О решении задачи математического программирования в нечеткой постановке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.856

О. Н. КАНЕВА

Омский государственный технический университет

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В НЕЧЕТКОЙ ПОСТАНОВКЕ

Рассмотрена оптимизационная задача в нечеткой постановке, полученная из детерминированной задачи путем смягчения ограничений. Для решения таких задач предложено применять аппарат обобщенных решений.

1. Постановка задачи

Классическая задача математического программирования формулируется как задача минимизации (максимизации) заданной функции на заданном системой неравенств множестве допустимых решений:

/0(х)->шш, хеХ,

(1)

где X с Я".

При моделировании практических задач в условиях высокой неопределенности и риска в нашем распоряжении могут оказаться лишь нечеткие описания функций Цх), /, (х),..., /т (х), параметров, от которых зависят эти функции, да и самого множества X. Более того, в некоторых случаях точно описанное множество ограничений может оказаться лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной действительности решения вне множества ограничений могут быть не недопустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными, чем решения внутри этого множества. Таким образом, нечеткое описание может оказаться более адекватным реальности, чем в определенном смысле произвольно принятое четкое описание.

Один из вариантов нечеткой постановки задачи (1) получается, если допустить возможность нарушения ограничений. Кроме того, вместо минимизации целевой функции /0(х) можно стремиться к достижению некоторого заданного значения этой функции.

Итак, зададим некоторое значение Сдля целевой функции, предельные допустимые значения с0 >0,с, >0,...,ст >0 и запишем задачу (1) в виде[1]:

ф)-С-((0.св),

(2)

х е X.

Большинство существующих подходов к решению таких задач не учитывают возможность того, что область допустимых решений может оказаться пустой. Для решения этой проблемы нами предложено применять аппарат обобщенных решений, который в настоящее время широко используется при решении несобственных задач математического программирования [2].

2. Максимизирующее решение

Интересным и практически значимым представляется применение подхода Беллмана-Заде к анализу и решению оптимизационных задач в нечеткой постановке [ 1 ]. В этом случае для каждого неравенства из (2) необходимо записать функцию принадлежности:

II, если/0(х)-С^О, ^(х,с0), если 0 < /"„ (х)- С < с0, 0, если/0(х)-С £с0.

1, если /Дх) 5 0, ;Дх,сД если0<(1{х)<с1, О, если fi(x)kcjr

Запись вида -<(0,сД ^ = 0,1, ..,т, обозначает, что если /Дх) < 0, то соответствующее условие задачи (1) выполняется, если 0 < {¡(х)<С] то говорим о нечеткости соответствующего неравенства, еслиже fj(x)>cj то будем говорить о недопустимом нарушении соответствующего условия /у(х) задачи (1).

где fi{x,Cj),j = 0, . . .,m, — некоторая монотонно убывающая функция, описывающая степени выполнения соответствующих неравенств с точки зрения эксперта. При этом нечеткое решение задачи (2) определяется как пересечение нечетких множеств цели и ограничений, то есть функция принадлежности решений цв имеет вид:

Mo (х) = min {u,( (х), n,t (х), ...,fj(m (х); (3)

Нечеткость полученного решения есть следствие нечеткости самой исходной задачи. При таком представлении решения возникает вопрос: какое решение, удовлетворяющее условиям (3), выбрать?

Естественно напрашивается выбор решения имеющего максимальную степень принадлежности нечеткому множеству решений Д то есть решения х, реализующего

maxpD(x) = maxmin Ц (х), ^ (х),..., ^ {х)} (4)

Такие решения называют максимизирующими решениями.

Запишем задачу (4) в эквивалентной форме: Л -> тах,

ци{х) Х,ци (х) >Л,..-,Мгш(х) ^ Л, (5)

Ле[0,1),хеХ,

и рассмотрим ее представления с различными функциями принадлежности. На практике обычно используются следующие функции:

1. Показательная функция

1, если /j(x)2 О, е"л(,), если 0</>(х)<сг О, если fj(x)>Cj,

где Ш, ( - число, близкое к нулю.

