Применение дисперсионной формулы Бучдала для расчета объектива-апохромата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 535.31

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСПЕРСИОННОЙ ФОРМУЛЫ БУЧДАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА

ОБЪЕКТИВА-АПОХРОМАТА

THE APPLICATION OF BUCHDAHL'S DISPERSION FORMULA FOR CALCULATING APOCHROMATIC LENS

Страхов Андрей Александрович, преподаватель, ФГКВОУ ВО «Московское высшее общевойсковое командное училище», г. Москва, Россия, andronas@yandex.ru

Andrei A. Strakhov, lecturer, Moscow Higher Combined Arms Military Command School, Moscow, Russia, andronas@yandex.ru

Аннотация: Предложен алгоритм вычисления коэффициентов дисперсионной формулы Бучдала (H.A. Buchdahl) для оптических стекол, основанный на среднеквадратическом интегральном приближении каталожных дисперсионных зависимостей Зелльмайера. Рассчитаны коэффициенты дисперсионной формулы Бучдала 3 и 5 степени. Формула Бучдала третьей степени применена для отбора стекол тонкого триплета-апохромата. Приводятся конструктивные параметры рассчитанного объектива-апохромата.

Summary: an algorithm for calculating the coefficients of the Buchdahl dispersion formula is proposed for optical glasses. The algorithm is based on the standardsquare integral approximation of Zellmayer's catalog dispersion dependencies. The coefficients of Buchdahl's dispersion formula of 3 and 5 degrees has been calculated. The Buchdahl formula of the third degree is applied for the selection of glasses of a thin apo-triplet. The design parameters of an optimized apochromatic lens is given.

Ключевые слова: вторичный спектр, число Аббе, дисперсионная формула, коэффициенты дисперсии, целевая функция.

Keywords: secondary spectrum, Abbe number, dispersion formula, coefficients of dispersion, merit funktion.

Вопросы проектирования оптических систем с исправленным вторичным спектром всегда находились в центре внимания исследователей. В настоящее время ведущие производители зрительных труб, объективов-апохроматов коллиматоров и иных длиннофокусных линзовых оптических систем, работающих в широком спектральном диапазоне, применяют в своих разработках для коррекции вторичного спектра особые стекла, т.е. стекла, заметно отстоящие от нормальной прямой на диаграмме P - v. Помимо несомненных преимуществ, эти решения имеют и недостатки. Среди них -высокая стоимость, заметная зависимость оптических характеристик фтор-фосфатных кронов от температуры, ограниченные размеры заготовок.

Поэтому, весьма актуальной задачей является разработка математических методов поиска новых решений для оптимальной коррекции вторичного спектра, в том числе и с помощью аналитически обоснованного выбора совместимых оптических материалов из числа наиболее простых, технологичных и дешевых. Это непростая задача, требующая скрупулезных и точных расчетов на всех этапах ее решения.

Классическая теория проектирования оптических систем с уменьшенным вторичным спектром (апохроматов) хорошо разработана и описана в ряде публикаций [1], [2].

Для случая тонкого триплета-апохромата записывается система уравнений:

Vi + V + V = 1

v

V

V

V р p P = 0

V

V

V

где фi = (щ-1)Др - оптическая сила 1-ой тонкой линзы, ф=1/Р, Ар = 1/^-1/^ - разность кривизн тонкой линзы, V; = (па-1У(%-пс) _ число Аббе для стекла ьтой линзы, Pi = (пр-па)/(пр-пс) _ относительная частная дисперсия стекла 1-той линзы. В системе (1) первое уравнение является уравнением масштаба, второе уравнение определяет условие ахроматизации, третье уравнение является условием апохроматизации. Система уравнений (1) является совместной и имеет единственное решение при условии неравенства нулю определителя основной матрицы Э:

1 1

1 1 1

v 1 v 2 v3

El Ei Ei

-V1 v 2 v 3-

При выполнении условия detD ^ 0 , решением системы (1) являются:

9I=VI(P2-P3)/S, 92=V2(P3"Pl)/S, 93=VS(PI-P2)/S,

где S=v1(P2-P3)+V2(P3-P1)+V3(P1-P2) - удвоенная площадь треугольника A(v1,P1), B(v2,P2), C(v3,P3). Здесь точки A, B и С соответствуют трем выбранным стеклам на координатной плоскости (v, P).

Из полученных соотношений следует, что для того, чтобы линзы обладали не слишком большой кривизной поверхностей, следует выбирать стекла A, B и С таким образом, чтобы площадь треугольника ABC была бы наибольшей. Именно поэтому для апохроматов не подходят комбинации

стекол, лежащих на одной прямой и применяются особые стекла, лежащие на наибольшем расстоянии от нормальной прямой.

