде:

со = Ру-д, со>0, у>0, утсо = 0. (3)

Здесь р ид— заданные квадратная матрица и век-тор соответствующих со и у размеров. Пара векторов со,у е Л"' определяет решение линейной задачи дополнительности. Задачу (3) обозначим через

ьср{р,я).

Для краткости обычно вектор у е Л™ называют решением ЬСР(Р, ¡7), а вектор д — правой частью линейной задачи дополнительности . Эти названия связаны с несколько другой эквивалентной постановкой ЬСР(Р,д), состоящей в нахождении такого вектора уеЯт, что выполняются следующие условия:

Ру>д, у> 0, уГРу = у\7. (4)

В дальнейшем будем предполагать, что матрица р — положительно определена, а именно, для любых у * 0 выполняется неравенство у' Ру > О-В этом случае существует единственное решение у линейной задачи дополнительности (3) (или (4)) для любой правой части д е. Ят [7,8].

Несомненным достоинством методов решения линейных задач дополнительности является то, что все они по существу являются аналогами симплекс-метода. Первым итерационным методом, предложенным для решения линейных задач дополнительности, является алгоритм дополнительного ведущего преобразования Лемке [8]. При этом известно, что решение задачи линейного программирования с неотрицательной матрицей при помощи метода Лемке в 2-3 раза эффективнее обычного симплекс-метода. В большинстве публикаций, посвященных решению линейной задачи дополнительности, либо исследуются границы применимости метода Лемке, либо предлагаются его обобщения [9,10].

Если в линейной задаче дополнительности £СР(Р,д) (4) вектор д является параметром ^ е Ят, то полученную параметрическую линейную задачу дополнительности будем обозначать через Р1.СР{Р,д).

Несобственная задача квадратичного программирования

Рассмотрим задачу выпуклого квадратичного программирования в виде: минимизировать

]^хВх + Ьх (5)

при ограничениях

Hx<g. (6)

Если задача (5),(6) является результатом моделирования конкретной экономической (производственной) ситуации, то вектор g е Äm — это запасы ресурсов, из которых по технологическому процессу, заданному матрицей Н, производится продукция х е R". Критерий (5) характеризует затраты на производство х е R", заданные квадратной положительно определенной матрицей В и вектором b ■

Несобственные задачи в общем случае — это задачи, не обладающие решением в силу тех или иных причин. Для задач математического программирования понятие несобственных задач можно сформулировать более точно. Несобственная задача квадратичного программирования (5) ,(6) — это задача, не обладающая свойством одновременной разрешимости прямой задачи (5), (6) и двойственной к ней задачи и совпадения их оптимальных решений. Простейшим (и наиболее важным в прикладном отношении) выражением несобственности является несовместность системы ограничений (6). Причем как только при некотором приращении в правой части система ограничений становится совместной, задача (5),(6) становится разрешимой. Это так называемые несобственные задачи 1-го рода [11 ].

Коррекция несобственных задач может осуществляться на основе разных подходов. Один из них состоит в параметризации исходной задачи и поиске параметра, обеспечивающего разрешимость задачи при найденном значении параметра. При этом дополнительно можно оптимизировать (по некоторому критерию качества) получаемую в результате коррекцию задачи [11].

Общая схема использования параметризации для решения несобственной задачи (5), (6) может быть задана следующими этапами:

1. Для исходной задачи (5),(6) вводится параметризация с параметром у е R™ . При этом образуется класс параметрических задач в виде

^xBx + bx-> min, Нх< g +у (7)

2. Выделяется множество параметров уеУ, У с Ä", для которых задача (7) обладает свойством разрешимости, и на множестве у ставится задача оптимальной коррекции с некоторым критерием

качества коррекции <р(у):

<р(у) -» min, у £ У. (8)

В терминах введенной выше экономической интерпретации задачи (5) ,(6) критерий р(у) может задавать затраты на приобретение дополнительных ресурсов в объеме у. В результате решения задачи коррекции (8) из параметрического класса задач (7) выделяется задача со значением параметра у = у', выступающая в роли аппроксимирующей задачи для исходной задачи (5),(6).

3. Решается аппроксимирующая задача

^хВх + Ьх min ( Hx<g + y,

оптимальное решение которой принимается в качестве решения несобственной задачи (5),(6).

Параметризация задачей дополнительности

Для коррекции несобственной задачи (5),(6) введем параметризацию с помощью вектора параметров уе R" и матрицы параметризации р следующим способом:

—xBx + bx —> mini (9j

Hx~g< Py, y> 0. (10)

Если исходная задача (5),(6) интерпретируется в терминах планирования производства, то вектор у — это оценки невязок несовместных ограничений (6), задающие мероприятия по ликвидации, как недостатков, так и избытков ресурсов. Матрица р из ограничений (10) в этом случае может истолковываться как матрица аварийных технологических способов производства, определяющих возможные пути компенсации обнаруженных невязок ресурсов.