2. Линейная функция

1, если fj(x)<.0, c.-f.(x)

——1—, если 0</Дх)<сг cj

О, если fj(x)^Cj.

После преобразования получаем задачу вида (6), в которой у = 1-Я и уе[0,1].

В случае гиперболической функции принадлежности задача (5) имеет вид:

Л -» тах,

К1—.....К^^-^Ь

Ле[0Д],хеХ.

После преобразования получаем задачу вида (6), в которой агся/я(1 -2Л)+^ и /е[0Д].

Мы видим, что в результате преобразований получается параметрическая задача вида (6), в которой у могут принимать либо неотрицательные значения, либо значения из отрезка [0,1].

Такой подход к решению задачи в нечеткой постановке обладает существенным недостатком, состоящим в том, что для задачи (6) допустимая область может оказаться пустой в силу произвольности выбора параметров С,сй,с1,...,ст. Поэтому к задаче (6) предлагается применить вариационный подход, в основе которого лежат обобщенные решения [3].

3. Гиперболическая функция

1, если fj(x)<, 0,

1 — sizi— ^(x)-^-j , если 0 <fj(x)<Cj, 0, если fj(x)^Cj.

ч ci

хеХ

Ш

3. Обобщенное решение

Рассмотрим систему неравенств

gi(x)<0,..,gm(x)<0,

(7)

В случае показательной функции принадлежности задача (5) будет иметь вид:

Л->тах,

e k„(r,(x)-c) ^ л>е-клМ ^л,,..1е-к"'-(х) к к, Ле[0Д],хеХ

После элементарных преобразований получаем задачу вида:

Л -> min,

с I \ /-. - In к ,, s ^ ¡п Л , , ч Jn Л h(*)-С < —-С0,/,(х) < —с,,..., fm(х) S — с„, int int Int

где дДх)^0,7 = 1,.. .,т-выпуклые, непрерывно — дифференцируемые функции, определенные для всех х е Л". Для левой части системы (7) удобно ввести векторное обозначение. Пусть С:ЛЛ-»ДП1 векторно-значная функция, тогда систему (7) можно записать в виде:

G(x)50.

(8)

Проведем параметризацию правой части системы (8). Для этого введем в рассмотрение вектор оценок у = (уи...,уш), компоненты которого являются неотрицательными величинами и интуитивный смысл которых — оценка степени жесткости ограничений системы (8). Для этого задается некоторая квадратная матрица Р порядка т. Матрица Р, вектор оценок у и решение х должны удовлетворять соотношениям:

G(x) £ Ру, у > 0, yTG(x)=уТРу

(9)

Обозначив ? = получаем параметрическую задачу:

у -> тш'л,

ф)-Сйус0,Г1(х)йус,,...,Тт(х)<усш, (6) у 0,хеХ.

В случае линейной функции принадлежности задача (5) будет иметь вид:

Л->тах,

с0 - (/„ (х) - С) . с, - Г, (*) £ д _ с„ - /,„ (х) ^ Со ' С. ""' С„

Последнее условие в (9), называемое условием дополнительности, содержательно означает, что у ограничений, которые выполнены с запасом, должны быть нулевые оценки у.

Задача (9) называется параметрической (относительно параметра х) задачей дополнительности.

Известно [4], что задача (9) имеет решение при любом векторе 0(х), а значит, при любом х, если матрица Римеет положительно определенную симметризацию. Таким образом, система (9), давая связь между оценками у и вектором х, еще не определяет решение х. Поэтому вводится дополнительное условие: за счет выбора х должна минимизироваться взвешенная невязка уТРу=уТС{х). Для случая дифференцируемых функций это условие сводится к равенству:

Л е [ОД], х е X.

yr[VG(x)]=0

(10)

Вектор х* е Я", для которого решение задачи (9) у=у(х) удовлетворяет дополнительному условию (10), называется обобщенным решением задачи (8). Соответствующий вектор у' = у(х') называется вектором оптимальных оценок.

