CC BY
25
111 — масса частицы, со,, - частота, V — скорость частицы.
Из проведенного анализа уравнения (9) следует, что при движении частицы происходит хаотическое взаимодействие с вакуумом, которое представляет собой непрерывный гауссово-марковский процесс. Тогда логически вытекает, что физический механизм соотношения неопределенностей Гейзенберга может быть объяснен флуктуациями энергии, имеющими место при взаимодействии элементарной частицы с физическим вакуумом, а физический механизм туннельного эффекта (возможное с некоторой вероятностью проникновение элементарной частицы через потенциальный барьер) объясняется возможной с некоторой вероятностью передачей энергии физического вакуума элементарной частице для преодоления потенциального барьера.
Итак, относительно простые математические модели, в основании которых лежит уравнение диффузии, содержат определенный спектр неравновесных диссипативных структур-аттракторов. Показано, что на выделенном классе открытых и нелинейных сред могут возникать и метастабильно поддерживаться сложные определенные виды (типы) нестационарных, развивающихся в режиме с обострением сложных неравновесных диссипативных структур. Путь к сложному — это путь к средам с большими нелинейностями, новыми свойствами и с более сложным спектром форм и структур. Это дает основания рассматривать Вселенную как иерархию сред с разной нелинейностью, объединенных в единое целое физическим вакуумом, а с математической точки зрения фундаментом объединения служит уравнение диффузии.
Весьма важным обстоятельством является то, что
уравнение диффузии содержит оператор —, в то
9t
время как в основном динамическом уравнении классической механики фигурирует оператор -^j.
Это означает, что уравнение диффузии свидетельствует о необратимости во времени эволюции сложных неравновесных диссипативных структур-аттракторов в микро-, макро- и мегамире и, следовательно, о наличии «стрелы времени» в эволюции Вселенной в целом.
Библиографический список
1. Федоров В.К. Принцип устойчивого неравновесия и гипотеза возникновения и развития Вселенной. // Омский научный вгстник 2005 № 2. С. 71-76.
2, Пригожин И.Р. Философия нестабильности. // Вопросы философии. 1991. №6. С. 46-57.
3. Самарский A.A., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных уравнений. М.: Наука. 1987, 587 с,
4, Ахромеева Т С., Курдюмов С.П. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992, 482 с.
.5. Шевелев А.К. Иерархическая структура и свойства пространства — времени // Физическая мысль России. 200. № 1. С. 37-49.
ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения.
Статья поступила в редакцию 25.09.06. © Фёдоров В. К.
удк 519 95 Л. В. ЗЫКИНА
Омский государственный технический университет
ОБОБЩЁННАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В работе вводится расширенное понятие двойственности для задачи математического программирования. Введенное понятие является эффективным инструментом для решения сложных прикладных задач, возникающих в социально-экономических системах. В качестве примера построена модель планирования производства, в которой внешняя рыночная стоимость ресурсов совпадает с внутренними объективно обусловленными оценками ресурсов.
Введение
Рассмотрим задачу выпуклого программирования
(ВП)
тт{4(х)|/Дх)<Ь,,...,/т(х)<Ьго,хеХ}, (1)
где выпуклое множество ЛсЛ", /Д...../т:Х->Я -
выпуклые функции.
Общепринятая экономическая интерпретация задачи ВП — это модель производства, в которой требуется выбрать интенсивности х = (х1,...,*„) работы предприятия, такие, чтобы обеспечить выпуск продукции в соответствии с технологическим процессом = .....4М) из ограниченных запасов ресурсов Ь = (Ь,,...,Ьт) с минимальными издержками /0(х).