Определим теперь вектор q как разность израсходованных в производстве х ресурсов Нх и имеющихся в наличии ресурсов g, а именно, q = Hx-g, и для заданных матрицы р и вектора рассмотрим параметрическую линейную задачу дополнительности относительно параметра

Ру> Hx-g, у> 0, (11)

yrPy = y'(Hx-g) (12)

Заметим, что условия (11) задачи дополнительности есть ограничения (10) параметрической задачи квадратичного программирования (9),(10), а условия (12) задачи дополнительности означают, ч то в каждой паре сопряженных неравенств (11) (или, что то же, (10)) хотя бы одно выполняется как равенство (аналогично условиям дополняющей нежесткости в классической теории двойственности). Присоединим условие (12) к параметрической задаче квадратичного программирования (9), (10), в результате получим параметрическую задачу (9),(10),(12) (или, что то же, (9),(11),(12)), в которой ограничения (10),(12) (или (11),(12)) образуют параметрическую линейную задачу дополнительности PLCPyP, Hx-g). Наличие ограничения (12) в полученной задаче позволяет проводить компенсацию невязок несовместных ограничений (6) исходной несобственной задачи квадратичного программирования на пределе совместности.

Обратная задача дополнительности

Для линейной задачи дополнительности (4) с положительно определенной матрицей р существует единственное решение у для любой правой части q е Ä"'. Следовательно, и для любого вектора параметров х параметрическая линейная задача дополнительности PLCP(P,Hx-g) (11),(12) разрешима. Для параметрической задачи квадратичного программирования (9),(11),(12), в свою очередь, это означает, что для любого значения х найдется параметр у = у(х), причем единственный, (решение линейной задачи дополнительности LCP{P,Hx- g)), для которого ограничения задачи (9),(11),(12) совместны. Таким образом, естественно напрашивается выбор оптимального вектора коррекции у = за счет выбора вектора основного производства х .

В качестве такого критерия предлагается взять минимизацию взвешенной невязки ограничения (6) в виде

(у V(Hx-g) min, хеР", d3>

где весовой вектор у = — это решение за-дачи дополнительности LCP{p,Hx'-g) ПРИ

х е /irgmin(13) ■

Следует отметить, что задача (13) для нахождения оптимального вектора коррекции является обрат-

ной задачей для параметрической задачи дополнительности PLCP(P,Hx-g) (11),(12). Действительно, прямая задача (1) — это задача

ЭД (у): {Py>Hx-g, у> 0, yrPy = yr{Hx-g)}A 14) а обратная задача (2) — это задача

KÜ'K*): {ут(Hx-g) min ,*£/?"} (15) Другими словами, в параметрическом относительно х е R" семействе линейных задач дополнительности PLCP(P,HX - g) требуется выорать параметр л = дг' и отвечающее ему решет.е У = У задачи дополнительности (Ы) такие , чтобы вектор х = х являлся решением обратной задачи (15) при значении параметра у = у' Поскольку задача (15) является задачей безусловной минимизс ции, то ее решение сводится к решению системы неравенств и пара задач (14), (1 ,">) запишется в следующем виде

Py i Нх -g, у> 0, у1 Ру = у\Нх-g), (16)

Нгу = 0. (17)

Записывая задачу (16),(17) как линейную задачу дополнительное ги относительно переменных У , х и представляя .т в виде = - л~, где х* > 0 , х > о, задачу(16), (17) относительно переменных (у,хг ,х~) можно представить в виде классической задачи

дополнителыюсти LCP\ P,q I ,-де

. гр -н //' ~g

Р= н1 0 0 <7 = 0

-нт 0 0 0

Таким образом, решение обратной линейной задачи дополнительности (15) можно заменить решением линейной задачи дополнительности

LCP^P,q^ с помощью одного из методов [10]. При

этом в силу структуры матрицы р сходимость методов обеспечивается только свойствами исходной матрицы р для параметрической линейной задачи дополнительности PLCP(P, Hx-g).

Двухкритериальная задача коррекции

Как было отмечено выше, в случае положительно определенной матрицы р для параметрической задачи квадратичного программирования (9),(11),(12) при любом значении х найдется параметр у = у(х), причем единственный, (решение линейной задачи дополнительности LCP(P,Hx-g)), для которого ограничения задачи (9),(11),(12) совместны. Для несобственной задачи квадратичного программирования 1-го рода с положительно определенной матрицей В в целевой функции это влечет разрешимость задачи (9),(11),(12) при любом значении х е R" ■ По существу в этом случае получаем, что нет необходимости выделять множество параметров у s Y, для которых задача (9),(11),(12) разрешима, поскольку можно сразу решать разрешимую задачу квадратичного программирования (9),(11),(12). При этом ограничения (11),(12) при решении задачи (9),(11),(12) как бы и не участвуют, то есть фактически решается задача безусловной минимизации

