CC BY
27
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
А.В.ЗЫКИНА
Омский государственный технический университет
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ_
Для линейной задами дополнительности впервые ставится обратная задача, которая состоит в нахождении таких параметров, при которых заданные обратной задачей значения переменных исходной линейной задачи дополнительности являются ее решением. Формулируются условия разрешимости, приводится схема решения обратной задачи.
Введение
Для многих математических задач построены и исследованы обратные задачи. С точки зрения математического моделирования, это чрезвычайно важный класс задач, поскольку он позволяет учитывать в модели заданные свойства искомых решений. Кроме того, важность этого класса задач обусловлена также и тем обстоятельством, что сложные, содержательные задачи могут быть записаны как обратные задачи для известных, хорошо изученных классов задач. К примеру, модель экономического равновесия Эрроу-Дебре является обратной (векторной) задачей оптимизации [1].
Обычно принимают следующее определение обратных задач: две задачи называются обратными друг1 к другу, если в постановку каждой из них в качестве параметра входит решение другой, Из определения
следует, что имеется выбор в том, какую из двух задач называть прямой, а какую — обратной. Обычно более простая, или лучше изученная задача называется прямой [2],
Исследование обратных задач можно встретить у многих авторов (И.И. Еремин, Л.А. Истомин, В.П. Булатов А, С. Антипин и др.). В работе [3] обратная задача формулируется как система различных по природе задач. Так обратная задача выпуклого программирования, определяется следующим образом:
для заданных скалярной функции /(у,ц) ивектор-ных функций Са(у,д), С,(у,д) и С2(у,д) требуется определить пару векторов у', д , которая удовлетворяет системе, содержащей экстремальное включение, уравнения и (или) неравенства:
= тШу.Ч ) IС0(у,д' )<0,уе Оа}, д е О,
(1)
С1(у-,д)=0.С2(К-,д)<0.
(2>
а) = Ру~д, а>> о, у>0, ута> = 0 ■ (3)
Другими словами, в параметрическом относительно д семействе задач выпуклого программирования (1) требуется выбрать параметр д = д и отвечающий ему оптимум у = у такие, чтобы выполнялась система уравнений и (или) неравенств (2).
Содержательно задача (1) характеризует выбор оптимальных внутренних параметров у = у функционирования некоторой большой экономической, инженерной, вычислительной или другой системы при воздействии на эту систему некоторых внешних факторов, характеризующихся внешними параметрами д = д . Задача (2) характеризует балансовые соотношения между у = у и д = д", при которых система функционирует стабильно и эффективно.
В работе [4] автором строится обратная задача оптимизации для одной содержательной задачи, решение которой заменяется решением обобщенной задачи Лагранжа по методу последовательных приближений. Специфика содержательной задачи позволила учесть условия для обратной задачи как условия дополняющей нежесткости для обобщенной задачи Лагранжа. Выбор же внешних параметров для прямой задачи, равных множителям Лагранжа, привел к тому, что образовавшаяся математическая конструкция содержит линейную задачу дополнительности, аппарат для исследования и решения которой позволил предложить новый метод для решения поставленной задачи.
В данной работе впервые формулируется обратная задача для линейной задачи дополнительности. Несмотря на то что в теории математического программирования задачи дополнительности и их приложения образуют самостоятельный большой раздел, обратные задачи дополнительности до сих пор еще не исследовались. Впервые на международной конференции [5] автором была анонсирована постановка обратной задачи для нелинейной задачи дополнительности, в статье [6] приведено развернутое обоснование существования решения поставленной задачи.
В предлагаемой публикации результаты, полученные для нелинейной задачи дополнительности, переносятся на линейный случай, выявляется специфика задачи, обсуждаются методы ее решения.
