Алгоритмы решения линейной задачи о дополнительности и дискретные модели механических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алгоритмы решения линеинои задачи о дополнительности и дискретные модели механических систем

Колесников Г. Н. (kgn@sampo.ru), Раковская М. И.

Петрозаводский государственный университет

Линейной задачей о дополнительности [1, 2] называют задачу решения смешанной системы уравнений и нестрогих неравенств

в которой искомыми являются элементы векторов w и г . В данной статье рассматривается частный, но важный в практическом отношении случай задачи с неотрицательно определенной матрицей М. Как известно, к решению линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей сводятся многочисленные задачи анализа дискретных моделей механических систем с односторонними связями [3, 4, 5]. При этом для решения задачи в настоящее время обычно применяется итерационный алгоритм Лемке или его модификации [1, 2, 6].

Более эффективный в вычислительном отношении шаговый алгоритм, предназначенный для применения в дискретных моделях механических систем, был разработан относительно недавно [7]. Отличительной особенностью этого алгоритма является использование установленной в работах [8, 9, 10] очередности перехода односторонних связей механических систем в альтернативное состояние. Поиск решения по одному из вариантов данного алгоритма сводится к последовательному выключению односторонних связей в соответствии с предложенным критерием [8]. Тем самым на каждом шаге выявляется то нестрогое неравенство ^ > 0 или > 0 (2), которое осуществляется в виде равенства. Решение завершается, если определены все нестрогие неравенства, которые обязательно осуществляются в виде равенств. Более детально особенности работы алгоритма рассматриваются далее на примере.

Выключение односторонних связей может имитироваться уменьшением их жесткости до нуля, что, в частности, использовано при решении примера в статье [8].

Другой подход может быть построен, если воспользоваться Жордановыми исключениями, которые выполняются в известной очередности [9] над системой ра-

w = Мг + q , w > 0; q > 0 ,

w т q = 0,

(1) (2)

(3)

венств (1). Известно применение этого подхода к анализу дискретных моделей механических систем с односторонними связями [7]. В данной статье указанный подход распространяется на общий случай, когда тип связей (одно- или двусторонние связи, в том числе с зазорами) не ограничивается.

Такое обобщение становится возможным, если каждую двустороннюю связь г рассматривать как частный случай односторонней связи, которая всегда находится в одном и том же состоянии «включено». В этом случае в системе соотношений (2) известно то нестрогое неравенство wi > 0 или > 0, которое осуществляется в виде равенства. Требование неотрицательности реакции двусторонней связи должно быть исключено, что иллюстрируется на рассматриваемом далее примере.

Заметим, что односторонняя связь г, вообще говоря, может находиться в одном из двух состояний («включено» или «включено»). Соответственно, одно из нестрогих неравенств в системе соотношений (2) (wi > 0 или > 0, какое именно - заранее неизвестно) обязательно осуществляется в виде равенства. Однако известно, что номер г этого нестрого неравенства и номер отрицательного наименьшего элемента вектора q (пусть это будет qi ) совпадают [7].

Указанные выше Жордановы исключения выполняются над системой соотношений (1), при этом в качестве разрешающего элемента выбирается диагональный элемент Ыи. Шагом Жорданова исключения, выполненным с диагональным разрешающим элементом Ыи, называют операцию решения уравнения г системы w = Мг + q относительно переменной и подстановки полученного выражения во

все остальные уравнения [11]. В этом случае, если до выполнения Жорданова исключения уравнение г выражало собой зависимость

wi = )» ] = (Х.. п),

то после выполнения Жорданова исключения уравнение г будет выражать зависимость

= / ... , Ъ-и wi, Ъ+и ... , ) • Некоторые результаты тестирования применяемого в данной статье алгоритма решения линейной задачи о дополнительности приведены в [7, 12].

Основу дальнейших рассуждений составляют следующие четыре положения [7], которые, базируются на известных понятиях строительной механики [13] и

позволяют строить эффективные в вычислительном отношении алгоритмы для дискретных моделей механических систем [14, 15].