В соответствии с классической теорией двойственности каждому виду ресурса íg{1.....т] соответствует внутренняя объективно обусловленная оценка ц >0, i s{l.....m}, по Л. В. Кантаровичу (множители Лагранжа), причем более дефицитные ресурсы имеют большие оценки, и наоборот, ресурсы, имеющиеся в избытке, получают нулевые оценки. Очевидно, что если объемы ресурсов (компоненты в векторе) неограниченно увеличивать, то их дефицитность будет уменьшаться, соответственно будут уменьшаться объективно обусловленные оценки
и = (и,.....uj и издержки предприятия /0(х) по выпуску
продукции. Но неограниченный объем ресурсов в реальности не существует, поскольку ресурсы — это либо продукция некоторого другого производства, либо сырье, существующее в ограниченном количестве. Следовательно, чем больше расходуется ресурсов для производства, тем больше спрос на эти ресурсы и тем больше их рыночная стоимость. В связи с этим возникает проблема согласования дефицитности ресурсов с их внешней рыночной стоимостью. Решение этой проблемы приводит к различного рода равновесным конструкциям, таким, как задачи о вычислении неподвижных точек, обратные задачи оптимизации и др. Одну из первых моделей равновесия в экономике предложил швейцарский экономист Л. Вальрас [1). Состояние равновесия по Валь-расу характеризуют рыночные цены ресурсов, для которых суммарный спрос по каждому товару совпадает с суммарным предложением. Этот подходв моделировании социально-экономических систем получил широкое применение благодаря доказательству существования равновесных цен для математической модели рыночной экономики Эрроу-Дебре. Однако многочисленные попытки сделать равновесие по Вальрасу универсальным инструментом исследования в экономических моделях встретили значительные затруднения при моделировании реальных экономических систем. В связи с этим необходимо, с одной стороны, выделить круг задач, которые могут быть решены на основе равновесного подхода, с другой стороны, ввести обобщение понятия равновесия. Постановки и исследования таких задач можно встретить у многих авторов [2 — 5]. В предлагаемой статье рассмотрим обобщение таких постановок.
Постановка задачи
Существенным недостатком модели экономической системы (1) является неизменность самой системы по отношению к внешним управляющим воздействиям в течение заданного периода времени. В этом случае при построении модели (1) предполагается, что выбор каких-либо внешних управляющих воздействий (к примеру, изменение рыночных цен на используемые в системе ресурсы) не приведет к изменению самой системы (в том числе не изменятся и двойственные переменные — объективно обусловленные оценки ресурсов). Очевидно, такое предположение намного сужает область применения подобных моделей. Для устранения этого недостатка введем в задачу ВП (1) параметры у = (у,.--.,уге), характеризующие рыночную стоимость ресурсов, тогда объемы запасов ресурсов Ь естественно рассматривать как функцию от параметров у. Кроме того, издержки производства свяжем покоординатно с ресурсами, что тоже вполне естественно, так как с каждым видом ресурса могут быть связаны свои производственные затраты. Итак, пусть Fn (х) = (/0, (х),..., f0 т (х)),
F,(x) = (/M(x)...../,м(*)), ЖУ) = (А (У)■ ■ ■ ■. Р,„(У))г хеХ, Хсй",
X - выпуклое множество, уе^Г. 4(х) и ,=1.....т. - выпуклые скалярные функции. Функции /ш(х), 1 = 1.....т, задают издержки производства
на единицу рыночной стоимости у, для каждого вида ресурса, при возрастании стоимости увеличиваются и издержки уДх), функция
т
УТОД = 5>,/о/
задает суммарные издержки. Функции /„(х), г = 1.....т,
определяют технологический процесс или расход ресурсов на производство с интенсивностями х = (х,.....х„), функции р,(у), z' = l,...,jn, - запасы ресурсов в зависимости от их рыночной стоимости
У = (Уг.....yj-
В результате получаем задачу параметрического выпуклого программирования
min {y7F0(x) I F,(x) < P(y),x e X), yefi,", (2)
содержательно состоящую в минимизации суммарных издержек yTF0{x) производства из ограниченных объемов запасов ресурсов Р(у) при меняющейся рыночной стоимости у е Я™ ресурсов и заданном технологическом процессе F,(x). Задача (2) может иметь общую форму, а именно
min {F(x,у)|F,(х)<.Р(у),хеX}, yeR+m, (3)
где целевая функция F:ß"xхарактеризующая издержки производства, выпукла по переменной х для каждого фиксированного параметра у. Наличие отображения P :R™ -+R™ позволяет трансформировать одни единицы ресурсов в другие. Так, если у измеряется в денежных единицах, то Р(у) дает количественное представление ресурсов, если же F, (х) — затраты производства, имеющие денежное выражение, то Р(у) имеет то же измерение, и тогда параметр у задает количество используемых ресурсов.