Линейная задача дополнительности
Перспективность использования задач дополнительности обусловлена прежде всего тем, что задачи дополнительности являются обобщением классических постановок задач линейного и квадратичного программирования, а также матричных игр. Задачи дополнительности представляют большой интерес также благодаря их многочисленным приложениям. Это транспортные и экономические задачи (к примеру, равновесие транспортных потоков, вопросы ценового равновесия, баланса спроса и предложения), это и структурная механика, при исследовании задач которой возникли различные постановки как непараметрических, так и параметрических задач дополнительности.
Классическая задача дополнительности состоит в нахождении пары связанных определенной функциональной зависимостью точек а и у в пространстве Р™, у которых координаты неотрицательны и в каждой паре соответствующих координат не более чем одна величина отлична от нуля.
Рассмотрим линейную задачу дополнительности вида:
Здесь Р ид— заданные квадратная матрица и вектор соответствующих т и у размеров. Пара векторов <э,уеДт определяет решение линейной задачи дополнительности. Задачу (3) обозначают через ЬСР(Р,д) [7].
Для краткости обычно вектор уеЯт называют решением 1СР(Р,д), а вектор д — правой частью линейной задачи дополнительности 1СР(Р, д). Эти названия связаны с несколько другой эквивалентной постановкой ¿СР(/',д), состоящей в нахождении такого вектора у е Ят, что выполняются следующие условия:
Ру>д, у>0, уТРу = уТч- (4)
В дальнейшем будем предполагать, что матрица Р — положительно определена, а именно, для любых уф 0 выполняется неравенство у^ Ру> О-В этом случае существует единственное решение у линейной задачи дополнительности (3) (или (4)) для любой правой части деЯт [7,8].
Первым итерационным методом, предложенным для решения линейных задач дополнительности, является алгоритм дополнительного ведущего преобразования Лемке [8], являющийся аналогом симплекс-метода. При этом решение задачи линейного программирования с неотрицательной матрицей при помощи метода Лемке в 2-3 раза эффективнее обычного симплекс-метода. В большинстве публикаций, посвященных решению линейной задачи дополнительности, либо исследуются границы применимости метода Лемке, либо предлагаются его обобщения [9].
В настоящее время существуют и другие эффективные алгоритмы для решения задач дополнительности. Все итерационные методы решения, применяемые как для линейных, так и для нелинейных задач дополнительности, могут быть рассмотрены как специальные случаи некоторой общей схемы [10].
Параметрическая линейная задача дополнительности
Рассмотрим линейную задачу дополнительности 1СР(Р,д) (3), в которой вектор д является параметром д е К" ■ Полученную параметрическую линейную задачу дополнительности будем обозначать через РЬСР(Р, д).
Для решения у = у(д) параметрической линейной задачи дополнительности (3) с положительно определенной матрицей Р справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Решение у = у(д) Р£СР(Р,д) вида (3) с положительно определенной матрицей Р непрерывно зависит от правой части д. Более того, для любых двух точек д1 и а2 соответствующие решения у' = = у(д') и у2 = у(д2) задачи (3) связаны условиями Липшица
\\у2-УЬ^Ь2~Я1 (5)
где р > 0 — и зависит от матрицы Р.
Для доказательства теоремы достаточно найти для неравенства (5) число ^>0 из условия положительной определенности матрицы Р.
Рассмотрим параметрическую линейную задачу дополнительности РЬСР(Р, д) вида (3), в которой векторный параметр д имеет вид
д = Нх + д,
где Н - матрица размерности тх п, х- вектор размерности п, д— вектор размерности лги вектор х выступает в качестве параметра. Тогда получим параметрическую линейную задачу дополнительности Р1СР{Р,Нх + д) вида:
со = Ру-Нх-д, (у>о, у>0, уто) = о.
(6)
Следствие. Для параметрической (относительно векторного параметра х е Я") линейной задачи дополнительности (6) оценка (5) принимает вид
-у'кИЦх2
II р II
(7)
где у'=у(х'), у1 = у(х2) — соответствующие решения задачи (6), а под ||Н|| понимается спектральная норма матрицы н.