1. Наложенные связи метода перемещений, по существу, являются односторонними связями, возможные перемещения которых не имеют ограничений, если нет зазоров. Эти связи на старте расчета принудительно переведены в состояние «включено», однако априори известно, что в действительном состоянии эти связи выключены. Зазоры могут ограничивать линейные и (или) угловые перемещения таких связей, тогда действительное их состояние априори неизвестно. Зазоры могут иметь произвольную локализацию, ограничивая перемещения какого-либо сечения (точки) элемента конструкции, но в том же сечении (точке) всегда может быть установлена линейная и (или) угловая связь метода перемещений. Тогда, по меньшей мере, одно из канонических соотношений метода перемещений будет иметь вид нестрогого неравенства, а остальные, как обычно, будут записаны в виде равенств. Если все зазоры по величине равны нулю, то ограничения перемещений в виде нестрогих неравенств осуществляются в виде равенств.

2. Удаленные связи метода сил также могут рассматриваться как односторонние связи, которые на старте расчета переведены в состояние «выключено» и о которых априори известно, что их действительное состояние - «включено». При наличии зазоров действительное состояние данных связей априори неизвестно. Система канонических соотношений, как и в методе перемещений, будет включать в себя, по меньшей мере, одно нестрогое неравенство.

3. Очевидно, двустороннюю связь можно интерпретировать как частный случай односторонней связи, которая всегда (если исключено разрушение) находится в состоянии «включено». Отсутствие связи можно толковать как наличие односторонней связи, которая находится в состоянии «выключено»; появление какого-либо препятствия на пути движения и силовой контакт после преодоления зазора переводят такую связь в состояние «включено».

4. При изменении воздействия на механическую систему односторонние связи переходят в действительное состояние поочередно, в порядке достижения их реакциями или совместными с ними перемещениями порога переключения.

Адекватной моделью перехода связи из текущего состояния в альтернативное состояние является один шаг жордановых исключений, выполненный над системой канонических соотношений строительной механики с диагональным разрешающим элементом.

Пример. Рассмотрим алгоритм моделирования конструкции с двусторонними связями на примере (рис. 1), чтобы избежать несложных, но громоздких выкладок.

По условию задачи перемещения У1, У2, У5 равны нулю, однако мы включаем

их в число неизвестных, определяя затем по стандартной методике [13] коэффициенты

I

У-1, Х1

Б! = 100

У4, Х4

I

У2, Х2

С =1000

^—I—г

М = 10

4 4 <->\<--->\

| У5, Х5

Уз, Хз

Рис. 1. Конструкция и основная система метода перемещений

системы канонических уравнений метода перемещений. В итоге для расчетной схемы конструкции (рис. 1) получим канонические соотношения метода перемещений, выразив неизвестные реакции Х^...,Х5 через искомые перемещения У1,..., У5. Эти соотношения, матричный вид которых X = НУ + Р, представим в табличной форме (табл. 1). Заметим, что определитель полученной таким способом матрицы коэффициентов равен нулю. Таблица 1

У1 У2 У3 У4 У5 Р

Х1 37,5 -37,5 0 -75 0 0

Х2 -37,5 75 -37,5 0 0 7,5

Х3 0 -37,5 1037,5 75 -1000 -7,5

Х4 -75 0 75 300 0 -5

Х5 0 0 -1000 0 1000 0

По условию задачи реакции Х3, X4 равны нулю. Соответственно, выполнив

два шага Жордановых исключений с диагональными разрешающими элементами в третьей и четвертой строках, получим систему уравнений смешанного метода строительной механики, в которой роль «неизвестных» играют равные нулю величины, ука-

занные в верхней строке таблицы 2. Определитель полученной матрицы коэффициентов равен 4,6. Таблица 2

У1 У2 Х3 Х4 У5 P

XI 18,405 -36,810 0,018 -0,255 18,405 -1,135

Х2 -36,810 73,620 -0,037 0,009 -36,810 7,270

Уэ -0,018 0,037 0,001 0,000 0,982 0,006

У4 0,255 -0,009 0,000 0,003 -0,245 0,015

Х5 18,405 -36,810 -0,982 0,245 18,405 -6,135

Таким образом, находим реакции X1 = -1,135; X2 = 7,270; Х3 = X 4 = 0; X 5 = -6,135 и перемещения: У1 = У2 = 0; У3 = 0,006; У4 = 0,015; У5 = 0. Задача решена.