В литературе имеется ряд работ, посвященных вопросам проектирования апохроматов с использованием новых алгоритмов [4]-[9].

В этих работах [7], [8], [9] авторы успешно развивают теорию устранения вторичного спектра, используя выражение для зависимости показателя преломления от длины волны в виде дисперсионной формулы Бучдала (H.A.Buchdahl):

n(a) = n0 *a' , (2)

i=i

A—A

где ю =-Л - цветовая координата,

1 + 2,5(А—А0)

X - длина волны, мкм,

X0 - основная длина волны (в дальнейшем, примем X0 = 0,574 мкм),

s - порядок дисперсионной формулы,

V - коэффициент дисперсионной формулы.

Однако в литературе ощущается недостаток публикаций с данными по коэффициентам Vi для оптических сред разных производителей и методике расчета этих коэффициентов.

В предлагаемой статье рассматриваются теоретические вопросы расчета коэффициентов дисперсионной формулы Бучдала, описан практический алгоритм расчета коэффициентов и их применение для синтеза объектива с исправленным вторичным спектром.

Алгоритм расчета коэффициентов дисперсионной формулы Бучдала

Вопрос приближения аналитически заданной функции y=f(x) многочленами является известной математической проблемой и в настоящее время эффективно решается применением, например, многочленов наилучшего приближения Чебышева [4].

Так, функция y=ex с достаточной степенью точностью может быть приближена следующей функцией:

ех ~ 1.166067То(х)+1.130321 Т1(х)+0.27154Т2(х)+0.04488Тз(х)+ +0.005474Т4(х), где Т^х) - многочлены Чебышева.

Фирмы-производители оптического стекла в своих каталогах представляют данные для дисперсионной зависимости показателя преломления стекол в виде, например, формулы Зелльмайера [3]:

где Бь В2, В3, С1, С2, С3 - коэффициенты, приводимые в каталоге, п - показатель преломления, X - длина волны, мкм.

Для приближения дисперсионного уравнения Зелльмайера функцией, заданной в виде дисперсионного уравнения (2), применение многочленов Чебышева не представляется возможным и для решения этой задачи необходимо разрабатывать новые методики.

Также нужно отметить, что в литературе представлена только одна работа [12], посвященная методам вычисления коэффициентов формулы Бучдала (б = 1...4) исходя из дисперсионной формулы Шотта путем ее разложения в ряд Тейлора.

В настоящей статье рассматривается только видимая часть спектра, т.е. принимается, что длина волны X лежит в диапазоне [0,4-0,7] мкм. Для нахождения функции (2), наилучшим образом приближающейся к функции, заданной в виде (3), предлагается применить комбинированный алгоритм, основанный на методе наименьших квадратов с численным интегрированием.

Комбинированный алгоритм расчета имеет следующие основные этапы:

1. Интервал X = [0,4-0,7] мкм разбивается на 30 субинтервалов с длиной 0,01 мкм и на каждом интервале проводится численное интегрирование функции (3) п = п(Х) для конкретной марки стекла. Таким образом, определяются 30 положительных величин:

(3)

(4)

где 1=1...30.

2. Вычисляется значение п для формулы (2) - в формулу (3) подставляется значение X = 0,574 мкм.

3. В среде программного пакета аналитически производится численное интегрирование зависимости (2) для каждого из 30 субинтервалов. Таким образом, получаются 30 неизвестных функций:

К = 5(УьУ2,Уз) , где 1=1.30. (5)

Необходимо подчеркнуть, что в качестве неизвестных в этих 30 различных функциях присутствуют только коэффициенты Бучдала VI, У2 и УЗ.

4. Составляется целевая функция ошибки Б, подлежащая минимизации:

/=30

р = 2Ж - к )

(6)

5. Определяется безусловный минимум целевой функции Б (в качестве неизвестных выступают коэффициенты формулы Бучдала VI, У2 и У3). Для этого аналитически находятся частные производные от целевой функции Б и решается система из 3-х уравнений с тремя неизвестными - находятся числа

V1экстр, У2экстр и У3экстр-др

дУх

~дУ2 дР

= 0

= 0

=0

(7)

д¥3

6. Для доказательства того, что найден именно локальный минимум, вычисляются собственные числа следующей квадратной матрицы при

У^Уьте^ У2=У2экстр и У3=У3экстр:

дУ* дУ1 дУ2 дУ1 дУ3

дУ2 ду ' дУ22' ду дУ3 д-р д-р д-р ду дУ1' дУ дУг' дУ^

(8)

2

1

<

дгг д2Р д2Р

д-р д-р д-р

Для существования локального минимума необходимым и достаточным условием является положительность всех трех собственных чисел матрицы А. 7. Вычисляется ошибка приближения:

8. Аналогичным способом производится приближение известной функции (3) дисперсионной формулой Бучдала (2) пятой степени.