Определение обратной задачи дополнительности
Определим обратную линейную задачу дополнительности для РЬСР(Р,д) вида (3) следующим образом:
для заданных векторных функций, С,(у,д) и С2(у,д) требуется определить пару векторов у , д , которая удовлетворяет системе равенств и неравенств:
Ру> д, у > 0 , утРу = утд , деЯт, С1(у,(7) = 01 С2(у,д)< 0.
(8)
(9)
Другими словами, в параметрическом относительно д е Лт семействе линейных задач дополнительности РЬСР(Р,д) требуется выбрать параметр д = ди отвечающее ему решение у = у задачи дополнительности (8) такие, чтобы выполнялась система равенств и неравенств (9).
Для задачи РЬСР(Р,Нх + д) вида (6) обратную линейную задачу дополнительности определим так:
найти такие параметры х е Я" для параметрической линейной задачи дополнительности
Ру > Нх + д, у £0, уТРу = ут(Нх + д).
(9)
кой задачи дополнительности ЮР\ Р,д I, где
р - н н У
р = нт 0 0 . я = 0
-нт 0 0 0
Таким образом, решение обратной линейной задачи дополнительности ¿СР( Р,д ] (9), (10) можно за-
менить решением линейной задачи дополнительности с помощью одного из методов [10]. При этом в
силу структуры матрицы Р сходимость методов обеспечивается только свойствами исходной матрицы Р для параметрической линейной задачи дополнительности Р1СР(Р,Нх + д).
Метод последовательных приближений для решения обратной задачи дополнительности
Существенным недостатком решения обратной линейной задачи дополнительности (9), (10) как линейной задачи дополнительности является
увеличение размерности решаемой задачи, поэтому актуальна разработка специального метода для решения обратной линейной задачи дополнительности. В качестве такого метода рассмотрим метод последовательных приближений, аналогичный предложенному в работах [5,6] для решения обратной нелинейной задачи дополнительности.
Пусть задана произвольная начальная точка х°.
Последовательность {х'} строится в результате следующих шагов.
Для полученной точки х' находим решение у' = = у(ху) линейной задачи дополнительности
- Ру' - Нх1 -д, со>> 0. у' >0, (у')Г<у' = 0 .
Если окажется, что Нту' - 0, то пара (х',у') = = {х' ,у') будет удовлетворять соотношениям (9), (10), то есть будет получено решение обратной задачи (10). В противном случае, выбрав некоторую величину шага а, > 0, полагаем
= у'-
а}Нту!
(13)
при которых решение у = у(х) задачи (9) удовлетворяет следующим условиям
Нту = 0. (Ю)
Запишем задачу (9), (10) как линейную задачу дополнительности относительно переменных у, х, причем часть неравенств, соответствующих переменным х, записывается равенствами, и потому соответствующие переменные х свободны по знаку
Ру-Нх>д, Нту = 0, у >0 , (И)
ут (Ру -Нх) = ут д • (12>
Представляя хввиде х = х*-х~, где х+ >0, х' >0, и заменяя уравнения в (11) парами противоположных неравенств, задачу (11), (12) относительно переменных (у,х*,х~) можно представить в виде классичес-
и переходим к следующей итерации.
Исследуем сходимость метода (13) к решению (х , у ) пары задач (9), (10).
В идеале траекторию построения решения обратной задачи дополнительности с помощью итерационной схемы (13) можно рассматривать как начинающуюся в точке х° = х(0) траекторию решения х(а) системы дифференциальных уравнений
х = -Нту(х),
(14)
где у = у(х) — решение линейной задачи дополнительности (9).
Сложность исследования системы дифференциальных уравнений (14) обусловлена несколькими факторами. Во-первых, оператор -Нту(х) не является потенциальным, то есть не является градиентом ни для какой функции, во-вторых, оператор - Нту(х) в общем случае не является монотонным, и в-третьих, правая часть системы дифференциальных уравнений (14) не задана аналитически, а вычисляется через решение линейной задачи дополнительности (9).
Доказана следующая теорема.