Заметим, что в соответствии с физическим смыслом требование неотрицательности переменных, аналогичное (2), должно быть исключено из условия задачи. Объясняется это тем, что реакция каждой из двусторонних связей может иметь любое из двух возможных направлений, заранее неизвестное (реакция данной связи может быть отрицательной, положительной или равной нулю).

Уменьшить объем вычислений по рассмотренной методике можно, если по аналогии с показанным в [7, 14] приемом находить только те элементы модифицируемой матрицы, которые используются при вычислении элементов вектора P (табл. 2).

Представленный подход имеет ту же область применения, что и метод перемещений (или метод конечных элементов). В частности, данный подход может быть использован при построении моделей балок и плит на упругом основании. Необходимость построения и использования таких моделей появляется при исследовании напряженно-деформированного состояния плит покрытий временных автомобильных дорог, а также в других инженерных задачах. При этом если плита (или балка) опирается на основание с низкими распределительными свойствами, например, на увлажненный песчаный грунт, то в качестве достаточно адекватной модели может быть использована плита (или балка) на основании Винклера [11, 16]. Именно такой случай рассматривается далее в заключительной части статьи.

Как известно, модель основания Винклера может быть представлена в виде набора упругих элементов (пружин), установленных с определенным шагом по площади плиты. Эти элементы способны сопротивляться только сжатию и не препятствуют отрыву плиты от основания. Таким образом, плита на основании Винклера представляет собой дискретную модель механической системы с односторонними связями. Расчет конструкций с односторонними связями представляет в настоящее время определен-

ные трудности, указанные, например, в работах [4, 5, 11]. Отметим, что в компьютерных моделях механических систем с односторонними связями в настоящее время используются, как правило, методы решения задачи квадратичного программирования [11] или алгоритмы решения линейной задачи о дополнительности [4, 5]. Если поиск решение сводится к задаче о дополнительности, то обычно применяется указанный выше алгоритм Лемке [6]. Более эффективная в вычислительном отношении альтернатива предложена в [7], о чем уже говорилось.

Задача моделирования плиты на однородном или неоднородном упругом основании Винклера может быть решена с использованием известных программных комплексов конечно-элементного анализа. В этом простейшем, но не самом удачном с точки зрения вычислительной эффективности случае выполняется обычный расчет, выявляется пружина с наибольшим растягивающим усилием и ее жесткость принимается равной нулю. Затем определяются усилия в элементах конструкции с выключенной таким способом связью и если все оставшиеся включенными пружины оказываются сжатыми, то расчет завершен. Иначе выключается очередная пружина с наибольшим растягивающим усилием и т. д. Поскольку усилия в пружинах прямо пропорциональны величине перемещения соответствующей точки плиты, то подлежащую выключению пружину можно распознавать по величине и знаку этого перемещения. Такой подход, используя известный закон очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние [7, 8], отличается простотой и универсальностью, однако его реализация может потребовать большого времени счета.

Уменьшить время счета можно, если распознавать и «выключать» односторонние связи на стадии формирования системы уравнений, по аналогии с рассмотренными в [7, 14] примерами трансформируя с помощью Жордановых исключений систему уравнений метода перемещений.

По рассмотренной методике выполнено моделирование плиты длиной 4,5 м, шириной 1 м и толщиной 0,08 м. Модуль упругости и коэффициент Пуассона материала плиты равны соответственно Е = 3,24 х 107 кН / м2 и ц, = 0,3 . Пружины, имитирующие основание Винклера, установлены в узлах сетки с шагом, равным 0,1 м по длине и по ширине плиты. На поверхности плиты действует равномерно распределенная по площади вертикальная нагрузка интенсивностью ц = 0,24 кН / м2 (или 0,0024 кН на узел). Кроме того, на поперечной полосе шириной 0,3 м в середине

длины плиты действует вертикальная равномерно распределенная нагрузка. Величина этой нагрузки равна Р для узла сетки, Р /2 в узлах на границе и Р /4 в углах.