Для решения поставленной задачи (3) (или (2)) введем дополнительные условия в виде параметрической по параметру х нелинейной задачи дополнительности
Р(у)>^(х), у >0 , уг(Р(у)-ВД) = 0 (4)
или, что эквивалентно, в виде вариационного неравенства
<у-у .^(xVPly'OsO . Vy > 0 ,
где
х eA/gmm{F(x,y')|Fi(x)<P(y'),x еХ), или для задачи (2)
х' е Arg min {(у' )г F„ (х) | F, (х) < Р(у'), х е X}.
Введенное дополнительное условие у7 (Р(у) - F{ (х)) = 0 есть не что иное, как условие дополняющей нежесткости для ограничений исходной задачи F, (х) < Р(у) и внешних управляющих воздействий у>0 . Это условие придает внешним параметрам задачи (3) (или (2)) свойства ее двойственных переменных. Построенные конструкции являются новыми и представляют собой обратные задачи, содержащие экстремальное включение, и задачу дополнительности (или вариационное неравенство). Если в паре задач (3), (4) (или (2), (4)) исходной считать задачу дополнитель-
ности (4), то задача (3) (или (2)) будет обратной к задаче дополнительности (4) или задачей обратной дополнительности [6,7].
Представляется интересной интерпретация конструкции (2), (4) для параметрического семейства задач векторной оптимизации
min{F(,(х)IF,(x)<P(y),*eX} , yeR?. (5)
Задача (2) задает множества слабо эффективных по Слейтеру решений для параметрического семейства векторных задач (5), а задача (4) выделяет из множеств Слейтера решения, удовлетворяющие заданным дополнительным условиям.
Обобщенная двойственность
Для разработки методов решения задачи (3), (4) предположим, что при каждом значении у > 0 задача ВП (3) разрешима и удовлетворяет некоторым условиям регулярности, следовательно, при каждом значении у> 0 существует седловаяточка(х(у),и(у)) функции Лагранжа
Цх,и, у) = F(x, у) + ит (F, (Jtl-Р(у) ),xeX,ueR?, (6)
задачи ВП (3). В этом случае рассмотрим при фиксированном параметре у> 0 седловую точку (x',u') = (x(y),u(y)) функции Лагранжа Цх,и,у), для которой у = и . Учитывая определение седловой точки, получаем тогда систему неравенств
Цх',и,и)< L(x',и ,и)< Цх,и ,и) , VxsX.VueP;
или, подставляя выражение функции Лагранжа (6), получаем, что VxeX.Vueß™ выполняются неравенства
F(x',u') + uT(F1(x')-P(u'))< <F[x,u) + (u)r(F,(x)-P(a))<
<F(x,u') + (u')T(F,(x)-P(u')). (7)
В результате из первого неравенства (7) получаем вариационное неравенство
(u-u',F,(x')-P(u'))<0 Vu>0 • (8)
Полагая в (8) сначала и = 2а , затем и = 0, получим задачу дополнительности (4) при значении параметра х = х
P(u)>F,(x), ц->0, (и')г(Р(и)-Р,(х')) = 0.
Из второго неравенства (7) получаем в точке условие минимума функции Лагранжа (6) на множестве X при а = и' и у = и
F(x,u) + {u)T(F,[x')-P( u"))<
<F(x,u') + (u')7(F,(x)-P(u')) VxeX , что эквивалентно задаче ВП (3) при значении параметра у=и
min{F(x,u')| F,(x) < P(u'),x е X) ■
В результате получили, что решением обратной задачи (3), (4) является седловая точка (х(у),и(у)) задачи (6), для которой координаты параметра у являются множителями Лагранжа задачи ВП (3).
Проводя аналогичные рассуждения для пары задач (2), (4), получим, что решением обратной задачи
(2), (4) является седловая точка (х(у),и(у)) задачи
I(x,u,y) = yTF0(x) + ur(F,(x)- Р(у)),х е Х,и е Я+Го,
для которой координаты параметра у являются множителями Лагранжа задачи ВП (2).