Теорема 2. Система дифференциальных уравнений (14) при любом начальном условии х" = х(0) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение * = х(а), определенное для всех аге е [0,+оо). При этом имеет место оценка
||х(а)-х'||<||х°-х'||. (15)
Перейдем теперь к вопросу о сходимости траектории х(а) к некоторому решению х обратной задачи (10). Для этого рассмотрим функцию ||Нту(*)||
вдоль решения х(а) системы дифференциальных уравнений (14) при начальных условиях х(0)=х°. Положительная определенность матрицы Р и полученная в следствии к теореме 1 липшицевость отображения y(jf) обеспечивают монотонность функции ||н7у(х)|| вдоль траектории х(а) и сходимость
у(х(а)) и х(а) к паре у' и х решения задач (9),(10)
Доказаны следующие теорема и следствие.
Теорема 3. Вдоль траектории х(а) системы дифференциальных уравнений (14) величина ||нту(х))|
является непрерывной убывающей функцией параметра а, причем при а2>а, >0 выполняется следующее неравенство
где у > 0 — некоторая константа.
Следствие. Вдоль траектории системы дифференциальных уравнений (14) существуют пределы
х = lim х(а), у'= lim у(х(а)), а—»аз а—>оо
причем х — решение обратной задачи (10), а у — соответствующее решение линейной задачи дополнительности (9).
Заключение
Постановка обратной задачи дополнительности, с одной стороны, представляет интерес как новый математический результат, а с другой — большое значение имеет практическое применение обратных задач для моделирования содержательных задач. Дело в том, что сложные содержательные задачи наряду с внутренними параметрами, как правило, содержат внешние параметры, относительно которых задаются дополнительные условия, позволяющие стабилизировать моделируемую ситуацию.
Более того, с формальной точки зрения математическая конструкция с двумя группами параметров
может быть гораздо сложнее, чем одна из задач (прямая или обратная) при фиксированных параметрах (внешних или внутренних соответственно). Действительно, в предложенной в статье обратной задаче дополнительности прямая задача — линейная задача дополнительности, обратная задача - система линейных уравнений, тогда как вся задача с двумя группами параметров является системой нелинейных уравнений и неравенств.
Полученные в статье теоретические результаты позволяют использовать предложенный метод последовательных приближений для построения сходящихся итерационных схем решения обратных задач для линейных задач дополнительности.
Библиографический список
1. Приоритетные результаты в области математического программирования. Часть 1. // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования №9. Екатеринбург: УрО РАН, 2001.
2. Обратные задачи математического программирования. -М.: ВЦ РАН. 1992.
3. Антипин А.С. Обратная задача оптимизации: постановка задачи и подходы к ее решению // Обратные задачи математического программирования. — М.: ВЦ РАН. 1992.
4. Зыкина А.В.Обратная задача оптимизации и задача Лагран-жа//Омский научный вестник. 2005. №2(31). - С.34-40.
5. Зыкина А.В. Решение обратной нелинейной задачи дополнительности // Математическое программирование: Труды XIII Байкальской международной конференции «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, Байкал, 2 —У июля 2005 года. Том 1, Иркутск: Изд-воИСЭМ СО РАН. 2005. С. 324-329.
6. Зыкина А.В,Обратная задача д\я параметрической нелинейной задачи дополнительности // Прикладная математика и информационные системы. Омск, 2005. С. 27-35.
7. Попов Л.Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001, - С. 124.
8. Cottle R.W., DantzigG.B. Complementary pivot theory of mathematical programming // Linear Algebra and Its Applications. — 1968. - №1. - P. 103-125.
9. БерщанскийЯ.М., МееровМ.В. Теория и методы решения задач дополнительности //Автоматика и телемеха. — 1983. - №6. — С. 5-31.
10. Cottle R.W., Pang J.S., Stone R.T. The linear complementarity problem. — Boston: Academic press, Inc., 1992.
ЗЫКИНА Анна Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы организации информации и управления».