Результаты вычисления вертикальных перемещений для различных значений параметра Р представлены в виде изолиний на рис. 2. В данном случае интерес представляет не столько не указанная на рисунке количественная оценка вертикальных перемещений, сколько особенности распределения этих перемещений. Как показывают представленные на рис. 2 результаты моделирования, при достаточно больших значениях параметра Р плита может рассматриваться как балка, что согласуется с известными по литературе экспериментальными и теоретическими данными [4, 6]. Однако при относительно малых значениях параметра Р локализация отрыва плиты от осно-

Р = 0,1:

Р = 1

Рис. 2

вания имеет особенности, которые не могут быть выявлены с помощью простейших балочных моделей.

Представленные алгоритмы позволяют выполнить анализ более сложных конструкций с одно- и двусторонними связями. Поскольку вычисления сводятся к модификации матрицы жесткости, то ограничения на область применения алгоритмов диктуются теми же соображениями, что и в случае моделирования конструкций с применением известных программных комплексов конечно-элементного анализа.

Литература

1. Попов Л. Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о до-

полнительности. - Изд-во Урал. ун-та, 2001. - 124 с.

2. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгдел К. Оптимизация в технике. - Т. 2. - М.: Мир,

1986.- 134 с.

3. Ким Т. С. Расчет систем с односторонними связями как задача о дополнительности

/ Т. С. Ким, В. Г. Яцура // Строит. механика и расчет сооружений. 1989. № 3. С. 41 - 44.

4. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невы-

пуклые функции энергии: Пер. с англ. / П. Панагиотопулос. М.: Наука, 1989. 494 с.

5. Pfeiffer F. Multi-body systems with unilateral constraints / F. Pfeiffer // J. Appl. Math.

and Mech. 2001 - Vol. 65 (4). - P. 665 - 670.

6. Ловцов А. Д. Алгоритмы линейной задачи дополнительности в применении к рас-

чету систем с односторонними связями. / А.Д. Ловцов Тез. докл. XX Междунар. конф. «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов», 24-26 сент. 2003. С-Пб., 2003. С. 128 - 129.

7. Колесников Г. Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с

односторонними связями / Г. Н. Колесников. Изд-во ПетрГУ. Петрозаводск, 2004. 204 с.

8. Колесников Г.Н. Закон очередности перехода односторонних связей в действи-

тельное состояние и его применение в математических моделях упругих механических систем / Г. Н. Колесников. Петрозаводск: ПетрГУ, 2003. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 21.05.03, № 981-В2003.

9. Колесников Г.Н. Об очередности жордановых исключений в алгоритмах моделиро-

вания механических систем с односторонними связями / Г.Н. Колесников. Пет-

розаводск: ПетрГУ, 2003.12 с. Деп. в ВИНИТИ 21.11.03, № 2028-В2003.

10. Колесников Г. Н. Очередность перехода односторонних связей упругих механиче-

ских систем в действительное состояние / Тез. докл. XX Между нар. конф. «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов», 24-26 сент. 2003. С-Пб., 2003. С. 101-103.

11. Перельмутер А. В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа /

А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев:Изд-во «Сталь», 2002. 600 с. http://www.scadgroup.com/

12. Раковская М. И. Об одном алгоритме решения линейной задачи о дополнительно-

сти / М. И..Раковская. Петрозаводск: ПетрГУ, 2004.10 с. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004, № 1378-В2004.

13. Ржаницын А.Р. Строительная механика. - М.: Высш. школа, 1982.- 400 с.

14. Колесников Г. Н. Дискретные модели деформируемых систем с односторонними

ограничениями перемещений. Электронный журнал "Исследовано в России", 2004 г. № 8. С. 76-85. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/008.pdf

15. Раковская М. И. Алгоритмы моделирования механических систем с односторон-

ними связями / М. И. Раковская. Тез. докл. междисциплинарной конф. НБИТТ-21. Петрозаводск, 28 - 30 мая 2004. Изд-во ПетрГУ, 2004. С. 160.

16. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Гор-

бунов-Посадов, Т. А. Маликова, В.И. Соломин. - М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.