Следуя описанному алгоритму, были проведены расчеты для стекол из каталогов основных производителей оптических материалов: ЛЗОС, Schott и Ohara. Приведем результат приближения известной функции (3) дисперсионной формулой Бучдала (2) третьего, четвертого и пятого порядков для стекла N-BK7 из каталога фирмы Schott.

Рисунок 1. Графики функций Н3, Н4 и Н5 для стекла N-3X7

По оси ОХ отложена длина волны X (мкм), по оси ОУ - отклонение дисперсионной кривой Бучдала от кривой Зелльмайера

Запишем выражения для оптической силы тонких линз триплета от цветовой координаты ю в следующем виде (здесь использована дисперсионная формула Бучдала 3-й степени):

нз

Применение дисперсионной формулы Бучдала для отбора стекол апохроматов-триплетов

7 Ч

Ф1 = 71(1+а1ю+а2 ю +а3 ю ),

Ф2 = 22(1+Ь1ю+Ь2 ю2+Ь3 ю3),

7 Ч

Ф3 = 73(1+е1ю+е2 ю2+с3 ю3),

где 21= (п01-1)Ар1 - оптическая сила 1-й линзы для X =Х0, 22= (п02-1)Ар2 - оптическая сила 2-й линзы для X =Я0, 23= (п03-1)Ар3 - оптическая сила 3-й линзы для X =Я0.

В выражениях (2) применяются нормированные значения коэффициентов дисперсионной формулы Бучдала. Для 1 -й линзы они определяются следующим образом (для 2-й и 3-й линз - аналогично):

а1 = У1/(п01-1), а2 = У2/(п01-1), аз = Уз/(п01-1)

(10)

Оптическую силу тонкого триплета в зависимости от цветовой координаты ю определим как сумму оптических сил составляющих линз: Ф0(ю) = Ф1+Ф2+Ф3 = (/1+/2+/з) + (а^+Ь^+С^) ю + + (а2/1+Ь2/2+С2/з) ю2 + (аз/1+Ьз/2+Сз/з) ю3 (11)

Условием апохроматизации триплета в широкой области спектра является равенство нулю коэффициентов при соответствующих степенях цветовой координаты ю:

а121 + Ь^ 2 + сх23 = О а2г1 + ъ212 + с2г 3 = о л3г1 + ь3г2 + с3г3 = о

(12)

Нетривиальное, т.е. ненулевое, решение системы однородных линейных уравнений (12) существует только в том случае, когда определитель этой системы равен нулю:

Ьх

а± а2 <-аЗ

Ь2

Ь3

С1 С2 Сз-"

= О

Раскроем этот определитель:

а1(Ь2С3-Ь3С2)-Ь1(а2С3-а3С2)+С1(а2Ь3-а3Ь2) = 0 Введем вспомогательные величины:

011=^2; а2=а2/а3; р^/Ъг; 02=^^; У1=С1/С2; У2=С2/С3.

(13)

(14)

Тогда все три стекла триплета можно изобразить тремя точками на двумерной координатной плоскости (^1=У1/У2, ^2=У2/Уз). Определим условия, при которых будет выполняться соотношение (13). Для этого подставим выражения а^а^аз, а2=а2аз, Ь^р^Ьз; ^=р2^; С1= У1У2С3; 02=7203 в уравнение (13), сократим полученное выражение на произведение а3Ь3с3 и получим первый случай апохроматизации - три стекла лежат на горизонтальной прямой в плоскости С2), т.е. а2 = р2 = у2 (рис. 2): а1 а2( Р2-У2) - Р1 р1( а2-у2) + 71 У2( а2-р2) = 0 (15)

Рисунок 2. Точки А, В и С лежат на горизонтальной прямой: а2 = р2 = у2

Произведем перегруппировку членов и запишем второй случай апохроматизации - три стекла лежат на вертикальной прямой в плоскости (£ь £0, т.е. а1 = р1 = У1 (рис. 3):

а2 р2(а1-р1) - а2У2( а^) + Р2У2Ф1-У1) = 0 (16)

Третий наиболее общий случай заключается в том, что все три стекла должны принадлежать ветвям равнобочной гиперболы (рис.4а, 4б): (С 1- М) ^ = N (17)

Где М = ага2 - р1р2/(а2 - р2); #=а2р2(р1 - а1)/(а2 - р2) Здесь считаются заданными точки A( а 1, а2) и B(pь р2).