В случае совместной системы в качестве обобщенного решения х * получается решение системы в обычном смысле с нулевыми оценками у* = 0 и, следовательно, вектор невязок Ру' будет нулевым. Для несовместной системы обобщенное решение х' имеет не нулевые оценки у' и вектор невязок Ру' будет ненулевым. В последнем случае получается обобщенное решение, определенное выбранной матрицей Р).

4. Обобщенное чебышевское решение

Для системы неравенств (8) определим обобщенное чебышевское решение следующим образом [4].

Выберем неотрицательный вектор й е Я"1 и рассмотрим задачу о нахождении пары (е*, х *), которая является решением задачи:

е -> min, G(x)<acf,c2i0.

(13)

Сравним задачи (6) и (13). Для этого запишем задачу (6) в векторно-матричной форме:

у -> min, F(x)^>cf/>0,xeX,

(14)

где

F(x>

ff.W-c Ш )

— векторно-значная функция F: R" ->ЯШ+1, с — вектор, компонентами которого являются величины Со г с,,., .,ст.

Задачи (13) и (14) совпадают с точностью до обозначений. Поэтому, находя обобщенное чебышевское решение для системы неравенств (8) с G(x)=F(x),, мы находим максимизирующее решение для оптимизационной задачив нечеткой постановке (2).

Находить обобщенное чебышевское решение будем с помощью метода последовательных приближений [4].

Пусть у" — некоторая нижняя граница для у', где у' — решение задачи (14). Например, можно взять у" = 0 (поскольку в задаче. (14) выполняется ^0).

Будем строить такую последовательность что ук <у' и ук+1 >ук при всех ft. Для этого выбираем матрицу Р с положительно определенной симметризацией и решаем задачу:

F(xk)-ykc<.Pyk,ykZ 0,

(yk)TVF(x*)=0,

(15)

(16)

то есть находим обобщенное решение системы неравенств

1. Если ук= 0 , то пара удовлетворяет системе (17) и хк - обобщенное чебышевское решение этой системы.

2. Если ук фО и (у* )Тс>0, то можно уточнить нижнюю границу величины у. Действительно, для у' их, удовлетворяющих неравенству Р(х)йу'с, получаем, что

Итг • с* И>И= +ИТА ■

ИЛИ

(ук)Тс{г'-Гк)*(укУРук (18)

Из (18) следует, что:

Итак, в этом случае мы снова ищем обобщенное решение системы неравенств (17), заменив у* на укЛ.

3.Если но (у*)Тс=0,точебышевскогорешения для данного вектора с не существует. Это соответствует тому, ч+о не существует решения исходной задачи в нечеткой постановке в формулировке (6).

В этом случае необходимо подправить вектор с таким образом, чтобы система (17) вышла на предел разрешимости и, соответственно, была разрешима задача (6).

Для удобства дальнейшего изложения запишем систему неравенств г[хк)—укс£Рук из задачи дополнительности (15) в скалярном виде

0 1 ш «ш+1 ' —•

где р ,р ,...,р ел - строки матрицы Р:

Мы рассматриваем случай, когда вектор оценок у'" * 0. Тогда (у*, Ру* ) > 0 (так как Р - положительно определенная матрица). А отсюда следует существование хотя бы одного номера ;е{0Д,...,т}( для которого выполняется пара неравенств

у*>0, (р*,}фо.

Для этого номера у изменяем величину с, по правилу

С-С-&У) Сг С1 уК '

и находим обобщенное решение системы (17) с подправленным вектором с. Повторяем эту процедуру дотех пор, пока не получим обобщенное чебышевское решение.

Литература

1. Орловский С.А. Проблемы принят'йя решений при нечеткой исходной информации. — Москва: Наука, 1981.

2. Еремин И.И. Теория линейной оптимизации. — Екатеринбург: УрО РАН, 1998.

3. Зыкина А.В. О вариационном подходе к решению задачи математического программирования // Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика. Тр. 12-й Сибирской школы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999. - С.68-73.

4. Булавский В.А. Методы релаксации для систем неравенств. - Новосибирск: НГУ, 1981.

р(х")-/с< 0.

Возможны три случая:

(17)

КАНЕВА Ольга Николаевна, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».