Для задачи (3) (или (2)) можно построить точечно-множественное отображение
-»к;. (о)
которое каждому внешнему параметру у 0 ставит в соответствие выпуклое замкнутое множество множителей Лагранжа задачи ВГ1 (3) (или (2)), и поставить задачу о вычислении неподвижной точки этого отображения. В этом случае решением обратной задачи (3), (4) (или (2), (4)) является неподвижная точка точечно-множественного отображения (9).
Поскольку чнешние параметры исходной задачи ВП (3) (или (2)) являются одновременно множителями Лагранжа (условие дополнительности в задаче (4), то пару задач в виде (3), (4) (или (2), (4)) будем называть задачей об обобщенной двойственности.
Пусть в задаче (3) (или (2)) отображение Р линейное, тогда получим следующую задачу об обобщенной двойственности:
min {F(x, у) | F, (х)<Ру,х e X}, уеЯ™ , (Ю)
Ру>/-(х), у >0 , ут(Ру-Р,(х)) = 0, (И)
где Р — квадратная матрица соответствующей размерности, (11) — параметрическая линейная задача дополнительности.
Обратная седловая задача
Рассмотрим параметрическое по параметру у > 0 семейство седловых задач
Цх, а, у) = F(x, у) + иr (F; (х) - \ Ри), х е X, и е R[" (12)
Седловая функция L(x,u,y) при каждом фиксированном параметре у е R™ выпукла по первой переменной Х'Для выпуклых по х отображений F(x,y) и F,(x) и вогнута (сильно вогнута) по второй переменной ц при положительно полуопределенной (положительно определенной) матрице Р. Такая седловая функция при каждом фиксированном параметре у е Я™, как правило, всегда имеет седловую точку.
Поставим обратную седловую задачу в следующем виде:
(х',ц) е AigsdI{F(x,y') + uT(Fl(x)~^Pu),x е Х,и е Я™},
и'=у\ (13)
а именно, в параметрическом по параметру у>0 семействе седловых функций (12) найти функцию, седловая точка (х(у),и(у)) которой удовлетворяет равенству и(у) = у.
Покажем, что решение задачи об обобщенной двойственности (10), (11) сводится к решению обратной седловой задачи (13). Для этого рассмотрим при фиксированном параметре у> 0 седловую точку (х',ц') = (х(у),и(у)) функции ~Цх,и,у) (12), для которой у = ц". По определению седловой точки получаем систему неравенств
L(x\u,u')<L(x',u',u')<L(x,u',u) VxeX,VueP+m'
или, подставляя выражение функции (12), получаем, что VxsX.VueR"' выполняются неравенства
F(x'.u')-Hjr(F,(x')-iPu)< F(x',u') + (u')'
<F(x,u') + (u )r(f;(xMPu ). (И)
Для первого неравенства (14) выпишем вариационное неравенство
<u-u',/•(*')-P(u')><0 Vu>0, (15)
которое является условием максимума для соответствующей первому неравенству (14) задачи оптимизации
и е Argmax{uT{F,(x')-jPu)lu>0}.
Полагая в неравенстве (15) сначала и = 2и , затем и = 0 , получим задачу дополнительности вида
F,(x')-Pu <0, ц' > 0 • (16)
(u')f(F,(x')-Pu') = 0. (IV)
Далее запишем второе неравенство (14) в виде F(x',u')< Г(х,и ) + (и )'(Р,(х)-F,(x )), VxeX, (18) тогда при условии
И'(^(х)-^(х'))<0 (19)
неравенство (18) можно записать так:
F(x ,и )< F(x,u ) VxeX-
Преобразовав неравенсгпо (19)
(u)rF,(x)i(u)rF,(x') = (u)TPu',
в результате получим задачу оптимизации в виде
х е Arg min {F(x,u ) | (и )7 (F, (x) - Pu') < 0,x e X}. (20)
Точка минимума задачи (20) согласно условию (16) принадлежит множеству {х | F,[x)< Ри,х е X}, но это множество вложено в допустимое множество задачи (20), поэтому точка х является одновременно решением задачи опт имизации
х 6.4rgmin{F(x,u')|F,(x)<Pu',xeX}. (21) Используя теперь условия (15) и (18) для всех Vx б X, Vu е R"', запишем систему неравенств
F(x',u') + u''(F;(x')-Pu')<F(x',u') + (u'),'(F1(x')-Pu')<
< F(x.u) + (u)T(F,(x)-Pu),
из которой следует, что пара (х',и ) является седловой точкой функции Лагранжа для задачи (2 или 3), а значит, пара (х ,и ) решает задачу об обобщенной двойственности (10), (11).