С2

^ "~-А(а1, «2)

—■--В(|51.Р2)

?1

1 1.5 2.5 3

--— С(у1.у2)

Рисунок 3. Точки А, В и С лежат на вертикальной прямой: а г = Рг = у!

Рисунок 4а. Точки А, В и С лежат на равнобочной гиперболе, N>0

£2

N<0

М=3

А(а1, а2) I

2.96 2 9В

С(у1.у2>

Рисунок 4б. Точки А, В и С лежат на равнобочной гиперболе, N<0

Конструктивные параметры апохроматического триплета

На Рис.5 приведены данные синтезированной авторами апохроматической системы на отечественных стеклах с нормальной дисперсией.

f-

Ц Lens Data Editor

Edit Solves Options Help

Surr:Iype Radius Thickness Glaaa S eirii - I3i a me t e r >-

OBJ Standard Inrinity Inrinity 0_000000

STÜ Standard 221.539845 V 12.000000 LZ_IK21 50.000000

2 Standard -341.390457 V 0.300000 49.750010

3 Standard -498.7S5Î31 V 4.000000 LZ_CIK9 49.374485

4 Standard 100 _ 737310 V 14.000000 LZ_IK12 47.523215

5 Standard 758.334248 V 947 .45715Î V 47.333770

1Mb Standard Infinity 0.014020

Рисунок 5. Характеристики апохроматической системы на стеклах с нормальным ходом дисперсии.

Для объектива-триплета ТК21 (точка А) - СТК9 (точка В) - ТК12 (точка С) вычисляются следующие величины: ^ = -7.26831926, а2 = 0.656637111, Р1 = -15.9801513, Р2= 0.4575913429,

Y1 = 21.31359689, = -2.08229192, M = 12.7595314, N = -13.15103.

График взаимного расположения точек-стекол А, B и С показан на рис.

6.

Рисунок 6. График взаимного расположения стекол

Заключение. Разработаны алгоритмы отбора стекол для коррекции вторичного спектра Используя изложенные в статье алгоритмы для объектива-триплета, автором была синтезирована и оптимизирована в программной среде Zemax [13] оптическая схема объектива-апохромата с апертурой 100 мм и относительным отверстием 1:10. Следует подчеркнуть, что в этой схеме не используются стекла с особым ходом дисперсии, такие как N-FK58 (Schott) или S-FPL53 (Ohara), цена которых в три четыре раза выше, чем цена предложенных в данной статье отечественных стёкол ТК21, СТК9, ТК12 производства Лыткаринского завода оптического стекла (ЛЗОС). Объектив имеет апохроматическую коррекцию при дифракционном качестве изображения в широком спектральном диапазоне при угловом поле 0,5°.

Литература

1. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. «Машиностроение», Ленинград, 1966.

2. Попов Г.М. Современная астрономическая оптика. М.; Наука, 1988.

3. Schott. Оптическое стекло. Каталог, 2014.

4. J. L. Rayces and M. Rosete-Aguilar, «Selection of glasses for achromatic doublets with reduced secondary spectrum. I. Tolerance conditions for secondary spectrum, spherochromatism, and fifth-order spherical aberration», Appl. Opt. 40(31), 5663-5676 (2001).

5. S. Chatterjee and L. Hazra, «Structural design of cemented triplets by genetic algorithm», Opt. Eng. 43(2), 432-440(2004).

6. D. C. Handscomb. Methods of numerical approximation. Oxford, 1965, 125 pp.

7. P.N. Robb, «Selection of optical glasses. 1: two materials», Appl. Opt. 24 (12), 1864-1877 (1985).

8. R.D. Sigler, «Glass selection for airspaced apochromats using the Buchdahl dispersion equation», Appl. Opt. 25 (23),4311-4320(1986).

9. D.W. Griffin, «Selection of optical glasses using Buchdahl's chromatic coordinate», Proc. SPIE 3482, 356-359.

10. M. Bolser. Mercado/Robb/Buchdahl Coefficients-An Update of 243 Common Glasses. Proc. of SPIE, v.4832 (2002), p.525.

11. R.I. Mercado and P.N. Robb, «Calculation of refractive Indices using Buchdahl's Chromatic Coordinate», Appl. Opt. 22, p. 1198 (1983).

12. P.J. Reardon and R.A. Chipman, «Buchdahl's glass dispersion coefficients calculated from Schott equation constant», Appl. Opt. 28(15), 35203523 (1989).

13. ZEMAX 12 R2 SP2 IE, S/N 34581. Optical Design Program. 2012 г.

© Страхов Андрей Александрович, Столыпинский вестник 2/2020