— хВх + bx —» min • хе R", (18)

2

а затем по найденному безусловному минимуму х' определяется вектор оптимальной коррекции

у = как решение задачи дополнительности

ЬСР(р,Нх' -g)■ Естественно, в этом случае можно одновременно использовать дополнительный критерий для выбора оптимального вектора коррекции у = у{х') за счет выбора вектора основного производства х , то есть решать задачу минимизации (13). В результате получаем двухкритериаль-ную задачу (13), (18), в которой одновременное оптимальным вектором коррекции у = у (х') находится решение аппроксимирующей задачи. Поскольку весовой вектор у задачи (13) является ре-

шением задачи дополнительности ЬСр[р,Нх' - где

х — решение двухкритериальной задачи (13),(18), то задача (13),(18) является обратной задачей для параметрической задачи дополнительности

Р1СР{р,Нх-ё) (И),(12).

Итак, прямая задача (1) — это задача 2[х]{у): {Ру>Нх-%, ^>0, угРу = ут(Нх-8)}Л 19) а обратная задача (2) - это следующая двухкрите-риальная задача

ад«: {{у )г{Нх-Е)^т\я,

^хВх + Ьх -» тт, ХеЯп). (20)

Другими словами, в параметрическом относительно х е Л" семействе линейных задач дополнительности РЬСР(Р, Нх - g) требуется выбрать параметр х = х' и отвечающее ему решение у = у задачи дополнительности (19) такие, чтобы вектор х = х' являлся решением обратной задачи (20), Применяя к задаче (20) подход паретовской оптимизации и учитывая, что решается задача безусловной оптимизации, запишем пару задач (19),(20) в следующем виде

Ру > Нх - g, у>0, yтPy = yт(Иx-g), (21)

Вх+Нгу = 0■ (22)

Запись задачи (21), (22) в виде линейной задачи дополнительности относительно переменных у, х с представлением х в виде х = х* -х~< гАе х+>0< *->(), приводит к классической задаче

дополнительности ¿СЯ Р>Я , где

р -н н' -g

р = нт в -в <7 = 0

-нт -в в 0

В результате получаем, что решение двухкритериальной задачи (20) можно также, как и в предыдущем пункте заменить решением классической

линейной задачи дополнительности • При

этом в силу структуры матрицы р сходимость обеспечивается положительной определенностью исходных матриц р и В .

Заключение

Несомненным достоинством представленных в статье результатов является замена трехэтапной схемы решения несобственной задачи квадратичного программирования обратной задачей дополнительности и сведение ее решения к классической линейной задаче дополнительности. С другой стороны, существенным недостатком полученной

задачи дополнительности является увели-

чение размерности решаемой задачи, поэтому актуально использование специального метода для решения соответствующих обратных задач. В качестве такого метода можно использовать метод последовательных приближений, аналогичный предложенному в работах [3,4] методу, для решения обратной нелинейной задачи дополнительности.

Библиографический список

1. Приоритетные результаты в области математического программирования. Часть 1. // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования №9. Екатеринбург: УрО РАН, 2001.

2. Обратные задачи математического программирования. — М.: ВЦ РАН. 1992.

3. Зыкина A.B. Решение обратной нелинейной задачи дополнительности // Математическое программирование: Труды ХШБайкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, Байкал, 2 июля-7 июля 2005 года. Том 1, Иркутск: Изд-во ИСЭМ СО РАН. 2005. С,324-329.

4. Зыкина A.B.Обратная задача для параметрической нелинейной задачи дополнительности // В сб. «Прикладная математика и информационные системы», Сб. науч. и метод, трудов. С.29-38. - Изд-no ОмГТУ: Омск, 2005.

5. Зыкина А.В.Обратная задача для линейной задачи дополнительности // Омский научный вестник. 2005. №3(32). — С. 77 - 80.

6. Зыкина А.В.Обратная задача оптимизации и задача Лагранжа//Омский научный вестник. 2005. №2(31). — С.34-40.

7. Попов Л.Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. - 124 с.

8. Cottle R.W., Dantzig G.B. Complementary pivot theory of mathematical programming //Linear Algebra and Its Applications. — 1968. - № I. - P.103-125.

9. Берщанский Я.М., Мееров M.B. Теория и методы решения задач дополнительности//Автоматика и телемеха. - 1983. -№6. - С.5-31.

10. Cottle R.W., Pang J.S„ Stone R.T. The linear complementarity problem. — Boston: Academic press, Inc., 1992.

11. Еремин И.И., Мазуров Вл.Д,, Скарин В.Д., Хачай М.Ю. Математические методы в экономике. — Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 280с.

ЗЫКИНА Анна Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы организации информации и управления».

Дата поступления статьи в редакцию: 02.02.06 г. ©Зыкина A.B.