Как следствие проведенных рассуждений получаем, что решение задачи об обобщенной двойственности
min{\'TFj,(x)| Fj(x) < Ру,х е X}, у е Rm ,
Ру >F,(x), у>0, yT(Py-F,(x)) = 0 сводится к решению обратной седловой задачи
(х ,(i )е Argsd/{(y )rF(,(x) + ur(Fj(x)-|Pu),xeX,ueÄ"'},
и =у'.
Заключение
Математические модели сложных (тем более противоречивых) задач наряду с внутренними параметрами содержат внешние параметры, выражающие влияние управляющих воздействий от окружающей систему среды на процесс принятия решений. При классическом подходе к теории двойственности внешние параметры никак не учитываются при построении двойственной задачи, в лучшем случае решение двойственной задачи вместе с решением прямой задачи определяется для каждого фиксированного набора внешних параметров. В этом случае возникает нарушение равновесия между внутренними объективно обусловленными оценками и внешними управляющими воздействиями. В статье предложено решение этой проблемы — использование расширенного понятия классической двойственности Л.В. Кантаровича. Структура полученных математических конструкций принципиально отличается от классических конструкций двойственности для задач оптимизации, поэтому эффективное использование таких задач требует разработки новых методов для нахождения решений этих задач.
Библиографический список
1. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972. — 517 с.
2. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. — М.: Наука, 1989. - 400 с,
3. Антипин A.C. О равновесной модели дефицита ресурсов // Нелинейная динамика и управление. — 2005. — Вып 5. — С. 1-9.
4. Коннов И В. Комбинированные релаксационные методы для поиска точек равновесия и решения смежных задач // Изв. вузов. Математика, 1993. - № 2. С. 46-53.
5. Зыкина А,В. Обратная задача оптимизации и задача Лагранжа//Омский научный вестник. 2005. № 2(31). - С. 81 -84.
6. Зыкина A.B. Обратная задача для параметрической нелинейной задачи дополнительности // В сб. «Прикладная математика и информационные системы», Сб. научн. и метод, трудов. С. 29-38. - Изд-во ОмГТУ: Омск, 2005.
7. Зыкина A B. Обратная задача для линейной задачи дополнительности//Омский научный вестник. 2005. № 3(32). -С. 77-80.
ЗЫКИНА Анна Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы организации информации и управления».
Статья поступила в редакцию 30.10.06. © Зыкина А. В.
МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ
уДк 666 97 Д. Н. ДОРОГОБИД
В. В. УШАКОВ
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
КОМПЛЕКСНАЯ
ХИМИЧЕСКАЯ АКТИВАЦИЯ
ТВЕРДЕНИЯ ПОРТЛАНДЦЕМЕНТА_
Представлено обоснование применения ускорения твердения цементных композитов путем применения комплексных химических добавок отечественного производства. Предложены пути активации твердения и рассмотрен механизм структурообразования цементного камня в присутствии добавок различного вещественного состава. Приведены практические пути создания импортозамещающих ускоряющих, комплексных добавок и механизмы их действия.
Введение ется использование материалов с ускоренным набором прочности.
Активация твердения цементных композитов Поэтому в настоящее время одним из наиболее является весьма актуальной проблемой современ- доступных способов ускорения твердения цементного материаловедения с учетом необходимости ных композитов является активация химическими энергосбережения в производстве строительных добавками.
материалов и при проведении строительных работ. При изготовлении высококачественных ускори-Это связано с удорожанием и труднодоступностью телей твердения применяются, как правило, дорого-высокомарочных и быстротвердеющих цементов, стоящие компоненты, такие, как гиперпластифика- | удорожанием энергоносителей на тепловую обра- торы, микрокремнезем, комплексные ускорители и ботку при изготовлении железобетонных изделий. упрочнители, противоусадочные и снижающие проПри увеличении объемов строительства, при отделке ницаемость модификаторы. На массовом производи ремонте строительных объектов актуальным явля- стве и при постоянной потребности химических доба-
